格子乘法简史初探

A Preliminary Inquiry into the Brief History of the Lattice Multiplication

摘要

格子乘法是一种以表格形式进行乘法计算的古老算法，此算法最早见于10世纪阿拉伯算术书中，于13世纪初由斐波那契传入欧洲，其在阿拉伯国家发展出的新形式在15世纪前后再次传入欧洲和中国，这种算法在欧洲衍生出的计算工具纳皮尔筹在17世纪由传教士传入中国。

Abstract

Lattice multiplication is an algorithm for multiplication in tabular form，it was first seen in an Arabian arithmetic work， and introduced into Europe by Fibonacci at the beginning of the 13th century. Its new form developed in the Arab world was reintroduced into Europe and China around the 15th century. The Napier's bones， a kind of calculation tool derived from this algorithm in Europe， was introduced into China by missionaries in the 17th century.

Graphical abstract

关键词

格子乘法 / 棋盘乘法 / 格栅乘法 / 铺地锦

Key words

lattice multiplication / chessboard multiplication / gelosia or graticola multiplication / Pudijin

格子乘法是一种古老的乘法计算方法，自产生之后在阿拉伯国家、欧洲和中国都得到了广泛应用和传播。该算法被中国学者所熟知，是因为其在中国算术著作中被称为“铺地锦”或“写算”，最早出现于明中期夏源泽编写的《指明算法》（1439）中^［1］。前人对于这种算法在中国的发展历程已经进行了充分研究，李俨^［2］（1892-1963）、钱宝琮^［3］（1892-1974）、郭书春^［4］等数学史家都指出此算法是从阿拉伯国家传入的，但对其具体出处及传播路径则鲜少考证。国外对格子乘法的研究在历史溯源方面也相对缺乏，例如弗兰克·J· 斯威茨（Frank J. Swetz）在《资本主义与算术》（Capitalism and Arithmetic， 1987）中对于《特雷维索算术》（Treviso Arithmetic，1478）的格子乘法有专门的论述 ^［5］，但因当时能获得的史料所限，他对不同类型格子乘法出现先后顺序的判断存在不足。

本文通过研读阿拉伯、欧洲、中国古代数学文献，初步梳理格子乘法的产生、演化脉络和传播路径。

1 格子乘法的早期形态

格子乘法的内容最早出现在阿拉伯数学家乌格里迪西（Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrāhīm Al-Uqlīdisī， 约920-约980）的著作《印度算术书》（the Kitāb al-fusūl fī al-hisāb al-Hindī，952/3）中。该书作者生平不详，“乌格里迪西”的头衔用于称呼那些抄写并售卖古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年-公元前275年）的著作《几何原本》（Elements，约公元前300年）的人，从《印度算术书》的写作语言上还可以推断该作者曾有过数学教学的经历。

《印度算术书》主要介绍印度传统算术，由于当时纸笔还没有普及，算术计算是在土盘上铺一层细沙，用木棍或手指进行书写演算。在该书第一卷第4章、第二卷第9章中给出了多种乘法计算规则。多位整数间的基础乘法是将被乘数和乘数上下排列，先用被乘数最高位的数字去乘整个乘数，再用乘积代替其对应的被乘数；接着将乘数向右移动一位，用被乘数次高位乘以整个乘数，把乘积直接加在前一步得到的乘积上，按此步骤直到完成整个乘法，最终计算结果将出现在原先被乘数所在的位置。例如34乘以26，列出的算式是\begin{array}{c}\mathrm{34}\\ \mathrm{26}\end{array}，第一步计算3乘以26得到\begin{array}{c}\mathrm{784}\\ \mathrm{26}\end{array}；向右移动乘数后变为\begin{array}{c}\mathrm{784}\\ \mathrm{26}\end{array}，再将4乘以26的结果直接写在被乘数的位置得到\begin{array}{c}\mathrm{884}\\ \mathrm{26}\end{array}，此时乘积884就处于原先被乘数34所在的位置^［6］。除此之外，还可以使用竖直乘法（upright multiplication）^{［6］127-129}和树杈算法（branching multiplication）^{［6］130-132}，这些乘法计算方式与今天通用的竖式算法相似。利用土盘计算多位数乘法有两点需要注意：首先在沙子上写出的数字容易出现错位；另外由于土盘大小有限，有些中间步骤的计算结果会被抹去，这样计算一旦中断就难以继续，且无法检验。为了避免上述问题的发生，《印度算术书》接着在第二卷第10章介绍了“房屋乘法（multiplication by houses）”^{［6］133-148}，即利用方格来计算，这就是格子乘法的最初形态。

乌格里迪西最先介绍的房屋乘法仅利用方格规划出了每个数字的位置，计算从最高位开始，计算中先得到的数字会被不断抹去并被新的数字代替，以78 乘以56为例（图1），先将5乘7的乘积写在格子左侧，在计算\mathrm{6}\times \mathrm{7}=\mathrm{42}后，\mathrm{4}+\mathrm{5}的结果9会代替原先的5，以此类推，最后按照从左到右、从上到下的顺时针顺序读取结果，即4 368^［6］134。

随后乌格里迪西给出了先完成所有乘法步骤，再统一进行整理、进位的格子乘法，例如计算653乘76（图2），需要画出一个4行2列的表格，将乘数写在格子最左列，用被乘数每一位的数字与表格左侧的数字相乘，并将乘积填在对应表格中。乌格里迪西发现乘数可以按照从上到下和从下到上两种顺序书写，乘数的书写顺序会影响乘积整理的顺序。如果自上而下书写乘数，除了乘数所在的方格外，每条从左下到右上的斜线上的格子都处于相同数位，每个格子上边或左边的格子都比这个格子高一位，乘积的最低位在右下角，最高位在左上角，这就需要按照自左下到右上的方向将每条斜线上的数字相加，本题首先得到42 71 51 18，然后相同数位合并进位得最后乘积49 628；如果自下而上书写乘数，乘积排列则与前述顺序相反，最终的结果不会受到影响。为了保留计算过程，乌格里迪西更进一步指出，可以将进位得到的结果写在表格外侧，或者开辟新的格子来记录这些数字，这样就不需要擦除表格里原先的数字。由于保留了乘法计算的中间环节，运算和检验也更为简便。

在此后几个世纪中，格子乘法在阿拉伯国家得到了广泛传播，并出现了新的形式。阿拉伯数学家阿尔·卡西（Jamshīd Mas'ūd al⁃Kāshī，约1380-1429）在其所著的初等数学教材《算术之钥》（Miftāh al⁃Hisab，1427）中就详细讲解了格子乘法（图3），这说明相关算法在14世纪末到15世纪初已经在东阿拉伯国家有相当的流传广度。卡西介绍的格子乘法较乌格里迪西的做法有明显的改进，他利用斜线对每个方格中数字的十位与个位进行了划分，使得乘积的数位更加清晰便于整理。以7 806乘175为例，计算时需要画出3行4列的表格，并利用每个格子从左下到右上的对角线将方格划分为两个三角，将一个乘数按从左到右的顺序写在格子上方，另一个乘数按从上向下的顺序写在表格左侧，在每个方格里填上其对应上方、左侧数字的乘积，并将乘积的十位和个位分别填在左上、右下两个三角中。相邻两条斜线中间的数字在同一数位，随后将每两条斜线中的数字相加并完成进位，最终得到乘积1 366 050^［7］。

除了整数之间的格子乘法外，《算术之钥》中还给出了十进制小数之间、六十进制数字之间的格子乘法1

1 由于六十进制数字是用阿拉伯语字母按照从右向左的顺序书写，所以六十进制数字之间格子乘法斜线的方向是从左上到右下。

。在阿尔·卡西生活的时代纸笔已经得到了普及，这样乘法计算对格子的依赖得到了降低，因此《算术之钥》中还给出了不用画格子的乘法运算，算法过程与今天的竖式乘法基本相同（图4）^［7］58-59。

与此同时，带有斜线的格子乘法在15世纪的西阿拉伯国家数学书中也比较常见，例如梅克内斯镇（今摩洛哥）的数学家艾哈迈德·伊本·加齐（Ahmad ibn Ġāzī，约1437-1513年）在其作品《运算注解》（Hādhā Bughyat al⁃ṭullāb ʻalá Munyat al⁃ḥussāb，1471）中着重研究了带有斜线的矩形格子乘法（图5），他以432乘65为例对比了因数书写的十六种情况，分析了因数书写方向对计算中表格斜线方向、结果整理方向的影响^［8］。

2 格子乘法在欧洲的传播与演化

乌格里迪西之后，这种利用格子整理乘法的算法在阿拉伯国家得到了广泛传播，并逐渐传入欧洲。意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-约1250）所著《计算之书》（Liberabaci，1202）中介绍了这种利用方格整理乘法计算的方法，这是格子乘法第一次传入欧洲。斐波那契的父亲曾在布吉亚（Bugia，今阿尔及利亚东北部）的一个港口工作，他跟随父亲在北非生活并接受教育，可以推断他正是在此时接触到了格子乘法的知识。《计算之书》将格子乘法称为“对于大数乘法来说更好的方法”，以567乘以4 321为例（图6），斐波那契的方法是列出3行5列的表格，他将这个表格称为“棋盘（chessboard）”，将乘数横向写在表格上方，将被乘数自下而上写在表格右侧，计算从两因数的最低位开始，以最高位相乘为结束，过程中会将乘积的个位填写在对应的格子里，十位上的数字则先记在心里，等到计算出高一位上的乘积时再进位，完成整个表格的填写后按照从左上到右下的方向整理并进位，得到的乘积是2 450 007^［9］。

斐波那契给出的计算顺序是从最低位开始的，因此虽然他采用了一边计算一边进位的方法，但在对低位数字进位时高位的数字还未被写下来，记录中并不需要擦除原先的数字，这种计算顺序也是格子算法适应笔算环境的一种方式。

前文中已经介绍了格子乘法在阿拉伯国家演化出的加入斜线的新形态，而西阿拉伯地区与欧洲长期保持着贸易、文化往来。14世纪后，地中海与北非巴巴里海岸（Barbary Coast）的贸易往来日益紧密，阿拉伯国家的新知识持续影响着意大利人，1478年在威尼斯共和国印刷出版的数学著作《特雷维索算术》（Treviso Arithmetic）就是这一时期阿拉伯算术知识传入的产物。这部作品没有作者和标题，因其出版城市特雷维索而得名，它是已知欧洲最早的数学印刷物，内容涉及货币兑换、利润分配等知识。对于商人而言，格子乘法方便就地运算、准确性高，因此这种乘法在商人群体中得到了重视和广泛应用，书中用1 234乘以56 789为例介绍了五种不同类型的棋盘乘法（图7）^［5］81-83，其中有与斐波那契作品中类似的方格乘法，也有《算术之钥》《运算注解》中介绍过的带有斜向中线的格子乘法，因为这一表格形似威尼斯贵族女性窗户上按照拜占庭习俗安装的格栅，在意大利也被称为“格栅算法（gelosia or graticola technique）”^［5］208。通过同一题目的对比，可以很直观地看出格栅斜线绘制方向的区别实际是由于乘数书写顺序不同而导致的，当乘数最高位在上、最低位在下时，表格中的斜线需要自左下到右上绘制，整理乘积时也按照这个方法将每条斜线上的数字相加即可；而乘数高位在下、低位在上时，斜线方向则相反^［5］84。

除了上述格子乘法之外，《特雷维索算术》还给出了一种介于今天竖式乘法和格子乘法之间的计算方法，这种算法需要将乘数、被乘数按照格子乘法的方法一横一斜排列，但不需要画出完整的表格，只需要用简单的线条划分乘数、被乘数、中间环节乘积和最终乘积的位置^［5］82。和卡西的作品一样，《特雷维索算术》也表现出一种去除格子的倾向（图8），这一算法可看作是格子算法向现代笔算竖式乘法过渡的产物。

通过《计算之书》《特雷维索算术》中的格子乘法内容，本文认为阿拉伯格子乘法并非通过单一路径一次性传入欧洲，而是伴随着其发展演化多次传入欧洲。作为数学教材，《特雷维索算术》中的数学知识通过意大利计算学校得以广泛传播，格子乘法也作为实用算术工具得到应用，这一时期出版的数学著作中也多有关于这种乘法的介绍。例如法国数学家许凯（Nicolas Chuquet，约1455-1488）就在其《算术三编》（Triparty en la Sciences des Nombres，1484）^［10］中演示了格子乘法；意大利数学家帕乔利（Luca Pacioli，1445-1517）的《算术、几何、比例概要（数学大全）》（Summa de arithmetica， geometria， proportioni et proportionalita，1494）将当时存在的乘法算法分为八类，其中就包括格子乘法及其变体^［11］。除了介绍上述几种格子乘法外，帕乔利还讲解了一种叫作贝里库科洛（bericuocolo）的乘法（图9）^［11］26，这一算法因形如叫这个名字的糕点而得名，其计算方法与现代竖式乘法几乎一致，但需要用格子将中间环节的乘积分隔开，这被认为是现代竖式的前身^［5］205。

笔算中出现数字错位的可能性很小，随着纸张的普及，绘制方格的必要性不断降低，同时绘制表格在排版印刷方面存在困难，因此这种算法并没有大范围出现在此后的数学出版物中，但其计算思路和书写方式在笔算乘法中得到了保留，例如，格子乘法的形式启发了纳皮尔筹（Napier's Bones）的发明。

纳皮尔筹是由英国数学家约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）发明的一种计算工具，他在自己的著作《计算用筹》（Rabdology，or Calculation with Rods，1617）中介绍了制作并使用这种算筹的方法，但并未给这种工具命名，后人因其主要材料是 象牙、动物骨骼而称其为Napier's Bones。纳皮尔所设计的这种算筹是较为细长的长方体，算筹四周的四个面上分别画有被斜线分切的方格，算筹每一面的顶端写着0到9中的一个数字，正方格里依次写着1到9与顶端数字的乘积，这些乘积的十位应写在对应方格的左半个三角里，个位则写在右边三角中，相对两个面上的内容需要朝相反的方向书写（图10）^［12］。

这种算筹被用于乘法计算，本质上是将格子乘法可能出现的格子事先写好，计算时再根据需要查找出对应的格子，从而免去了绘制、填写格子的环节，可以快速得到乘积。以1 615乘以365为例，先将算筹顶端的数字排列出1 615，此时算筹并列成一张大表格，分别找出表格第3、6、5行的内容，如图11所示，得到所求的乘积589 475^［12］668。运用纳皮尔筹计算多位数乘法时，简化了乘法的中间环节，提升了计算效率，因此这种工具在除法、开方等需要涉及乘法的计算中都可以发挥作用。

格栅形式的格子乘法在阿拉伯国家出现后，明中期算学家夏源泽编写的《指明算法》中也出现了类似的内容，两者在时间上前后相继。随后这种计算方法在中国得到了较大程度的传播，吴敬所著《九章算术比类大全》（1450）、程大位（1533-1606）《新编直指算法统宗》（1592）^［13］等算书中均有涉及，甚至在清代文人李汝珍（1763-1830）创作的长篇小说《镜花缘》（1815）^［14］ 中也有使用这一算法的情节。

中国古代传统数学以筹算为主要运算工具，中算学家利用摆放、移动算筹进行计算。北齐学者刘孝孙（？-594）为《张邱建算经》（约431-450之间）做细草，展示了分数四则运算、开方等计算的具体步骤。宋以后随着造纸术与印刷术的发达，算经中“演草”出现增多，这可以看作筹算向笔算的靠近^［15］。早期的细草虽然具有了部分笔算的特征，但其中“草曰”的内容仍多是对计算过程的文字描述，例如《张邱建算经》中“以九乘以二十一五分之三，问得几何”的题目，其草曰：“置二十一，以分母五乘之，内子三，得一百八，然以九乘之，得九百七十二。却以分母五而一，得合所问。”^［16］而铺地锦的使用方法则如程大位（1533-1606）《新编直指算法统宗》中歌诀：“写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。法实相呼小九数，格行写数莫差池。记零十进于前位，逐位数数亦如之。照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。”^［13］2277所以，需要借助一张带斜线的表格，将题目中相乘的两个量一纵一横排列，在每个格子里填写上方、右方数字的乘积，最后按照从右上到左下的方向整理每条斜线上的数字，从而得到最终的乘积（图12）。

由于中国传统算书中少有抽象的纯数字计算，题目多与各类生活场景相结合，因此中国算书中给出的铺地锦计算中参与计算的都是带有单位的数量。铺地锦在计算方法上与前文所介绍的格子乘法十分类似，但和中国传统数学著作中细草的书写思路具有较大区别，由此推测这种计算方法是由阿拉伯传入的。

从时间和路径两方面来说，这一推测都具有合理性。首先，铺地锦在中国算书中出现的时间恰在阿拉伯国家发展出这一带斜线的格子乘法形式之后，且格子乘法被《算术之钥匙》等面向初学者、影响极为广泛的算书所记载，在阿拉伯国家中非常普及，具有向外输出的能力；其次，安西王府遗址中挖掘的六阶幻方（图13）^［17］、河北省张北县元中都遗址出土的方形青石阿拉伯数字六阶幻方^［18］和上海陆家嘴明代陆深墓中发现的玉制幻方挂件^［19］，都直接证明了在元明时期存在渠道使阿拉伯数学相关的知识、物品进入中国。有理由相信，格子乘法作为一种操作简单、材料易得且在阿拉伯国家应用广泛的算术方法，也能够在这一时期被 中国算学家所了解。

虽然格子乘法传入中国的直接材料还有待发现，但本文认为元明时期中国对阿拉伯历法及历算学家的重视为这一算法的传播创造了条件。成吉思汗（1162-1227）西征时期，耶律楚材（1190-1244）便接触到了回族历法，他主持修订《西征庚午元历》（1220）的原因之一就是为回应这种历法带给汉地传统历法体系的挑战^［20］。1250年左右，扎马鲁丁（Jmāl al⁃Dīn）等学者来到中国，从事回族天文学的研究，制造“西域仪器”七件，并于至元八年（1271）在上都的回族司天台担任提点，司天台中也有中国学者与之共事^［4］502。根据元《秘书监志》“回族书籍”条目记载，上都天文台中收藏有一批阿拉伯国家的天文数学著作，共计23种242部^［21］。这些书籍虽然没有被翻译成中文，但它们原本就是供司天台工作人员参考使用的^［4］506，因此可以推测其中知识在上都天文台的学者中得到了一定程度的传播。中国与阿拉伯国家的文化交流并未因朝代更替而中断，明太祖朱元璋对西域天文历法的高度重视，洪武元年（1368），他将太史院改为司天监，又设置了回族司天监。虽然之后不再单设回族司天监，但仍将回族历法看作钦天监“四科”的重要组成，与天文、漏刻、大统历并列，同时也将 元代回族司天台的西域学者召寻回来商议历法。洪武二年（1369）麦加天文学者马德鲁丁携其子来华，他被任用为钦天监博士，其子马沙亦黑和马哈麻也被封为回族大师。攻占元上都后，朱元璋收藏了元代司天台的两百余册阿拉伯语、波斯语天文著作，此后还于洪武十一年（1378）得到了西域学者进献的土盘历法，他于洪武十五年（1382）组织钦天监中西域、中国天文学家对上述著作进行翻译，编译了《天文书》（1383）、《回回历法》（1385）等重要文献^［22］。编译活动中的中原学者自然会接触到阿拉伯土盘算法，汉语译本也使得阿拉伯天文、数学知识得以被钦天监的其他中算家学习。此后贝琳（1429-1490）意识到汉族天文工作者对《回回历法》认识不足，于是按中国的情况对其进行了补充和完善，并添加注释，编纂出《七政推步》（1477），使阿拉伯天文知识得以更好地流传^［23］。结合上述材料，可以推测自扎马鲁丁在元上都介绍回族天文学与天文仪器起，中算学家就已经开始接触格子乘法等阿拉伯算术内容，此后在中算学家与阿拉伯算学家、天文学家持续数百年互动中，格子乘法逐渐被中原学者学习并使用。

另外，格子乘法之所以能在算盘等计算工具十分普及的中算界得到认可，很可能与历法修订所涉及的六十进制计算有关。在阿拉伯国家六十进制被称为“天文学家的数字”^［7］177，多被应用于天文领域，在研究、学习回族历法的过程中，中国的传统算筹、算盘难以应对六十进制的计算，而格子乘法则从诞生起就具有计算这类乘法的能力，因此对于参与编译阿拉伯历法的算学家而言，格子乘法并不能被算盘等传统工具取代。可以推测正是这一现实因素推动了中原学者对格子乘法的接受、应用与传播，这可能是格子乘法第一次传入中国的路径。此后这种计算方法被应用于商业贸易等生活场景，在解决实际问题的过程中，参与计算的数字逐渐变为带有单位的数量，也发展出了便于学习、记忆的歌诀，而后这些内容被算术书籍所记录。

自纳皮尔发明纳皮尔筹，格子乘法在欧洲的发展达到了新的阶段。纳皮尔筹也在十七世纪随着传教士进入了中国，在意大利传教士罗雅谷翻译的《筹算》（1628）中就介绍了与之类似的算筹^［24］。罗雅谷介绍的 算筹与纳皮尔设计的算筹并不完全相同（图14），例如他介绍的算筹仅有两面写有数字，而非纳皮尔所设计的四面均书写数字；《筹算》中介绍的算筹格子上斜线的方向与纳皮尔设计的相反，是左上到右下方向的，完成每个格子的计算后，需要按照从左上到右下的方向整理数字。

由于罗雅谷此后参与到《崇祯历书》的编修中，《筹算》也被归纳收录在《崇祯历书》中^［25］。这是格子乘法第二次传入中国。清初著名数学家梅文鼎（1633-1721）对西方传入的数学、天文学知识进行了全面的整理和研究，对于中国传统数学也有深刻的认识。他对传统算书中的铺地锦算法进行了发展，将每一步计算得到的结果纵向书写并按斜线排列（图15），在最终整理时则按水平线整理，这种做法除了数字书写方向外，其他方面与现代的乘法竖式类似。在接触到纳皮尔筹之后，梅文鼎也对这种算筹做出了改进，使之由竖直算筹变为横筹，更适合汉字的书写习惯，又用半圆形格子代替了原本的三角形，计算时将几块算筹拼接，两个半圆会拼出一个整圆，同一个整圆中的数字在同一位上（图16），这种算筹在辨认数字位数时更加直观。此后戴震（1724-1777）、江大健等人也都对纳皮尔筹有自己的见解，并做出了改动^［25］16。

4 结语

格子乘法在公元10世纪左右于印度-阿拉伯算术中诞生并得到应用，斐波那契于1202写作的《计算之书》将这种算法引入欧洲；此后格子乘法在阿拉伯地区继续发展，并于最晚14世纪末产生了新的形态，这些新的格子乘法在天文工作者和商人群体中被广泛使用，并随着西阿拉伯与欧洲的贸易往来再次于15世纪进入欧洲；在欧洲，格子乘法的形式得到了丰富，其形式也启发了纳皮尔筹的发明；13-15世纪的中国与 东阿拉伯国家存在军事、贸易、文化等多方面交往，阿拉伯的格子乘法也随之进入中国，并在中算家的努力下实现了本土化，而产生自欧洲的纳皮尔筹也在17世纪早期随着传教士进入中国。格子乘法在阿拉伯、 欧洲和中国之间的传递并非一次性完成的，而是在各文明长期的接触与交往中多次传播。从这一算法传播路径可以看出，13-17世纪的亚欧大陆在知识文化领域存在着频繁的交流。

随着乘法熟练度的提升，使用格子乘法或其衍生的纳皮尔筹的必要性不断降低，但对于刚接触乘法计算的人，这一算法工具能够有效保障计算准确性，因此具有一定的实用价值，例如人教版小学数学四年级上册的教材中，在讲解三位数乘两位数的乘法时就给出了格子乘法的计算方法^［27］。

参考文献

[1] 潘红丽，潘有发.“铺地锦”史话［J］.珠算与珠心算，2010（1）： 53-56.

[2] 李俨.中国算学史［M］.上海：商务印书局，1937：234-235.

[3] 钱宝琮.中国数学史［M］.上海：商务印书局，1964：226.

[4] 郭书春.中国科学技术史：数学卷［M］.北京：科学出版社，2010：510.

[5] SWETZ F J. Capitalism and arithmetic： The new math of the 15th century， including the full text of the Treviso Arithmetic of 1478， translated by David Eugene Smith［M］.Chicago： Open Court Publishing， 1987： 206-209.

[6] SAIDAN A S. The arithmetic of al-Uqlidisi. The story of Hindu-Arabic arithmetic as told in 'Kitab al-fusul fial-hisab al-Hindi' Damascus， A.D.952/3［M］.Dordrecht/Boston： D. Reidel Publishing Company，1978：50.

[7] AL-KĀSHĪ， AYDIN N， HAMMOUDI L. Al-Kāshī's Miftah al-Hisab：Volume I： Arithmetic［M］.Bern：Springer Nature Switzerland A G， 2019：52.

[8] GAZI A I. Hādhā Bughyat al-ṭullāb ʻalá Munyat al-ḥussāb［M］.Washington：Mansuri Collection （Library of Congress），1700：24.

[9] 斐波那契.计算之书［M］.劳伦斯·西格尔，英译，纪志刚，汉译. 北京：科学出版社，2008：21.

[10] CHUQUET N. Triparty en la science des nombres［M］. Rome： Imprimerie des Sciences Mathematiques et Physiques， 1881： 46.

[11] PACIOLI L. Summa de arithmetica， geometria， proportioni et proportionalita［M］.Venice： Paganino de Paganini， 1523：26-29.

[12] NAPIE J. Rabdology［M］//RICE B，GONZALEZ E，CORRIGAN A.The life and works of John Napier. Switzerland： Springer International Publishing，2017：660-664.

[13] 程大位.新编直指算法统宗［M］//靖玉树.中国历代算学集成.济南：山东人民出版社，1994：2277-2278.

[14] 李汝珍.镜花缘［M］.北京：国际文化出版公司，2019：414-122.

[15] 吴文俊，李迪.中国数学史大系［M］.北京：北京师范大学出版社， 1998：109.

[16] 张丘建，甄鸾，李淳风，等.张丘建算经［M］.上海：商务印书馆，1939：1.

[17] 夏鼐.元安西王府址和阿拉伯数码幻方［J］.考古，1960（5）：23-26.

[18] 佟建华.元中都遗址出土阿拉伯幻方之研究［J］.中国国家博物馆馆刊，2013（3）：76-83.

[19] 王正书.上海浦东明陆氏墓记述［J］.考古，1985（6）：540-549.

[20] 郭津嵩.西征庚元历撒马尔干的中国历法：耶律楚材的“西征庚午元历”及其“里差”法考辨［J］.中华文史论丛， 2012（1）：279-310.

[21] 王一丹.元代传入中国的波斯阿拉伯语典籍：从《秘书监志》中的“回回书籍”说起［J］.新丝路学刊，2019（2）：135-147.

[22] 陈美东.中国科学技术史：天文学卷［M］.北京：科学出版社，2003：562-580.

[23] 陈久金.贝琳与《七政推步》［J］.宁夏社会科学，1991（1）：26-31.

[24] 徐光启，潘鼐.崇祯历书：全二册：附西洋新法历书增刊十种［M］.上海：上海古籍出版社，2009：1511-1532.

[25] 郭世荣.纳贝尔筹在中国的传播与发展［J］.中国科技史料，1997（1）：14.

[26] 梅文鼎.笔算［M］//梅文鼎.历算全书. 影印文渊阁四库全书子部天文算法类. 台北：商务印书馆，1982：862.

[27] 人民教育出版社小学数学教材编委会.数学：四年级上册［M］.北京：人民教育出版社，2022：48.

基金资助

国家社科基金冷门绝学研究专项学术团队资助项目“中国珠算典籍与算法体系研究”(22VJXT002)

内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持资助项目“中国数学典籍数字化”(NMGIRT2407)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“中国数学典籍数字化研究团队”(2022JBTD016)