布劳威尔关于向量分布的研究

Brouwer's Research on Vector Distribution

摘要

布劳威尔通过将球面不动点定理和向量场联系起来，推动了布劳威尔不动点定理的产生，也促进了代数拓扑学的发展。基于相关原始文献，围绕布劳威尔关于向量分布的研究，分析布劳威尔对庞加莱指数工作的推广，及其对二维布劳威尔不动点定理新证明方法的思想演变过程，以期厘清布劳威尔将庞加莱的指数工作应用于一般连续向量分布的过程，及二维不动点定理新证明的具体思想。

Abstract

Brouwer promoted his fixed point theorem and the development of algebraic topology by linking the two topics of spherical fixed point theorems and vector fields. Base on the related original literature and focused on Brouwer's research on vector distributions， Brouwer's generalization of Poincaré's work on exponent and the process of evolution of the idea of the new proof method of Brouwer's fixed point theorem in two dimensions were analyzed， and hence to clarify that Brouwer had applied Poincaré's work on exponent to the general process of continuous vector distributions， and provide a new proof of his fixed point theorem in two dimensions and give the specific proof idea of it.

Graphical abstract

关键词

布劳威尔 / 庞加莱 / 向量分布 / 球面不动点定理 / 向量场奇点

Key words

Brouwer / Poincaré / vector distribution / spherical fixed point theorem / singularities of vector field

在代数拓扑学中，布劳威尔不动点定理（以下简称布氏定理）被誉为最优美且被广泛引用的定理之一^［1］，它最初由荷兰数学家布劳威尔（L. E. Jan Brouwer， 1881-1966）提出。1909年，布劳威尔证明了布氏定理的二维情况，1910年，布劳威尔又给出一个证明，作为S^{\mathrm{2}}连续向量场上至少存在一个奇点的推论。1912年，布劳威尔给出了映射度的概念，并由此得到方体I^n到I^n的连续映射总有一个不动点。这开辟了日后不动点理论的先河，而且是现在所知晓的布氏定理的一般情形。

事实上，从1909到1910年，布劳威尔对于二维情形下布氏定理的证明方法有所改变，这主要是因为他将球面不动点定理与向量场奇点连接，但也正是这一改变，直接导致了一般情形下布氏定理的产生。

现有研究在讨论布氏定理的历史时，大都仅对其证明思想方法进行简要概述^［2⁃6］，并未探讨其证明方法的转变及原因，也并未阐明布劳威尔在阿达玛的提示下对指数概念分析的进一步工作。

鉴于此，本文将探讨布劳威尔改变二维情形下布氏定理证明方法的原因，以及推进其关于指数工作的路径。由此须聚焦布劳威尔关于曲面向量分布的三篇论文，以下分别简称为《向量分布Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ》。通过对这三篇文献的细致解读，将指出布劳威尔在二维情形下证明方法转变的具体原因，并分析他对于向量场奇点指数的研究，从而深刻理解布劳威尔早期的拓扑学思想。

1 庞加莱关于向量场的工作

庞加莱在1881年“关于由微分方程确定的曲线的报告”（Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle）中提到，一个完整的函数研究包括两个部分：一是定性部分，即由函数定义的曲线的几何研究；二是定量部分，即函数值的计算。他在其后进一步指出：

这种定性研究本身就具有极其重要的意义。事实上，许多重要的分析和力学问题都可以归结到这一点上。以三体问题为例：我们能否断言一个天体是否永远停留在天空的某个区域，或者它是否会无限地远离；如果两个天体之间的距离增加，它会无限地减小，还是会保持在某些界限之间？我们难道不能提出成千上万个可以通过定性地构建三个天体的轨迹来解决的问题吗？如果我们考虑更多的天体，那么行星元素的不变性问题，不就是一个真正的定性几何问题吗？我不指望去探索它的全部，但至少我想要突破它的边界，我将自己限制在一个非常特殊并且最自然的情况，即对一阶一次微分方程的研究。^[7]376

接下来，庞加莱考虑以下形式定义的曲线：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=X\left(x,y\right),\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=Y\left(x,y\right)，

其中X和Y是x和y的多项式。从一开始，其目标是研究解曲线的全局行为，也即考虑它们如何填充整个定义域，庞加莱认为这个定义域是一个球面（通过从x-y平面进行球极投影获得）。他指出，微分方程的局部研究表明，除了球面上的有限个点外，对于球面上每个点，都有一条唯一的解曲线（他称之为特征曲线）通过它。在奇点上，可能存在两条或有限多条解曲线，或者一组无限接近但从未到达该点的螺旋线。他分别称这三种类型的奇点为鞍点、结点或中心，以及焦点^［8］。

庞加莱把平面投影到与坐标原点相切的单位球面上，然后用微分方程将每一个确定的方向与球面上的一个点联系起来，这是数学史上第一次在一致紧致的流形上研究积分曲线的向量场。对于此类方程，庞加莱考虑其奇点，并引进指数的思想，得到了球面上流的庞加莱指数定理，即奇点中结点数N、焦点数F、鞍点数C之间的关系：N+F=C+2。在这里庞加莱处理的单值连续向量分布属于特定的代数类型。

2 对布劳威尔《向量分布Ⅰ》的浅析

1908年4月，布劳威尔前往罗马参加第四届国际数学家大会，他在给科特韦格（D. J. Korteweg， 1848-1941）的一封信中简短报告了他的经历和印象。庞加莱原计划在这次会议上发表他对“数学的未来”的看法，其中“微分方程”是其主题之一，但他在罗马会议期间病倒了，由其好友达布（J. G. Darboux）宣读他的演讲，鉴于布劳威尔给科特韦格的信中对 庞加莱演讲的高度评价，加之布劳威尔之前并未发表过微分方程的论文，这成为布劳威尔后续研究该主题的契机。

布劳威尔在《向量分布Ⅰ》（首页如图1所示）中利用微分方程研究了球面向量场的奇点，在该论文开头提到：

假设向量在任何地方都不为零或无穷大，那么它在任意点方向是唯一确定的，并且这个方向会从一点到另一点连续变化。通过将球放入欧几里得空间中，并将任意的球壳投影到其底面上，可以从皮亚诺定理推断出，在球的任意一点开始至少可以作一条曲线，使得它是向量分布的正切曲线。^[9]851

布劳威尔基于皮亚诺微分方程的存在性定理，得出在球面的任意一点都能够引出一条曲线，这条曲线被称为向量分布的正切曲线。他进一步引入了球面距离和β弧（它介于两点距离及其\sqrt[]{\mathrm{2}}倍之间）的概念，以此来分析正切曲线的局部性质。通过对正切曲线中追踪分支和回溯分支的性质进行细致分析，他证明了存在唯一的闭正切曲线。此外，他还发现在任何具有确定方向的连续向量分布中，至少存在一条单一的闭正切曲线。通过对这些闭正切曲线的性质进行分析，他得出了一个重要的结论，即向量方向不可能在球面上的每一点上都确定，从而得到：一个单连通双侧闭曲面上，连续变化的向量方向至少在一个点上是不确定的。

有鉴于此，布劳威尔直接推导得出《向量分布Ⅰ》的定理2：在一个单连通双侧闭曲面上，任何单值且连续的向量分布，至少在一个点上必须为零或无穷大。基于皮亚诺定理和对闭正切曲线性质的深入分析，他发现初始假设并不正确。同时，他还发现向量场的奇点与球面映射的不动点定理之间存在密切联系：“初步观察，二者似乎能够互相推导，然而并非如此，相反，它们相互补充。”^［9］857

之后，布劳威尔针对球面不动点与向量场奇点关系向阿达玛请教，在阿达玛写给布劳威尔唯一一封现存信件中，他建议采用庞加莱的形式来证明球面不动点定理。虽然阿达玛本人的推理是错误的，但他向 布劳威尔指出了庞加莱关于微分方程定性理论的工作，这对布劳威尔具有重要意义。在1909年12月24日布劳威尔写给阿达玛的回信中，他重新表述了阿达玛引用的庞加莱结果：

将“指数”这一概念应用于一般的连续向量分布时，庞加莱第一篇微分方程定性理论的论文第405页的推论Ⅰ就变成了以下内容：如果奇点个数是有限的，并且每个奇点都有一个有限的指数，那么所有这些指数的代数和等于2。^[10]154

布劳威尔希望从向量场奇点的性质中推导出球面的不动点定理，但他给阿达玛的推论还只是一个设想。为了充分实现它，他又写了两篇关于向量分布的论文^{［11⁃12］}，即《向量分布Ⅱ》和《向量分布Ⅲ》，在这两篇论文中，他对有限奇点集的性质作了进一步的分析。

3 对布劳威尔《向量分布Ⅱ》的浅析

在《向量分布Ⅱ》（首页如图2所示）中，布劳威尔 首先分析了闭曲线所界定的单连通区域\gamma内具有一致连续性且仅包含有限个奇点的向量分布的正切曲线。他发现，这些正切曲线要么形成一条简单的闭曲线，要么除了端点外，构成一条简单曲线的弧。进一步，他讨论了其追踪和回溯分支会出现以下四种情况：（1）在\gamma边界的一个点停止；（2）在一个零点停止；（3）进入一个简单的闭正切曲线；（4）螺旋式收敛至由一个或多个简单闭正切曲线构成的圆周。

接着，布劳威尔考虑了孤立奇点（用一条简单闭曲线c围绕孤立零点P，在c内部不再有其他零点）附近场的结构的第一种主要情况，并将c内部的正切曲线分成三类：（1）闭曲线，包含P点但不到达c点；（2）连接c上两点的曲线弧，但不包含P；（3）从P到c上一点的曲线弧（第三类的正曲线）或从c上的一个点到P点的曲线弧（第三类的负曲线）。

考虑到第三种类型的正切曲线必然存在，布劳威尔从构造一条第三类曲线开始，然后不断重复这种构造，得到的所有第三类曲线被他称之为P点附近的基础曲线系统。正基础曲线和一个任意负基础曲线将c的内域划分为有限个扇区，这些扇区可以分为以下两类。其中，第一类扇区有两种情况，第一情况是在点P的无限邻近处存在第二类曲线，布劳威尔将它们称为双曲扇区（hyperbolic sectors）（见图3）。第二种情况是在点P的无限邻近处不存在第二类曲线，布劳威尔将其称之为椭圆扇区（elliptic sectors）（见图4）。对于第二类扇区，布劳威尔将其称之为正（负）抛物扇区（parabolic sectors）（见图5），并将这种情况下的零点称为源点（source point）或消失点（vanishing point）。

对于孤立奇点附近场的结构，另一种主要情况是P的任何邻域都包含一条简单的闭正切曲线，P位于其中，并将第二种主要情况中的零点称为旋转点（rotation point）（见图6）， 布劳威尔得到：一个孤立奇点或者是一个旋转点，或者它的邻域可以被划分为有限个双曲、椭圆和抛物线扇区。

布劳威尔指出第一种主要情况的扇区划分形式虽然不是唯一确定的，但椭圆扇区的数量和双曲扇区的数量之差始终保持不变。

接下来，布劳威尔用简单闭曲线c'代替曲线c，其内域同样包含P，并且由正切曲线和正交曲线的弧组成。第二种主要情况已经符合这个要求，在第一种主要情况下，布劳威尔通过适当地修改那些界定双曲和抛物扇区的c的弧段，得到了通过一个只包围一个零点的简单闭曲线回路，向量在该回路方向上描述的总角度等于π（2+n₁+n₂），其中n₁代表椭圆扇区的数量，n₂代表双曲扇区的数量，这些扇区存在于不相交的正切曲线所覆盖的零点邻域。

用一个可以任意小的简单闭曲线围绕点P，并且保持其外部和其上的向量分布不变，布劳威尔在其内部通过构造特定的曲线和向量分布，将原始零点P转换为n个反射点和辐射点，从而得到一个具有有限个零点的有限连续向量分布，可以通过在这些零点附近的小范围内进行任意小的修改，转变成一个新的有限连续向量分布。新的分布能以有限个辐射点和反射点作为零点。

布劳威尔进一步得到了一条任意的正切曲线，它或者是连接两个辐射点的简单曲线弧，或者产生一个简单的闭正切曲线，该曲线将球面分成两个域，并且布劳威尔证明了这两个域中必须各有一个辐射点。

于是布劳威尔得到了《向量分布Ⅱ》的关键性定理8：球面上的一个简化分布至少有两个辐射点。

4 对布劳威尔《向量分布Ⅲ》的研究

在《向量分布Ⅲ》（首页如图7所示）中，布劳威尔首先提出了灌溉场（irrigating field）的概念，这是一种具有特殊性质的场，它不会出现螺旋形的正切曲线，也不会有旋转点作为奇点。在灌溉场中，奇点既不能拥有椭圆扇区，也不能有叶子。奇点或者是一个没有叶子的源点，或者是一个没有叶子的消失点，或者仅具有无叶子的双曲和抛物扇区，将这类奇点称为接触点。换言之，灌溉场中的奇点只能是源点、消失点或接触点。布劳威尔从源点开始，构造不相交的正切曲线，这些曲线最终会在不同的消失点上停止。通过迭代这种构造过程，在每个由现有正切曲线界定的曲线内，构造新的正切曲线，直到无法进一步构造新曲线为止。这种方法逐步构建了每个源点的灌溉区域（irrigation territory）（见图8），布劳威尔最终得到：一个灌溉场将球面划分为有限个灌溉区域，每个区域内部包含一个源点。

接着布劳威尔探索了具有有限个奇点的最一般的场，他假设在球面上存在一个任意的有限连续向量场，该场仅包含有限个奇点。假设N是这些奇点中的一个，那么他可以描述闭正切曲线与N的关系，即如果一条闭正切曲线上没有奇点，并且它包围的区域只包含N而没有其他奇点，他称这条闭正切曲线围绕N流动；如果它包含N且没有其他奇点，并且它所包围的区域内没有任何奇点存在，他就称这条闭正切曲线逆着N流动。布劳威尔由此定义了裸露奇点（naked singular point）和包裹奇点（wrapped singular point）。

布劳威尔对包裹奇点N区分为两种情况：第一种情况是没有围绕N流动的正切曲线，通过构造围绕N的正切曲线集合，定义了N的环流扇区（circumfluence sector）；第二种情况是存在一条围绕N流动的正切曲线。他继续讨论了从内到外和从外到内构建正切曲线集合的过程，并定义了环流区域。

布劳威尔进一步定义了广义的闭正切曲线：它是由多条简单正切弧组成的系统，这些弧不相交，并且具有循环有序的边界或奇点。他类比之前对裸露和包裹奇点的定义，对裸露和包裹边界进行了阐释，并通过裸露边界数量的两倍加上其包裹边界数量的三倍来理解场的阶数。布劳威尔提出了两种场的简化操作，将这个场简化为相同类型但阶数更低的有限个场。第一种简化操作涉及在给定场中构建闭正切曲线，这些曲线与确定的每个部分场一起，至少覆盖场的两个边界，且每个部分场的阶数都低于原始场。第二种简化操作关注包裹边界，通过构建环流区域及其可能的附加区域，使得每个剩余场的阶数同样低于原始场。

经过有限次应用这些简化操作后，原始场可以被逐步分解，或者只剩下那些无法再应用这两种操作的场。如果最终剩余的场不再包含闭正切曲线，就是灌溉场。如果这些剩余场不存在，那么原始场可以被正切弧组成的简单边界划分为有限个环流区域和附加区域，他称之为环流场。布劳威尔由此得到：在球面上具有有限个奇点的有限连续的向量场，可以通过由正切弧组成的简单边界划分为有限个灌溉场和有限个环流领域区域。

在《向量分布Ⅲ》的第三节中布劳威尔给出了二维布氏定理的又一证明，讨论了球面上的不动点定理，以及如何将球面上的连续一一变换与向量分布联系起来，正如其在该节开头所述：

在关于这个主题的第一篇论文中，我们在第857页将球面上的任意连续一一变换与向量分布联系起来，在该分布中，每个点的向量方向由连接该点与其像点的主圆上的最短弧确定。对于这种分布，奇点表现为：1. 变换下的不动点；2. 其对径点作为其像点的点。对于方向反转的变换以及保持方向的变换，后一种类型的奇点形成了一个闭集，这个集合是最具一般性的，这使得我们几乎不可能根据向量分布的性质，无论是通过第一篇论文的定理2，还是通过第二篇论文的定理8，来推导出保持方向的变换至少存在一个不动点。^[12]182-183

通过变换中推导出的另一种向量分布，布劳威尔消除了难以处理的点集所造成的困难，他通过变换构造了一个新的向量分布。在新的向量场中，通过每个点P画一个包含其像点P'和一个固定点O的圆，并用不包含O的圆弧PP'来确定P点的向量方向，且奇点被重新定义为点O、点Q（以O为像点的点），以及变换下的不动点。再通过研究点O和点Q的奇点性质，确定这些点在新向量场中的性质。通过绕点O的小圆周一圈，向量相对于小圆的切线转动的总角度为零，因此当简化奇点O时，会产生一个辐射点。当简化奇点Q时，对于保持定向的变换会产生一个反射点，对于方向反转的变换会产生一个辐射点。

因此，再根据上述的定理8，即在简化分布中必须存在两个辐射点，对于定向的变换，第二个辐射点只能由变换中的一个不动点提供，那么这样的点必然存在（至少有一个辐射点必须在球面变换下的不动点处取得），由此得知肯定存在变换下的不动点。继而布劳威尔证明了球面的连续一一变换，同时保持定向，则至少有一个不动点，这是二维布氏定理的又一新证明。

在《向量分布Ⅲ》第4节，布劳威尔进一步讨论了球面上有限连续向量场的奇点数量和结构的限制条件，如其开头所述：

现在我们将讨论以下问题：球面上有限连续向量分布的奇点个数不能为零，其个数在其他方面是否还有其他限制，以及根据第二篇论文的定理8，奇点的结构并不完全自由，是否还存在除该定理表达之外的其他限制。^[12]184

布劳威尔推广了上述论文中庞加莱的结果（完全在拓扑环境中），他首先定义了奇点的指数，即在欧几里得平面上，一个简单闭曲线围绕一个奇点的有限球极平面表示中，向量沿着该曲线绕一周所描述的总角度可以写成2kπ的形式，其中k称为奇点的指数。并指出对于一条简单闭曲线，若其围绕n个奇点，其指数分别为k₁、k₂、k₃、…、k_n，则向量在该曲线的内域的有限球极平面表示中绕一周所描述的总角度等于2π（k₁+k₂+…+k_n ）。

接着布劳威尔讨论了球面上两个半球的奇点，每个半球的奇点具有不同的指数，并且这些指数之和等于2。这是对球面上流的庞加莱指数定理的推广。

布劳威尔通过构建特定的向量分布证明除了某些特定的限制之外，奇点的集合不受其他任何限制，且阐述了在欧几里得平面上的有限连续向量分布的奇点（假设形成一个有限集），它们的数量和结构都不受任何限制。

5 结语

布劳威尔通过微分方程研究了向量场的奇点，发现其性质与球面映射的不动点定理之间存在密切联系，在阿达玛的建议下，他了解了庞加莱在微分方程定性理论方面的工作，考虑将“指数”这一概念应用于一般的连续向量分布，对有限奇点集的性质作了进一步的分析，从而在对球面上向量场奇点与不动点定理的研究过程中，给出了二维布氏定理的新证明。

通过分析庞加莱关于向量场指数和奇点的工作，以及布劳威尔关于向量分布的三篇论文，发现布劳威尔在探讨球面不动点定理与向量场奇点定理之间的关系时，为了从向量场奇点得到不动点定理，将庞加莱的指数概念推广到了更一般的向量分布中，既证明了布氏定理的二维情形，又在拓扑意义下得到了庞加莱结果的推广形式。

参考文献

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[13] 下转第 361 页）

基金资助

内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持资助项目“中国数学典籍数字化”(NMGIRT2407)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“中国数学典籍数字化研究团队”(2022JBTD016)