克莱罗定理的来源初探

A Preliminary Study on the Origin of the Clairaut's Theorem

摘要

17-18世纪，地球形状问题成为有争议的时代主题。克莱罗基于对地球形状问题的初步研究，结合他参与的拉普兰远征工作以及对牛顿工作的改进，最终于1738年提出克莱罗定理，暂时平息了这场争论。这一定理是物理大地测量学的早期尝试，同时也是几何学与流体静力学的有机结合，因而是科学史中具有重要研究价值的历史问题。基于相关文献，探讨克莱罗定理的来源，梳理克莱罗定理的提出过程，分析其提出该定理的思路和方法，有助于深刻理解地球形状问题的解决历程及由此产生的新思想，并从新的视角了解大地测量学的早期实践。

Abstract

In the 17th and 18th centuries， the figure of the earth was a highly controversial theme of the time. Based on the early research on the problem， combined with the measurement in the Lapland expedition he taken part， Alexis-Claude Clairaut proposed the Clairaut’s theorem in 1738， which put the controversy to rest temporarily. The origin of the Clairaut’s theorem is of the great worth to be studied for the history of science， which was actually not only an early attempt in physical geodesy， but also a perfect integration of geometry and fluid statics. Based on interpreting original documents， the background and origins of the Clairaut's theorem were traced in the paper for analyzing his thought process， especially the geometric methods， in order to have a good understanding of the process of solving the problem of the figure of the earth and the early attempts in physical geodesy.

Graphical abstract

关键词

地球形状 / 万有引力理论 / 牛顿 / 克莱罗定理 / 物理大地测量

Key words

figure of the earth / universal gravitation / Newton / the Clairaut’s theorem / physical geodesy

17-18世纪，地球形状问题困扰着科学界，牛顿（I.Newton，1643-1727）、惠更斯（C.Huygens，1629-1695）、卡西尼一世（J.D.Cassini，1625-1712）等都基于不同的理论和方法给出答案。由于无法验证，科学家们在长期的争论中，大致分成两派，即地球伸长派和地球扁平派，前者认为地球在两极被拉长，呈现为一个细长的椭球体；后者认为地球在两极被压扁，呈现为一个扁平的椭球体。

对于地球形状问题的讨论直到1743年才暂时得以平息，这主要是因为克莱罗在远征拉普兰进行实地测量之后，出版了《关于地球形状的理论：基于流体静力学原理》9

9 Théorie de la figure de la terre， tirée des principes de l'hydrostatique.

（以下简称为《地球形状的理论》）^［1］，并在书中阐述了今天被称为“克莱罗定理”的等式：

\alpha +\beta =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}q，

即地球重力扁率α与几何扁率β之和为一个常数，其中q为赤道上离心力与重力之比，与地球的周长和自转角速度有关。这个公式虽然形式简单，但是它能够合理解释当时的天文学、大地测量学中的观测结果，不仅阐明了地球是一个两极扁平的椭球体，而且对于地球的扁平程度进行了具体刻画。克莱罗通过这个定理将几何计算和物理测量综合起来，开辟了用物理方法研究地球形状的新时期，为物理大地测量奠定了理论基础^［2］，因而该公式对于探索地球形状、发展大地测量学都具有重要意义。

目前，已有一些文献梳理过地球形状问题的历史，如托德亨特^［3］（I. Todhunter）介绍了从牛顿出版《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》）到拉普拉斯（P-S. Laplace， 1749-1827）出版《天体力学》的近200年间，诸多科学家对研究地球形状问题所做的尝试。格林伯格^［4］（J. L. Greenberg）在其著作中详细论述了 18世纪早期的科学家所做的铺垫性工作以及在地球形状问题上牛顿理论对法国科学的冲击。另有一些通史类著作对17-18世纪地球形状争论的历史做过简要概述^［5⁃8］。但前人研究重在叙述历史，并未聚焦于 克莱罗本人，所以未能厘清克莱罗定理的背景和来源以及该定理在历史上的重要意义。

有鉴于此，本文旨在通过详细解读克莱罗有关地球测量的原始文献，在“为什么数学”^［9］的研究范式下，讨论克莱罗在怎样的时代背景下提出克莱罗定理，为什么他能够提出克莱罗定理从而刻画地球的扁平程度。分析他提出克莱罗定理的背景有助于了解17至18世纪欧洲科学界普遍关注的历史问题，并在历史背景下分析克莱罗定理在解决地球形状问题中所起的关键性作用，从侧面反映18世纪几何学与大地测量学之间的相互联系，进而揭示克莱罗定理在物理大地测量学中的重要地位。

1 两种地球形状观点的提出

1.1 里希尔的秒摆实验

人们对于地球形状的认识经历了漫长的过程^{［10⁃11］}。最先意识到“地球并不是规则球体”的是法国天文学家、数学家里希尔（J. Richer， 1630-1696）。

1666年，里希尔进入法国皇家科学院，并参与了在卡宴进行的探险考察。他在这一行程中的重要工作之一是测算卡宴的秒摆长度1

1 秒摆的长度是周期为1秒的摆锤的摆长。

，并将其与巴黎的秒摆长度进行比较。里希尔通过观测发现巴黎的秒摆比 卡宴的长11/4法分（ligne，1法分≈2.25毫米），约为6.2毫米。里希尔通过这一发现，得到了一个突破性结论：地球上不同地方的重力加速度不同，地球并不是一个规则球体。虽然当时很多人并不认为这一观察结果有多么重要，但是里希尔坚持将其记录在他1679年出版的《在卡宴进行的数学和物理观测》2

2 Observations astronomiques et physiques faites en l'isle de Caïenne.

中。因为摆的近似周期T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{l/g}会受到重力加速度g的影响，所以在地球表面不同位置进行实验，摆长不同就意味着重力加速度的不同。而根据里希尔的推测不难发现，他已经意识到，重力与地球形状之间存在某种联系，只是当时的科学家无法确定这种关系。事实上，只要沿着一条经线，依次测量出1°纬度对应的经线长度，再利用某一理论和相应的g值，就可确定地球的形状^［5］。

1.2 卡西尼家族的大地测量

1671年，法国建立了巴黎天文台，意大利天文学家卡西尼一世应法国国王路易十四的邀请，出任巴黎天文台第一任台长。1683年，在国王的要求下，卡西尼一世带领他的团队，为绘制精确地图而在法国境内开展了大地测量工作。1712年，卡西尼二世（J. Cassini， 1677-1756）成为第二任巴黎天文台台长^［12］。他于1720年出版了《论地球面积与形状》3

3 De la grandeur et de la figure de la terre.

，记载了他与卡西尼一世多年来的地球测量结果。

他们采用三角测量法，测量了从巴黎（48°50′10″N）南到科利乌尔（42°31′14″N），北到敦刻尔克（51°2′25″N）的子午线长度，发现南段子午线1°弧距长于北段，由此得出弧距递减的规律：在通过巴黎的子午线上，纬度每增加1°时，1°弧距之长将减少31托瓦兹（toises，1托瓦兹≈1.949米），并且根据这个规律得到从赤道到北极的1°弧距之长，如图1所示。图1共包含3栏，以第1栏为例，第1列表示北极高度，第2列表示天顶距，第3列表示子午线1°弧距。卡西尼家族根据测量结果得到结论：地球不是一个规则的球体，而是两极伸长的椭球体。

1.3 牛顿的万有引力理论

1672年，法国天文学家皮卡德（J. Picard， 1620-1682）通过三角测量法，利用13个三角形，沿着巴黎子午线测量了从巴黎南郊的马尔瓦辛（48°31′48″N）到亚眠（49°54′46″N）附近的苏尔登钟楼的距离。他得到的结果是赤道的每1°弧长为111 209.94米，由于地球一周为360°，于是得到赤道周长为40 035.578千米，因此地球半径为6 372米，与现代的结果非常接近。

牛顿基于皮卡德测量的数据，验证了他于1666年就已经提出的万有引力理论，并于1687年《原理》的卷3命题19问题3中，提出地球是两极略扁的椭球体的观点：

因为行星赤道附近能受更多的太阳光热，所以赤道处的密度就要比极点处的大。此外，随着地球的自转运动引力也会减小，所以地球在赤道处要比极点处隆起得更高（假设其物质的密度均匀）。^[13]

此外，在《原理》的卷3命题20问题4中，牛顿以万有引力理论解释了里希尔的秒摆实验问题：

里希尔先生在卡宴岛反复做这一观察，每周一次，做了10个月，还把记录的观测数据与他在法国观测的作比较。如果这位先生的观测数据值得信赖，则地球的赤道就要比极点隆起得更高，且高出约17英里。^[13]

由此可见，17世纪末18世纪初，关于地球形状的讨论有两种主要的观点：卡西尼一世、二世基于大地测量结果认为地球是两极伸长的椭球体，而牛顿基于万有引力理论认为地球是两极略扁的椭球体。此时，牛顿理论尚未在欧洲大陆广泛传播，法国科学家们仍坚信卡西尼家族的实地测量结果更加客观，尤其是约翰· 伯努利（J. Bernoulli， 1667-1748）等数学家将地球伸长理论与笛卡儿（R. Descartes， 1596-1650）的漩涡理论联系起来，增加了其可信度。因此，地球形状问题成为英国和法国科学家之间争论的主要问题之一。

2 克莱罗定理的提出过程

2.1 克莱罗对于地球形状的早期研究

18世纪30年代，克莱罗就已经开始关注地球的形状了，受麦克劳林（C. Maclaurin， 1698-1746）的影响，他放弃了分析学方法，转而采用几何学方法研究地球形状问题^［7］。

1733年，克莱罗向巴黎皇家科学院提交了一篇论文，题目为《对卡西尼线的几何测定：通过多种方法推算地球的大小和形状》4

4 Détermination géométrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini， avec plusieurs méthodes d'en tirer la grandeur et la figure de la Terre.

。这是克莱罗关于地球形状的第一篇论文。基于曲面上两点间的最短距离，他发现可用四种方法来思考地球形状的问题。

（1）经线上某一点与极轴之间的距离为s，如果地球是伸长的，则s比球体中的对应距离小，若地球是扁平的，则s比球体中的对应距离大。

（2）在纬度相同的情况下，某一地点的经度在细长椭球体上要比在球体上更大。因此，只需要在地球是球形的假设下，选择一条纬度已知的纬线，通过求解球面三角形，计算其上任意一点的经度，如果通过观测得到的经度更大，则椭球体是拉长的，反之则为两极压扁的。

（3）在经度相同的情况下，在细长椭球体中，经线的斜率更大，在扁平的椭球体中，经线的斜更小。

（4）在相同的经度下，两极伸长的椭球体中经线弧长比球体中的弧长更小，而在压扁椭球体中则相反。

克莱罗表示第四种方法在实际操作上的可行性要高于前三种方法，因为需要测量的量不易受到观测误差的影响^［14］。这篇文章是卡西尼方法的延续，从理论上给出了四种判定地球是伸长或扁平的条件，但是 克莱罗并没有给出有关地球形状的结论。

1735年，克莱罗又向巴黎皇家科学院提交了一篇文章，题目为《关于卡西尼先生认识地球形状的新方法》5

5 Sur la nouvelle méthode de M. Cassini， pour connoître la figure de la Terre.

。这是基于卡西尼二世此前提出的一种不需要天文观测的方法：站在某座山的山顶，可以观察到北面和西面的海平面都下降到了地平线之下。如果在这两个方向上的下降高度是相同的，则说明地球是规则的球体；如果南北方向的下降高度小于东西方向的下降高度，则地球是两极处被拉长的；如果南北方向的下降高度大于东西方向的下降高度，则地球是在两极被压扁的。对此，克莱罗在不改变其基本原理的情况下，提出了一种计算预期结果更为简单的新方法。

在这篇文章中，克莱罗对当下比较重要的三位科学家的理论进行了总结：卡西尼二世认为地球是两极拉长的，且极半径与赤道半径之比为94/93；牛顿认为地球是压扁的，且极半径与赤道半径之比为229/230；惠更斯也认为地球是两极扁平的，且极半径与赤道半径之比为577/578^［15］。但是直到此时，克莱罗也只是基于卡西尼二世的方法对卡西尼父子、牛顿、惠更斯的结果进行了计算，并未直接指出哪位科学家的理论更加正确、结论更加符合实际。为了得到更加确切的结论，进行大规模的实地测量成为迫在眉睫的首要任务。

2.2 克莱罗入选拉普兰测量队

1728年，法国科学院院士莫佩尔蒂（P-L. Maupertuis， 1698-1759）访问伦敦，随后成为英国皇家学会会员。也是因为这次旅行，莫佩尔蒂成为法国第一个接受牛顿理论的科学家，此后也一直支持并宣传牛顿理论，地球扁平观点就是其中之一。他在1732年出版的《天体形状论》（Figures des astres）中表示，卡西尼家族的数据与牛顿的万有引力理论并不相符，他认为问题主要来源于观测数据不可靠，应该进行更精确的测量以修正结果。由于莫佩尔蒂在法国科学院宣扬牛顿的万有引力理论，引发了以卡西尼二世为首的法国 科学院院士的不满，因而地球形状问题逐渐演化为法国科学院内部的争论焦点之一。

于是，为解决纷争，更重要的是，为了依据测量结果绘制更加精确的地图，法国科学院在1735年派出两支测量队，分别在北极圈附近拉普兰地区（66°N）与南美秘鲁地区（2°N）实测子午线长度，并与巴黎子午线长度做比较，以此来确定地球形状。拉普兰远征的领导者就是莫佩尔蒂。

在选择测量队成员时，莫佩尔蒂认为熟练的天文观测技巧只是基础，更重要的是应该有数学经验并对牛顿万有引力理论感兴趣，测量工作应该是地理学、大地测量学、制图学、天文学、数学等多学科专业知识的有机结合，其中每一个环节都必须为世人所信服。所以，莫佩尔蒂的测量队成员包括了法国数学家克莱罗、瑞典皇家科学院院士摄尔修斯（A. Celsius， 1701-1744）以及法国天文学家勒蒙尼尔（P. C. Monnier， 1715-1799）等多位欧洲知名科学家^{［4，8，11］}。

克莱罗完全满足莫佩尔蒂对测量队成员的要求。他年少成名，18岁已成为法国科学院院士^［16］，其工作包含三维空间几何学的研究，且当时已经发表了《一系列有关地球形状问题》的研究论文^{［14⁃15］}。莫佩尔蒂从英国回到法国之后，克莱罗即与他有密切的联系。1735年夏天，他们曾一起在卡西尼二世的庄园里学习实地测量和天文学知识，这是当时的数学家们所不具备的技能，也为克莱罗在实地测量中灵活利用几何知识奠定了理论基础。但是克莱罗和莫佩尔蒂都认为卡西尼家族的传统测量方式不能满足当下的需求，所以在远征人员以及仪器的选择上，莫佩尔蒂尽量选择与卡西尼家族关系不大的科学家以及当时更为先进的英国仪器^［11］。

2.3 克莱罗定理的提出

1736年，克莱罗发表了《关于在不同纬度用几条子午线弧线测量地球的论文》6

6 Sur la mesure de la Terre par plusieurs arcs de méridien pris à différentes latitudes.

。在这篇论文中，克莱罗首先肯定了这次测量子午线最北端弧长的工作和秘鲁的测地工作是非常必要的，他指出此前所采用的大地测量方法具有局限性，并且提出此次拉普兰远征应该采用新的测量方法，即在赤道和北极附近分别测量1°的纬度所对应的经线弧长：

因为没有确定从赤道到极点的子午线曲率是递增还是递减的，所以我们不能草率地通过比较赤道和法国的子午线长度来确定地球是拉长的还是扁平的。但是，如果我们考虑1°的纬度所对应的经线长度在上述两个位置的不同，就可以更加确定地得到地球的形状……现在，如果我们在不同纬度处测量超过2°所对应的数据，就可以知道我们的假设在自然界中是否成立。^[17]

在远征过程中，克莱罗更加肯定了万有引力理论的正确性，但其中仍有一些未解决的问题，例如：牛顿在《原理》中，以地球是均质流体为假设，得到了两个定理^{［13，18⁃19］}：（1）在万有引力理论下，绕轴旋转的均质流体物质的平衡状态的形状是两极扁平的旋转椭球体，其扁率\alpha =\frac{a-b}{a}（a，b分别是赤道半径、极半径）约为1/230；（2）重力加速度由赤道向两极增加，且其变化与\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\phi（\phi为地理纬度）成比例。但是牛顿只给出了定理，并没有给出扁率为1/230的原因，第2个定理虽然解释了地球表面上不同位置重力加速度不同的现象，但也未给出重力加速度与地理纬度之间的具体关系。

为了解决这些问题，克莱罗经由摄尔修斯提交给英国皇家学院一篇拉丁语论文，题目为《一些研究证明，根据万有引力理论，地球须以距离平方的反比接近椭球体》7

7 Investigationes aliquot， ex quibus probetur Terræ figuram secundum Leges attractionis in ratione inversâ quadrati distantiarum maximè ad ellipsin accedere debere.

，并发表在1737-1738年的《哲学汇刊》上。在这篇文章中，克莱罗赞同牛顿关于“地球是两极略扁的椭球体”的结论，他经过计算，证明了地球作为一个绕轴旋转的均质球体，最终会形成一个两极扁平的椭球体，因此证明了上述2个定理中的第1个定理^［20］。虽然在克莱罗之前，苏格兰数学家斯特林（J. Stirling， 1692-1770）也发现了牛顿证明的缺失，但是他并没有将其补充完整。

1738年，在远征结束后，克莱罗发现实际的测量结果与牛顿理论并不完全相符，于是他对于地球的构成提出一个大胆的假设，他既不像牛顿那样认为地球是均质流体的平衡状态，也不像惠更斯那样认为地球质量集中在地心，而是假设地球是由许多密度不同的均匀物质层圈组成的椭球体。这些椭球面都是重力等位面，且各层密度由地心向外逐层按一定法则减小，他还指出，该法则可由代数方程来表示。于是克莱罗将研究结果写成一篇法语论文提交给英国皇家学院，剑桥大学卢卡斯数学教授约翰·科尔森（J. Colson， 1680-1760）认识到该论文的重要价值并将其翻译为英文，以题目《关于绕轴旋转的行星形状的研究，假设密度从中心向表面连续变化》8

8 An inquiry concerning the figure of such planets as revolve about an axis， supposing the density continually to vary， from the centre towards the surface.

，发表在1737-1738年的《哲学汇刊》上。克莱罗在文章的开头说：

即便我的假设可能毫无用处（如果秘鲁的数学家现在所做的观察与我们在北方的观察所需的轴比例与艾萨克爵士的椭球体所得到的比例不同），我仍然认为几何学家们会喜欢这篇论文中所包含的思考，因为它们至少是有趣的问题。^[21]

此间提及的“包含的思考”“有趣的问题”，都是指基于万有引力理论，对于地球的形状问题以及对于重力加速度与纬度间关系的讨论，虽然以往数学史或大地测量学史文献常认为克莱罗在1743年出版的《地球形状的理论》中第一次提出了克莱罗定理，但在这篇论文中可以看到早在五年前克莱罗定理已经出现了，即：

\frac{p\mathrm{\text{'}}-p}{p}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{4}m}-\alpha，

其中p\mathrm{\text{'}}为极点重力，p为赤道重力，α为地球的几何扁率，m为赤道处重力与离心力的比值，这是一个常数288，所以上述公式又可以写为\frac{p\mathrm{\text{'}}-p}{p}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{115}}-\alpha。

1743年，克莱罗基于1737年与1738年的两篇论文，对其中的理论和方法进行整理和完善，出版了《地球形状的理论》，全书分为两个部分，前一部分为流体静力学，也是地球内部结构的理论基础；后一部分为地球形状的确定。在书中第二部分，克莱罗再一次提出了克莱罗定理，且形式略有不同：

\frac{p\mathrm{\text{'}}-p}{p}=\mathrm{2}\epsilon -\alpha，

其中，ε为假定地球整体是均质流体时的扁率。由于此前莫佩尔蒂已经对均质椭球体做过详细研究，得到\epsilon =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}q，q为m的倒数，所以这两个公式是等价的。

比起牛顿对地球扁率的刻画，克莱罗的工作更加细致，因为他在公式中引入了极点重力与赤道重力，表示成上式左侧的分数\frac{p\mathrm{\text{'}}-p}{p}，从而将物理测量与几何计算联系在一起，使得人们不仅了解地球是两极扁平的椭球体，而且对于“地球有多扁”也有了直观的印象。1873年，托特亨特在其著作^［3］中称分数\frac{p\mathrm{\text{'}}-p}{p}为 克莱罗分数（Clairaut's fraction），即现在所说的重力扁率β。因此，用现代符号表述克莱罗定理，又可以写为\alpha +\beta =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}q。其中α为地球的几何扁率，β为重力扁率，q为与地球的赤道周长和自转角速度有关的常数。

因此，克莱罗定理将重力扁率与几何扁率联系起来，实现了通过重力测量确定地球形状的目标，也就是从可测量的重力与离心力出发，通过一个简单公式，直接计算得到地球的形状。根据克莱罗给出的定理，地球形状为两极略扁的椭球体，且几何扁率为1/304，与现在常用的地球扁率1/298.256相差无几，至此，不仅地球扁平理论得到证实，也为物理大地测量学奠定了理论基础。

同时，在《地球形状的理论》中，克莱罗进一步探究了牛顿的第二条结论，此前牛顿只是指出重力加速度由赤道向两极增加，且其变化与\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\phi（\phi为地理纬度）成比例，但并未阐明其中的比例关系，克莱罗得到重力加速度随纬度φ的变化规律为p\mathrm{\text{'}}=p(\mathrm{1}+\beta \mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\phi )。由此可得克莱罗定理的等价形式：

p\mathrm{\text{'}}=p[\mathrm{1}+(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}q-\alpha )\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\phi ]。

因此，克莱罗不仅验证了牛顿万有引力理论的正确性，而且还进一步用公式给出了各个物理量之间的关系。基于对牛顿万有引力理论的深刻理解，他在1745年的科学院年鉴中对牛顿的《原理》给出了很高的评价，称：

《自然哲学的数学原理》这本名著是物理学一场伟大革命的开端，它的杰出作者牛顿先生所遵循的从事实到原因的方法，为这门在此之前一直处于猜测和假设的黑暗中的科学带来了数学之光。^[22]

同年，克莱罗开始与夏特莱夫人合译法语版《原理》，并于1756年出版，使得牛顿理论开始在法国广泛传播。正因为克莱罗定理的提出，克莱罗被认为是继牛顿之后在地球形状问题上所做贡献最多的科学家^［4］。

3 结论

人类对地球的认识经历了漫长的过程。17-18世纪对于地球上不同位置物体所受重力的测量结果，引出了地球形状到底是伸长还是扁平的问题。科学家们普遍关注、亟待解决的问题是，地球上不同位置的重力与地球的形状之间存在怎样的关系。虽然此前卡西尼父子根据测量结果得出了地球是两极被拉长的椭球体，但是其测量理论和方法均存在不足。因而随着牛顿的万有引力理论从英国传入欧洲，法国科学家们在接受、验证、传播牛顿理论的过程中发展出了很多新成果，克莱罗定理就是其中之一。

在《原理》中，牛顿指出地球是赤道隆起、两极扁平的椭球体，但他的前提是地球的内部结构是均质的，在这样的假设下，他推算得到地球的长短轴之差与长轴之比为1/230。虽然克莱罗在研究《原理》的过程中，认可牛顿的结论，但他大胆质疑、小心求证，指出远征过程中测得的数据与牛顿假设并不完全相同，所以他尝试假设地球由多层均质流体嵌套而成，是在绕轴旋转平衡状态下形成的两极扁平的椭球体，并通过这一几何模型得到了克莱罗定理。这一定理有力佐证了牛顿万有引力理论，也为物理大地测量学奠定了理论基础。

虽然克莱罗定理暂时给出了地球形状问题的答案，但是牛顿的万有引力理论在当时的法国科学院并未得到普遍认可，测量队所采用的工具、方法也一直是科学家们质疑、抨击的对象。直到1808年，在克莱罗去世53年之际，拉普拉斯高度赞扬了克莱罗的《地球形状的理论》，他认为：“所有这些结果的重要性和它们被呈现的优雅性，使这部作品成为最美丽的数学著作之一。” ^［3］在推动再版的过程中，拉普拉斯保留了其中的所有内容，仅仅纠正了几处印刷错误。克莱罗定理作为地球形状与流体静力学之间的密切联结，在此后200年间仍被广泛使用。

参考文献

[1] CLAIRAUT A C. Théorie de la figure de la Terre， tirée des principes de l'hydrostatique［M］.Paris： David fils， 1743：158-305.

[2] 孔祥元， 郭际明， 刘宗泉.大地测量学基础［M］. 2版. 武汉： 武汉大学出版社， 2010：8-95.

[3] TOUDHUNTER I. A history mathematical theories of theories of attraction and the figure of the earth， from the time of Newton to that of Laplace［M］. London：Macmillan and Co， 1873：1-230.

[4] GREENBERG L J. The problem of the earth's shape from Newton to Clairaut， the rise of mathematical science in eighteenth-century Paris and the fall of “normal” science［M］. London：Cambridge University Press， 1995：1-224.

[5] 莫里斯·克莱因. 古今数学思想：第二册［M］. 石生明， 万伟勋， 孙树本， 等译. 上海： 上海科学技术出版社， 2014：69-71.

[6] FERREIRO L D. Measure of the earth［M］. New York： Basic Books， 2011：1-30.

[7] BALL W W R. A short account of the history of mathematics［M］. New York：Dover， 2010：307-308.

[8] HOARE M R. The quest for the true figure of the earth［M］. New York： Routledge， 2017：1-49.

[9] 曲安京.近现代数学史研究的一条路径：以拉格朗日与高斯的代数方程理论为例［J］. 科学技术哲学研究，2018，35（6）：67-85.

[10] 王战. 人类对地球形状认识的辩证过程［J］， 西北大学学报（自然科学版）， 1992 （2）：237-248.

[11] 许良. 从地球形状之争看科学理论评价与选择的复杂性［J］. 科学技术与辩证法， 1995 （6）：33-35.

[12] 于京东. 现代国家治理中的地图绘制与国家建构：卡西尼地图与近代法兰西的国家测绘工程［J］， 南京大学学报（哲学·人文科学·社会科学）， 2020， 57（6）：130-144.

[13] NEWTON I. Philosophi naturalis principia mathematica［M］. Londini：Regalis Societatis，1687： 422-426.

[14] CLAIRAUT A C， Détermination géométrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini， avec plusieurs méthodes d'en tirer la grandeur et la figure de la Terre［J］. Histoires （& Memoires） de l'Academie Royale des Sciences， 1733： 406-416.

[15] CLAIRAUT A C. Sur la nouvelle méthode de M. Cassini， pour connoître la figure de la Terre［J］. Histoires （& Memoires） de l'Academie Royale des Sciences， 1735：117-122.

[16] PIERRE B. La vie et l'œuvre de Clairaut［J］. Revue d'histoire des sciences et de leurs applications， 1951，4（1）：13-40.

[17] CLAIRAUT A C. Sur la mesure de la Terre par plusieurs arcs de méridien pris à différentes latitudes［J］. Histoires （& Memoires） de l'Academie Royale des Sciences， 1736：111-120.

[18] 胡明成， 鲁福. 现代大地测量学：上册［M］. 北京： 测绘出版社， 1993：7-16，383-388.

[19] H. 莫里茨. 地球形状：理论大地测量学和地球内部物理学［M］. 陈俊勇， 左传惠，译. 北京： 测绘出版社， 1992：1-13.

[20] CLAIRAUT A C. Investigationes aliquot， ex quibus probetur Terræ figuram secundum Leges attractionis in ratione inversâ quadrati distantiarum maximè ad ellipsin accedere debere［J］. Philosophical Transactions of the Royal Society of London ： Giving some accompt of the present undertakings， 1741， 40（445）：19-27.

[21] CLAIRAUT A C. An inquiry concerning the figure of such planets as resolve about an axis， supposing the density continually to vary， from the centre towards the surface［J］. Philosophical Transactions of the Royal Society of London ： Giving some accompt of the present undertakings， 1741， 40（449）：277-306.

[22] CLAIRAUT A C. Du systéme du monde dans les pricipes de la gravitation universelle［J］. Histoires （& Memoires） de l'Academie Royale des Sciences， 1745：329-364.

基金资助

内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持资助项目“中国数学典籍数字化”(NMGIRT2407)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“中国数学典籍数字化研究团队”(2022JBTD016)