戴煦《外切密率》“降位迟速”问题探赜

Exploration of the Problem of “Convergence Speed” in Dai Xu's Wai Qie Mi Lü

摘要

“杜氏三术”传入后，从明安图开始的中算家在证明和推广割圆捷术的同时，也关注其中的“降位迟速”问题。他们对这一问题的认识不尽相同，均考虑到了计算效率的问题，但在具体实施计算的过程中，戴煦对“降位迟速”问题的见解独到、处理方式极具价值。通过分析《外切密率》中的具体算例，从“降位迟速”问题的认识、弧度的分限、尾数的处理、误差的判断等方面，阐明戴煦所设计的“降位迟速”算法及所含的算理，为比较各算家所用“降位迟速”算法及廓清算法改进的路径提供借鉴。

Abstract

After the introduction of the “Dusht-sanshu”（three expanded formulas for power series introduced to China by Pierre Jartoux） to China， Chinese mathematicians starting from Ming an-tu not only demonstrated and promoted the cutting circle technique， but also paid attention to the problem of “convergence speed” in it. Although their understanding of the issue was not entirely the same， they all considered the issue of computational efficiency. It was found that Dai Xu's unique and valuable insights on the problem of “Convergence Speed” were extremely valuable in the implementation of the calculation process. By analyzing specific examples in the book Wai Qie Mi Lü， Dai Xu's design of the “convergence speed” problem and its underlying algorithms from the aspects of describing the “convergence speed” problem， as well as the limiting the curvature， handling the tail number， and analyzing errors， were traced in the paper， hence to provide references for comparing the “convergence speed” algorithms used by different mathematicians and clarifying the improvement paths of the algorithms.

关键词

《外切密率》 / 降位迟速 / 算法设计 / 误差判断

Key words

Wai Qie Mi Lü / convergence speed / algorithm design / error judgment

在清代的无穷级数（清时称“割圆捷术”）研究中，中算家已认识到了“降位迟速”（即收敛快慢）问题。如明安图在其著作《割圆密率捷法》（以下称《捷法》）中遇到的“降位迟速”问题，实际上是收敛速度快慢的问题，其后研究割圆捷术的中算家都遇到了同样的问题^［1］。直至《代数学》和《代微积拾级》传入中国之后，中算家开始深入地了解并研究级数收敛问题。戴煦（1805-1860）所著的《外切密率》（1852年）四卷主要讨论了正切、余切、正割、余割和弧度之间的相互关系，正确创立了正切、余切、正割、余割的级数展开式。有了这些展开式，再加上前人对正弦、余弦、正矢、余矢展开式的研究，中算家长期以来关于“方圆”互通的研究大体上有了满意的结果^［2］。从《外切密率》的具体推导来看，戴煦提出了弧度分限技巧与误差判断方法，他对“降位迟速”问题的理解与运用比同时期中算家的认识更为深刻。

对于这一问题，已有学者试图予以解答，如王荣彬^［3］、甘向阳^［4］、特古斯^［5］、王红杉^［1］从不同角度讨论了清代割圆捷术中的“降位迟速”问题，给出了其中的主要操作，特别是文献［5］提出了不少颇具启发性的议题。整体而言，现有研究缺乏对戴煦《外切密率》中“降位迟速”问题的具体分析，有待深入发覆。本文以戴煦《外切密率》中的“降位迟速”问题为例，从多个方面论述他对该问题中算法原理的总结与探求。

1 《外切密率》中“降位迟速”问题的方法分析

1.1 “降位”的认识

“降位”一词较早出现在《数理精蕴》“借根方”的内容中，但其讨论的对象不是割圆捷术问题。明安图在《捷法》中以“借根方”入算时引入“降位”一词，如“降二位”即二率降为四率、四率降为六率，……此之言降，犹今之言升，虽形似相忤，意义则是相通的^［6］。明安图在《捷法》中提到“得数降位较迟，须多求数次，始为密焉”^［7］，说明他已注意到“降位快慢”的问题，并以45°为分界角改变“降位”速度。实质上，当角度大于45°时，级数并不一定收敛。借45°弧不仅可以减少运算量，避免大乘大除，而且可以使其“降位”更快。明安图的这一做法为后来的中算家所沿用。

戴煦在《外切密率》“弧背求切线算式”中引入了“降位迟速”的问题“位不降，则虽有其术而不适于用”^［8］还对弧背与弦矢互求术中的“降位迟速”问题有准确判断，“弧背求弦矢术，分母逐率加大，而分子均为单一，故其降位甚易”^［8］。不同的是，弧背与切线互求术“降位”较难，如不变换则不具适用性，“若弧背求切线，则分母逐率加大，而分子亦逐率加大，故其降位较难”^［8］。又因本弧求切线与余弧求切线两术“降位”难易不同，利用本弧\alpha与余弧（90°-\alpha）的关系，可将两术结合使用，“惟本弧求切线、余弧求切线，两术并用，而后一象限内之切线，可以遍求”^［8］，比较两式：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha =a+\frac{\mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}!\cdot r^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{16}{a}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{5}!\cdot r^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{272}{a}^{\mathrm{7}}}{\mathrm{7}!\cdot r^{\mathrm{6}}}+\frac{\mathrm{7936}{a}^{\mathrm{9}}}{\mathrm{9}!\cdot r^{\mathrm{8}}}+\cdots \cdots，

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha =\frac{r^{\mathrm{2}}}{(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}-\frac{\mathrm{2}(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{8}{(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot r^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{32}{(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{7}!\cdot r^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{1152}{(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}^{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}\cdot \mathrm{9}!\cdot r^{\mathrm{6}}}+\cdots \cdots。

观察二术中各率分子与分母的大小及其变化规律，诚如戴煦所云“余弧求切线，有间位奇数分母，故 分母大于本弧求切线，而分子转小于本弧求切线”^［8］，以余弧求切线，其“降位”较易于本弧求切线。同样的，本弧求割线“降位”较难，余弧求割线“降位”较易。

在切线求弧背中，“虽分本弧、余弧二术，而四十五度前后各切线，究与半径相近，而降位甚难”^［8］，故戴煦在切线求弧背算式之前给出了切线求距弧术，从而减少计算量，这与《捷法》中借弦求弧的方法相同。而在割线求弧背算式中，虽然也分为了本弧与余弧两术，但“降位”仍属不易。为何处理的方法有所不同，戴煦已指出，因切割二线在圆外，当弧度接近90°，切线变得极大，本弧愈大则余弧愈小1

1 对于这一点，由夏鸾翔为《外切密率》所作序中亦可窥见。

。余弧求切割二线，弧分愈小而所求之线愈大。

需要说明的是，戴煦所谓的“降位”并非一定收敛，有限项不能“降位”的级数有可能仍收敛^［3］34，这里的“降位”更多的是作为一种解决问题的处理手段与技巧，并非完全是一种判定级数收敛发散的定理。因中算家将无穷级数视为多项式的无穷推广，所处理的是初等函数的级数展开式，故将此类级数视为收敛级数来处理都是可行的，运算都是正确的。

1.2 弧度的分限

为使“降位”更容易，戴煦给出了弧度的分限，根据不同的情形将弧度分为不同的几段。由于仅利用本弧与余弧的变换、借弦求弧等方法，并不能完全解决快速“降位”的问题。为此，戴煦将90°弧作了如下处理。

（1）若弧度为\alpha，则弧背求切线和弧背求割线中将90°分为两限：，本弧求切线，本弧求割线；\mathrm{30}°\le \alpha \le \mathrm{89}°{\mathrm{59}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{50}″，余弧求切线，余弧求割线。

（2）切线求弧背算式中将90°分为四限：，切线求本弧；，切线求本距弧；，切线求余距弧；\mathrm{67}°{\mathrm{30}}^{\mathrm{\text{'}}}\le \alpha \le \mathrm{89}°{\mathrm{59}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{50}″，切线求余弧。

（3）割线求弧背算式中将90°分为五限，亦是为便于“降位”^［9］：，割线求本弧；，割线求半弧；，割线求倍本弧；，割线求倍余弧；\mathrm{60}°\le \alpha \le \mathrm{89}°{\mathrm{59}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{50}″，割线求余弧。

不难看出，戴煦的分限方法实际上也是加速“降位”的一种快捷有效的方法。当初始值较大时，得到的展开式须多求几项以保证满足要求的精度。经过弧度的分限，依次采用相应的算法，不仅“降位”较为容易，而且省去了大乘大除计算，减少了计算量。事实上，虽然在戴煦所划分的上述区间内“降位”更快，但并不是相应级数的收敛区间^［10］。

1.3 分限的验证

戴煦并未满足借助于弧度的分限方法来处理“降位”快慢的问题，而是在每个分段中都附以具体算例，结合弧线表，从而验证所分限的合理性和可行性。这样既可以根据推得的八线互求的级数展开式来核对表中数据，反过来，还能结合弧线表来检验分限方法的合理性。略举几例，以示其法。

“凡设度自十秒至三十度，则用本弧求切线法求之。而降位最难，取数最多者，莫如求三十度之切线”^［8］，取半径r={\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}，查弧线表得三十度弧分为第一数，代入本弧求切线公式：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{30}°=\mathrm{5235987.76}+\frac{\mathrm{2}\cdot {(\mathrm{5235987.76})}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}!\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{20}}}+\frac{\mathrm{16}\cdot {(\mathrm{5235987.76})}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{5}!\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{40}}}+\cdots \cdots \approx \mathrm{5773502.69}。

“凡设度自三十度至八十九度五十九分五十秒，则用余弧求切线法求之。而降位最难，取数最多者，亦莫如求三十度之切线”^［8］，取半径r={\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}，余弧为六十度，查弧线表得余弧弧分，代入余弧求切线公式：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{30}°=\frac{{\mathrm{10}}^{\mathrm{14}}}{\mathrm{9549296.59}}-\frac{\mathrm{2}\cdot \mathrm{9549296.59}}{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{8}\cdot {(\mathrm{9549296.59})}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{14}}}-\cdots \cdots \approx \mathrm{5773502.71}。

两种方法得到的结果中整数部分是相同的，说明了戴煦分为两限是合理的。不难验证，若取十秒代入本弧求切线，计算至第二数已为小数，代入余弧求切线中，计算至第三数也为小数，表明了以30°为界进行分限是合理的。

若本弧小于半象限，则本弧距半象限为本距弧。又弧度接近45°，使用切线求本弧与切线求余弧时，“降位”均较慢，计算量加大。实际上，此时两式收敛都较难^［3］40，故引入本距弧与余距弧较为便利。设切线为4142135.62，取，有比例关系：

\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +r}{r-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }=\frac{r}{\mathrm{本距}\mathrm{弧切}\mathrm{线}}；本距弧切线=\frac{r(r-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +r}。

由切线求本弧公式，可得本距弧为22°30′，即得本弧为22°30′。若本弧大于半象限，则余弧距半象限为余距弧。设切线为24142135.6，取\alpha >\mathrm{45}°，有比例关系：

\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +r}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha -r}=\frac{r}{\mathrm{余距}\mathrm{弧切}\mathrm{线}}；余距弧切线=\frac{r(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha -r)}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +r}。

由切线求本弧公式，可得余距弧为22°30′，即得本弧为67°30′。又如，“自四十五度至六十度，则用割线求倍余弧法求之”^［8］，设割线为20000000.0，只需将割线求倍本弧中的\alpha变换为（\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha），由割线求倍余弧公式：

\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )-\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}=\frac{r}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{2}(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}，

倍余弧割线=\frac{{\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}\cdot \mathrm{400000000000000.00}}{\mathrm{400000000000000.00}-\mathrm{2}\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{14}}}\approx \mathrm{20000000.0}。

再用割线求余弧公式求得倍余弧的余弧为30°，故倍本弧为120°，所求本弧为60°。再如，“自六十度至八十九度五十九分五十秒，则用割线求余弧法求之”^［8］，设割线为20000000.0，代入割线求余弧公式：

\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha =\frac{{\mathrm{10}}^{\mathrm{14}}}{\mathrm{20000000.0}-\frac{{\mathrm{10}}^{\mathrm{14}}}{\mathrm{3}!\cdot \mathrm{20000000.0}}-\frac{\mathrm{17}\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{28}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot {(\mathrm{20000000.0})}^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{367}\cdot {\mathrm{10}}^{\mathrm{42}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{7}!\cdot {(\mathrm{20000000.0})}^{\mathrm{5}}}-\cdots \cdots }\approx \mathrm{5235987.76}。

所得为余弧弧分，查表后得其为30°，故所求的本弧为60°。

显然，戴煦在所分限域内选择“降位”更快的展开式来保证各术近似值的有效性。由于本弧与余弧、本距弧与余距弧2

2 因考虑到弧度接近45°时“降位”较难（慢），故以45°为分限。关于这一问题，晚清“长沙数学学派”的代表人物丁取忠将“借45°弧”的方法称为“捷法中之捷法”。

为互余关系，中算家为使计算便捷，经常采用“借弧、借弦”的方法，通过变换弧度以选择“降位”较快的展开式。

1.4 尾数的处理

一般而言，尾数的处理包括两个方面：项数的截留（即算至哪一项停止）和奇零小数的处理（即实际应用时对小数的处理）^［11］。因在对弦矢弧互求时涉及项数较多，中算家在实际计算时所取的项数并不同，在满足实际需要的前提下，他们一般求至十一率或十五率，即“求至或降至单位下”。戴煦在《外切密率》中也考虑到尾数的处理问题，并对产生的误差有准确的判断。

因弦矢二线必小于弧背，故小余位数不必多。但切割二线，必大于弧背，故小余位数宜多。小余位数的选取也是有据可依的，如半径取一百亿（10¹⁰），为十一位，自乘得（10²⁰）二十一位一秒之弧背，系五位。于半径幂（10²⁰）内减五位，得十六位。加小余两位，得十八位。可知一秒之切线、割线，连小余均系十八位。挨次递减，留出足够的位数，不至尾数不准。

在各率乘法表之后，戴煦补充道：“凡求递次乘法，本无穷尽。而求至第九而止者，缘本弧求切线，止求至三十度以内。余弧求切线，止求至三十度以外，则有第九乘法，而已敷用，不必多求也。”^［8］在本弧求切线中，第九乘法对应的为二十率，在余弧求切线中，第九乘法对应的是十九率。戴煦在本弧求切线和余弧求切线中半径取八位（10⁷），对于十九率或二十率已满足实际需要，因此从第七乘法开始取近似值（见表1-2）。

表1和表2中，近似值大于精确值，近似值的末位多用〇来补位。“以入算时，不过截用数位，其尾数无所用之。故不列入存数，但以○存其位数，以资入算时定位之用而已”^［8］。戴煦虽未说明他取近似值的标准与方法，但从上表中可见，他采用的基本是舍小留大的做法，即不过五则取〇，过了五则进一位，且有规律可循，如在表1中，各率乘法从第一个非零数字起的数位，第七乘法（十六率）的近似值最高位数取五位（1 903 800 000），第八乘法（十八率）的近似值最高位数取四位（209 900 000 000）， 第九乘法（二十率）的近似值最高位数取三位（29 100 000 000 000），以此类推。与明安图等算家的做法不同的是，戴煦从第七乘法或第八乘法开始使用近似值，是为入算时定位之用，因戴煦一般算至十一率或十二率即第五乘法，往后的各乘法并不参与运算，对不参与运算的各率分子，只为定位且便于观察变化规律。再以30°弧之切线为例（表3）。

表3中“5 773 502.69”和“5 773 502.71”的“小余”分别为“0.69”和“0.71”，因“小余满五”，故进一算。此外，表中两种方法的效果是明显的，虽最后的得数相差无几，但本弧求切线中的各数与余弧求切线中对应的各数相比要减小得快。如本弧求切线中从第八数开始已为纯小数，即可停止不求，余弧求切线中从第九数开始为纯小数，说明以30°为限求切线时，采用本弧求切线的方法不仅要省便一些，而且“降位”更快。

实际上，中算家主要关注的是用术去解决实际问题，同时也考虑到使用近似值后造成的误差问题。如在《捷法》卷二的实际应用问题中，明安图认为没有必要保留更多的小数位，在作加减运算时，他要求所有参与运算的数保留一位小数参与计算^［12］。在《外切密率》中的实际问题中，戴煦保留了两位小数，既能将计算的结果与弧线表相互验证，也能满足实际需要。对于所用的近似值，中算家允许有误差存在，也熟知误差是可控的，即在一定的限度内不会影响到计算所需精度，因此有时中算家宁可取近似数来代替精确值。

值得注意的是，中算家取半径一千万、一亿或百亿代替单位圆，其中的大数远远超过了实际需要，但具有极好的“放大”作用，这种高倍“放大”，无疑简化了对数据的调整手续^［13］，这也是作为一种方法在当时长期使用的价值所在。

1.5 误差的分析

一般的，在用各术进行计算时，因只能截取有限项，误差是不可避免的，由此产生的误差为截断误差。对于位数较多的数，把它适当地截取，用位数较少的近似数来代替，由此产生的误差为舍入误差。换言之，截断误差产生的对象是展开式的项数，舍入误差产生的对象是展开式的各项或某一项。

戴煦用“盈”“不足”等来表述误差，并对误差有所判断：

本弧所求小余（六九），余弧所求小余（七一），此尾数奇零累积之微差。又连比例递加数，凡逐数皆正者，得数必稍不足。第一数正，而以下皆负者，得数必稍盈。其正负相间者，末数遇正数，数必稍盈。如遇负数，数必稍不足^[8]。

依戴煦之意，令：

S_m=x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{4}}+\cdots +x_n+\cdots \cdots，

若计算各项正负相间的值，戴煦的做法沿袭了明安图等算家的做法，先将正值相加，再将负值相加，两和再相减。

S_n=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{4}}+\cdots +x_n+\cdots \cdots。

若记S_n=u-v，则有：

u=x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{5}}+\dots +x_{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}+\cdots \cdots，

v=x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{4}}+x_{\mathrm{6}}+\dots +x_{\mathrm{2}n}+\cdots \cdots。

其中，u为各正值相并后的总数，v为各负值相并后的总数，S_n为两总数的差。

S=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{4}}-\cdots -x_n-\cdots \cdots。

若记S=u^{\mathrm{\text{'}}}-v^{\mathrm{\text{'}}}，则有：

u^{\mathrm{\text{'}}}=x_{\mathrm{1}}；v^{\mathrm{\text{'}}}=x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{4}}+\dots +x_{n+\mathrm{1}}+\dots，

其中，u^{\mathrm{\text{'}}}为首项正值，v^{\mathrm{\text{'}}}为各负值相并后的总数，S为两总数的差。

以S^{\mathrm{\text{'}}}表示精确值，对各项皆为正值的情形，有：。

若首项为正值，以下皆为负值的情形，有：S^{\mathrm{\text{'}}}>S。

对各项正负相间的情形，则分两种情形：

（1）“末数过正数”，有：x_n>\mathrm{0}，S^{\mathrm{\text{'}}}>S_n；

（2）“末数为负数”，有：，。

对于四种情形，戴煦虽未多作说明与解释，但不难得出S^{\mathrm{\text{'}}}、S_m、S_n和S之间的大小关系。若记各数中的“小余”分别为{\delta }_{\mathrm{1}}，{\delta }_{\mathrm{2}}，…，累积的“小余”的和为\delta，则对各项皆为正值的情形，有：

S^{\mathrm{\text{'}}}=S_m-(\underset{\delta }{\underbrace{{\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}+{\delta }_{\mathrm{3}}+\cdots +{\delta }_n+\cdots }})，S^{\mathrm{\text{'}}}=S_m-\delta，故；

若首项为正值，以下皆为负值的情形，有：

S^{\mathrm{\text{'}}}=S+(\underset{{\delta }^{\mathrm{\text{'}}}}{\underbrace{{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+{\delta }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}+{\delta }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}+\cdots +{\delta }_n^{\mathrm{\text{'}}}+\cdots }})，S^{\mathrm{\text{'}}}=S+{\delta }^{\mathrm{\text{'}}}，故S^{\mathrm{\text{'}}}>S；

对各项正负相间的情形，若“末数过正数”，即末数为奇数项，有：

x_n>\mathrm{0}，x_n=x_n^{\mathrm{\text{'}}}-{\delta }_n，故，S_{x_n^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{\text{'}}}=S_{x_n}-S_{{\delta }_n}，S^{\mathrm{\text{'}}}>S_n；

若“末数为负数”，即末数为偶数项，有：

，-x_n=-x_n^{\mathrm{\text{'}}}-{\delta }_n，故x_n>x_n^{\mathrm{\text{'}}}，S_{x_n}=S_{x_n^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{\text{'}}}+S_{{\delta }_n}，。

此外，戴氏在卷三中亦指出：“是术末数为负，故得数稍不足。以除半径幂，则所得弧分稍盈。”^［8］“是术”指切线求余弧，有连比例：

一率：\frac{r^{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha }；二率：r；三率：(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )，

\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha =\frac{r^{\mathrm{2}}}{\frac{r^{\mathrm{2}}}{(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha )}}=\frac{r^{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }-\frac{\mathrm{32}\cdot r^{\mathrm{4}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\alpha }+\frac{\mathrm{704}\cdot r^{\mathrm{6}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{7}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{5}}\alpha }-\frac{\mathrm{163452}{r}^{\mathrm{8}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{9}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{7}}\alpha }+\cdots \cdots }。

令末数为x_n，有：

S_{}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }-\frac{\mathrm{32}\cdot r^{\mathrm{4}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\alpha }+\frac{\mathrm{704}\cdot r^{\mathrm{6}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{7}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{5}}\alpha }-\frac{\mathrm{163452}{r}^{\mathrm{8}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{9}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{7}}\alpha }+\cdots \cdots

S^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{r^{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha +\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha }-\frac{\mathrm{32}\cdot r^{\mathrm{4}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{5}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\alpha }+\frac{\mathrm{704}\cdot r^{\mathrm{6}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{7}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{5}}\alpha }-\frac{\mathrm{163452}{r}^{\mathrm{8}}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{9}!\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{7}}\alpha }+\cdots \cdots }=\frac{r^{\mathrm{2}}}{S}。

S^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\alpha，以S_{\mathrm{实}}表示实际的数值或精确值，各数的实际值或精确值为x_n^{\mathrm{\text{'}}}，各数分别对应的“小余”为{\delta }_n，有：

，-x_n=-x_n^{\mathrm{\text{'}}}-{\delta }_n，故x_n>x_n^{\mathrm{\text{'}}}，S_{x_n}=S_{x_n^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{实})}+S_{{\delta }_n}，。

“以除半径幂（r^{\mathrm{2}}）”，以S_{\mathrm{实}}^{\mathrm{\text{'}}}表示实际的数值或精确值，有：

，故S_{\mathrm{实}}^{\mathrm{\text{'}}}>\frac{S}{r^{\mathrm{2}}}。

故所得到的余弧弧分比实际值要大一些。

从时间上来看，戴煦关于“降位”快慢的认识，尾数的处理方法以及误差的分析等并非首先在《外切密率》中体现出来，他在《对数简法》（1845年）和《续对数简法》（1846年）中已有涉及。如在《对数简法》上卷的开方术中，得到十一数后，截用五位以下，再用满五进一的方法。在作商除运算时，降位太慢，通过截位开方的方法可降数位^［14］，求得更精确的数值。但在《外切密率》中，戴煦对“降位”问题的认识和处理技巧更为系统、完备。

2 《外切密率》中“降位迟速”方法的算理特征

《外切密率》中的成果是戴煦在没有受到西方近代数学的启发和影响下，通过自己的独立钻研得到的。戴氏对“降位”问题的处理方法较之于《捷法》和《割圆八线缀术》中的方法来说更具技巧性，甚至是创造性的，是他工作的特色。

弦矢弧的互求，通过弧度的转换、方法的代换即可解决“降位”快慢问题，进而得出“降位”稍快的通用方法。因切割线出于圆外，戴煦所设计的多例算法有别于其他算家所设计的一般算法，呈现出系统化和严密化的特点。如，戴煦对“降位迟速”问题的处理方法不是浅尝辄止，而是相当系统、完备，在考虑算法设计之外，还有算法分析和算法验证的环节。另一方面，从《外切密率》中“降位迟速”问题的具体操作来看，说明戴煦已认识到“降位”的重要性，不断追求“降位”更快的方法，并且将“降位”方法进行了比较，表明戴煦已熟练掌握了判断“降位迟速”的方法技巧。

整体而言，清代中算家割圆捷术研究的初始方法不是代数的，而是几何的。就“降位迟速”问题来说，中算家对其一般都有几何论证，所以认为它们都是允许的^［5］24。由于这种几何方法无法系统严密的解释“降位迟速”等问题，戴煦敏锐地注意到将代数方法与几何模型相结合，从而成功的解释了“降位迟速”问题。

3 结语

一般认为，中算家在研究割圆捷术问题时没有认识到无穷级数的收敛问题，而是在发展自己的多项式理论，并且中算也不具备建立严格的级数敛散性理论的条件。而从上述讨论可知，戴煦在“降位迟速”问题的具体计算过程中，一方面研究对“术”的变换，以减少运算量，从而使变换后的“新术”能够在实际运算中发挥效用；另一方面依靠变换弧度等方法以选择“降位”较快的“术”，以提高计算效率，在借助几何手段直观表达和解释的同时，已有系统的算法分析和验证环节，在明安图等算家对“降位”问题的零星归纳基础上亦有分析性表述与研究，且呈现出系统化和严密化的特点。可见，戴煦对“降位迟速”问题的见解独到、处理方式极具进步意义，较之前人，他所总结和运用的“降位”方法和技巧更为深刻和完备，已然成为西方近代数学传入前解决“降位迟速”问题的有效手段。

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基金资助

全国高等院校古籍整理研究资助项目“清代‘明安图学派’割圆捷术古籍整理研究”（2340）

内蒙古自治区教育厅科学技术史一流学科科研专项项目资助“清代幂级数文献的数字化整理与综合研究”(YLXKZX⁃NSD⁃056)

内蒙古师范大学引进高层次人才科研启动经费资助项目“清代割圆级数的相关问题研究”(2021YJRC008)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“19世纪中算割圆级数的降位算法研究”(2022JBQN145)