一维六方压电准晶中具有双对称分支裂纹的断裂问题

Fracture Problem of Type Ⅲ Deflection Crack in One-dimensional Hexagonal Piezoelectric Quasicrystals

摘要

研究一维六方压电准晶体中具有两条对称分支裂纹的断裂问题，利用复变函数方法分析得出双对称分支裂纹的应力场、电位移场和能量释放率的解析形式，分析讨论双对称分支裂纹尖端场强度因子受分支裂纹偏折角和裂纹长度的影响。 经过研究得出：当时，随着裂纹偏折角的增大，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子逐渐减小；随着主支裂纹长度的增加，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子增加；随着分支裂纹长度的增加，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子增加。

Abstract

The fracture problem of two symmetric branch cracks in one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystals is studied and the analytical forms of the stress field， potential shift field， and energy release rate of the double symmetric branch crack are derived through analysis using the complex function method. And furthermore， the influence of branch crack deflection angle and crack length on the strength factor of the double symmetric branch crack tip field is analyzed and discussed. The results indicate that when the angle is within the range of ，as the crack deflection angle increases， the dimensionless stress intensity factor at the tip of the main support crack gradually decreases； as the length of the main branch crack increases， the dimensionless stress intensity factor at the tip of the main branch crack increases； as the length of the branch crack increases， the dimensionless stress intensity factor at the tip of the main branch crack increases.

Graphical abstract

关键词

一维六方压电准晶 / 双对称分支裂纹 / 应力强度因子 / 能量释放率

Key words

one-dimensional hexagonal quasicrystals / double symmetric branching cracks / stress intensity factor / energy release rate

1982年Mn-Al合金原子以准周期对称有序方式排列的特殊现象被Daniel Shechtman^［1］用显微镜观察到，由此分析出准晶结构具有特殊性，正是由于这种结构的特殊性导致准晶区别于普通晶体，在力、热、电、磁等相关的物理和化学中具有特殊性能。因此，准晶材料在力、热、电、磁等联合作用下的断裂问题成为国内外的研究热点^［2⁃5］。

当裂纹在非均匀应力场或者在内部不连续的非均匀介质中传播时动力不稳定，传播裂纹可能发生偏转。材料的断裂大多数情况会产生分支裂纹，因而对分支裂纹力学问题的研究对安全控制和裂纹网络的构建具有工程意义。因此，学者们对分支裂纹的几何形状、应力场以及分支裂纹在不同应力状态下的应力强度因子进行讨论^［6⁃14］。但是对于准晶材料的双对称分支裂纹的研究较少。

本文通过对一维六方压电准晶材料中的双对称分支裂纹进行详细研究，利用复变函数的方法，应用 柯西⁃黎曼积分等理论，研究一维六方压电准晶体中双对称分支裂纹的应力场和电位移场，探究在电不可通边界条件下场强度因子的解析表达式，并且通过数值分析研究裂纹偏折角度和裂纹长度对应力强度因子的影响。

1 含双对称分支裂纹的一维六方准晶反平面压电材料

1.1 基本方程

以z轴为准周期轴，取xoy平面为周期平面，关于二维反平面变形问题，一维六方准晶压电材料的反平面问题的基本方程为

几何方程：

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{xz}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial z}),{\epsilon }_{yz}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\frac{\partial u_z}{\partial z}+\frac{\partial u_y}{\partial z}),\\ {\omega }_{zy}=\frac{\partial w_z}{\partial y},{\omega }_{zx}=\frac{\partial w_z}{\partial x},\\ E_x=-\frac{\partial \varphi }{\partial x},E_y=-\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathrm{。}\end{array}\right.（1）

本构方程：

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{zx}=\mathrm{2}{C}_{\mathrm{44}}{\epsilon }_{zx}+R_{\mathrm{3}}{\omega }_{zx}-e_{\mathrm{15}}{E}_x,\\ {\sigma }_{zy}=\mathrm{2}{C}_{\mathrm{44}}{\epsilon }_{zy}+R_{\mathrm{3}}{\omega }_{zy}-e_{\mathrm{15}}{E}_y,\\ H_{zx}=\mathrm{2}{R}_{\mathrm{3}}{\epsilon }_{zx}+K_{\mathrm{2}}{\omega }_{zx}-d_{\mathrm{15}}{E}_x,\\ H_{zy}=\mathrm{2}{R}_{\mathrm{3}}{\epsilon }_{zy}+K_{\mathrm{2}}{\omega }_{zy}-d_{\mathrm{15}}{E}_y,\\ D_x=\mathrm{2}{e}_{\mathrm{15}}{\epsilon }_{zx}+d_{\mathrm{15}}{\omega }_{zx}+{\lambda }_{\mathrm{11}}{E}_x,\\ D_y=\mathrm{2}{e}_{\mathrm{15}}{\epsilon }_{zy}+d_{\mathrm{15}}{\omega }_{zy}+{\lambda }_{\mathrm{11}}{E}_y\mathrm{。}\end{array}\right.（2）

平衡方程：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}=\mathrm{0},\\ \frac{\partial H_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial H_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial H_{zz}}{\partial z}=\mathrm{0},\\ \frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（3）

其中，声子场的应力、应变、位移分别用{\sigma }_{ij}\mathrm{、}{\epsilon }_{ij}\mathrm{和}{u}_i表示，相位子场的应力、应变、位移分别用H_{ij}\mathrm{、}{\omega }_{ij}\mathrm{和}{w}_i表示，电位移、电场、电势分别用D_i、E_i、\varphi表示。C_{\mathrm{44}}表示声子场表面常数，K_{\mathrm{2}}表示相位子场表面常数，R_{\mathrm{3}}表示声子场⁃相位子场耦合表面常数，d_{\mathrm{15}}表示稳定应变时压电系数，e_{\mathrm{15}}表示稳定应力场时压电应力系数，{\lambda }_{\mathrm{11}}表示压电基体的介电常数^［4］。

将式（1），式（2）代入式（3）可得

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{44}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+R_{\mathrm{3}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z+e_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},\\ R_{\mathrm{3}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+K_{\mathrm{2}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z+d_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},\\ e_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+d_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z-{\lambda }_{\mathrm{11}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},\end{array}\right.（4）

式中{\nabla }^{\mathrm{2}}=\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}表示二维Laplace算子。由于系数行列式\left|\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{44}}& R_{\mathrm{3}}& e_{\mathrm{15}}\\ R_{\mathrm{3}}& K_{\mathrm{2}}& d_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& d_{\mathrm{15}}& -{\lambda }_{\mathrm{11}}\end{array}\right|\ne \mathrm{0}，由式（4）可得

{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z=\mathrm{0},{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z=\mathrm{0},{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0}\mathrm{。}（5）

记一个广义位移分量为\mathbf{M}=(u_z,w_z{,\varphi )}^{\mathrm{T}}时，代入式（5）可得

{\nabla }^{\mathrm{2}}\mathbf{M}=\mathrm{0}\mathrm{。}（6）

可设一个解析函数向量\mathbf{f}(z)=(U(z),W(z),\mathrm{\Phi }(z))，则方程（6）的通解可以表示为\mathbf{M}=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathbf{f}(z)。

由式（1）、（2）、（3）和（5）可得

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{zx}-\mathrm{i}{\sigma }_{zy}=\\ H_{zx}-\mathrm{i}{H}_{zy}=\\ D_x-\mathrm{i}{D}_y=\end{array}\right.\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{44}}U\mathrm{\text{'}}(z)+R_{\mathrm{3}}W\mathrm{\text{'}}(z)+e_{\mathrm{15}}\mathrm{\Phi }\mathrm{\text{'}}(z)=\mathrm{0},\\ R_{\mathrm{3}}U\mathrm{\text{'}}(z)+K_{\mathrm{2}}W\mathrm{\text{'}}(z)+d_{\mathrm{15}}\mathrm{\Phi }\mathrm{\text{'}}(z)=\mathrm{0},\\ e_{\mathrm{15}}U\mathrm{\text{'}}(z)+d_{\mathrm{15}}W\mathrm{\text{'}}(z)-{\lambda }_{\mathrm{11}}\mathrm{\Phi }\mathrm{\text{'}}(z)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（7）

整理得

\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{zx}\\ H_{zx}\\ D_x\end{array}\right]-\mathrm{i}\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{zy}\\ H_{zy}\\ D_y\end{array}\right]=\mathbf{D}\mathbf{f}\mathrm{\text{'}}(z)\mathrm{。}（8）

其中\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{44}}& R_{\mathrm{3}}& e_{\mathrm{15}}\\ R_{\mathrm{3}}& K_{\mathrm{2}}& d_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& d_{\mathrm{15}}& -{\lambda }_{\mathrm{11}}\end{array}\right]。

对于任意复函数f(z)有\mathrm{I}\mathrm{m}f(z)=(f-\overline{f})/\mathrm{2}\mathrm{i}，根据解析函数的性质可将（7）式转化为

\begin{array}{l}{\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{i}}[C_{\mathrm{44}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+R_{\mathrm{3}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})+e_{\mathrm{15}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})],\\ H_{zy}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{i}}[R_{\mathrm{3}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+K_{\mathrm{2}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})+d_{\mathrm{15}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})],\\ D_y=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{i}}[e_{\mathrm{15}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+d_{\mathrm{15}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})-{\lambda }_{\mathrm{11}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})]\mathrm{。}\end{array}（9）

在给定边界条件下，可以求出U,W,\mathrm{\Phi }则可以进一步确定应力场和电位移场。

1.2 双对称分支裂纹及边界条件

考虑无限大的\mathrm{一维}\mathrm{六方}\mathrm{压电}\mathrm{准晶},\mathrm{取}xoy平面为周期平面，以z\mathrm{为准}\mathrm{周期}\mathrm{轴}，介质内位于坐标原点有一个具有两条对称分支裂纹，其中主支裂纹长度为L，两条对称的分支裂纹长度为l，如图1所示。

假设在无穷远处受到沿周期方向的纵向剪切应力\tau，以及面内电载荷T的作用，由线弹性理论可得，此问题可以转化为一维六方压电准晶体在无穷远处不受力，只在裂纹表面受到纵向剪切力和电载荷作用{\sigma }_{zy}=-{\tau }_{\mathrm{1}},H_y=-{\tau }_{\mathrm{2}},D_y=-T。此时采用电不可通边界条件，可写为

\left\{\begin{array}{l}z\to \mathrm{\infty }:{\sigma }_{zy}=\mathrm{0},H_y=\mathrm{0},D_y=\mathrm{0},\\ z\in N:{\sigma }_{zy}=-{\tau }_{\mathrm{1}},H_y=-{\tau }_{\mathrm{2}},D_y=-T\mathrm{。}\end{array}\right.（10）

其中N表示裂纹边界，将式（10）代入式（9）中，得

\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{44}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+R_{\mathrm{3}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})+e_{\mathrm{15}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})=\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}\mathrm{i},\\ R_{\mathrm{3}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+K_{\mathrm{2}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})+d_{\mathrm{15}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})=\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{2}}\mathrm{i},\\ e_{\mathrm{15}}(U^{\text{'}}-\overline{U^{\text{'}}})+d_{\mathrm{15}}(W^{\text{'}}-\overline{W^{\text{'}}})-{\lambda }_{\mathrm{11}}({\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}-\overline{{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}})=\mathrm{2}T\mathrm{i}\mathrm{。}\end{array}（11）

2 问题求解

取映射函数^［6］

z={\omega }_{\mathrm{2}}(\xi )=\frac{C}{\xi }(\xi -z_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{1}-\lambda }(\xi -z_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}\lambda }(\xi -z_{\mathrm{3}}{)}^{\mathrm{1}-\lambda }。（12）

如图2所示，裂纹尖点A_{\mathrm{1}},B_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},B_{\mathrm{2}},A_{\mathrm{3}},B_{\mathrm{3}}分别映射到单位圆上的点z_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}},z_{\mathrm{3}},y_{\mathrm{3}},其中z_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha },z_{\mathrm{2}}=\mathrm{1},z_{\mathrm{3}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha },y_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\beta },y_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta }\mathrm{和}{y}_{\mathrm{3}}=-\mathrm{1}。并且常数C,\alpha \mathrm{和}\beta与分支裂纹长度l和主支裂纹长度L有如下的关系：

C=\frac{L}{\mathrm{4}}[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{(\alpha /\mathrm{2})]}^{\mathrm{2}(\lambda -\mathrm{1})},

l=\frac{L}{\mathrm{2}}\lambda (\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ){\left\{\frac{\mathrm{2}(\mathrm{1}-\lambda )}{\lambda (\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )}\right\}}^{\mathrm{1}-\lambda },（13）

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\beta /\mathrm{2})=\sqrt[]{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\alpha /\mathrm{2})\mathrm{。}

对式（12）求导可得

\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}(\xi )}{\overline{{{\omega }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi )}}=\left\{-\mathrm{1}+(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{2}\lambda \mathrm{\pi }})I_{\mathrm{1}}(\xi )+(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{2}\lambda \mathrm{\pi }})I_{\mathrm{2}}(\xi )\right\}\times Q(\xi ),（14）

其中如果\xi位于裂纹分支时I_{\mathrm{1,2}}(\xi )=\mathrm{1}，否则I_{\mathrm{1,2}}(\xi )=\mathrm{0}。且

Q(\xi )=\frac{(\xi -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha })(\xi -{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha })(\xi -\mathrm{1})}{\xi (\xi +\mathrm{1})(\xi -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\beta })(\xi -{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta })}\mathrm{。}（15）

函数U,W,\mathrm{\Phi }及其导数变换为

U(z)=U({\omega }_{\mathrm{2}}(\xi ))={\psi }_{\mathrm{1}}(\xi ),W(z)=W({\omega }_{\mathrm{2}}(\xi ))={\psi }_{\mathrm{2}}(\xi ),\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{\Phi }({\omega }_{\mathrm{2}}(\xi ))={\psi }_{\mathrm{3}}(\xi ),（16）

U^{\text{'}}(z)=\frac{{{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi )}{{\omega }^{\text{'}}(\xi )},W^{\text{'}}(z)=\frac{{{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi )}{{\omega }^{\text{'}}(\xi )},{\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}(z)=\frac{{{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi )}{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}\mathrm{。}（17）

把边界条件代入式（12），同时将单位圆周\gamma上的点\xi =\sigma ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }代入，其中\xi为单位圆内任意一点，且两边分别乘以\mathrm{d}\sigma /\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}(\sigma -\xi )沿\gamma积分得

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{44}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }+R_{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }+\\ e_{\mathrm{15}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }=\mathrm{2}\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\sigma -\xi }\mathrm{d}\sigma ,\end{array}（18）

\begin{array}{l}{R}_{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }+K_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\text{'}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }+\\ d_{\mathrm{15}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }=\mathrm{2}\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\sigma -\xi }\mathrm{d}\sigma ,\end{array}（19）

\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{15}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }+d_{\mathrm{15}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\text{'}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }-\\ {\lambda }_{\mathrm{11}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }({{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )-\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{{{\psi }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )})\frac{\mathrm{d}\sigma }{\sigma -\xi }=\mathrm{2}\mathrm{i}T\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\sigma -\xi }\mathrm{d}\sigma \mathrm{。}\end{array}（20）

由Cauchy公式得

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{{\psi }_i}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )}{\sigma -\xi }\mathrm{d}\sigma =-{{\psi }_i}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi ),(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}),\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\overline{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}}\overline{\frac{{{\psi }_i}^{\mathrm{\text{'}}}(\sigma )}{\sigma -\xi }}\mathrm{d}\sigma =\mathrm{0},(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}),\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{{\omega }^{\text{'}}(\sigma )}{\sigma -\xi }\mathrm{d}\sigma =-{{\omega }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\xi )+{{\omega }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\mathrm{\infty })\stackrel{def}{=}F(\xi )\mathrm{。}\end{array}\right.（21）

将式（21）代入式（18）-（20）中得

\left\{\begin{array}{c}{\psi }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}(\xi )=\mathrm{2}\mathrm{i}\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\Lambda }}\frac{F(\xi )}{\omega \mathrm{\text{'}}(\xi )},\\ {\psi }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}(\xi )=\mathrm{2}\mathrm{i}\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Lambda }}\frac{F(\xi )}{\omega \mathrm{\text{'}}(\xi )},\\ {\psi }_{\mathrm{3}}\mathrm{\text{'}}(\xi )=\mathrm{2}\mathrm{i}\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{\Lambda }}\frac{F(\xi )}{\omega \mathrm{\text{'}}(\xi )},\end{array}\right.（22）

其中

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\Lambda }=C_{\mathrm{44}}(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}{R}_{\mathrm{3}}+K_{\mathrm{2}}(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}-(R_{\mathrm{3}}{)}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{11}}+C_{\mathrm{44}}{\lambda }_{\mathrm{11}}{K}_{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{15}}{K}_{\mathrm{2}}T+(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{11}}{K}_{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{11}}{\tau }_{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{15}}T-(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}=(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{44}}{\lambda }_{\mathrm{11}}{\tau }_{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{11}}{\tau }_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{44}}{e}_{\mathrm{15}}T-(e_{\mathrm{15}}{)}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{15}}{R}_{\mathrm{3}}T,\\ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{3}}=(R_{\mathrm{3}}{)}^{\mathrm{2}}T+e_{\mathrm{15}}{K}_{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{15}}{\tau }_{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{15}}{\tau }_{\mathrm{1}}-C_{\mathrm{44}}{e}_{\mathrm{15}}{\tau }_{\mathrm{2}}-C_{\mathrm{44}}{K}_{\mathrm{2}}T\mathrm{。}\end{array}\right.（23）

再将式（23）代入式（11）得到z平面内的应力场和电位移场的解析表达式。

在电不可通边界条件下，由文献［15］可知，在z平面裂纹尖端对应\xi平面内\xi =-\mathrm{1}处声子场、相位子场应力和电位移强度因子分别为

{\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}^{\sigma }& K_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}^H& K_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}^D\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\underset{\xi \to -\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\pi }}\frac{F(\xi )}{\sqrt[]{{\omega }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\xi )}}{\left[\begin{array}{ccc}{\tau }_{\mathrm{1}}& {\tau }_{\mathrm{2}}& T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},（24）

将F(\xi )\mathrm{和}{\omega }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\xi )代入即可得到相应的解析表达式。

3 算例与结果分析

需要将应力强度因子进行无量纲化，记作K，其中L,l分别代表了主支裂纹和分支裂纹长度，取\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}}做数值分析。

3.1 裂纹偏折角度与应力强度因子的关系

在映射关系中的值可以代表裂纹的裂纹偏折角度，裂纹偏折角度对主支尖端无量纲应力强度因子的影响如图3所示，当时，随着裂纹偏折角的增大，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子逐渐减小，这是因为随着裂纹偏折角的增大，有效裂纹长度在减小，从而使得主支裂纹应力强度因子逐渐减小。

3.2 主支裂纹长度与应力强度因子的关系

主支裂纹长度对主支尖端无量纲应力强度因子的影响如图4所示，随着L的增大，应力强度因子逐步增大，说明主支裂纹长度越大，主支裂纹应力集中，从而使得应力强度因子逐步增大。

3.3 分支裂纹长度与应力强度因子的关系

分支裂纹长度对主支尖端无量纲应力强度因子的影响如图5所示，随着l的增大，应力强度因子逐步增大，说明分支裂纹长度越大，应力方向有效裂纹长度增大，主支裂纹应力集中，从而使得应力强度因子逐步增大。

4 小结

本文首次将经典材料中的双对称分支裂纹推广到一维六方压电准晶材料中，扩大了准晶断裂力学研究范围，也将进一步补充了星型裂纹，将裂纹偏折角度由特殊值变为任意值。本文得出如下主要结果：

（1） 计算出一维六方压电准晶体中的Ⅲ型双对称分支裂纹的应力场、电位移场和裂纹尖端场强度因子的解析式；

（2） 当时，随着裂纹偏折角的增大，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子逐渐减小；

（3） 随着主支裂纹长度的增加，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子增加；随着分支裂纹长度的增加，主支裂纹尖端的无量纲应力强度因子增加。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“压电准晶材料弹塑性断裂力学模型及广义复变方法研究”(12162027)

内蒙古自治区自然科学基金重点资助项目“稀土准晶材料的弹性理论及多尺度断裂力学问题研究”(2024ZD21)

内蒙古自治区高等学校科学技术研究重点资助项目“准晶压电材料纳米缺陷断裂力学问题研究”(NJZZ22574)

无穷维哈密顿系统及其算法应用教育部重点实验室（内蒙古师范大学）开放课题资助项目“哈密顿方法在稀土、石墨烯、准晶等新材料力学问题中的应用”(2023KFZD02)

内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目“一维六方压电准晶中Ⅲ型裂纹的断裂问题”(S20231070Z)