逆时空非局域Fokas⁃Lenells方程周期背景上的复合波解

Hybrid Waves Solutions on the Periodic Background for the Nonlocal Reverse Space-Time Fokas-Lenells Equation

摘要

利用达布变换方法，推导出逆时空非局域Fokas⁃Lenells方程周期背景上的复合波解。首先，利用Kaup⁃Newell Lax对，给出一重达布变换和N重达布变换的行列式表示。选取平面波解，得到kink型周期波、呼吸子、亮暗孤子及其复合波解。另外，构造了半退化达布变换，获得怪波、呼吸子及其复合波解。

Abstract

The hybrid wave solutions on the periodic background for the nonlocal reverse space-time Fokas-Lenells equation are derived by using Darboux transformation method in the paper. Firstly， the determinant representations of one-fold Darboux transformation and N-fold Darboux transformation are expressed by using the Kaup-Newell spectrum problem. And then， the kink-type periodic wave， the breather solutions， the light and dark soliton solutions， and hybrid wave solutions are obtained by selecting the plane wave solution. Furthermore， the solution of the rouge waves， the breathers and hybrid waves are obtained by constructing the semi-degenerate Darboux transformation.

Graphical abstract

关键词

周期背景上的怪波解 / 达布变换 / 半退化达布变换

Key words

rogue waves on the periodic background / Darboux transformation / semi-degenerate Darboux transformation

非线性发展方程的精确解在孤子与可积系统理论的研究中扮演着重要角色。近年来，非线性发展方程的怪波解被广泛研究。也出现了获取周期背景上呼吸波和怪波的方法，如代数几何方法^［1］、达布变换方法^［1⁃3］和PINN深度学习方法^［2］等。例如，使用奇重半退化达布变换构造了单周期背景上的怪波解^［1⁃3］，使用偶重半退化达布变换构造了双周期背景上的怪波解^［4］。此外，各种研究表明，非局域系统是一类新的可积系统。值得注意的是，大多数非局域可积方程与局域方程有密切的联系。目前，关于局域方程的研究已有丰富的结果^［5⁃6］，这些结果对于理解如何获得非局域方程的精确解和分析潜在的物理现象会有帮助。本文考察逆时空非局域Fokas⁃Lenells （FL）方程

\mathrm{i}{q}_{xt}-\mathrm{i}{q}_{xx}+\mathrm{2}{q}_x-q_{x}qq\left(-x,-t\right)+\mathrm{i}q=\mathrm{0}（1）

的周期背景上的复合波解。

1 逆时空非局域FL方程的Lax对和达布变换

1.1 逆时空非局域FL方程的Lax对

{\Phi }_x=U\Phi =(J{\lambda }^{\mathrm{2}}+Q\lambda )\Phi ,\Phi ={\left({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\right)}^{\mathrm{T}},

{\Phi }_t=V\Phi =(J{\lambda }^{\mathrm{2}}+Q\lambda +V_{\mathrm{0}}+V_{-\mathrm{1}}{\lambda }^{-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}J{\lambda }^{-\mathrm{2}})\Phi ,

其中（2）

J=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{i}\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& q_x\\ q_x\left(-x,-t\right)& \mathrm{0}\end{array}\right),

V_{\mathrm{0}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}qq\left(-x,-t\right)& q_x\\ \mathrm{0}& -\mathrm{i}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}qq\left(-x,-t\right)\end{array}\right),V_{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}q\\ -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}q\left(-x,-t\right)& \mathrm{0}\end{array}\right),

这里\lambda是复谱参数。根据相容条件{\Phi }_{xt}={\Phi }_{tx}，Lax对\left(\mathrm{2}\right)满足零曲率方程U_t-V_x+UV-VU=\mathrm{0}，可得逆时空非局域Fokas⁃Lenells方程公式(1)。当\lambda ={\lambda }_j\left(j=\mathrm{1,2},\dots ,n\right)时，{\Phi }_j被定义为Lax对(\mathrm{2})的基本解。

1.2 逆时空非局域FL方程的一重达布变换

取规范变换

{\Phi }^{[\mathrm{1}]}=T^{[\mathrm{1}]}\Phi ,(\mathrm{3})

使得Lax对（2）转化为

{\Phi }_x^{[\mathrm{1}]}=U^{[\mathrm{1}]}{\Phi }^{[\mathrm{1}]},{\Phi }_t^{[\mathrm{1}]}=V^{[\mathrm{1}]}{\Phi }^{[\mathrm{1}]},(\mathrm{4})

U^{[\mathrm{1}]}=\left({T^{[\mathrm{1}]}}_x+T^{[\mathrm{1}]}U\right){\left(T^{[\mathrm{1}]}\right)}^{-\mathrm{1}},V^{[\mathrm{1}]}=\left({T^{[\mathrm{1}]}}_t+T^{[\mathrm{1}]}V\right){\left(T^{[\mathrm{1}]}\right)}^{-\mathrm{1}},

其中U^{[\mathrm{1}]}和V^{[\mathrm{1}]}与Lax对公式（2）中的U和V的形式相同，即只是q\mathrm{和}q\left(-x,-t\right)分别被q^{[\mathrm{1}]}和q^{[\mathrm{1}]}\left(-x,-t\right)\mathrm{取代}。T^{[\mathrm{1}]}是达布矩阵，随后确定。

根据公式（4），可以导出以下等式

U_t^{[\mathrm{1}]}-V_x^{[\mathrm{1}]}+\left[U^{[\mathrm{1}]},V^{[\mathrm{1}]}\right]=T^{[\mathrm{1}]}\left(U_t-V_x+\left[U,V\right]\right){\left(T^{[\mathrm{1}]}\right)}^{-\mathrm{1}}\mathrm{。}(\mathrm{5})

假设一重达布矩T^{[\mathrm{1}]}为

T^{[\mathrm{1}]}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{1}}\\ c_{\mathrm{1}}& d_{\mathrm{1}}\end{array}\right)\lambda +\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{0}}& b_{\mathrm{0}}\\ c_{\mathrm{0}}& d_{\mathrm{0}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{a}_{-\mathrm{1}}& b_{-\mathrm{1}}\\ c_{-\mathrm{1}}& d_{-\mathrm{1}}\end{array}\right){\lambda }^{-\mathrm{1}},(\mathrm{6})

其中a_{-\mathrm{1}}，b_{-\mathrm{1}},c_{-\mathrm{1}},d_{-\mathrm{1}},a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}},c_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}}，a_{\mathrm{1}}，b_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}}是x和t的函数。根据等式(\mathrm{4})，直接推导出b_{-\mathrm{1}}=c_{-\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}。为了方便下面的计算和分析，假设a_{-\mathrm{1}}=d_{-\mathrm{1}}=\mathrm{1}，a_{\mathrm{0}}=d_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，矩阵T^{[\mathrm{1}]}化为

T^{[\mathrm{1}]}=\left(\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}^{[\mathrm{1}]}& T_{\mathrm{12}}^{[\mathrm{1}]}\\ T_{\mathrm{21}}^{[\mathrm{1}]}& T_{\mathrm{22}}^{[\mathrm{1}]}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& d_{\mathrm{1}}\end{array}\right)\lambda +\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& b_{\mathrm{0}}\\ c_{\mathrm{0}}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right){\lambda }^{-\mathrm{1}}\mathrm{。}(\mathrm{7})

为得到达布矩阵T^{[\mathrm{1}]}的具体形式，将式（7）代入式（4），并比较{\lambda }^i的系数得到

q^{[\mathrm{1}]}=q+b_{\mathrm{0}},q^{[\mathrm{1}]}\left(-x,-t\right)=q\left(-x,-t\right)+c_{\mathrm{0}}\mathrm{。}(\mathrm{8})

用克莱姆法则，再求方程组

{\left.T^{[\mathrm{1}]}\left(\lambda \right)\right|}_{\lambda ={\lambda }_j}{\Phi }_j=\mathrm{0},j=\mathrm{1,2},(\mathrm{9})

确定达布矩阵元素b_{\mathrm{0}},c_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}。在非局域约化条件b_{\mathrm{0}}\left(-x,-t\right)=c_{\mathrm{0}}的约束下，得到逆时空非局域FL方程的一重达布变换。

1.3 逆时空非局域FL方程的N重达布变换

使用达布变换的迭代

{\Phi }^{[N]}=T^{[N]}{\Phi }_j,{\Phi }_j={\left({\phi }_j\left(x,t\right),{\phi }_j\left(-x,-t\right)\right)}^{\mathrm{T}},j=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{2}N,(\mathrm{10})

得到Lax对（2）的解{\Phi }^{[N]}即满足

{\Phi }_x^{[N]}=U^{[N]}{\Phi }^{[N]},{\Phi }_t^{[N]}=V^{[N]}{\Phi }^{[N]}\mathrm{。}\left(\mathrm{11}\right)

为了求得T^{[N]}的具体形式，设

D=\{\left.\left(\begin{array}{cc}a& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& d\end{array}\right)\right|a,d\mathrm{是}x,t\mathrm{的函}\mathrm{数}\},

A=\{\left.\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& b\\ c& \mathrm{0}\end{array}\right)\right|b,c\mathrm{是}x,t\mathrm{的函}\mathrm{数}\}。

根据公式（7）中T^{[\mathrm{1}]}的形式，令T^{[N]}为

T^{[N]}=\left(\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}^{[N]}& T_{\mathrm{12}}^{[N]}\\ T_{\mathrm{21}}^{[N]}& T_{\mathrm{22}}^{[N]}\end{array}\right)={\sum }_{k=-N}^N{S}_k{\lambda }^k,(\mathrm{12})

其中S_N=\left(\begin{array}{cc}{a}_N& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& d_N\end{array}\right)\in D，S_{N-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& b_{N-\mathrm{1}}\\ c_{N-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\end{array}\right)\in A，这里S_{-N}是一个常数矩阵，a_{-N}=d_{-N}=\mathrm{1}且S_k\left(-(N-\mathrm{1})\le k\le N\right)是x\mathrm{和}t的函数。如果k-N是偶数，则S_k\in D；如果k-N是奇数，则S_k\in A。应用克莱姆法则，解方程组

{\left.T^{[N]}\left(\lambda ;{\lambda }_{\mathrm{1}},\dots ,{\lambda }_{\mathrm{2}N}\right)\right|}_{\lambda ={\lambda }_j}{\Phi }_j={\sum }_{k=-N}^N{S}_k{\lambda }^k{\Phi }_j=\mathrm{0},j=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{2}N\mathrm{。}(\mathrm{13})

整理得N重达布矩阵和达布变换

T^{[N]}\left(\lambda ;{\lambda }_{\mathrm{1}},\dots ,{\lambda }_{\mathrm{2}N}\right)=\left(\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}^{[N]}& T_{\mathrm{12}}^{[N]}\\ T_{\mathrm{21}}^{[N]}& T_{\mathrm{22}}^{[N]}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{T_{\mathrm{11}}^{{[N]}^{~}}}{W^{[N]}}& \frac{T_{\mathrm{12}}^{{[N]}^{~}}}{W^{[N]}}\\ \frac{T_{\mathrm{21}}^{{[N]}^{~}}}{W^{[N]}}& \frac{T_{\mathrm{22}}^{{[N]}^{~}}}{W^{[N]}}\end{array}\right),\left(\mathrm{14}\right)

q^{[N]}=q+\frac{{\Omega }_{-\left(N-\mathrm{1}\right)}}{W^{[N]}},q^{[N]}\left(-x,-t\right)=q\left(-x,-t\right)+\frac{{\Omega }_{-\left(N+\mathrm{1}\right)}^{~}}{W^{[N]~}},(\mathrm{15})

\mathrm{其中}{\Omega }_{-\left(N-\mathrm{1}\right)}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{1}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}}^N{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)\end{array}\right],

{\Omega }_{-\left(N+\mathrm{1}\right)}^{~}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{1}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}}^N{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)\end{array}\right],

W^{[N]}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}}^N{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)\end{array}\right],

W^{[N]~}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}}^N{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}}\left(x,t\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& \cdots & {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)\end{array}\right]\mathrm{。}

2 逆时空非局域FL方程的复合波解

假设种子解q=c{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(ax+\left(\frac{{\left(a+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{a}-c^{\mathrm{2}}\right)t\right)}，q\left(-x,-t\right)=c{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left(ax+\left(\frac{{\left(a+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{a}-c^{\mathrm{2}}\right)t\right)}，其中a和c为实常数，将该种子解代入Lax对，获得与{\lambda }_j,(j=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{2}N)相关的特征函数{\Phi }_j

{\Phi }_j=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\phi }_j\left(x,t\right)}{{\phi }_j\left(-x,-t\right)}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\phi }_{\mathrm{11}j}+{\phi }_{\mathrm{21}j}+{\phi }_{\mathrm{12}j}\left(-x,-t\right)+{\phi }_{\mathrm{22}j}\left(-x,-t\right)}{{\phi }_{\mathrm{12}j}+{\phi }_{\mathrm{22}j}+{\phi }_{\mathrm{11}j}\left(-x,-t\right)+{\phi }_{\mathrm{21}j}\left(-x,-t\right)}\right),(\mathrm{16})

其中，

\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\phi }_{\mathrm{11}j}}{{\phi }_{\mathrm{12}j}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}s-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i\sqrt[]{p}\left(x+\frac{t+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)}}{{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}s-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{p}\left(x+\frac{t+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)\left(a+\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}-\sqrt[]{u}\right)}}\right),

\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\phi }_{\mathrm{21}j}}{{\phi }_{\mathrm{22}j}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}s+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{u}\left(x+\frac{t+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)}}{{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}s+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{u}\left(x+\frac{t+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}a{\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)\left(a+\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}-\sqrt[]{u}\right)}}\right)，

s=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}a+a^{\mathrm{2}}-a{c}^{\mathrm{2}}\right)}{a}t+ax,p=a^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}a{\lambda }^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}，u=-\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+{\left(-a-\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}。将式（16）代入式（15），得到逆时空非局域FL方程的几种复合波解。

当N=\mathrm{1}时，将式（16）代入式（15），得到

q^{[\mathrm{1}]}=\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+a^{\mathrm{2}}-a\left(-\mathrm{2}+c^{\mathrm{2}}\right)\right)t}{a}+\mathrm{i}ax\left(\left(h-j\right)\left(k-l\right){\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c\left(h+j\right)\left(k-l\right){\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left(h-j\right){\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(-k+l+c\left(k+l\right){\lambda }_{\mathrm{2}}\right)\right)}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}\left(\left(h-j\right)\left(k+l\right){\lambda }_{\mathrm{1}}+\left(h+j\right)\left(k-l\right){\lambda }_{\mathrm{2}}\right)}，

其中，h=\left(-\mathrm{1}+m\right)\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}a\left(-\mathrm{1}+a{c}^{\mathrm{2}}\right){\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}，l=\left(-\mathrm{1}+n\right)\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}a\left(-\mathrm{1}+a{c}^{\mathrm{2}}\right){\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}}，j=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+m\right){\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+a\left(\mathrm{1}+m\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}c{\lambda }_{\mathrm{1}}\right)，k=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+n\right){\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+a\left(\mathrm{1}+n\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}c{\lambda }_{\mathrm{2}}\right)，m={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(t+x+\frac{t}{\mathrm{2}a{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\right)\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}a\left(-\mathrm{1}+a{c}^{\mathrm{2}}\right){\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}}，

n={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(t+x+\frac{t}{\mathrm{2}a{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right)\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}a\left(-\mathrm{1}+a{c}^{\mathrm{2}}\right){\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}}}。

取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{2}i，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}+\mathrm{2}\mathrm{i}，a=\mathrm{1},c=\mathrm{2}，得到kink型周期波解见图1；取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.8}+\mathrm{0.53}i，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.8}-\mathrm{0.53}\mathrm{i}，a=\mathrm{1},c=1，得到呼吸子见图2。

当N=\mathrm{2}时，将式（16）代入式（15），取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.7}+\mathrm{0.3}\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.7}-\mathrm{0.3}\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{4}}=-\mathrm{i},a=\mathrm{1},c=\mathrm{1},得到了周期波背景上的呼吸子解见图3；取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.5}+\mathrm{0.01}\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5}-\mathrm{0.01}\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}+\mathrm{2}\mathrm{i},{\lambda }_{\mathrm{4}}=-\mathrm{2}\mathrm{i},a=\mathrm{1}，c=1，得到kink型周期波背景上的亮暗孤子解见图4。

3 周期背景上的怪波、呼吸子和复合波解

基于文献［4，7⁃8］，半退化达布变换是构造怪波和周期怪波的重要工具。在构造方法的基础上，定义了

{\lambda }^j\Phi ={\Phi }_{[l,j,\mathrm{0}]}+{\Phi }_{[l,j,\mathrm{1}]}\epsilon +{\Phi }_{[l,j,\mathrm{2}]}{\epsilon }^{\mathrm{2}}+\dots +{\Phi }_{[l,j,k]}{\epsilon }^k+\dots ,(\mathrm{17})

其中\epsilon是实数，且有

{\Phi }_{[l,j,k]}=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi {\left(x,t\right)}_{[l,j,k]}}{\phi {\left(-x,-t\right)}_{[l,j,k]}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial {\epsilon }^k}[{\left({\lambda }_l+\epsilon \right)}^j\varphi \left({\lambda }_l+\epsilon \right)]\mathrm{。}(\mathrm{18})

当n=\mathrm{2}N时， 设{\lambda }_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{1}}^{*}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(ac-\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}\right)，基于式（15）利用半退化达布变换得到

q^{[N]}=q+\frac{E_{-\left(N-\mathrm{1}\right)}}{R^{[N]}},(\mathrm{19})

R^{[N]}=\left[\begin{array}{ccccc}{\phi }_{[\mathrm{1},N,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},N-\mathrm{1,1}]}& ...& {\phi }_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{2}\right),\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{1}\right),\mathrm{1}]}\\ {\phi }_{[\mathrm{2},N,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},N-\mathrm{1,1}]}& \cdots & {\phi }_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{2}\right),\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{1}\right),\mathrm{1}]}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\phi }_{[\mathrm{1},N,N-,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},N-\mathrm{1},N-\mathrm{1}]}& \cdots & {\phi }_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{2}\right),N-\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{1}\right),N-\mathrm{1}]}\\ {\phi }_{[\mathrm{2},N,N-\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},N-\mathrm{1,1}]}& ...& {\phi }_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{2}\right),N-\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{1}\right),N-\mathrm{1}]}\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& ...& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& ...& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{1}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)\end{array}\right]，

E_{-\left(N-\mathrm{1}\right)}=\left[\begin{array}{ccccc}{\phi }_{[\mathrm{1},N,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},N-\mathrm{1,1}]}& ...& {\phi }_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{2}\right),\mathrm{1}]}& -{\phi }_{[\mathrm{1},-N,\mathrm{1}]}\\ {\phi }_{[\mathrm{2},N,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},N-\mathrm{1,1}]}& \cdots & {\phi }_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{2}\right),\mathrm{1}]}& -{\phi }_{[\mathrm{2},-N,\mathrm{1}]}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {\phi }_{[\mathrm{1},N,N-,\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{1},N-\mathrm{1},N-\mathrm{1}]}& \cdots & {\phi }_{[\mathrm{1},-\left(N-\mathrm{2}\right),N-\mathrm{1}]}& -{\phi }_{[\mathrm{1},-N,N-\mathrm{1}]}\\ {\phi }_{[\mathrm{2},N,N-\mathrm{1}]}& \phi {\left(-x,-t\right)}_{[\mathrm{2},N-\mathrm{1,1}]}& ...& {\phi }_{[\mathrm{2},-\left(N-\mathrm{2}\right),N-\mathrm{1}]}& -{\phi }_{[\mathrm{2},-N,N-\mathrm{1}]}\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^N{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(-x,-t\right)& ...& {\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N-\mathrm{1}}\left(x,t\right)\\ {\lambda }_{\mathrm{2}N}^N{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{N-\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(-x,-t\right)& ...& {\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-\left(N-\mathrm{2}\right)}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)& -{\lambda }_{\mathrm{2}N}^{-N}{\phi }_{\mathrm{2}N}\left(x,t\right)\end{array}\right]\mathrm{。}

将式（18）代入式（19），得到逆时空非局域FL方程的怪波、呼吸子及其复合波解。通过调整参数，周期背景上的怪波将退化为平面波背景上的怪波。

当N=\mathrm{1}时，将式（18）代入式（19），取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}， a=\mathrm{1}，c=-\mathrm{1}，得到一阶怪波见图5（a）；取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}， a=\mathrm{1}，c=-\mathrm{1}，得到一阶怪波的等高线图见图5（b）。

当N=\mathrm{2}时，将式（18）代入式（19），取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}， {\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.5}\mathrm{i}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=-\mathrm{0.5}\mathrm{i}，a=\mathrm{1},c=\mathrm{1}，得到一阶怪波见图6（a）；取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=-\mathrm{0.5}i，{\lambda }_{\mathrm{4}}=\mathrm{1}+\mathrm{0.5}\mathrm{i}，a=\mathrm{1},c=\mathrm{1}，得到周期波背景上的一阶怪波见图6（b）。

当N=\mathrm{2}时，将式（18）代入式（19），取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.7}+\mathrm{0.3}\mathrm{i}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0.7}-\mathrm{0.3}i，a=\mathrm{1}，c=\mathrm{1}，得到呼吸子和一阶怪波的混合解，如图7（a）所示；取参数，{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}， {\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.5}+\mathrm{0.01}i，{\lambda }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0.5}-\mathrm{0.01}i，a=\mathrm{1}，c=1，得到周期波背景上的呼吸子和一阶怪波的复合波解，如图7（b）所示。

当N=\mathrm{2}时，将式（18）代入式（19），取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}， {\lambda }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，a=\mathrm{1}，c=\mathrm{1}，得到二阶怪波见图8（a）；取参数{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}ac-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{2}a-a^{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{2}}}，a=\mathrm{1}，c=\mathrm{1}得到二阶怪波的等高线图见图8（b）。

4 结论

本文利用平面波种子解构造了孤子、呼吸子、周期波及其复合波解。利用偶阶达布变换和半退化达布变换公式，推导出了逆时空非局域FL方程周期背景上的怪波以及怪波与呼吸子的复合波解。当参数值为纯虚值时，周期背景消失，周期波背景上的怪波退化为平面波背景上的怪波。怪波与周期背景上的调制不稳定性有关，它们之间的关联和性质还有待研究。

参考文献

[1] LIU W， ZHANG Y， HE J. Rogue wave on a periodic background for Kaup-Newell equation［J］. Romanian Reports in Physics， 2018， 70： 106.

[2] PENG W Q， PU J C， CHEN Y. PINN deep learning method for the Chen⁃Lee⁃Liu equation： Rogue wave on the periodic background［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations， 2022， 105： 106067.

[3] JIANG D Z， ZHAQILAO. Breathers and higher order rogue waves on the double-periodic background for the nonlocal Gerdjikov⁃Ivanov equation［J］. Nonlinear Dynamics， 2023， 111（11）： 10459-10472.

[4] ZHOU H， CHEN Y. Breathers and rogue waves on the double-periodic background for the reverse-space-time derivative nonlinear Schrödinger equation［J］. Nonlinear Dynamics， 2021， 106： 3437-3451.

[5] JIA T T， GAO Y T， DENG G F， et al. Quintic time-dependent-coefficient derivative nonlinear Schrödinger equation in hydrodynamics or fiber optics： Bilinear forms and dark/anti-dark/gray solitons［J］. Nonlinear Dynamics， 2019， 98（1）： 269-282.

[6] JIA T T， GAO Y T， YU X， et al. Lax pairs， infinite conservation laws， Darboux transformation， bilinear forms and solitonic interactions for a combined Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff-type equation［J］. Applied Mathematics Letters， 2021， 114： 106702.

[7] HANIF Y， SALEEM U. Broken and unbroken PT-symmetric solutions of semi-discrete nonlocal nonlinear Schrödinger equation［J］. Nonlinear Dynamics， 2019， 98（1）： 233-244.

[8] LOU Y， ZHANG Y， YE R S， et al. Modulation instability， higher-order rogue waves and dynamics of the Gerdjikov⁃Ivanov-equation［J］. Wave Motion， 2021， 106： 102795.

基金资助

国家自然科学基金资助项目“在周期背景上的怪波及其相关问题研究”(12361052)

内蒙古自治区青年科技人才发展资助项目（创新团队）“应用数学团队”(NMGIRT2414)

内蒙古师范大学基本科研业务费资助项目“应用数学创新团队建设项目”(2022JBTD007)