修正Benjamin⁃Bona⁃Mahony方程的精确行波解

The Exact Traveling Wave Solution of the Modified Benjamin-Bona-Mahony Equation

摘要

利用平面动力系统理论，研究修正Benjamin⁃Bona⁃Mahony （mBBM）方程行波解的存在性，得到不同参数条件下的相图和行波解的存在条件。运用广义Riccati辅助方程法给出mBBM方程的双曲解、三角解和有理函数解。并利用Maple软件，分析扭状孤波解、周期解的性状，数值上验证了精确行波解的表达式。

Abstract

The existence of the traveling wave solution of the modified Benjamin-Bona-Mahony （mBBM） equation is studied by using the theory of plane dynamical systems. The phase diagram and conditions for the existence of the traveling wave solution are obtained under different parameters. The generalized Riccati auxiliary equation method is used to derive double perversion， trigonometric， and rational function solutions for the mBBM equation. The properties of torsional solitary wave and periodic wave solutions are analyzed by using Maple software， and numerical verification confirms the expression of exact traveling wave solution.

Graphical abstract

关键词

mBBM方程 / 解的存在性 / 广义Riccati辅助方程法 / 行波解

Key words

mBBM equation / the existence of solutions / generalized Riccati auxiliary equation method / traveling wave solution

构造非线性发展方程的精确行波解是孤波理论的研究课题之一，它为合理地解释相关非线性自然现象提供了理论依据，许多求解非线性发展方程的方法也日益建立和发展，比如：扩展的tanh函数法^［1］、一阶积分法（FIM）^［2］、广义G^{\text{'}}/G展开法^［3］、修正的辅助方程法^［4］等。

本文主要探讨修正Benjamin⁃Bona⁃Mahony（mBBM）方程

u_t+u_x-\alpha u^{\mathrm{2}}{u}_x+u_{xxx}=\mathrm{0}（1）

的精确行波解，文献［5］利用\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\varphi (\xi ))展开法构造了方程（1）的精确行波解，包括双曲解、三角解和有理函数解；文献［6］分别利用tanh和sine⁃cosine方法构造了方程（1）的精确行波解；文献［7］使用截断\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{é}展开方法构造了方程（1）的孤立波解和椭圆函数周期波解；文献［8］利用双曲函数展开法构造了方程（1）的一类扭结-反扭结状的双扭结孤立波解。

广义Riccati辅助方程法实现了扩展tanh函数展开法和广义Riccati方程的结合，是研究非线性发展方程的先进数学工具和构造行波解的一种有效的方法，它可以用于其他非线性数学物理方程。例如：文献［9］利用广义Riccati辅助方程法构造了非线性传输线方程的精确行波解，包括双曲解、三角解和有理函数解，文献［10］利用广义Riccati辅助方程法构造了非线性Bogoyavlenskii方程的精确解族，包括孤子和其他解。通过应用该方法，可以以统一的方式为mBBM方程构造了丰富的行波解，丰富其解系。该方法简单、简洁，是一种常用于求解非线性发展方程精确解的有效方法。

１ 方程（1）行波解的存在性

对方程（1）进行行波变换，设u(x,t)=u(\xi ),\xi =x-ct，方程（1）可化作常微分方程

\beta u^{\text{'}}-\alpha u^{\mathrm{2}}{u}^{\text{'}}+u^{‴}=\mathrm{0}，（2）

其中\beta =\mathrm{1}-c，c为波速，对方程（2）关于\xi积分一次，并令积分常数为零可得

\beta u-\frac{\alpha }{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{3}}+u^{″}=\mathrm{0}。（3）

令x(\xi )=u(\xi ),\mathrm{y}(\xi )=u^{\text{'}}(\xi )，则可将（3）化为如下等价的Hamilton系统：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi }=y,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\xi }=\frac{\alpha }{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}}-\beta x\mathrm{。}\end{array}\right.（4）

系统（4）具有首次积分

H(x,y)=\frac{y^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{\alpha }{\mathrm{12}}{x}^{\mathrm{4}}+\frac{\beta }{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}}=h，（5）

其中h为哈密尔顿量。

接下来对系统（4）进行奇点分析，假设

f(x)=\frac{\alpha }{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}}-\beta x=x(\frac{\alpha }{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{2}}-\beta )=\mathrm{0}，（6）

则f(x)有三个零点，即x_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},x_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha }},x_{\mathrm{2}}=-\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha }}，故系统（4）有三个奇点，即

u_{\mathrm{0}}(\mathrm{0,0})，u_{\mathrm{1}}\left(\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha },}\mathrm{0}\right),u_{\mathrm{2}}\left(-\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha },}\mathrm{0}\right)。

由方程（6）可得f^{\text{'}}(x)=\alpha x^{\mathrm{2}}-\beta，故在奇点u_i(i=\mathrm{0,1},\mathrm{2})处的Jacobi矩阵为

J(u_i,\mathrm{0})=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \alpha {x_i}^{\mathrm{2}}-\beta & \mathrm{0}\end{array}\right)，（7）

其行列式值为\left|J(u_i,\mathrm{0})\right|=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(J(u_i,\mathrm{0})\right)=-\alpha {x_i}^{\mathrm{2}}+\beta，根据平面动力系统理论及方法^{［11⁃12］}可知，若，则对应的奇点为鞍点；若\left|J(u_i,\mathrm{0})\right|>\mathrm{0}，则对应的奇点为中心点； 若\left|J(u_i,\mathrm{0})\right|=\mathrm{0}，则对应的奇点为尖点。因此对系统（4）进行奇点分析有如下结论成立。

（1）当\frac{\beta }{\alpha }>\mathrm{0}时，系统（4）有三个奇点，即u_{\mathrm{0}}(\mathrm{0,0}),u_{\mathrm{1}}\left(\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha },}\mathrm{0}\right),u_{\mathrm{2}}\left(-\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}\beta }{\alpha },}\mathrm{0}\right)；当\alpha >\mathrm{0},\beta >\mathrm{0}时，u_{\mathrm{0}}为中心点，u_{\mathrm{1,2}}为鞍点（相图见图1（a））；当时，u_{\mathrm{0}}为鞍点，u_{\mathrm{1,2}}为中心点（相图见图1（b））。

（2）当时，系统（4）仅有一个奇点，即u_{\mathrm{0}}(\mathrm{0,0})；当时，u_{\mathrm{0}}为中心点（相图见图1（c））；当时，u_{\mathrm{0}}为鞍点（相图见图1（d））。

根据以上定性分析，利用数学软件Maple绘制系统（4）的相图如图1所示。由图1可知，系统（4）存在两条异宿轨，两条同宿轨，无数条闭轨和开轨。根据平面动力系统理论及方法^{［11⁃12］}，系统（4）的异宿轨、同宿轨、闭轨和开轨分别对应着方程（3）的扭状孤波解、钟状孤波解、周期解和无界行波解。并且根据行波变换，可得如下关于方程（1）行波解的性质。

性质1 当\alpha >\mathrm{0},\beta >\mathrm{0}时，方程（1）存在两个扭状孤波解和无数个周期解（见图1（a））；当时，方程（1）存在两个钟状孤波解和无数个周期解（见图1（b））；当时，方程（1）存在无数个周期解（见图1（c））；当时，方程（1）存在无界行波解（见图1（d））。

2 方程（1）的精确行波解

采用广义\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}辅助方程法对方程（1）的行波解进行研究。首先给出广义\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}辅助方程法的基本步骤。

2.1 广义\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}辅助方程法

考虑如下（1+1）维的非线性发展方程

H(u,u_t,u_x,u_{xx},\cdots )=\mathrm{0}，（8）

其中H为其变元u,u_t,u_x,u_{xx},\cdots的多项式。

步骤1 对方程(8)作如下的行波变换

u(x,t)=u(\xi ),\xi =x-ct，（9）

其中c为波速。将行波变换（9）代入方程（8），可得如下常微分方程

F(u,u^{\text{'}},u^{″},\cdots )=\mathrm{0}，（10）

其中u^{\text{'}}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\xi },u^{″}=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{d}{\xi }^{\mathrm{2}}},\cdots \mathrm{。}

步骤2 假设方程（10）具有如下形式的解

u(\xi )={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^m}{a}_i{\varphi }^i，（11）

其中系数a_i(i=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,m)为待定参数。\varphi =\varphi (\xi )满足如下广义Riccati方程

{\varphi }^{\text{'}}(\xi )=q{\varphi }^{\mathrm{2}}(\xi )+p\varphi (\xi )+r，（12）

其中q,p,r是任意非零参数。

步骤3 利用齐次平衡原则，平衡方程（10）中的非线性项和最高阶导数项，由此可确定m的值。将式（11）以及式（12）代入方程（10），可得到一个关于{\varphi }^i(\xi )的多项式函数，合并{\varphi }^i(\xi )的同类项并令其系数等于零，可得到一个关于q,p,r,c,a_i(i=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,m)的代数方程组。

步骤4 利用数学软件Maple求解该代数方程组并结合方程（12）以下情况的解^［13］（13）-（39），可得给出方程（10）的精确行波解，再根据行波变换（9），即可得出方程（8）的行波解的精确表达式。

根据文献［13］，方程（12）具有以下几种情况的精确解。

（1）当\mathrm{\Delta }=p^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}qr>\mathrm{0}且pq\ne \mathrm{0}（或qr\ne \mathrm{0}）时，方程（12）有解

{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（13）

{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（14）

{\varphi }_{\mathrm{3}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}h\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（15）

{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}h\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（16）

{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}q}\left[\mathrm{2}p+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\right)\right],（17）

{\varphi }_{\mathrm{6}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p+\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}+B^{\mathrm{2}})}-A\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B}\right],（18）

{\varphi }_{\mathrm{7}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p-\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }(B^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}})}+A\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B}\right],（19）

其中A,B是两个非零实数，且B^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

{\varphi }_{\mathrm{8}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)},（20）

{\varphi }_{\mathrm{9}}(\xi )=\frac{-\mathrm{2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)},（21）

{\varphi }_{\mathrm{10}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}},（22）

{\varphi }_{\mathrm{11}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}},（23）

{\varphi }_{\mathrm{12}}(\xi )=\frac{\mathrm{4}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)}{-\mathrm{2}p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}。（24）

（2）当且pq\ne \mathrm{0}（或qr\ne \mathrm{0}）时，方程（12）有解

{\varphi }_{\mathrm{13}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（25）

{\varphi }_{\mathrm{14}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（26）

{\varphi }_{\mathrm{15}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（27）

{\varphi }_{\mathrm{16}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[p+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（28）

{\varphi }_{\mathrm{17}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}q}\left[-\mathrm{2}p+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\right)\right],（29）

{\varphi }_{\mathrm{18}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p+\frac{\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}-A\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B}\right],（30）

{\varphi }_{\mathrm{19}}(\xi )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}q}\left[-p-\frac{\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}+A\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B}\right],（31）

其中A,B是两个非零实数，且A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

{\varphi }_{\mathrm{20}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)+p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)},（32）

{\varphi }_{\mathrm{21}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)},（33）

{\varphi }_{\mathrm{22}}(\xi )=-\frac{\mathrm{2}r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}},（34）

{\varphi }_{\mathrm{23}}(\xi )=\frac{\mathrm{2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}},（35）

{\varphi }_{\mathrm{24}}(\xi )=\frac{\mathrm{4}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)}{-\mathrm{2}p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)+\mathrm{2}\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}。（36）

（3）当r=\mathrm{0}且pq\ne \mathrm{0}时，方程（12）有解

{\varphi }_{\mathrm{25}}(\xi )=\frac{-pd}{q\left[d+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)\right]},（37）

{\varphi }_{\mathrm{26}}(\xi )=\frac{p\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)\right]}{q\left[d+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)\right]}。（38）

（4）当q\ne \mathrm{0}且r=p=\mathrm{0}时，方程（12）有解

{\varphi }_{\mathrm{27}}(\xi )=-\frac{\mathrm{1}}{q\xi +c_{\mathrm{1}}},（39）

其中c_{\mathrm{1}}是任意常数。

2.2 方程（1）有界行波解的精确表达式

利用广义Riccati辅助方程法构造方程（1）的精确行波解，通过平衡方程（3）中的非线性项u^{\mathrm{3}}和最高阶导数项u^{″}，可得m=\mathrm{1}。因此，假设方程（1）具有如下形式的解

u(\xi )=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\varphi (\xi )，（40）

其中a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}为待确定参数，\varphi (\xi )满足式（12）。由方程（40）和（12）可推得

u^{\mathrm{3}}(\xi )=a_{\mathrm{0}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{1}}\varphi (\xi )+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{0}}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\varphi }^{\mathrm{2}}(\xi )+a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\varphi }^{\mathrm{3}}(\xi )，（41）

u^{″}(\xi )=pr{a}_{\mathrm{1}}+(p^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}qr)a_{\mathrm{1}}\varphi (\xi )+\mathrm{3}pq{a}_{\mathrm{1}}{\varphi }^{\mathrm{2}}(\xi )+\mathrm{2}{q}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{1}}{\varphi }^{\mathrm{3}}(\xi )。（42）

将方程（40）、（41）和（42）代入方程（3），合并{\varphi }^i(\xi )(i=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3})的同类项并令其系数等于零，可得到一个关于q,p,r,c,a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}的代数方程组

\begin{array}{l}{\varphi }^{\mathrm{0}}(\xi ):-\frac{\alpha a_{\mathrm{0}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}+pr{a}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-c)a_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},\\ {\varphi }^{\mathrm{1}}(\xi ):-a_{\mathrm{1}}(\alpha a_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-p^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}qr+c-\mathrm{1})=\mathrm{0},\\ {\varphi }^{\mathrm{2}}(\xi ):-\alpha a_{\mathrm{0}}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}pq{a}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},\\ {\varphi }^{\mathrm{3}}(\xi ):-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\alpha a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{q}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（43）

利用数学软件Maple求解该代数方程组，得到a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},c的值为

a_{\mathrm{0}}=\pm \frac{p}{\mathrm{2}}\sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }},a_{\mathrm{1}}=\pm q\sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }},c=-\frac{p^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}qr+\mathrm{1}，（44）

其中\alpha >\mathrm{0}。

由方程（40）、（44）以及方程（12）的解（13）-（39），可得方程（1）有界行波解的精确表达式。

（1）当\mathrm{\Delta }=p^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}qr>\mathrm{0}且pq\ne \mathrm{0}（或qr\ne \mathrm{0}）时，方程（1）有解

u_{\mathrm{1}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（45）

u_{\mathrm{2}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（46）

u_{\mathrm{3}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}h\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（47）

u_{\mathrm{4}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}h\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（48）

u_{\mathrm{5}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\right)\right],（49）

u_{\mathrm{6}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}+B^{\mathrm{2}})}-A\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{\mathrm{2}\left(A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B\right)}\right],（50）

u_{\mathrm{7}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }(B^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}})}+A\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{\mathrm{2}\left(A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B\right)}\right],（51）

其中A,B是两个非零实数，且B^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

u_{\mathrm{8}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}\right),（52）

u_{\mathrm{9}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}\right),（53）

u_{\mathrm{10}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}\right),（54）

u_{\mathrm{11}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}\right),（55）

u_{\mathrm{12}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)}{-\mathrm{2}p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}\right)。（56）

（2）当且pq\ne \mathrm{0}（或qr\ne \mathrm{0}）时，方程（1）有解

u_{\mathrm{13}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（57）

u_{\mathrm{14}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（58）

u_{\mathrm{15}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（59）

u_{\mathrm{16}}(x,t)=\mp \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\right)\right],（60）

u_{\mathrm{17}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\right)\right],（61）

u_{\mathrm{18}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}-A\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{\mathrm{2}\left(A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B\right)}\right],（62）

u_{\mathrm{19}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left[\frac{\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }(A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}+A\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)}{\mathrm{2}\left(A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+B\right)}\right],（63）

其中A,B是两个非零实数，且A^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

u_{\mathrm{20}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)+p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}\right),（64）

u_{\mathrm{21}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}\right),（65）

u_{\mathrm{22}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}\right),（66）

u_{\mathrm{23}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{2}}\xi \right)}{-p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)+\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\xi \right)\pm \sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}\right),（67）

u_{\mathrm{24}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}qr\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)}{-\mathrm{2}p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)+\mathrm{2}\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{4}}\xi \right)-\sqrt[]{-\mathrm{\Delta }}}\right)。（68）

（3）当r=\mathrm{0}且pq\ne \mathrm{0}时，方程（1）有解

u_{\mathrm{25}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{pd}{d+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)}\right),（69）

u_{\mathrm{26}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{p\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)\right)}{d+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(p\xi \right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(p\xi \right)}\right)。（70）

（4）当q\ne \mathrm{0}且r=p=\mathrm{0}时，方程（1）有解

u_{\mathrm{27}}(x,t)=\pm \sqrt[]{\frac{\mathrm{6}}{\alpha }}\left(\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{q\xi +c_{\mathrm{1}}}\right),（71）

其中\xi =x-\left(-\frac{p^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}qr+\mathrm{1}\right)t，c_{\mathrm{1}}是任意常数。

3 解的性态图

方程(1)的部分解在特定参数值下的性态3D图和2D图,如图2-4所示。图2是方程（1）的解u_{\mathrm{1}}在区间内的3D图（参数为\alpha =\mathrm{6},p=q=\mathrm{2},r=\mathrm{0.25}）和2D图（参数为t=\mathrm{1}）。由图2可以看出，u_{\mathrm{1}}具有单调递减性，为扭状孤立波解。图3是方程（1）的解u_{\mathrm{2}}在区间内的3D图（参数为\alpha =\mathrm{6},p=q=\mathrm{2},r=\mathrm{0.25}）和2D图（参数为t=\mathrm{1}）。由图3可以看出，此解为奇异扭状孤立波解。图4是方程（1）的解u_{\mathrm{13}}在区间内的3D图（参数为\alpha =\mathrm{6},p=q=\mathrm{2},r=\mathrm{1}）和2D图（参数为t=\mathrm{1}）。由图4可以看出，此解为周期解。

4 结论

本文主要讨论了修正Benjamin⁃Bona⁃Mahony （mBBM）方程行波解的存在性及精确表达式，并且数值上验证了精确解的性态，这些解的构造不仅丰富了mBBM方程的解系，更为深入理解mBBM方程解的性质奠定了基础，对更全面地理解由mBBM方程所刻画的物理现象提供参考。

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基金资助

贵州省教育厅自然科学研究资助项目“贵州省高等学校光通讯系统中孤子的数学理论与计算协作创新团队”(黔教技〔2023〕062号)