延迟有限理性条件下Stackelberg-Bertrand博弈的动力学分析

Dynamic Analysis of Stackelberg-Bertrand Game under Delayed Bounded Rationality Conditions

摘要

基于双寡头Stackelberg-Bertrand纳什均衡稳定性问题，利用非线性动力学理论，构建延迟有限理性预期下的动态Stackelberg-Bertrand竞争模型，分析博弈模型均衡解的稳定性及失稳后的非线性动态演化特征。从分岔、最大Lyapunov指数、奇怪吸引子及初始条件敏感性方面进一步进行数值仿真验证。结果表明：延迟有限理性比一般有限理性更有利于增强系统的稳定性，且随着延迟系数的增大，系统的稳定性逐渐增强。

Abstract

Based on the stability problem of the double oligopoly Stackelberg-Bertrand Nash equilibrium， a dynamic Stackelberg-Bertrand competition model under delayed finite rational expectations was constructed by using nonlinear dynamics theory and the stability of the equilibrium solution of the game model and the nonlinear dynamic evolution characteristics after instability were analyzed. The numerical simulations were carried out to verify the theory from the aspects of bifurcation， largest Lyapunov exponent，strange attractor and initial condition sensitivity. The results indicated that the delay bounded rationality was more conducive to enhancement of the stability of the system than that of the general bounded rationality， moreover， the stability of the system gradually increased with the increase of the delay coefficient.

Graphical abstract

关键词

延迟有限理性 / Stackelberg-Bertrand博弈模型 / 非线性动力学 / 混沌

Key words

delayed bounded rationality / Stackelberg-Bertrand model / nonlinear dynamics / chaos

自1838年Cournot^［1］提出寡头垄断模型以来，基本形成了以Cournot模型、Bertrand模型、Stackelberg模型为基础的古典寡头垄断理论。以上模型基于参与人具有完全信息和完全理性行为，但在现实经济中，参与人采取完全理性行为是很难实现的。因此学者们提出了有限理性行为规则，将非线性动力学理论与 博弈论相结合研究寡头市场的动态演化特征。Peng等^［2⁃3］基于有限理性预期双寡头Stackelberg模型，研究了不同参数下系统的稳定性及复杂性。Xiao等^［4］研究了具有有限理性预期和适应性预期的Stackelberg模型系统的动力学特征。董瑞^［5］根据有限理性预期和天真理性预期的动态Stackelberg推测变差模型，分析了当参数处于稳定域外的动态复杂性特征。Yang等^［6］研究了具有不同边际成本的有限理性预期Stackelberg模型的复杂动力学问题。

当参与人参照历史产量或价格决策下一期产量或价格，可以有效规避风险和不确定性。为此，参与人在决策时通常采取延迟有限理性决策行为^［7］。于维生等^［8］基于动态Stackelberg推测变差模型，研究了延迟系数对动态系统的稳定、分岔、混沌等复杂行为的影响。唐淦海^［9］基于延迟有限理性动态产量决策Stackelberg模型，对比了不同延迟系数下系统的复杂动力学行为。肖悦等^［10］对具有延迟决策的异质Stackelberg模型进行研究，分析了影响动力机制的因素。

综上所述，虽然已有研究已经涉及延迟有限理性行为，但都是建立在以产量为选择变量的两阶段动态Stackelberg博弈，而基于价格为选择变量的Stackelberg寡头模型的研究还较少。在Stackelberg-Bertrand 寡头模型中，跟随者具有优势，即后发优势^{［11⁃12］}，此时延迟决策对博弈均衡状态的非线性行为及其演化有何影响鲜有研究。因此，本文采用延迟有限理性预期行为规则，构建延迟决策下的双寡头Stackelberg-Bertrand模型，通过理论分析和数值模拟研究系统纳什均衡的稳定条件及系统演化的动态复杂性。

1 延迟有限理性条件下的Stackelberg-Bertrand模型

设企业1是Stackelberg-Bertrand模型中的领导者企业，企业2是跟随者企业，在此双寡头垄断市场中，两企业生产并销售可替代的同质产品，且产品价格由线性逆需求函数q_i=a-b{p}_i+d{p}_j(i,j=\mathrm{1,2})确定，其中p_i(i=\mathrm{1,2})为产品价格，q_i为企业产量，a表示产品在寡头市场上的最大产量，\mathrm{0}b\mathrm{1}表示需求弹性系数，\mathrm{0}d\le \mathrm{1}表示产品间的相互替代关系。两企业的成本函数为C_i=c_i{q}_i，(i=\mathrm{1,2})，其中c_i\mathrm{0}表示企业的边际成本。两企业的利润函数可以表示为

{\pi }_i(p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}})=(p_i-c_i)(a-b{p}_i+d{p}_j),(i,j=\mathrm{1,2},i\ne j)。（1）

使用逆向归纳法求两企业的子博弈精炼纳什均衡解，其中企业2的边际利润函数为

\frac{\partial {\pi }_{\mathrm{2}}}{\partial p_{\mathrm{2}}}=a+b{c}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}b{p}_{\mathrm{2}}+d{p}_{\mathrm{1}}。（2）

令\frac{\partial {\pi }_{\mathrm{2}}}{\partial p_{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}，得企业2价格p_{\mathrm{2}}的反应函数为s_{\mathrm{2}}(p_{\mathrm{1}})=\frac{a+b{c}_{\mathrm{2}}+d{p}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}b}。企业1可以预测到企业2将根据s_{\mathrm{2}}(p_{\mathrm{1}})选择p_{\mathrm{2}}，则企业1的利润函数为{\pi }_{\mathrm{1}}=(p_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{1}})(a-b{p}_{\mathrm{1}}+d{s}_{\mathrm{2}}(p_{\mathrm{1}}))。

企业1的边际利润函数为

\frac{\partial {\pi }_{\mathrm{1}}}{\partial p_{\mathrm{1}}}=a-(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})p_{\mathrm{1}}+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b}。（3）

可解得此博弈的精炼纳什均衡结果为

\left\{\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{ad+\mathrm{2}ab+bd{c}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}^{\mathrm{2}}},\\ p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{4}a{b}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}abd+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}d+\mathrm{4}{b}^{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}-a{d}^{\mathrm{2}}-b{c}_{\mathrm{2}}{d}^{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}b(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}^{\mathrm{2}})}\mathrm{。}\end{array}\right.（4）

为确保p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\mathrm{0}，需满足\mathrm{0}d\sqrt[]{\mathrm{2}}b。当\mathrm{0}ca时{\pi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\pi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}，跟随者企业更具优势，即后发优势。

在现实市场竞争中，两个企业很难完全获得并预测市场博弈信息，因此两企业是有限理性的，并假设两企业在进行下阶段价格决策时不仅考虑当前利润，还会综合考虑过去连续多期的利润信息，使决策更加严谨，因此可构建具有延迟有限理性的动态价格竞争模型

\left\{\begin{array}{l}{p}_i(t+\mathrm{1})=p_i(t)+v_i{p}_i(t)\frac{\partial {\pi }_i(p_{\mathrm{1}}^D,p_{\mathrm{2}}^D)}{\partial p_i},i=\mathrm{1,2},\\ p_i^D={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^T}{w}_l{p}_i(t-l),w_l\ge \mathrm{0},{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^T}{w}_l=\mathrm{1},i=\mathrm{1,2},\end{array}\right.（5）

其中p_i^D(i=\mathrm{1,2})为各企业本期与以往各期价格的加权组合，延迟系数w_l表示第l期价格的权重，同时也表示第l期边际利润的权重，T为延迟步数，v_i\ge \mathrm{0}(i=\mathrm{1,2})代表企业i的价格调整速度。

为计算方便，令式（5）中T=1（即两企业在进行t+1时刻价格决策时仅考虑t时刻和t-1时刻的利润情况），得动态价格竞争模型为

\left\{\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{1}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{1}}(t)+v_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}(t)(a-(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})(w{p}_{\mathrm{1}}(t)+(\mathrm{1}-w)p_{\mathrm{1}}(t-\mathrm{1}))+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b}),\\ p_{\mathrm{2}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{2}}(t)+v_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}(t)(a+b{c}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}b(w{p}_{\mathrm{2}}(t)+(\mathrm{1}-w)p_{\mathrm{2}}(t-\mathrm{1}))+d(w{p}_{\mathrm{1}}(t)+(\mathrm{1}-w)p_{\mathrm{1}}(t-\mathrm{1}))),\end{array}\right.（6）

式（6）中当w=1时表示无延迟，即两企业为一般有限理性预期；当w=0时表示两企业进行价格决策时仅考虑上一期的利润情况。

2 系统稳定性分析

为便于利用Jacobian矩阵分析系统稳定性，令式（6）中p_{\mathrm{1}}(t-\mathrm{1})=z_{\mathrm{1}}(t)，p_{\mathrm{2}}(t-\mathrm{1})=z_{\mathrm{2}}(t)，整理得

\left\{\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{1}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{1}}(t),\\ z_{\mathrm{2}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{2}}(t),\\ p_{\mathrm{1}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{1}}(t)+v_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}(t)(a-(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})(w{p}_{\mathrm{1}}(t)+(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{1}}(t))+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b}),\\ p_{\mathrm{2}}(t+\mathrm{1})=p_{\mathrm{2}}(t)+v_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}(t)(a+b{c}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}b(w{p}_{\mathrm{2}}(t)+(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{2}}(t))+d(w{p}_{\mathrm{1}}(t)+(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{1}}(t)))\mathrm{。}\end{array}\right.（7）

由此可得到系统的4个均衡点E_{\mathrm{0}}=(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})，E_{\mathrm{1}}=(\mathrm{0},\frac{a+b{c}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b},\mathrm{0},\frac{a+b{c}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b})，E_{\mathrm{2}}=(z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},\mathrm{0},p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},\mathrm{0})，E_{\mathrm{*}}=(z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})，其中z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}，且p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}由式（4）给出，E_{\mathrm{0}}，E_{\mathrm{1}}，E_{\mathrm{2}}为边界均衡点，E_{\mathrm{*}}为纳什均衡点。

为分析均衡点的局部稳定性，求出系统（7）的Jacobian矩阵为

J_{(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}})}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}& a_{\mathrm{33}}& \mathrm{0}\\ d(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}& -\mathrm{2}b(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}& dw{v}_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}& a_{\mathrm{44}}\end{array}\right)，（8）

其中，

a_{\mathrm{33}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{1}}(a-\mathrm{2}(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})w{p}_{\mathrm{1}}(t)-(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{1}}(t)+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b})，

a_{\mathrm{44}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{1}}(a+b{c}_{\mathrm{2}}-\mathrm{4}bw{p}_{\mathrm{2}}(t)-\mathrm{2}b(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{2}}(t)+d(w{p}_{\mathrm{1}}(t)+(\mathrm{1}-w)z_{\mathrm{1}}(t)))。

根据均衡点的局部稳定性条件，当且仅当均衡点所对应的Jacobian矩阵的所有特征根\left|{\lambda }_i\right|\mathrm{1}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})时，均衡点是局部渐近稳定的^［13］，得以下定理。

2.1 边界均衡点的稳定性分析

定理1 边界均衡点E_{\mathrm{0}}是不稳定的。

证明 设在边界均衡点E_{\mathrm{0}}处的Jacobian矩阵为J(E_{\mathrm{0}})=(b_{ij}{)}_{\mathrm{4}\times \mathrm{4}}，将点E_{\mathrm{0}}带入式（8）中得b_{\mathrm{13}}=b_{\mathrm{24}}=\mathrm{1}，b_{\mathrm{33}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{1}}(a+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b})，b_{\mathrm{44}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{2}}(a+b{c}_{\mathrm{2}})，矩阵中其余点为零。

J(E_{\mathrm{0}})的特征根为{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{33}}\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{44}}\mathrm{1}，故边界均衡点E_{\mathrm{0}}不稳定。

定理2 边界均衡点E_{\mathrm{1}}，E_{\mathrm{2}}是鞍点。

证明 在边界均衡点E_{\mathrm{1}}处的Jacobian矩阵为J(E_{\mathrm{1}})=(c_{ij}{)}_{\mathrm{4}\times \mathrm{4}}，将点E_{\mathrm{1}}带入式（8）中得c_{\mathrm{13}}=c_{\mathrm{24}}=\mathrm{1}，c_{\mathrm{33}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{1}}(a+\frac{ad+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b})，c_{\mathrm{41}}=\frac{(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{2}}d(a+b{c}_{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}b}，c_{\mathrm{42}}=-v_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-w)(a+b{c}_{\mathrm{2}})，c_{\mathrm{43}}=\frac{w{v}_{\mathrm{2}}d(a+b{c}_{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}b}，c_{\mathrm{44}}=\mathrm{1}-w{v}_{\mathrm{2}}(a+b{c}_{\mathrm{2}})，矩阵中其余点为零。

J(E_{\mathrm{1}})的特征根为{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{33}}\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{4}}=c_{\mathrm{44}}\mathrm{1}，故边界均衡点E_{\mathrm{1}}是鞍点。同理可证得边界均衡点E_{\mathrm{2}}是鞍点。

2.2 纳什均衡点的稳定性分析

在点E_{\mathrm{*}}处的Jacobian矩阵为

J(E_{\mathrm{*}})=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -(\mathrm{2}b-\frac{d^{\mathrm{2}}}{b})(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}& a_{\mathrm{33}}& \mathrm{0}\\ d(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{2}}{p_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}& -\mathrm{2}b(\mathrm{1}-w)v_{\mathrm{2}}{p_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}& dw{v}_{\mathrm{2}}{p_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}& a_{\mathrm{44}}\end{array}\right)，（9）

其中a_{\mathrm{33}}=\mathrm{1}-w{v}_{\mathrm{1}}\frac{ad+\mathrm{2}ab+\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}+bd{c}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b}，a_{\mathrm{44}}=\mathrm{1}+v_{\mathrm{2}}(a+b{c}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}b(\mathrm{1}+w)p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}+d{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})。

J(E_{\mathrm{*}})特征多项式为{\lambda }^{\mathrm{4}}+{\mu }_{\mathrm{1}}{\lambda }^{\mathrm{3}}+{\mu }_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+{\mu }_{\mathrm{3}}\lambda +{\mu }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}。其中{\mu }_{\mathrm{1}}=-a_{\mathrm{33}}-a_{\mathrm{44}}，{\mu }_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{33}}\cdot a_{\mathrm{44}}，{\mu }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，{\mu }_{\mathrm{4}}=-(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}^{\mathrm{2}}){(\mathrm{1}-w)}^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{p}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}。

\left|{\lambda }_i\right|\mathrm{1}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})的充要条件是如下Jury条件成立：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{1}}+{\mu }_{\mathrm{2}}+{\mu }_{\mathrm{3}}+{\mu }_{\mathrm{4}}\mathrm{0},\\ \mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{1}}+{\mu }_{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{3}}+{\mu }_{\mathrm{4}}\mathrm{0},\\ \left|{\mu }_{\mathrm{4}}\right|\mathrm{1},\\ \begin{array}{l}\left|{\mu }_{\mathrm{3}}-{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{4}}\right|\left|\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}\right|,\\ \left|(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}})({\mu }_{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{4}})-({\mu }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{4}})({\mu }_{\mathrm{3}}-{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{4}})\right|\left|(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}-({\mu }_{\mathrm{3}}-{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{4}}{)}^{\mathrm{2}}\right|\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.（10）

当系统满足\mathrm{0}d\sqrt[]{\mathrm{2}}b，\mathrm{0}{c}_{i}a(i=\mathrm{1,2})及上述Jury条件时，纳什均衡点E_{\mathrm{*}}是稳定的。

3 数值模拟

为了更直观地了解延迟决策对动态模型系统的影响，对双寡头动态系统（7）进行数值模拟，观察在无延迟（w=1）和延迟（w=0.6，w=0.7）情况下，单参数变化的企业价格分岔图、最大Lyapunov指数图、奇怪吸引子图及对初始条件敏感性，分析延迟决策对系统动态演化特征的影响。模型中参数取值a=\mathrm{2}，b=\mathrm{0.5}，d=\mathrm{0.3}，c_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.2}，c_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.4}，得到均衡点E_{\mathrm{*}}=(\mathrm{3.344,3.203})。

3.1 分岔与混沌分析

v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.6}时两企业价格随v_{\mathrm{1}}变化的分岔图如图1所示。当w=1时，均衡点E_{\mathrm{*}}在v_{\mathrm{1}}\mathrm{0.73}时处于稳定状态，v_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.73}时系统发生第一次分岔，当v_{\mathrm{1}}\mathrm{0.95}时系统进入混沌状态，两企业的价格不再稳定；当w=0.6时，v_{\mathrm{1}}\mathrm{0.91}时系统处于稳定状态，之后随着v_{\mathrm{1}}增大系统进入混沌状态；w=0.7时，系统在v_{\mathrm{1}}变化范围内始终保持稳定。对比可知，延迟决策比一般有限理性更有利于增强系统的稳定性，且随着延迟系数的增大，系统的稳定性逐渐增强。

v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.4}时两企业价格随v_{\mathrm{1}}变化的分岔图如图2所示。对比发现，系统的动态演化特征和延迟系数之间的关系与v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.6}时的情况相同。因此，延迟决策可以增强系统（7）的稳定性，有效地控制混沌出现；延迟系数的增大，可以提高系统稳定性。

最大Lyapunov指数可以用于描述系统动力学特征；当最大Lyapunov指数小于0时，系统是周期稳定的；最大Lyapunov指数大于0时，系统将处于混沌状态。图3为v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.6}时与图1相对应的最大Lyapunov指数图，图4为v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.4}时与图2相对应的最大Lyapunov指数图。分别比较图中不同延迟系数下最大Lyapunov指数小于0时v_{\mathrm{1}}的数值范围，可知最大Lyapunov指数大于0与延迟系数呈正相关性。

3.2 奇怪吸引子

奇怪吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。图5为v_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.95}，v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.6}，延迟系数取不同值时，与图1中混沌现象相对应的奇怪吸引子。由图5可知，与w=0.6时的奇怪吸引子图像相比，无延迟（w=1）的图像结构更为复杂，说明延迟有限理性预期的引入使奇怪吸引子图的复杂性相对减弱，即延迟决策利于系统（7）的稳定。

3.3 初始条件敏感性分析

对初始条件的敏感依赖性是非线性动力学系统混沌现象的特征之一。为分析系统混沌状态下延迟决策对初始敏感性的影响，设两企业的价格初值为(z_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),z_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}))=(\mathrm{3,3},\mathrm{3,3})，其他参数取值为a=\mathrm{2}，b=\mathrm{0.5}，d=\mathrm{0.3}，c_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.2}，c_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.4}，v_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.95}，v_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.6}。图6为企业价格初值分别为(z_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),z_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}))和(z_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),z_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\mathrm{0.0001},p_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}))时不同延迟系数下企业1价格随时间变化的情况。当w=1时，初期不同初值下企业1价格变化并不显著，但随着时间推进，企业价格变化表现出明显的差异性；当w=0.6时，企业价格随时间变化较为平稳，对初始值的敏感性较弱。因此，延迟决策可以减弱系统对初始条件的敏感性。

图7为企业价格初值分别为(z_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),z_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}))和(z_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),z_{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),p_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+\mathrm{0.0001})时企业2价格随时间的变化图。对比发现，系统的动态演化特征和延迟决策之间的关系与图6情况相同。

4 结论

本文建立了具有延迟有限理性的动态Stackelberg-Bertrand模型，对模型进行了理论分析和数值模拟。理论分析表明，当参数满足Jury条件时，系统处于稳定状态。在数值模拟部分，探究了延迟系数w取不同值时，系统随单参数变化的价格分岔图、最大Lyapunov指数、奇怪吸引子及对初始条件敏感依赖性角度，对比分析有无延迟决策时系统的动力学特征。得出结论：与一般有限理性预期相比，延迟有限理性预期可以增强系统稳定性，并且延迟系数的增加系统的稳定性逐渐增强。

参考文献

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基金资助

教育部人文社会科学规划资助项目“量子博弈视角下寡头垄断企业均衡策略的复杂性机理及应用研究”(21YJA630116)

辽宁省教育厅基本科研资助项目“高维数据下竞争风险模型的变量选择方法研究”(LJKMZ20221412)