基于改进TOPSIS的三角直觉模糊多属性群决策方法

A Trigonometric Intuitionistic Fuzzy Multi-attribute Group Decision-making Method Based on Improved TOPSIS

摘要

针对属性值为三角直觉模糊数，决策者权重已知的多属性群决策问题，提出基于灰色关联度的TOPSIS多属性群决策方法。首先根据决策者对各个属性的打分评级结果，将模糊的语言变量转化为三角直觉模糊数，集结决策者评价信息矩阵，基于属性值离差最大化求出各属性的权重向量，计算备选方案加权决策矩阵；其次，引入灰色关联度，基于模糊正理想点和模糊负理想点计算每个备选方案的灰色关联度，计算每个备选方案的相对贴近度，从而确定每个备选方案的顺序；最后，通过实例分析，验证该方法的有效性。

Abstract

In light of the multi-attribute group decision-making problem in which the attribute values are triangular intuitionistic fuzzy numbers （TIFN） and the weights of decision makers are known， a gray correlation-based TOPSIS multi-attribute group decision-making method is proposed. Firstly， the fuzzy linguistic variables are converted into triangular intuitionistic fuzzy numbers according to the scoring and rating results of each attribute by experts， the decision matrix of each expert is assembled， the weight vector of each attribute is derived based on maximizing the deviation of attribute values， and the weighted decision matrix of alternatives is calculated. Secondly， grey correlation is introduced， and the grey correlation of each alternative is calculated based on the fuzzy positive and fuzzy negative ideal points， and then the relative proximity of each alternative is calculated， thereby determining the order of each alternative. Finally， the effectiveness of the method is verified through case analysis.

关键词

多属性群决策 / 三角直角模糊数 / 灰色关联度 / 集结 / TOPSIS法

Key words

group decision-making / triangular intuitionistic fuzzy number / grey relational degree / aggregation / TOPSIS

随着人类社会的不断发展，单一的选择理论已经不足以应对真实社会，须考虑一些相关因素，模糊多属性决策应运而生。文献［1］研究了用不完整的偏好信息确定属性权重的最小平均加权偏差法。文献［2］针对属性权重信息不完全且属性值为精确数，区间数和模糊数相结合的混合型多属性决策问题，提出了一种基于理想解的多属性决策的灰色关联分析方法。其中，属性值为三角直觉模糊数的多属性决策研究引人关注，如文献［3⁃4］介绍了三角直觉模糊数、割集的概念以及算术运算。考虑多属性群决策能够避免专家的主观性，文献［5］提出了一种简单的直观模糊数比较准则，即模糊数连续有序加权算子对直觉模糊数中的三角模糊数集结。文献［6］考虑属性值为三角模糊数，引入灰色关联分析的决策分析方法；文献［7］通过剖析现实生活中数据对象复杂性以及决策人思考的犹豫模糊性，提出了基于三角模糊数的犹豫直觉模糊集决策方法。文献［8］针对属性权重信息和决策者权重信息完全已知，且属性值以三角模糊数形式表示的多属性群决策问题，提出了一种基于灰色关联分析拓展的决策分析方法。文献［9］定义了三角犹豫直觉模糊数新的比较规则，引入模糊测度及Choquet积分，定义了三角犹豫直觉模糊关联有序加权几何平均算子（R⁃THIOWGA），解决模糊关联多属性决策问题。

然而，权重属性完全未知的三角直觉模糊数多属性群决策问题目前还没有得到很好的研究。针对三角直觉模糊数多属性群决策问题，本文首先将模糊的语言变量转化为三角直觉模糊数，集结各位决策者的评价矩阵，求出各属性的权重；其次，在TOPSIS方法的基础上引入了灰色关联度，以便于备选方案的排序，为解决多属性群决策问题提供了新的路径。

1 预备知识

定义1^［3］ 三角直觉模糊数（TIFN）\tilde{a}=〈(\underline{a},a,\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉，是实数集R上的直觉模糊数，则其隶属度与非隶属度表示为

u_{\tilde{a}}(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-\underline{a}){\omega }_{\tilde{a}}/(a-\underline{a}),\underline{a}\le xa,\\ {\omega }_{\tilde{a}},x=a,\\ (\overline{a}-x){\omega }_{\tilde{a}}/(\overline{a}-a),ax\le \overline{a},\\ \mathrm{0},x\underline{a},x\overline{a};\end{array}\right.（1）

{\nu }_{\tilde{a}}(x)=\left\{\begin{array}{l}\left[a-x+{\mu }_{\tilde{a}}(x-\underline{a})\right]/(a-\underline{a}),\underline{a}\le xa,\\ {\mu }_{\tilde{a}},x=a,\\ \left[x-a+{\mu }_{\tilde{a}}(\overline{a}-x)\right]/(\overline{a}-a),ax\le \overline{a},\\ \mathrm{1},x\underline{a},x\overline{a}\mathrm{。}\end{array}\right.（2）

式中，{\omega }_{\tilde{a}}和{\mu }_{\tilde{a}}表示\tilde{a}的最大隶属度和最小非隶属度，且满足条件\mathrm{0}\le {\omega }_{\tilde{a}}\le \mathrm{1}，\mathrm{0}\le {\mu }_{\tilde{a}}\le \mathrm{1}和\mathrm{0}\le {\omega }_{\tilde{a}}^{\mathrm{2}}+{\mu }_{\tilde{a}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}。令{\pi }_{\tilde{a}}(x)=\mathrm{1}-u_{\tilde{a}}^{\mathrm{2}}(x)-{\nu }_{\tilde{a}}^{\mathrm{2}}(x)，则称{\pi }_{\tilde{a}}(x)为三角直觉模糊数\tilde{a}在x处的犹豫度。显然{\pi }_{\tilde{a}}也属于[\mathrm{0,1}]。特别地，若{\pi }_{\tilde{a}}=\mathrm{0}，则\tilde{a}退化为模糊数。

定义2^［3］ 设\tilde{a}=〈(\underline{a},a,\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉和\tilde{b}=〈(\underline{b},b,\overline{b});{\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{b}}〉为两个三角直觉模糊数，k\ne \mathrm{0}是任意实数，则其运算法则为

\tilde{a}+\tilde{b}=〈(\underline{a}+\underline{b},a+b,\overline{a}+\overline{b});{\omega }_{\tilde{a}}\wedge {\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{a}}\vee {\mu }_{\tilde{b}}〉，（3）

\tilde{a}-\tilde{b}=〈(\underline{a}-\underline{b},a-b,\overline{a}-\overline{b});{\omega }_{\tilde{a}}\wedge {\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{a}}\vee {\mu }_{\tilde{b}}〉，（4）

\tilde{a}\times \tilde{b}=\left\{\begin{array}{l}〈(\underline{a}\underline{b},ab,\overline{a}\overline{b});{\omega }_{\tilde{a}}\wedge {\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{a}}\vee {\mu }_{\tilde{b}}〉,\tilde{a}\mathrm{0},\tilde{b}\mathrm{0},\\ 〈(\underline{a}\overline{b},ab,\overline{a}\underline{b});{\omega }_{\tilde{a}}\wedge {\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{a}}\vee {\mu }_{\tilde{b}}〉,\tilde{a}\mathrm{0},\tilde{b}\mathrm{0},\\ 〈(\overline{a}\overline{b},ab,\underline{a}\underline{b});{\omega }_{\tilde{a}}\wedge {\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{a}}\vee {\mu }_{\tilde{b}}〉,\tilde{a}\mathrm{0},\tilde{b}\mathrm{0},\end{array}\right.（5）

k\tilde{a}=\left\{\begin{array}{l}〈(k\underline{a},ka,k\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉,k\mathrm{0},\\ 〈(k\overline{a},ka,k\underline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉,k\mathrm{0},\end{array}\right.（6）

{\tilde{a}}^{-\mathrm{1}}=〈(\mathrm{1}/\overline{a},\mathrm{1}/a,\mathrm{1}/\underline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉,\tilde{a}\ne \mathrm{0}。（7）

其中，符号“\wedge”和“\vee”分别表示取小和取大运算。 若\underline{a}\ge \mathrm{0}且\overline{a}\mathrm{0}，那么TIFN\tilde{a}=〈(\underline{a},a,\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉称为正TIFN，用\tilde{a}\mathrm{0}表示；若\overline{a}\le \mathrm{0}且\underline{a}\mathrm{0}，则TIFN\tilde{a}=〈(\underline{a},a,\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉称为负TIFN，用\tilde{a}\mathrm{0}表示。

定义3^［7］ 设\tilde{a}=〈(\underline{a},a,\overline{a});{\omega }_{\tilde{a}},{\mu }_{\tilde{a}}〉和\tilde{b}=〈(\underline{b},b,\overline{b});{\omega }_{\tilde{b}},{\mu }_{\tilde{b}}〉为两个三角直觉模糊数，则三角直觉模糊数\tilde{a}和\tilde{b}的Hamming距离定义为

\begin{array}{l}d(\tilde{a},\tilde{b})=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}(\left|(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{a}}-{\mu }_{\tilde{a}})\underline{a}-(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{b}}-{\mu }_{\tilde{b}})\underline{b}\right|+\\ \left|(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{a}}-{\mu }_{\tilde{a}})a-(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{b}}-{\mu }_{\tilde{b}})b\right|+\\ \left|(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{a}}-{\mu }_{\tilde{a}})\overline{a}-(\mathrm{1}+{\omega }_{\tilde{b}}-{\mu }_{\tilde{b}})\overline{b}\right|)\mathrm{。}\end{array}（8）

定义4^［5］ 设{\tilde{a}}_s=〈({\underline{a}}_s,a_s,{\overline{a}}_s);{\omega }_{{\tilde{a}}_s},{\mu }_{{\tilde{a}}_s}〉,s=\mathrm{1,2},\cdots ,l为一组三角直觉模糊数，设三角直觉模糊加权平均算子TIFWA：{\mathrm{\Omega }}^n\to \mathrm{\Omega }，

\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{W}{\mathrm{A}}_{\varpi }({\tilde{a}}_{\mathrm{1}},{\tilde{a}}_{\mathrm{2}},{\tilde{a}}_{\mathrm{3}},\dots ,{\tilde{a}}_l)={\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s{\tilde{a}}_s=〈({\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s{\underline{a}}_s,{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s{a}_s,{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s{\overline{a}}_s);\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{{\tilde{a}}_s}),\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mu }_{{\tilde{a}}_s})〉，（9）

其中\varpi =({\varpi }_{\mathrm{1}},{\varpi }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\varpi }_l)是{\tilde{a}}_s的权重向量，{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s=\mathrm{1}，且\mathrm{0}\le {\varpi }_s\le \mathrm{1}。

2 基于灰色关联度的 TOPSIS的三角直觉模糊多属性群决策模型

2.1 问题描述

对于多属性群决策问题，设DM=\left\{D{M}_{\mathrm{1}},D{M}_{\mathrm{2}},\cdots ,D{M}_l\right\}为多属性群决策的决策者集合，\varpi =({\varpi }_{\mathrm{1}},{\varpi }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\varpi }_l)为决策者D{M}_s的权重向量，其中{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^l}{\varpi }_s=\mathrm{1}，且\mathrm{0}\le {\varpi }_s\le \mathrm{1}。A=\left\{A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},\cdots ,A_n\right\}为方案集合，C=\left\{C_{\mathrm{1}},C_{\mathrm{2}},\cdots ,C_m\right\}为属性集，w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_m{)}^{\mathrm{T}}为属性的权重向量，其中w_i\in [\mathrm{0,1}]，且{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{w}_i=\mathrm{1}。决策者D{M}_s给出方案A_j在属性C_i下的属性值{\tilde{a}}_{ij}^{(s)}，从而构成决策矩阵{\tilde{A}}^{(s)}=({\tilde{a}}_{ij}^{(s)}{)}_{m\times n}。

2.2 决策步骤

步骤1 利用TIFWA算子通过式（9）对决策者D{M}_s给出的方案A_j的在属性C_i下的模糊语言评估信息{\tilde{a}}_{ij}^{(s)}进行群集结，得到群集结矩阵B=({\tilde{b}}_{ij}{)}_{m\times n}。

步骤2 利用式（10）、（11）对群集结矩阵B=({\tilde{b}}_{ij}{)}_{m\times n}进行规范化处理，得到规范化评价信息矩阵

R=({\tilde{r}}_{ij}{)}_{m\times n}=〈({\underline{r}}_{ij},r_{ij},{\overline{r}}_{ij});{\omega }_{{\tilde{r}}_{ij}},{\mu }_{{\tilde{r}}_{ij}}〉。

效益型评价属性规范化公式为^［5］

{\underline{r}}_{ij}=\frac{{\underline{b}}_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}({\underline{b}}_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}},r_{ij=}\frac{b_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}(b_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}},{\overline{r}}_{ij}=\frac{{\overline{b}}_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}({\overline{b}}_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}}；（10）

成本型评价属性规范化公式为^［5］

{\underline{r}}_{ij}=\frac{\mathrm{1}/{\overline{b}}_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}(\mathrm{1}/{\underline{b}}_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}},r_{ij=}\frac{\mathrm{1}/b_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}(\mathrm{1}/b_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}},{\overline{r}}_{ij}=\frac{\mathrm{1}/{\underline{b}}_{ij}}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}(\mathrm{1}/{\overline{b}}_{ij}{)}^{\mathrm{2}}}}。（11）

步骤3 利用群集结矩阵信息确定各属性的权重。由于属性权重完全未知，在规范化评价信息矩阵R=({\tilde{r}}_{ij}{)}_{m\times n}中，对第i个属性值C_i，所有决策方案与其他决策方案的总离差为d(w_i)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})w_i，从而，权重向量w的取值应使所有属性对所有决策方案的总离差最大，因此，建立如下线性规划模型^［1］：

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}d(w)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})w_i,\\ s.t.\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{w}_i^{\mathrm{2}}=\mathrm{1},\\ w_i\ge \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.\end{array}（12）

解此模型，构造Lagrange乘子函数

L(w,\lambda )={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})w_i+\lambda ({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{w}_i^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})。（13）

求其偏导数，并令

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial w_i}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})+\mathrm{2}\lambda w_i=\mathrm{0},\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{w}_i^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（14）

求得解

w_i=\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})}{\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\left({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})\right)}^{\mathrm{2}}}}。（15）

归一化得

w_i=\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}d({\tilde{r}}_{ij},{\tilde{r}}_{ik})}。（16）

由此可得属性权重向量w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_m{)}^{\mathrm{T}}。

步骤4 计算加权归一化三角直觉模糊决策矩阵\tilde{Y}。

\tilde{Y}={\left[{\tilde{y}}_{ij}\right]}_{m\times n}={\left[{\tilde{r}}_{ij}\times w_i\right]}_{m\times n},i=\mathrm{1,2},\dots ,m,j=\mathrm{1,2},\dots ,n。（17）

步骤5 定义三角直觉模糊数的正理想点Y^{+}和负理想点Y^{-}分别为

Y^{+}=[{\tilde{y}}_{\mathrm{1}}^{+},{\tilde{y}}_{\mathrm{2}}^{+},\cdots ,{\tilde{y}}_m^{+}]，（18）

Y^{-}=[{\tilde{y}}_{\mathrm{1}}^{-},{\tilde{y}}_{\mathrm{2}}^{-},\cdots ,{\tilde{y}}_m^{-}]，（19）

其中，

{\tilde{y}}_i^{+}=\left(\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\underline{y}}_{ij},\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{y}_{ij},\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\overline{y}}_{ij}\right)，（20）

{\tilde{y}}_i^{-}=\left(\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\underline{y}}_{ij},\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{y}_{ij},\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\overline{y}}_{ij}\right)。（21）

步骤6 计算各备选方案与正、负理想点的三角直觉模糊灰色关联系数{\xi }_{ij}^{+},{\xi }_{ij}^{-}。各备选方案到正理想点的灰色关联系数^［6］为

{\xi }_{ij}^{+}=\frac{\underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}d({\tilde{y}}_i^{+},{\tilde{y}}_{ij})+\rho \underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}d({\tilde{y}}_i^{+},{\tilde{y}}_{ij})}{d({\tilde{y}}_i^{+},{\tilde{y}}_{ij})+\rho \underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}d({\tilde{y}}_i^{+},{\tilde{y}}_{ij})}，（22）

各备选方案到负理想点的灰色关联系数^［6］为

{\xi }_{ij}^{-}=\frac{\underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}d({\tilde{y}}_{ij},{\tilde{y}}_i^{-})+\rho \underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}d({\tilde{y}}_{ij},{\tilde{y}}_i^{-})}{d({\tilde{y}}_{ij},{\tilde{y}}_i^{-})+\rho \underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{\mathrm{1}\le j\le n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}d({\tilde{y}}_{ij},{\tilde{y}}_i^{-})}，（23）

其中，分辨系数\rho =\mathrm{0.5}，范围为[\mathrm{0,1}]，\rho越小，分辨能力越大。

步骤7 计算各备选方案关于正、负理想点的灰色关联度^［6］{\xi }_j^{+}，{\xi }_j^{-}，

{\xi }_j^{+}=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\xi }_{ij}^{+},i=\mathrm{1,2},\dots ,m，（24）

{\xi }_j^{-}=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\xi }_{ij}^{-},i=\mathrm{1,2},\dots ,m。（25）

步骤8 计算相对贴近度^［6］{\zeta }_j，

{\zeta }_j=\frac{{\xi }_j^{+}}{{\xi }_j^{-}+{\xi }_j^{+}},j=\mathrm{1,2},\dots ,n。（26）

步骤9 根据相对贴进度{\zeta }_j的大小对方案进行排序并且择优，相对贴进度{\zeta }_j越大，对应的方案就越优。

3 算例分析

假设一个公司需要考虑招聘一位系统管理者，经过初选后，对三位候选人A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},A_{\mathrm{3}}从四个方面进行考核： C_{\mathrm{1}}（情感的坚定性）、C_{\mathrm{2}}（口头交流能力）、C_{\mathrm{3}}（个性）、C_{\mathrm{4}}（工作经验），四个属性均为效益型属性。3位人力资源管理师D{M}_s（决策者权重{\varpi }_s=(\mathrm{0.3,0.4,0.3})）分别对这3个人才进行评估，具体情况见表1-3。

步骤1 利用TIFWA算子通过式（9）对决策者D{M}_s给出的候选人A_j的在属性C_i下的模糊语言评估信息{\tilde{a}}_{ij}^{(s)}进行群集结，得到群集结矩阵B=({\tilde{b}}_{ij}{)}_{m\times n}，

B=\left[\begin{array}{ccc}〈\left(\mathrm{3.9,5.6,6.6}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉& 〈(\mathrm{3.5,4.9,6.9});\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{3.3,6.4,8.3}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{3.5,4.8,6.4}\right);\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{2.6,5.7,7.4}\right);\mathrm{0.5,0.3}〉& 〈\left(\mathrm{4,5.6,7.6}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉\\ 〈\left(\mathrm{3.2,4.9,6.2}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{4.6,6.3,8}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{4.1,5.5,7.2}\right);\mathrm{0.5,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{5,6},\mathrm{7.7}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{2.8,4.2,6.2}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{6.3,7.6,9}\right);\mathrm{0.6,0.1}〉\end{array}\right]。

步骤2 评价信息规范化。因C_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{C}_{\mathrm{4}}均为效益型属性，故根据式（10）对群集结矩阵B=({\tilde{b}}_{ij}{)}_{m\times n}进行处理得到规范化评价信息矩阵R=({\tilde{r}}_{ij}{)}_{m\times n}，

R=\left[\begin{array}{ccc}〈\left(\mathrm{0.29,0.52,0.83}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉& 〈(\mathrm{0.24,0.46,0.99});\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.20,0.51,0.91}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.26,0.44,0.80}\right);\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.18,0.53,1.07}\right);\mathrm{0.5,0.3}〉& 〈\left(\mathrm{0.25,0.44,0.83}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.24,0.46,0.78}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.32,0.59,1.15}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.25,0.43,0.79}\right);\mathrm{0.5,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.37,0.56,0.97}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.20,0.39,0.89}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.39,0.60,0.98}\right);\mathrm{0.6,0.1}〉\end{array}\right]。

步骤3 根据式（16）确定各属性的权重w，

w={(\mathrm{0.18,0.16,0.37,0.29})}^{\mathrm{T}}。

步骤4 根据式（17）计算加权归一化三角直觉模糊决策矩阵\tilde{Y}，

\tilde{Y}=\left[\begin{array}{ccc}〈\left(\mathrm{0.05,0.09,0.15}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉& 〈(\mathrm{0.04,0.08,0.18});\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.04,0.09,0.16}\right);\mathrm{0.6,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.04,0.07,0.13}\right);\mathrm{0.7,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.03,0.07,0.13}\right);\mathrm{0.5,0.3}〉& 〈\left(\mathrm{0.04,0.07,0.13}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.09,0.17,0.29}\right);\mathrm{0.5,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.12,0.22,0.43}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈(\mathrm{0.09,0.16,0.29});\mathrm{0.5,0.3}〉\\ 〈\left(\mathrm{0.11,0.16,0.28}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.06,0.11,0.26}\right);\mathrm{0.6,0.2}〉& 〈\left(\mathrm{0.11,0.17,0.29}\right);\mathrm{0.6,0.1}〉\end{array}\right]。

步骤5 根据式（18）-（21）确定正理想点Y^{+}和负理想点Y^{-}为

{\tilde{Y}}^{+}={\left[\begin{array}{l}〈(\mathrm{0.05,0.09,0.18});\mathrm{0.7,0.3}〉\\ 〈(\mathrm{0.04,0.07,0.13});\mathrm{0.7,0.3}〉\\ 〈(\mathrm{0.12,0.22,0.43});\mathrm{0.6,0.3}〉\\ 〈(\mathrm{0.11,0.17,0.29});\mathrm{0.6,0.2}〉\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，

{\tilde{Y}}^{-}={\left[\begin{array}{l}〈(\mathrm{0.04,0.08,0.15});\mathrm{0.6,0.2}〉\\ 〈(\mathrm{0.03,0.07,0.13});\mathrm{0.5,0.2}〉\\ 〈(\mathrm{0.09,0.16,0.29});\mathrm{0.5,0.2}〉\\ 〈(\mathrm{0.06,0.11,0.26});\mathrm{0.6,0.1}〉\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。

步骤6 根据式（22）-（23）计算各备选方案与正、负理想点的三角直觉模糊灰色关联系数{\xi }_{ij}^{+},{\xi }_{ij}^{-}，

{\xi }^{+}={\left({\xi }_{ij}^{+}\right)}_{\mathrm{4}\times \mathrm{3}}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}\mathrm{0.81}\\ \mathrm{0.96}\\ \mathrm{0.41}\\ \mathrm{0.97}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0.98}\\ \mathrm{0.87}\\ \mathrm{0.79}\\ \mathrm{0.52}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0.79}\\ \mathrm{1}\\ \mathrm{0.37}\\ \mathrm{0.82}\end{array}\end{array}\right]，

{\xi }^{-}={\left({\xi }_{ij}^{-}\right)}_{\mathrm{4}\times \mathrm{3}}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}\mathrm{0.97}\\ \mathrm{0.37}\\ \mathrm{0.52}\\ \mathrm{0.51}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{1}\\ \mathrm{0.86}\\ \mathrm{0.80}\\ \mathrm{0.76}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0.49}\\ \mathrm{0.86}\\ \mathrm{0.47}\\ \mathrm{0.61}\end{array}\end{array}\right]。

步骤7 根据式（24）-（25）计算各备选方案关于正、负理想点的灰色关联度{\xi }_j^{+}，{\xi }_j^{-}，

{\xi }_{\mathrm{1}}^{+}=\mathrm{0.79},{\xi }_{\mathrm{2}}^{+}=\mathrm{0.79},{\xi }_{\mathrm{3}}^{+}=\mathrm{0.75}；

{\xi }_{\mathrm{1}}^{-}=\mathrm{0.59},{\xi }_{\mathrm{2}}^{-}=\mathrm{0.86},{\xi }_{\mathrm{3}}^{-}=\mathrm{0.61}。

步骤8 根据式（26）计算各模糊相对贴近度{\zeta }_j，

{\zeta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.571},{\zeta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.479},{\zeta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.552}。

步骤9 根据模糊相对贴近度，三位候选人的排序顺序为A_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}。显然，最佳选择是A_{\mathrm{1}}。

4 结论

在模糊多属性群决策过程中，常根据标准和重要性权重评估备选方案，适合使用模糊数来概括具体数值。在本文中，针对属性权重完全未知的模糊多属性群决策，使用三角直觉模糊数之间的汉明公式测量两个三角直觉模糊数之间的距离。首先对多个决策者的评价信息进行群集结，再依据属性离差最大化的线性规划模型求出相应的属性权重，并将基于TOPSIS概念的GRA过程扩展到模糊环境。最后给出了利用模糊信息进行人才选择的数值算例，验证了该方法的有效性。该方法还可以应用于信息项目选择、材料选择、综合评价等决策科学和管理科学领域。

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基金资助

西安工业大学科研资助项目“信息与计算科学专业综合改革的研究与实践”(21JGY015)