部分弹性地基Mindlin板自由振动的Hamilton方法

Hamiltonian Method of Free Vibration for Mindlin Plates Partially Resting on the Elastic Foundation

摘要

采用Hamilton方法研究Pasternak型部分弹性地基上Mindlin板自由振动问题。引入合适的状态向量， 将Mindlin板的控制微分方程转化为相应的Hamilton形式，进一步求解Hamilton算子的本征值和本征函数系，并给出具体的数值算例， 数值模拟了部分弹性地基上板的固有频率。

Abstract

Rectangular moderately thick plates are widely used in practice， and the vibration problem of elastic foundation is also the focus of many scholars. The Hamiltonian method was used in the paper for research of the free vibration of Mindlin plates partially resting on the Pasternak elastic foundation. Firstly， by introducing a suitable state vector， the governing differential equations of the Mindlin plates are transformed into the corresponding Hamiltonian form. And then， the eigenvalues and eigenfunction systems of the Hamiltonian operator are solved. Finally， some numerical examples are given to simulate the natural frequency of the plates on a partially elastic foundation.

Graphical abstract

关键词

中厚板 / 部分弹性地基 / Hamilton方法 / 自由振动

Key words

moderately thick plates / partially elastic foundation / hamiltonian method / free vibration

矩形中厚板是机械、海洋、航空航天、光学和结构工程等现代工程领域的重要设计元素之一，具有良好的综合性能。近些年来，中厚板的振动问题和模态分析一直都是学者们关注的重要课题，Jafari等^［1⁃2］研究了中厚粘弹性板的非线性自由振动分析问题以及Mindlin粘弹性板的动态稳定性分析问题，Su等^［3］对全自由正交异性矩形薄板的解析自由振动解进行了深入研讨。

20世纪40~50年代，Reissner^［4］和Mindlin^［5］在Kirchhoff板理论基础上考虑横向剪切变形和旋转惯性的影响，提出了一阶剪切变形理论。研究者们使用该理论拓展了许多数值方法，包括无网格法、广义微分求积法和Rayleigh⁃Ritz方法^［6］等。经过诸多学者的持续努力，解析方法也取得了长足进步，常用的解析方法有半逆解法、傅里叶级数法和Hamilton方法^［7⁃8］。Hamilton方法也称辛弹性力学方法，简称辛方法，由钟万勰院士于1991年左右提出。经过诸多学者的研究，该方法也取得了较好的进展，Qiao等^［9］研究了辛方法下的一般中厚板模型的解析解，范俊杰等^［10］关于对边简支十次对称二维准晶板弯曲问题展开了辛分析；Bai的研究小组^{［11⁃12］}采用辛方法探讨了双参数弹性地基上薄板的弯曲问题和全固支正交各向异性矩形薄板自由振动的辛叠加解；Qiao等^［13］利用辛方法研究了二维八角形准晶体的平面弹性问题，Li等^［14］探索了双弯曲浅壳的解析自由振动解的问题。

近些年来，各种弹性地基中厚板的振动分析也吸引了许多研究者的关注。Winkler^［15］和Pasternak^［16］广泛讨论了地基的力学行为。近几年，部分弹性地基模型板的自由振动问题成果不断涌现，Xiang^［17］研究了非均匀弹性地基上的矩形板的振动问题，Motaghian等^［18］研讨了各向同性矩形薄板的自由振动响应，在部分Pasternak弹性地基的情况下，Jahromi等^［19］对Mindlin板的自由振动问题展开讨论，Hoang等^［20］用Galerkin方法对功能梯度板的自由振动问题进行了分析。

目前，Hamilton方法已经解决了力学中的许多实际问题。例如， 正交各向同性板和异性板的弯曲问题、振动问题、屈曲问题以及弹性地基问题。但Hamilton方法在部分地基问题中应用的研究相对较少，本文尝试用Hamilton方法研究部分放置在Pasternak地基上的中厚板自由振动问题，并给出相应数值实验。

1 部分弹性地基矩形中厚板自由振动的控制方程

Pasternak地基上自由振动控制方程的无量纲形式为

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial X^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}-\nu )}{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial Y^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{2}}\beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial X\partial Y}+\alpha \delta \frac{\partial W}{\partial X}-\alpha {\varphi }_X=\frac{a^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{3}}\rho }{\mathrm{12}D}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial t^{\mathrm{2}}}，（1）

\frac{(\mathrm{1}-\nu )}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial X^{\mathrm{2}}}+{\beta }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial Y^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{2}}\beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial X\partial Y}+\alpha \gamma \frac{\partial W}{\partial Y}-\alpha {\varphi }_Y=\frac{a^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{3}}\rho }{\mathrm{12}D}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial t^{\mathrm{2}}}，（2）

\left(\mathrm{1}+\frac{G_F}{\alpha }\right)\left(\delta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}W}{\partial X^{\mathrm{2}}}+\gamma \beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}W}{\partial Y^{\mathrm{2}}}\right)-\left(\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\beta \frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}\right)-\frac{K_F\delta }{\alpha }W=\frac{a{h}^{\mathrm{2}}\rho }{C}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}W}{\partial t^{\mathrm{2}}}，（3）

其中，t为时间，X、Y为无量纲化的横纵坐标，W为板中面的横向偏转，{\varphi }_X、{\varphi }_Y为由板弯曲引起的法线的旋转。

板内弯矩M_X，M_Y，扭转力矩M_{XY}，横向剪切力Q_X，Q_Y为

M_X=-D\left(\frac{\mathrm{1}}{a}\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\frac{\nu }{b}\frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}\right),M_Y=-D\left(\frac{\nu }{a}\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\frac{\mathrm{1}}{b}\frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}\right),

M_{XY}=-\frac{\mathrm{1}-\nu }{\mathrm{2}}D\left(\frac{\mathrm{1}}{b}\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial Y}+\frac{\mathrm{1}}{a}\frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial X}\right)， Q_X=\kappa Gh\left(\frac{h}{a}\frac{\partial W}{\partial X}-{\varphi }_X\right)， Q_Y=\kappa Gh\left(\frac{h}{b}\frac{\partial W}{\partial Y}-{\varphi }_Y\right)。

参数的无量纲形式为

\beta =\frac{a}{b}， \gamma =\frac{h}{b}， \delta =\frac{h}{a}， \alpha =\frac{\mathrm{6}\kappa (\mathrm{1}-\nu )}{{\delta }^{\mathrm{2}}}， K_F=\frac{a^{\mathrm{4}}{k}_f}{D}， G_F=\frac{a^{\mathrm{2}}{g}_f}{D}，

其中，a、b、h分别为各向同性矩形中厚板的长、宽、高，D=\frac{E{h}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}(\mathrm{1}-{\nu }^{\mathrm{2}})}为弯曲刚度，C=\kappa Gh为剪切模量，G=\frac{E}{\mathrm{2}(\mathrm{1}+\nu )}， E为杨氏模量， \nu为泊松比，取\mathrm{0.3}， \rho为密度， \kappa为剪切修正因子，取\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}， k_f 和 g_f 分别为Pasternak地基的正态系数和剪切系数。

考虑弹性系统的简谐振动，进而有

{\varphi }_X={\varphi }_X(X,Y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}， {\varphi }_Y={\varphi }_Y(X,Y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}， W=W(X,Y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，（4）

其中，\omega为频率，\mathrm{i}为虚数单位。

将方程（4）代入方程（1）-（3），两边同时消去{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}， 得到以下控制方程：

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial X^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}-\nu )}{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial Y^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{2}}\beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial X\partial Y}+\alpha \delta \frac{\partial W}{\partial X}-\alpha {\varphi }_X=-\frac{a^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{3}}\rho {\omega }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{12}D}{\varphi }_X，（5）

\frac{(\mathrm{1}-\nu )}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial X^{\mathrm{2}}}+{\beta }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_Y}{\partial Y^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{2}}\beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\varphi }_X}{\partial X\partial Y}+\alpha \gamma \frac{\partial W}{\partial Y}-\alpha {\varphi }_Y=-\frac{a^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{3}}\rho {\omega }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{12}D}{\varphi }_Y，（6）

(\mathrm{1}+\frac{G_F}{\alpha })(\delta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}W}{\partial X^{\mathrm{2}}}+\gamma \beta \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}W}{\partial Y^{\mathrm{2}}})-(\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\beta \frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y})-\frac{K_F\delta }{\alpha }W=-\frac{a{h}^{\mathrm{2}}\rho {\omega }^{\mathrm{2}}}{C}W。（7）

本文考虑两种Pasternak部分弹性地基模型，如图1-2所示。

考虑板在Y方向的如下简支边界条件：

W=\mathrm{0}， {\varphi }_X=\mathrm{0}， \nu \frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\beta \frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}=\mathrm{0}， Y=\mathrm{0,1}。

2 Hamilton形式

根据方程（5）-（7），选取适当的状态向量U，可得对应的Hamilton形式

\frac{\partial U}{\partial X}=HU，（8）

其中

U={\left({\varphi }_Y,\frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\beta \frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}+\alpha \delta W,{\delta }^{\mathrm{2}}(\alpha +G_F)\frac{\partial W}{\partial X},-\frac{-\mathrm{1}+\nu }{\mathrm{2}}\beta \frac{\partial {\varphi }_X}{\partial Y}+\frac{-\mathrm{1}+\nu }{\mathrm{2}}\frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial X},{\varphi }_X,W\right)}^{\mathrm{T}},

H=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{2}}{-\mathrm{1}+\nu }& \beta \frac{\partial }{\partial Y}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\beta \frac{\partial }{\partial Y}& d+\alpha & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \alpha \delta & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\delta (\alpha (\alpha \delta -f)-\delta K_F)+{\delta }^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}(\alpha +G_F)\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial Y^{\mathrm{2}}}\\ -(d+\alpha )& \beta \frac{\partial }{\partial Y}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\beta \frac{\partial }{\partial Y}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\alpha \delta \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{{\delta }^{\mathrm{2}}(\alpha +G_F)}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

其中，d=-\frac{a^{\mathrm{2}}{h}^{\mathrm{3}}\rho {\omega }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{12}D}，f=-\frac{a{h}^{\mathrm{2}}\rho {\omega }^{\mathrm{2}}}{C}，H称为Hamilton算子矩阵。

通过变量分离求解， 得到Hamilton算子H的本征值以及本征函数为

（1） {\xi }_{\mathrm{1}}=\frac{\sqrt[]{-\mathrm{2}(d+\alpha )}}{\sqrt[]{(-\mathrm{1}+\nu )}}， {\xi }_{\mathrm{2}}=-{\xi }_{\mathrm{1}}， {\mathrm{\Phi }}_i=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0},\frac{{\xi }_i(-\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{2}},\mathrm{0},\mathrm{0}\right){}^{\mathrm{T}}(i=\mathrm{1},\mathrm{2})；

（2） {\xi }_{n\mathrm{1}}=\frac{\sqrt[]{-\mathrm{2}(d+\alpha )+n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}(-\mathrm{1}+\nu )}}{\sqrt[]{(-\mathrm{1}+\nu )}},{\xi }_{n\mathrm{2}}=-{\xi }_{n\mathrm{1}},

{\xi }_{n\mathrm{3}}=\frac{\sqrt[]{(f+d\delta +\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\delta {\beta }^{\mathrm{2}})\alpha {\beta }^{\mathrm{2}}+(d+\alpha +\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})\delta {\beta }^{\mathrm{2}}{G}_F+\delta {\beta }^{\mathrm{2}}{K}_F-{\beta }^{\mathrm{2}}\sqrt[]{S}}}{\beta \sqrt[]{\mathrm{2}\delta (\alpha +G_F)}},{\xi }_{n\mathrm{4}}=-{\xi }_{n\mathrm{3}},

{\xi }_{n\mathrm{5}}=\frac{\sqrt[]{(f+d\delta +\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\delta {\beta }^{\mathrm{2}})\alpha {\beta }^{\mathrm{2}}+(d+\alpha +\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})\delta {\beta }^{\mathrm{2}}{G}_F+\delta {\beta }^{\mathrm{2}}{K}_F+{\beta }^{\mathrm{2}}\sqrt[]{S}}}{\beta \sqrt[]{\mathrm{2}\delta (\alpha +G_F)}}，{\xi }_{n\mathrm{6}}=-{\xi }_{n\mathrm{5}}，

{\mathrm{\Phi }}_{ni}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \frac{(\mathrm{2}(d+\alpha )+({{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}-n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})(-\mathrm{1}+\nu ))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{\mathrm{2}n\mathrm{\pi }\beta }\\ \frac{\delta {\xi }_{ni}(\mathrm{2}(d+\alpha )+({{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}-n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})(-\mathrm{1}+\nu ))(\alpha +G_F)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{\mathrm{2}n\mathrm{\pi }\alpha \beta }\\ \frac{({{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}-n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})(-\mathrm{1}+\nu )c\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)}{\mathrm{2}{\xi }_{ni}}\\ \frac{n\mathrm{\pi }\beta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{{\xi }_{ni}}\\ \frac{(\mathrm{2}(d+\alpha )+({{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}-n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}})(-\mathrm{1}+\nu ))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{\mathrm{2}n\mathrm{\pi }\alpha \beta \delta }\end{array}\right),(i=\mathrm{1,2})，

{\mathrm{\Phi }}_{ni}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \frac{(d+\alpha )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{n\mathrm{\pi }\beta }\\ \frac{\delta {\xi }_{ni}(n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}-{{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}+d+\alpha )(\alpha +G_F)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{\mathrm{2}n\mathrm{\pi }\alpha }\\ \mathrm{0}\\ \frac{{\xi }_{ni}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{n\mathrm{\pi }\beta }\\ \frac{(n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}-{{\xi }_{ni}}^{\mathrm{2}}+d+\alpha )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)}{n\mathrm{\pi }\alpha \beta \delta }\end{array}\right),(i=\mathrm{3,4},\mathrm{5,6})。

其中

\begin{array}{l}S={\alpha }^{\mathrm{2}}(f^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}f(d+\mathrm{2}\alpha )\delta +d^{\mathrm{2}}{\delta }^{\mathrm{2}})+\\ \delta ({(d+\alpha )}^{\mathrm{2}}\delta {G_F}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}(d+\alpha )G_F(-f\alpha +d\alpha \delta -\delta K_F)+K_F(\mathrm{2}\alpha (f-(d+\mathrm{2}\alpha )\delta )+\delta K_F))\mathrm{。}\end{array}

取Hilbert空间{\rm Z}=L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{0,1})，在空间{\rm Z}上，定义P，R的辛内积为〈P,R〉={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{P}^{\mathrm{T}}JR\mathrm{d}Y， 其中P,R\in Z， J=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& I_{\mathrm{3}}\\ -I_{\mathrm{3}}& \mathrm{0}\end{array}\right)，I_{\mathrm{3}}是3阶单位矩阵。

经验证，Hamilton算子H的本征函数系满足如下辛正交性。

引理1 在空间{\rm Z}中， Hamilton算子H的本征函系{\mathrm{\Phi }}_{ni}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6},n=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots )， {\mathrm{\Phi }}_i(i=\mathrm{1,2})具有辛正交性。

证明 利用符号软件计算可得如下结果：

〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{2}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{4}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{4}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{6}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{6}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉=〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉=\mathrm{0};

〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}〉=-(-\mathrm{1}+\nu ){\xi }_{\mathrm{1}}；

\begin{array}{l}〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{m\mathrm{2}}〉=\\ \left\{\begin{array}{l}\frac{(-\mathrm{1}+\nu )(n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}-{{\xi }_{n\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})-(d+\alpha )}{{\xi }_{n\mathrm{1}}}+\frac{(\alpha +G_F){\xi }_{n\mathrm{1}}(\mathrm{2}(d+\alpha )+(-\mathrm{1}+\nu )({{\xi }_{n\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}},m=n,\\ \mathrm{0},m\ne n;\end{array}\right.\end{array}

〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}},{\mathrm{\Phi }}_{m\mathrm{4}}〉=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\xi }_{n\mathrm{3}}\left(\frac{(\alpha +G_F)(n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}-{{\xi }_{n\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}+(d+\alpha ))}{{\alpha }^{\mathrm{2}}}-(d+\alpha )\right)}{n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}},m=n,\\ \mathrm{0},m\ne n;\end{array}\right.

〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}},{\mathrm{\Phi }}_{m\mathrm{6}}〉=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\xi }_{n\mathrm{5}}\left(\frac{(\alpha +G_F)(n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}-{{\xi }_{n\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}+(d+\alpha ))}{{\alpha }^{\mathrm{2}}}-(d+\alpha )\right)}{n^{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{\beta }^{\mathrm{2}}},m=n,\\ \mathrm{0},m\ne n\mathrm{。}\end{array}\right.

因此辛正交性得证。

定理1 在空间{\rm Z}中，Hamilton算子H的本征函数系{\mathrm{\Phi }}_{ni}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6},n=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots )，{\mathrm{\Phi }}_i(i=\mathrm{1,2})在Hilbert空间{\rm Z}中完备。

证明 对于任意的F(Y)=(f_{\mathrm{1}}(Y),f_{\mathrm{2}}(Y),f_{\mathrm{3}}(Y),f_{\mathrm{4}}(Y),f_{\mathrm{5}}(Y),f_{\mathrm{6}}{(Y))}^{\mathrm{T}}\in Z，根据引理1取如下一组数：

a_{\mathrm{1}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}〉}， a_{\mathrm{2}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}〉}， a_{n\mathrm{1}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{2}},F(Z)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{2}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}}〉}， a_{n\mathrm{2}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{1}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{2}}〉}，

a_{n\mathrm{3}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{4}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{4}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}}〉}， a_{n\mathrm{4}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{3}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{4}}〉}， a_{n\mathrm{5}}=\frac{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{6}},F(Y)〉}{〈{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{6}},{\mathrm{\Phi }}_{n\mathrm{5}}〉}， a_{n\mathrm{6}}=\frac{〈\mathrm{\Phi }n\mathrm{5},F(Y)〉}{〈\mathrm{\Phi }n\mathrm{5},\mathrm{\Phi }n\mathrm{6}〉}，

利用符号软件计算，最终整理可得

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{a}_i{\mathrm{\Phi }}_i+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}{a}_{ni}{\mathrm{\Phi }}_{ni}\right)=\left(\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{1}}(Y)\mathrm{d}Y\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{4}}(Y)\mathrm{d}Y\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)+{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{1}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{2}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{3}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{4}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{5}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)\\ \mathrm{2}[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)f_{\mathrm{6}}(Y)\mathrm{d}Y]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }Y)\end{array}\right),

式中，第一分量和第四分量是按余弦函数展开的傅里叶级数形式，第二、三、五和六分量是按正弦函数展开的傅里叶级数形式，所以得到该结果收敛于F(Y)，完备性得证。

3 双参数弹性地基上对边简支矩形中厚板的自由振动分析

Hamilton系统方程（8）的通解可设为

U(X,Y)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Psi }}_i{\mathrm{\Phi }}_i+\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}{\mathrm{\Psi }}_{ni}{\mathrm{\Phi }}_{ni}\right)，

其中{\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{i}}=C_i{\mathrm{e}}^{{\xi }_{i}X}(i=\mathrm{1,2})， {\mathrm{\Psi }}_{ni}=C_{ni}{\mathrm{e}}^{{\xi }_{ni}X}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6},n=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots )，且C_i，C_{ni}为待定常数，其由X方向的边界条件确定。

下面考虑X方向满足如下两类边界条件：

简支（S）： W=\mathrm{0}， {\varphi }_Y=\mathrm{0}， \frac{\partial {\varphi }_X}{\partial X}+\beta \nu \frac{\partial {\varphi }_Y}{\partial Y}=\mathrm{0}， X=\mathrm{0},\mathrm{1}；

固支（C）： W=\mathrm{0}， {\varphi }_X=\mathrm{0}， {\varphi }_Y=\mathrm{0}， X=\mathrm{0},\mathrm{1}。

将上述X边的边界条件分别代入通解中，可得到关于C_i， C_{ni}的方程组，为使其有非零解，令方程组的系数行列式为零，通过符号软件计算可得频率方程，进而求得不同情形的固有频率。

首先考虑无弹性支撑和全弹性支撑情形。为了与文献［12］和［27］中的数据进行对比，此种情形使用如下无量纲频率公式：

\mathrm{\Omega }=\frac{\omega b^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\frac{\rho h}{D}}。（9）

无弹性支撑的数据见表1，全弹性支撑（含Winkler地基和Pasternak地基）情形的数据见表2，良好的数据比较结果显示了Hamilton方法的有效性。

采用无量纲频率公式\overline{\mathrm{\Omega }}=\frac{\omega a^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\frac{\rho h}{D}}对图1所示的部分弹性地基模型进行数值模拟。取t_{X\mathrm{1}}=\mathrm{1}/\mathrm{3}， t_{X\mathrm{2}}=\mathrm{1}/\mathrm{6}， t_{Y\mathrm{1}}=\mathrm{1}/\mathrm{4}， t_{Y\mathrm{2}}=\mathrm{1}/\mathrm{2}， 并且地基参数由

{\overline{K}}_F=K_F\frac{{\int }_{t_{X\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{X\mathrm{2}}}{\int }_{t_{Y\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{Y\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y}{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y}(m=\mathrm{1,2},\dots ,n=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots )

给出，此种情形的数值结果见表3，结果与参考文献的研究非常吻合。

探讨部分弹性地基大小以及各参数对中厚板固有频率的影响，板的无量纲固有频率公式为式（9）的形式。图2所示几何方板的固有频率，且t_{X\mathrm{1}}=t_{X\mathrm{2}}=t_{Y\mathrm{1}}=t_{Y\mathrm{2}}的情况见表4。地基参数按表达式(m=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots ,n=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\dots )

{\overline{K}}_F=K_F\frac{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y-{\int }_{t_{X\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{X\mathrm{2}}}{\int }_{t_{Y\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{Y\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y}{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y},{\overline{G}}_F=G_F\frac{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y-{\int }_{t_{X\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{X\mathrm{2}}}{\int }_{t_{Y\mathrm{1}}}^{\mathrm{1}-t_{Y\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y}{{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(m\mathrm{\pi }X)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(n\mathrm{\pi }Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y}

进行计算。结果显示，随着地基参数K_F和地基参数G_F的值或地基总面积的增加，板的固有频率也会增加。从表3和表4可以看出， Hamilton方法可有效求解部分弹性地基的振动问题。

4 结果与分析

本文采用Hamilton方法对部分支撑在双参数弹性地基上的矩形中厚板进行了振动和模态分析，得到了相应的Hamilton形式，然后应用分离变量法得到本征值以及对应的本征函数系，从而求得板的固有频率。与已有文献的数据进行对比，数值模拟结果说明了本文的方法对于部分弹性地基Mindlin板自由振动问题的研究是有效的。

部分弹性地基的问题处理起来比较复杂，不易进行求解，对于地基参数的系数取法有一定的技巧，本文对该问题进行了初步的尝试并得到了相应的结果。本文所研究的方法适用于不同的边界条件和各种几何形状的弹性地基，例如四边固支、四边自由以及角点问题等多种情况，这是今后需要进一步研究的课题。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“分块结构矩阵与Hamilton算子的拟谱理论研究”(12261064)

“无界Hamilton算子谱的渐近性与广义本征函数系的块状基性质研究”(11861048)

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“弹性力学辛体系方法的理论与应用研究”(2021MS01004)