一维六方压电准晶单裂纹垂直于条带边界的弹塑性分析

Elastic-plastic Analysis of One-dimensional Hexagonal Piezoelectric Quasicrystal Strip with Single Crack Perpendicular to Strip Boundary

摘要

对具有单个裂纹的一维六方压电准晶带进行塑性分析。结合特定的边界条件，利用Fourier变换的方法，将问题转化为三个对偶积分方程，并将其转化为第二类Fredholm积分方程，推导出不同场下的塑性区域长度、应力强度因子和能量释放率的表达式。给出塑性区域长度表达式，图像表明相位子场的存在对塑性区域长度有影响。

Abstract

A plastic analysis is carried out on a one-dimensional （1D） hexagonal piezoelectric quasicrystal （PQC） strip with a single crack. The problem is transformed into three dual integral equations by Fourier transform under specific boundary conditions and then further into a Fredholm integral equation of the second kind. Expressions are derived for lengths of plastic zones of all fields， stress intensity factors， and the energy release rate. The length of the plastic zone is presented graphically， and it is found that the existence of the phason field influences the length of the plastic zone.

Graphical abstract

关键词

一维六方压电准晶 / Fourier变换 / Fredholm积分方程 / 塑性区域

Key words

1D hexagonal PQC / Fourier transform / Fredholm integral equation / plastic zone

准晶体是Shechtman等^［1］发现的一种不同于传统晶体材料和非晶体材料的新型固体。由于独特的晶格结构，准晶具有许多特殊的性能，如低摩擦系数、低附着力、高耐磨性、低电导率和热导率^［2］。然而，准晶在制造过程中往往存在一些缺陷，如位错、裂纹等。这些缺陷的存在使得准晶在制造过程中经常发生断裂和失效，因此，对准晶的研究受到广泛关注。

准晶的弹性行为与经典材料不同，Bak^［3⁃4］和Socolar等^［5］提出引入两个位移场来描述准晶的弹性行为，即声子场和相位子场，相位子场的存在使准晶具有特殊的力学和物理性质。Li等^［6］将传统线弹性断裂力学中的裂纹理论推广到准晶弹性断裂力学，通过分析准晶中Griffith裂纹问题的弹性行为，得到了应力强度因子和能量释放率的解析表达式。Li和Fan^［7］对沿周期轴穿透十边形准晶的Ⅱ型Griffith裂纹进行了弹性分析，得到了内部裂纹扰动的整体应力场的解析表达式。Fan等^［8］讨论了一维六方准晶的位错动力学解。钟海英等^［9］通过引入保角映射，利用复变函数方法，分析裂纹面受剪切作用下无限大点群6 mm一维六方准晶中唇形裂纹的断裂行为，得到了唇形裂纹在裂纹尖端处的应力强度因子公式以及应力强度因子的解析解。范淑琦和李联和^［10］采用复变函数方法，研究无限大一维六方准晶中椭圆夹杂与位错的相互作用问题。

由于准晶中存在相位子场，因此准晶的压电特性比传统晶体的压电特性要复杂得多，研究压电准晶的断裂问题非常必要。Yang等^［11］和Rao等^［12］推导了独立的非消失压电、压磁系数的数量。Altay等^［13］提出了压电准晶材料弹性的基本方程，并对一维六方压电准晶进行了多方面的研究，将准晶弹性的三维基本方程推广到压电准晶，得到了其压电弹性的本构关系。Li等^［14］引入了两个新的位移势函数，得到了一维六方压电准晶三维弹性问题的广义解，为研究一维六方准晶三维弹性问题边界元方法奠定了基础。利用积分变换技术，将相关的混合边值问题简化为三重积分方程，再简化为奇异积分方程。张也^［15］研究了一维六方压电准晶体中Ⅲ型偏折裂纹的断裂问题，分析讨论了偏折裂纹尖端场强度因子受分支裂纹偏折角和裂纹相对尺寸的影响。张晶和刘官厅^［16］研究了一维六方压电准晶狭长体中双半无限裂纹共线裂纹问题，得到了塑性区尺寸及场强度因子的解析解。对一维六方压电准晶进行了广泛研究，并取得丰富的研究成果^{［17⁃21］}，但是对于一维六方压电准晶条带的弹塑性分析研究较少。

本文基于Fourier变换方法，对一维六方压电准晶带上单个裂纹进行塑性分析，将相关的混合边值问题简化为三个对偶积分方程，并用第二类Fredholm积分方程表示对偶积分方程的解，推导声子场、相位子场和电场下的塑性区长度的表达式以及应力强度因子和能量释放率的表达式，通过数值计算分析外场作用对准晶材料力学行为的影响规律。

1 问题描述

1.1 基本方程

对于一维六方压电准晶材料，其梯度方程为

{\epsilon }_{ij}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right),{\omega }_{ij}={\omega }_{i,j},E_i=-{\varphi }_{,i},（1）

本构方程为

{\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{\epsilon }_{kl}+R_{ijkl}{\omega }_{kl}-e_{kij}{E}_k,（2）

H_{ij}=R_{ijkl}{\epsilon }_{kl}+K_{ijkl}{\omega }_{kl}-d_{kij}{E}_k,（3）

D_i=e_{ijk}{\epsilon }_{jk}+d_{ijk}{\omega }_{jk}+{\lambda }_{ij}{E}_j,（4）

平衡方程为

{\sigma }_{ij,j}=\mathrm{0},H_{ij,j}=\mathrm{0},D_{i,i}=\mathrm{0},（5）

其中，重复的指标表示求和，下标中逗号表示求偏导数；{\sigma }_{ij},H_{ij}和u_i,w_i分别是声子场和相位子场的应力和位移；{\epsilon }_{ij}和{\omega }_{ij}分别是声子场和相位子场的应变；C_{ijkl},K_{ijkl}和R_{ijkl}分别表示声子场弹性常数，相位子场弹性常数和声子场相位子场耦合弹性常数；D_i,E_i和\varphi分别表示电位移，电场和电势；e_{ijk},d_{ijk}表示压电常数，{\lambda }_{ij}表示介电常数。

考虑点群为6 mm的一维六方压电准晶带，且具有准周期极化轴（表示为z轴）和各向同性周期平面（表示为xoy平面），总弹性位移矢量表示为\left(\mathrm{0,0},u_z,w_z\right)，u_z,w_z分别是声子场和相位子场的位移分量，平面内电场矢量为\left(E_x,E_y\right)

\left\{\begin{array}{l}{u}_x=u_y=\mathrm{0},u_z=u_z(x,y),w_z=w_z(x,y),\\ E_x=E_x(x,y),E_y=E_y(x,y),E_z=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（6）

在xoy平面中，用于反平面剪切变形，本构方程为

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{zj}\\ H_{zj}\\ D_j\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{44}}& R_{\mathrm{3}}& -e_{\mathrm{15}}\\ R_{\mathrm{3}}& K_{\mathrm{3}}& -d_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& d_{\mathrm{15}}& {\lambda }_{\mathrm{11}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{u}_{z,j}\\ w_{z,j}\\ E_j\end{array}\right\},j=x,y，（7）

平衡方程为

{\sigma }_{zx,x}+{\sigma }_{zy,y}=\mathrm{0},H_{zx,x}+H_{zy,y}=\mathrm{0},D_{x,x}+D_{y,y}=\mathrm{0}。（8）

在忽略体力和自由电荷的情况下，有

C_{\mathrm{44}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+R_{\mathrm{3}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z+e_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},（9）

R_{\mathrm{3}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+K_{\mathrm{2}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z+d_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},（10）

e_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{u}_z+d_{\mathrm{15}}{\nabla }^{\mathrm{2}}{w}_z-{\lambda }_{\mathrm{11}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\varphi =\mathrm{0},（11）

其中{\nabla }^{\mathrm{2}}={\partial }^{\mathrm{2}}/\partial x^{\mathrm{2}}+{\partial }^{\mathrm{2}}/\partial y^{\mathrm{2}}是二维拉普拉斯算子，当引入相位子场时，上述一维六方压电准晶的控制方程比普通压电材料的控制方程要复杂得多，当忽略相位子场时，即R_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{15}}=\mathrm{0}时，又恢复成经典的控制方程。

1.2 边界条件

本文考虑的物理模型如图1所示，一维六方压电准晶带横向具有有限宽度，即沿准周期方向是无限的。裂纹长度为\mathrm{2}a，对称分布在声子场的塑性区域长度为\mathrm{2}d，分布在y=\mathrm{0},a\le \left|x\right|\le d,相位子场的塑性区域分布在y=\mathrm{0},a\le \left|x\right|\le b,长度为\mathrm{2}d,电场的塑性区域占据y=\mathrm{0},a\le \left|x\right|\le c,长度为\mathrm{2}c。由于问题的对称性，所以只考虑\mathrm{0}\le x\le h和\mathrm{0}\le y\le \mathrm{\infty }\mathrm{。}假设力的塑性区域长度大于电场塑性区域长度，即d>c,b>c\mathrm{。}由于声子场是扩散场，声子场塑性区域长度长于相位子场塑性区域长度，即d>b\mathrm{。}

（1）　当\left|x\right|=h，有

{\sigma }_{zx}(-h,y)={\sigma }_{zx}(h,y)=\mathrm{0},y\to \mathrm{\infty },（12）

H_{zx}(-h,y)=H_{zx}(h,y)=\mathrm{0},y\to \mathrm{\infty },（13）

D_x(-h,y)=D_x(h,y)=\mathrm{0},y\to \mathrm{\infty }\mathrm{。}（14）

（2）　当y=\mathrm{0}时，有

u_z(x,{\mathrm{0}}^{+})=u_z(x,{\mathrm{0}}^{-}),{\sigma }_{zy}(x,{\mathrm{0}}^{+})={\sigma }_{zy}(x,{\mathrm{0}}^{-}),d\le x\le h,（15）

w_z(x,{\mathrm{0}}^{+})=w_z(x,{\mathrm{0}}^{-}),H_{zy}(x,{\mathrm{0}}^{+})=H_{zy}(x,{\mathrm{0}}^{-}),b\le x\le h,（16）

\varphi (x,{\mathrm{0}}^{+})=\varphi (x,{\mathrm{0}}^{-}),D_y(x,{\mathrm{0}}^{+})=D_y(x,{\mathrm{0}}^{-}),c\le x\le h,（17）

其中+和-分别表示函数接近y>\mathrm{0}和时的值。

（3）　在裂纹的塑性区域上，有

{\sigma }_{zy}(x,\mathrm{0})={\tau }_{s}H(x-a),a\le x\le d,（18）

H_{zy}(x,\mathrm{0})=H_{s}H(x-a),a\le x\le b,（19）

D_y(x,\mathrm{0})=D_{s}H(x-a),a\le x\le c,（20）

其中，{\tau }_s,H_s表示声子场，相位子场的屈服点应力，D_s表示饱和电位移，H(·)表示Heavyside函数。

（4） 当\left|x\right|\le h,y\to \mathrm{\infty }时，规定了载荷：

{\sigma }_{zy}={\tau }_{\mathrm{\infty }},H_{zy}=H_{\mathrm{\infty }},D_y=D_{\mathrm{\infty }}\mathrm{。}（21）

2 问题解决

根据式(\mathrm{9})-(\mathrm{11})，利用傅里叶正弦逆变换，可以得到如下公式：

\left\{\begin{array}{l}{u}_z(x,y)\\ w_z(x,y)\\ \varphi (x,y)\end{array}\right\}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left[\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ B_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ C_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x+\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ B_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ C_{\mathrm{2}}(\alpha )\end{array}\right\}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha y\right]\mathrm{d}\alpha +\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{\infty }}\\ b_{\mathrm{\infty }}\\ -c_{\mathrm{\infty }}\end{array}\right\}y,（22）

这里A_i(\alpha ),B_i(\alpha ),C_i(\alpha )(i=\mathrm{1,2})是根据特定边界条件规定的任意函数，a_{\mathrm{\infty }},b_{\mathrm{\infty }},c_{\mathrm{\infty }}是边界条件确定的任意常数。利用边界条件（1）—（3）确定函数A_i,B_i,C_i(i=\mathrm{1,2})，利用边界条件（4）确定任意常数a_{\mathrm{\infty }},b_{\mathrm{\infty }},c_{\mathrm{\infty }}\mathrm{。}

根据式(\mathrm{22})可求出声子场应力{\sigma }_{zy},相位子场应力H_{zy}以及电位移D_y,可表示为

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{zy}(x,y)\\ H_{zy}(x,y)\\ D_y(x,y)\end{array}\right\}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left[\left\{\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ N_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ Q_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}{a}_{\mathrm{1}}(\alpha )+\left\{\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ N_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ Q_{\mathrm{2}}(\alpha )\end{array}\right\}{a}_{\mathrm{2}}(\alpha )\right]\mathrm{d}\alpha +T\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{\infty }}\\ b_{\mathrm{\infty }}\\ c_{\mathrm{\infty }}\end{array}\right\},（23）

其中T,a_{\mathrm{1}}(\alpha ),a_{\mathrm{2}}(\alpha ),M_{\mathrm{1}}(\alpha ),M_{\mathrm{2}}(\alpha ),N_{\mathrm{1}}(\alpha ),N_{\mathrm{2}}(\alpha ),Q_{\mathrm{1}}(\alpha ),Q_{\mathrm{2}}(\alpha )在附录一中给出。

任意常数a_{\mathrm{\infty }},b_{\mathrm{\infty }},c_{\mathrm{\infty }}利用边界条件（4）和式(\mathrm{22})得到

\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{\infty }}\\ b_{\mathrm{\infty }}\\ c_{\mathrm{\infty }}\end{array}\right\}=\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\left[\begin{array}{ccc}{m}_{\mathrm{1}}& m_{\mathrm{2}}& -m_{\mathrm{3}}\\ m_{\mathrm{2}}& -m_{\mathrm{5}}& -m_{\mathrm{4}}\\ m_{\mathrm{3}}& m_{\mathrm{4}}& m_{\mathrm{6}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{\tau }_{\mathrm{\infty }}\\ H_{\mathrm{\infty }}\\ D_{\mathrm{\infty }}\end{array}\right\},（24）

其中，

m_{\mathrm{1}}=-d_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{11}}{K}_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{11}}{R}_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{15}}{e}_{\mathrm{15}},m_{\mathrm{3}}=e_{\mathrm{15}}{K}_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{15}}{R}_{\mathrm{3}},（25）

m_{\mathrm{4}}=d_{\mathrm{15}}{C}_{\mathrm{44}}-e_{\mathrm{15}}{R}_{\mathrm{3}},m_{\mathrm{5}}=e_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{44}}{\lambda }_{\mathrm{11}},m_{\mathrm{6}}=R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}-C_{\mathrm{44}}{K}_{\mathrm{2}}\mathrm{。}（26）

利用边界条件（1），当\left|x\right|=h时，{\sigma }_{zx}(h,y)=\mathrm{0},D_x(h,y)=\mathrm{0},H_{zx}(h,y)=\mathrm{0}以及式(\mathrm{22})-(\mathrm{23})，可以得到以下积分方程：

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\alpha \left[\left\{\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ N_{\mathrm{2}}(\alpha )\\ Q_{\mathrm{2}}(\alpha )\end{array}\right\}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\alpha h\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha y-\left\{\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ N_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ Q_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha h\right]\mathrm{d}\alpha =\mathrm{0}\mathrm{。}（27）

通过利用傅里叶正弦变换，可以得到

\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ B_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ C_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\alpha h}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sh}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+s^{\mathrm{2}}}\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}(s)\\ B_{\mathrm{1}}(s)\\ C_{\mathrm{1}}(s)\end{array}\right\}\mathrm{d}s\mathrm{。}（28）

利用边界条件（2）和式(\mathrm{15})-(\mathrm{17})，得到

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ B_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ C_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\mathrm{d}\alpha =\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right\}\mathrm{。}（29）

利用边界条件（3）和式(\mathrm{18})，可以得到

\begin{array}{l}{\tau }_{s}H(x-a)-\left(C_{\mathrm{44}}{a}_{\infty }+R_{\mathrm{3}}{b}_{\infty }-e_{\mathrm{15}}{c}_{\infty }\right)=\\ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }\alpha \left(M_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-M_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\right)d\alpha ,\mathrm{0}\le x\le d。\end{array}（30）

利用边界条件（3）和式(\mathrm{19})，可以得到

\begin{array}{l}{H}_{s}H\left(x-a\right)-(R_{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{\infty }}+K_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{\infty }}-d_{\mathrm{15}}{c}_{\mathrm{\infty }})=\\ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }\alpha \left(N_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-N_{\mathrm{1}}(\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x)\right)d\alpha ,\mathrm{0}\le x\le b。\end{array}（31）

利用边界条件（3）和式(\mathrm{20})，可以得到

\begin{array}{l}{D}_{s}H\left(x-a\right)-\left(e_{\mathrm{15}}{a}_{\infty }+d_{\mathrm{15}}{b}_{\infty }+{\lambda }_{\mathrm{11}}{c}_{\infty }\right)=\\ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }\alpha \left(Q_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-Q_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\right)d\alpha ,\mathrm{0}\le x\le c。\end{array}（32）

通过分析式(\mathrm{29}),(\mathrm{30})得到对偶积分方程

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\alpha C_{\mathrm{44}}\left(A_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-A_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\right)\mathrm{d}\alpha =P_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{\infty }},\mathrm{0}\le x\le d,\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\mathrm{d}\alpha =\mathrm{0},d\le x\le h,\end{array}\right.（33）

其中，

P_{\mathrm{1}}=\frac{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{s}H(x-a)+m_{\mathrm{2}}{H}_{s}H(x-a)-m_{\mathrm{3}}{D}_{s}H(x-a)}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}（34）

式(\mathrm{29}),(\mathrm{31})得到以下对偶积分方程：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\alpha R_{\mathrm{3}}(B_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-B_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x)\mathrm{d}\alpha =P_{\mathrm{2}}-b,\mathrm{0}\le x\le b,\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{B}_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\mathrm{d}\alpha =\mathrm{0},b\le x\le h,\end{array}\right.（35）

其中

P_{\mathrm{2}}=\frac{m_{\mathrm{2}}{\tau }_{s}H(x-a)-m_{\mathrm{5}}{H}_{s}H(x-a)-D_{s}H(x-a)}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}（36）

式(\mathrm{29}),(\mathrm{32})得到以下对偶积分方程

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}}{\pi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\alpha e_{\mathrm{15}}(C_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x-C_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x)\mathrm{d}\alpha =P_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{\infty }},\mathrm{0}\le x\le c,\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{C}_{\mathrm{1}}(\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x\mathrm{d}\alpha =\mathrm{0},c\le x\le h,\end{array}\right.（37）

其中

P_{\mathrm{3}}=\frac{m_{\mathrm{3}}{\tau }_{s}H(x-a)+m_{\mathrm{4}}{H}_{s}H(x-a)+m_{\mathrm{6}}{D}_{s}H(x-a)}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}（38）

对偶积分方程(\mathrm{33}),(\mathrm{35}),(\mathrm{37})可以使用如下函数{\varphi }_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})：

\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ B_{\mathrm{1}}(\alpha )\\ C_{\mathrm{1}}(\alpha )\end{array}\right\}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{\pi }\sqrt[]{\xi }}{\mathrm{2}}\left\{\begin{array}{l}{d}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\alpha )J_{\mathrm{0}}(d\alpha \xi )\\ b^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\alpha )J_{\mathrm{0}}(b\alpha \xi )\\ c^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(\alpha )J_{\mathrm{0}}(c\alpha \xi )\end{array}\right\}\mathrm{d}\xi ,（39）

其中J_{\mathrm{0}}(·)表示第一类零阶贝塞尔函数，函数{\varphi }_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})由以下第二类Fredholm积分方程计算：

（40）

其中

X_{\mathrm{1}}=\frac{{\tau }_s{m}_{\mathrm{1}}+H_s{m}_{\mathrm{2}}-D_s{m}_{\mathrm{3}}}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}（41）

核函数K_{\mathrm{1}}(\xi ,\eta )表示为

K_{\mathrm{1}}(\xi ,\eta )=-\sqrt[]{\eta \xi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/d)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}h\alpha /d}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha \xi )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha ,（42）

其中I_{\mathrm{0}}(·)表示修正类的第一类零阶贝塞尔函数。

{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi )定义为

（43）

其中

X_{\mathrm{2}}=\frac{{\tau }_s{m}_{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{5}}{H}_s-D_s{m}_{\mathrm{4}}}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}（44）

核函数K_{\mathrm{2}}(\xi ,\eta )定义为

K_{\mathrm{2}}\left(\xi ,\eta \right)=-\sqrt[]{\eta \xi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/b)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}h\alpha /b}{I}_{\mathrm{0}}\left(\alpha \xi \right)I_{\mathrm{0}}\left(\alpha \eta \right)\mathrm{d}\alpha \mathrm{。}（45）

{\varphi }_{\mathrm{3}}(\xi )定义为

（46）

其中

X_{\mathrm{3}}=\frac{{\tau }_s{m}_{\mathrm{3}}+H_s{m}_{\mathrm{4}}+D_s{m}_{\mathrm{6}}}{C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}}}。（47）

核函数K_{\mathrm{3}}(\xi ,\eta )定义为

K_{\mathrm{3}}\left(\xi ,\eta \right)=-\sqrt[]{\eta \xi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/c)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}h\alpha /c}{I}_{\mathrm{0}}\left(\alpha \xi \right)I_{\mathrm{0}}\left(\alpha \eta \right)\mathrm{d}\alpha。（48）

以上方程可通过数值方法计算求解，{\varphi }_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}),A_j(\alpha ),B_j(\alpha ),C_j(\alpha )(j=\mathrm{1,2})由式(\mathrm{28})(\mathrm{29})得出。

当相位子场消失时，材料一般退化为一般压电材料，可得到：

（49）

K_{\mathrm{4}}(\xi ,\eta )=-\sqrt[]{\eta \xi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/d)}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}h\alpha /d}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha \xi )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha \mathrm{。}（50）

（51）

K_{\mathrm{5}}(\xi ,\eta )=-\sqrt[]{\eta \xi }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/c)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}h\alpha /c}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha \xi )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha ,（52）

其中{\varphi }_i(\xi )(i=\mathrm{4,5})由式(\mathrm{28})(\mathrm{29})计算可得，上述结果与压电材料的结果基本一致^［22］。

3 强度因子和能量释放率

3.1 强度因子

式(\mathrm{40})-(\mathrm{52})可用于解析应力强度因子，从而推导出不同场下塑性区域长度的表达式。应力强度因子定义为

K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\tau }=\underset{x\to d^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(x-d)}{\sigma }_{zy}(x,\mathrm{0}),（53）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^H=\underset{x\to b^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(x-b)}{H}_{zy}(x,\mathrm{0}),（54）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^D=\underset{x\to c^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(x-c)}{D}_y(x,\mathrm{0}),（55）

这里K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\sigma },K_{\mathrm{Ⅲ}}^H分别表示声子场和相位子场的应力强度因子，K_{\mathrm{Ⅲ}}^D表示电场强度因子，根据式(\mathrm{5}),(\mathrm{40})-(\mathrm{48}),可以得到方程

K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\tau }=C_{\mathrm{44}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }d}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}),（56）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^H=R_{\mathrm{3}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }b}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}),（57）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^D=e_{\mathrm{15}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }c}{\varphi }_{\mathrm{3}}(\mathrm{1})\mathrm{。}（58）

当相位子场消失时，强度因子定义为

K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\tau }=C_{\mathrm{44}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }d}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}),（59）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^D=e_{\mathrm{15}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }c}{\varphi }_{\mathrm{3}}(\mathrm{1})\mathrm{。}（60）

结果与普通压电材料一致^［22］。

3.2 能量释放率

从经典线弹性断裂力学中使用的Griffrith能量平衡的观点来看，能量释放率，即裂纹介质在无限裂纹扩展时的能量变化，也是研究压电材料失效分析的一个重要断裂参数^［23］。

G_a=\underset{\delta \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{\delta }{\int }_{\mathrm{0}}^{\delta }\left[{\sigma }_{zy}(r,\mathrm{0})u_z\left(\delta -r,\mathrm{0}\right)+H_{zy}\left(r,\mathrm{0}\right)w_z(\delta -r,\mathrm{0})+D_y(r,\mathrm{0})\varphi (\delta -r,\mathrm{0})\right]dr,（61）

其中r为距离裂纹尖端的距离。

裂纹尖端能量释放率x=a,可使用以下公式计算：

G_a=\frac{K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\tau }{K}_{\mathrm{Ⅲ}}^{\epsilon }+K_{\mathrm{Ⅲ}}^H{K}_{\mathrm{Ⅲ}}^{\omega }-K_{\mathrm{Ⅲ}}^D{K}_{\mathrm{Ⅲ}}^E}{\mathrm{2}},（62）

其中，

\left[\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{Ⅲ}}^{\epsilon }\\ K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\omega }\\ K_{\mathrm{Ⅲ}}^E\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{44}}& R_{\mathrm{3}}& -e_{\mathrm{15}}\\ R_{\mathrm{3}}& K_{\mathrm{2}}& -d_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& d_{\mathrm{15}}& {\lambda }_{\mathrm{11}}\end{array}\right]}^{-\mathrm{1}}\left[\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{Ⅲ}}^{\tau }\\ K_{\mathrm{Ⅲ}}^H\\ K_{\mathrm{Ⅲ}}^D\end{array}\right],（63）

K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\epsilon },K_{\mathrm{Ⅲ}}^{\omega }分别为声子场和相位子场的应变强度因子，K_{\mathrm{Ⅲ}}^E表示电场强度因子。

从等式(\mathrm{56})-(\mathrm{58})中带入强度因子并简化可得

G_a=\frac{\mathrm{\pi }\left[-m_{\mathrm{1}}d{C}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1})-m_{\mathrm{5}}b{R}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1})-m_{\mathrm{6}}c{e}_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1})\right]}{\mathrm{2}(-C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}})}。（64）

显然，裂纹的能量释放率不仅与声子场有关，而且还与相位子场，电场以及声子场⁃相位子场耦合系数以及压电系数有关。

当R_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},能量释放率退化为

G_a=\frac{\mathrm{\pi }\left[-m_{\mathrm{1}}d{C}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1})-m_{\mathrm{6}}c{e}_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1})\right]}{\mathrm{2}(-C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}})}\mathrm{。}（65）

结果与普通压电材料结果一致^［22］。

4 塑性区域表达式

由于应力的奇异性，需要满足

{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})=\mathrm{0},{\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1})=\mathrm{0},{\varphi }_{\mathrm{3}}(\mathrm{1})=\mathrm{0}\mathrm{。}（66）

基于式(\mathrm{40})-(\mathrm{42})和式(\mathrm{66})，可推出

\frac{d}{a}=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\left[\frac{\mathrm{\pi }{C}_{\mathrm{44}}}{\mathrm{2}}\frac{(a_{\mathrm{\infty }}-S_{\mathrm{1}})(C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}})}{{\tau }_s{m}_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{2}}{H}_s-m_{\mathrm{3}}{D}_s}\right],（67）

其中，

S_{\mathrm{1}}(h/d)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\eta )K(\mathrm{1},\eta )\mathrm{d}\eta ,（68）

K_{\mathrm{1}}(\mathrm{1},\eta )=-\sqrt[]{\eta }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/d)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left\{(h/d)\alpha \right\}}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha ,（69）

(d-a)表示声子场塑性区域的长度。

利用式(\mathrm{43})-(\mathrm{45})和式(\mathrm{66})，可以得到(b-a)是相位子场的塑性区域长度。

\frac{b}{a}=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\left[\frac{\mathrm{\pi }{e}_{\mathrm{15}}}{\mathrm{2}}\frac{(b_{\mathrm{\infty }}-S_{\mathrm{2}})(C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}})}{{\tau }_s{m}_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{6}}{D}_{\mathrm{6}}-m_{\mathrm{4}}{H}_s}\right],（70）

其中，

S_{\mathrm{2}}(h/b)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\eta )K_{\mathrm{2}}(\mathrm{1},\eta )\mathrm{d}\eta ,（71）

K_{\mathrm{2}}(\mathrm{1},\eta )=-\sqrt[]{\eta }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/b)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\{(h/b)\alpha \}}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha \mathrm{。}（72）

利用同样的方法，利用式(\mathrm{46})-(\mathrm{48})和(\mathrm{66})，可以推出(c-a)是电场的塑性区域长度，

\frac{c}{a}=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\left[\frac{\mathrm{\pi }{R}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\frac{(c_{\mathrm{\infty }}-S_{\mathrm{3}})(C_{\mathrm{44}}{m}_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{15}}{m}_{\mathrm{3}})}{{\tau }_s{m}_{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{4}}{D}_s-m_{\mathrm{5}}{H}_s}\right],（73）

其中，

S_{\mathrm{3}}(h/c)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(\eta )K_{\mathrm{3}}(\mathrm{1},\eta )\mathrm{d}\eta ,（74）

K_{\mathrm{3}}(\mathrm{1},\eta )=-\sqrt[]{\eta }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha {\mathrm{e}}^{-(h/c)\alpha }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\{(h/c)\alpha \}}{I}_{\mathrm{0}}(\alpha )I_{\mathrm{0}}(\alpha \eta )\mathrm{d}\alpha \mathrm{。}（75）

5 讨论

利用数值结果检验声子场，相位子场和电场对塑性区域的影响，选择材料参数^［24］

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{44}}=\mathrm{50}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a},K_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.3}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a},R_{\mathrm{3}}=\mathrm{1.2}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a},e_{\mathrm{15}}=-\mathrm{0.138}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}},\\ d_{\mathrm{15}}=-\mathrm{0.160}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}},{\lambda }_{\mathrm{11}}=\mathrm{82.6}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{12}}{\mathrm{C}}^{\mathrm{2}}/\left(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}\end{array}

在数值计算过程中，规定h/a=\mathrm{5}\mathrm{。}

塑性区域长度与半裂纹长度之比和施加的机械载荷之间的关系如图2所示。当H_{\mathrm{\infty }}/H_s和D_{\mathrm{\infty }}/D_s固定，从图中可以看出，当H_{\mathrm{\infty }}/H_s=\mathrm{0.1},D_{\mathrm{\infty }}/D_s=\mathrm{0.3}时，塑性区域与{\tau }_{\mathrm{\infty }}/{\tau }_s呈线性关系，当相位子场消失且D_{\mathrm{\infty }}/D_s=\mathrm{0.3}时，塑性区域长度相对较大，表明相位子场的存在对塑性区域长度有影响，当D_{\mathrm{\infty }}/D_s=\mathrm{0.2}且相位子场消失时，塑性区域长度是最长的，表明施加的载荷对塑性区域长度有影响。

施加的载荷对裂纹塑性区域长度的影响如图3所示。由图3可知，施加的载荷越大，塑性区的长度就越小，比较图2和图3可知，声子场的塑性区域长度比相位子场的塑性区域长度长。

当相位子场消失，{\tau }_{\mathrm{\infty }}/{\tau }_s=\mathrm{0.4}保持不变时，(c-a)/a随着D_{\mathrm{\infty }}/D_s增大而增大，但是当H_{\mathrm{\infty }}/H_s=\mathrm{0.1},{\tau }_{\mathrm{\infty }}/{\tau }_s=\mathrm{0.4},(c-a)/a较之前更低，尤其是当{\tau }_{\mathrm{\infty }}/{\tau }_s=\mathrm{0.3}且相位子场消失时，(c-a)/a最长，如图4所示。根据图像，说明相位子场的存在对塑性区域长度有影响。

6 结论

本文研究了一维六方压电准晶带上单裂纹的塑性问题，通过指定无限边界远处的载荷，使用一系列方法，推导出不同场下塑性区域长度的闭合解析表达式。通过数值算例，得出不同场下塑性区域长度与载荷之间存在线性关系，准晶塑性区域长度受相位子场的影响，裂纹尖端承受载荷的能力较差，与普通压电材料相比，准晶更容易被破坏。退化结果与已有文献^［22］保持一致，该工作可以为条带压电准晶的塑性分析以及断裂力学研究提供理论参考，扩大了准晶断裂力学的研究范围，对实现准晶材料结构和综合性能的优化有一定的参考价值。

附录一

T=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{44}}& R_{\mathrm{3}}& -e_{\mathrm{15}}\\ R_{\mathrm{3}}& K_{\mathrm{2}}& -d_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& d_{\mathrm{15}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}\end{array}\right],（a1）

a_{\mathrm{1}}(\alpha )={\mathrm{e}}^{-\alpha y}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha x,a_{\mathrm{2}}(\alpha )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha y,（a2）

M_{\mathrm{1}}(\alpha )=C_{\mathrm{44}}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )+R_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{1}}(\alpha )+e_{\mathrm{15}}{C}_{\mathrm{1}}(\alpha ),M_{\mathrm{2}}(\alpha )=C_{\mathrm{44}}{A}_{\mathrm{2}}(\alpha )+R_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{2}}(\alpha )+e_{\mathrm{15}}{C}_{\mathrm{2}}(\alpha ),（a3）

N_{\mathrm{1}}(\alpha )=R_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )+K_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{1}}(\alpha )+d_{\mathrm{15}}{C}_{\mathrm{1}}(\alpha ),N_{\mathrm{2}}(\alpha )=R_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}(\alpha )+K_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{2}}(\alpha )+d_{\mathrm{15}}{C}_{\mathrm{2}}(\alpha ),（a4）

Q_{\mathrm{1}}(\alpha )=e_{\mathrm{15}}{A}_{\mathrm{1}}(\alpha )+d_{\mathrm{15}}{B}_{\mathrm{1}}(\alpha )-{\lambda }_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{1}}(\alpha ),Q_{\mathrm{2}}(\alpha )=e_{\mathrm{15}}{A}_{\mathrm{2}}(\alpha )+d_{\mathrm{15}}{B}_{\mathrm{2}}(\alpha )-{\lambda }_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{2}}(\alpha )\mathrm{。}（a5）

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基金资助

内蒙古自治区人才开发基金资助项目“基于分数阶热弹性理论在准晶断裂力学中的应用研究”(5909002123)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“分数阶热弹性理论在准晶断裂力学中的应用研究”(2022JBQN076)

内蒙古师范大学数学一流拔尖培育学科建设资助项目“考虑表面效应和挠曲电效应下微尺度梁和板的断裂力学问题研究”(YLXKZX⁃NSD⁃013)