基于物理信息神经网络算法的海洋内孤立波研究

Research on Solitary Waves in Ocean Based on Physics-informed Neural Network Algorithm

摘要

在南海东沙岛附近海域，通过MODIS遥感图像观测到内孤立波（ISW）在从深海向浅海的传播过程中，由于深海与浅海环境条件的差异，表现出不同的动力学特性。首先选用切比雪夫谱方法研究ISW的垂向结构；其次，引入质量和动量守恒量约束条件，改进经典的物理信息神经网络（PINN）算法，以提高算法的可靠性；进一步利用改进的PINN算法，基于阻尼eKdV⁃Burgers模型对深水域、中等深度水域及浅水域的ISW进行对比研究。结果显示，ISW的振幅随着水深的增加而增加，ISW的凹凸型在不同水域有所不同，模拟结果与实际观测到的ISW特征相吻合，表明了模型的有效性和算法的可靠性。

Abstract

Different dynamic characteristics of internal solitary waves （ISWs） near Dongsha Island in the South China Sea have been observed by MODIS remote sensing imagery during their propagation from deep to shallow seas， which are due to varying environmental conditions between deep and shallow seas. In this work， the Chebyshev spectral method was first employed to study the vertical structure of ISWs. Then， constraints on conserved quantities of mass and momentum were introduced to improve the classical physics-informed neural network （PINN） algorithm， so as to enhance its reliability. Further， the improved PINN algorithm and the damped eKdV-Burgers model were utilized to conduct a comparative study on ISWs in deep seas， medium-depth seas， and shallow seas. The results showed that the amplitude of ISWs increased with the increase in water depth， and the concave and convex types of ISWs varied in various water areas. The simulation results were consistent with the observed ISW characteristics， which indicated the effectiveness of the model and the reliability of the algorithm.

Graphical abstract

关键词

内孤立波 / 物理信息神经网络 / 浅滩效应 / 涡动粘性效应 / 守恒量

Key words

internal solitary wave / physics-informed neural networks / shoaling / eddy viscosity effect / conserved quantity

海洋内孤立波（ISW）是发生在密度稳定层化海水内部的一种波动，其最大振幅出现在海洋内部，特征波长为几百米到上千米，一般持续十几分钟到几十分钟^［1⁃2］。由于层化现象在大洋中普遍存在，所以ISW分布广，不仅在陆坡处和大陆架常见，在深海中也观测到了大量的ISW，且出现区域相对固定。ISW引起的海水混合，有利于物质和热量的传输，对海洋环境和海洋生态保护发挥着重要作用。ISW引发的等密度面和等温面的起伏，对水下航行物体造成威胁，对海上石油钻探与开发设施造成破坏。南海是一个石油资源丰富且海洋动力学过程复杂的海域，是我国海上油气工程和海上军事活动的主要区域之一，也是发现海洋内波，特别是非线性ISW最多的海区之一。因此，开展南海ISW的研究对我国国防安全及经济开发有重要意义。

ISW的特征一般可以用模态内波描述。所谓模态内波，是指依据模态数将ISW分为一模态ISW（ISW1）、二模态ISW（ISW2）及高阶模态内波，其中模态可以由描述ISW垂向结构的本征值问题确定。虽然ISW2引起的能量输送通常低于ISW1，但二模态内孤立波水平流的垂向切变相当于典型第一模态内孤立波的2倍，会导致更强的垂向混合^［3］。

ISW的长距离传播通常被认为是非线性和频散共同作用的结果，观测到的ISW的基本特征可以利用KdV理论进行较为合理的解释。对于小振幅弱非线性ISW的描述，在许多浅水海域，KdV方程中的非线性项系数较小，无法很好描述大振幅、强非线性内波，因此需要考虑引入高阶非线性修正项，Kakutani等^［4］根据流体动力学基本方程，推导出两层mKdV（modified KdV）方程和eKdV（extended KdV）方程；Lamb等^［5］推导出两层gKdV（general KdV）方程。Holloway等^［6⁃7］提出reKdV（rotated modified extended KdV）方程并推导出veKdV（variable⁃coefficient extended KdV）方程。KdV方程能够很好描述小振幅、弱非线性内波，Grimshaw等^［8］利用veKdV理论模型，研究了不同海洋陆架区域ISW的传播和演变过程。石新刚^［9］基于连续分层gKdV模型，使用中心差分离散控制方程，对南海东北部海域ISW进行模拟，并在此基础上进行了SAR遥感仿真研究。张善武^［10］使用连续分层 veKdV模型，利用伪谱法离散控制方程，模拟了南海北部海域大振幅ISW的传播和裂变过程，并与观测数据进行比较。王晶等^［11］采用混合模型数值模拟从深海到浅海内波的传播。何啸等^［12］使用实验室尺度的两层弱非线性RLW模型，采用蛙跃格式离散控制方程，模拟不同入射波振幅、地形高度条件下内孤立波的传播演化过程。

ISW的研究包括遥感探测方法、现场实测资料分析方法、海洋多道反射地震方法、水槽模拟方法及数值模拟方法等。海洋现场观测受价格昂贵、数据易丢失以及单点实测导致空间数据不足等诸多因素影响。实验室水槽模拟难以实现深海及长距离ISW 传播的实验。卫星遥感可以实现海面全方位观测，但大气条件、云覆盖和光照变化及时间分辨率也给ISW研究带来一定的挑战。数值模拟研究对于辅助遥感探测、现场实测资料分析及水槽模拟等方法发挥着重要作用。

传统的差分格式在离散过程中，基本没有考虑保能量，而ISW引起的能量输送不容忽视。对于非线性偏微分方程，深度学习算法优势明显，Raissi等^［13］将物理方程约束引入深度学习模型中，提出PINN算法，数值实例展示PINN算法的有效性。Lin等^［14］介绍了一种基于守恒量的两阶段物理信息神经网络方法，这种方法在求解局部波解方面展现出了显著的效果。Miao等^［15］探讨了在高维可积系统中应用物理信息神经网络方法，为解决高维问题提供了新的途径。Pu等^［16］改进了物理信息神经网络方法，成功求解了导数非线性薛定谔方程的局部波解。

本文在PINN算法中加入质量守恒量和动量守恒量的约束条件对其进行改进，基于改进的PINN算法，利用连续层化的阻尼eKdV-Burgers方程

\frac{\partial U}{\partial t}+\left(c\left(x\right)+\alpha \left(x\right)U+{\alpha }_{\mathrm{1}}\left(x\right)U^{\mathrm{2}}\right)\frac{\partial U}{\partial x}+\beta \left(x\right)\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}U}{\partial x^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}A\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}U}{\partial x^{\mathrm{2}}}+QU=\mathrm{0},（1）

对南海东北部海域的内孤立波进行模拟研究，其中，A表示涡动粘性效应，Q表示浅滩效应。

1 理论模型和PINN算法

1.1 控制方程

模型（1）中的参数\alpha ,{\alpha }_{\mathrm{1}}和\beta定义为^［9］

\alpha =\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\frac{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}{c}^{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{d}z}{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}c{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z},（2）

{\alpha }_{\mathrm{1}}=\frac{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}\left\{\left[{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}-{\alpha }^{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}\right]{\gamma }_{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{d}z}{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}c{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z},（3）

\beta =\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\frac{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}{c}^{\mathrm{2}}{W}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z}{{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}c{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}z},（4）

其中

{\gamma }_{\mathrm{1}}=\alpha c\left[\mathrm{5}{\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right]\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z},{\gamma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{c}^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right)-\mathrm{2}{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}\right]\mathrm{。}

z是垂直坐标，向下为正方向。T\left(z\right)为模态函数W(z)的非线性修正项，T\left(z\right)由下列非齐次方程决定：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[c^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\right]+N^{\mathrm{2}}T=-\alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[c\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right]+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[c^{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}\right)}^{\mathrm{2}}\right]，

其中，c表示相速度，非线性系数\alpha体现了ISW传播过程中非线性的强弱，当\alpha>\mathrm{0}，ISW1为“凸型”，当\alpha<\mathrm{0}，ISW1为“凹型”。高阶非线性系数{\alpha }_{\mathrm{1}}在深水区很小，可能小于10^-4 m^-1s^-1，且均为正值。在部分浅水区域{\alpha }_{\mathrm{1}}可能变为负值，大多数区域的{\alpha }_{\mathrm{1}}为正值。频散系数\beta描述了波动在介质中传播时不同频率分量的传播速度差异，\beta随着水深变浅而逐渐减小。

第n模态ISW的垂向结构函数W_n(z)和长内波相速度c_n由本征值问题^［17］

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{W}_n\left(z\right)}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+\frac{N^{\mathrm{2}}}{c_n^{\mathrm{2}}}{W}_n\left(z\right)=\mathrm{0},W\left(\mathrm{0}\right)=W\left(-H\right)=\mathrm{0}（5）

的解确定。其中N为浮频率，且N^{\mathrm{2}}=-\frac{g}{{\rho }_{\theta }}\frac{\mathrm{d}{\rho }_{\theta }}{\mathrm{d}z},{\rho }_{\theta }\mathrm{表示}\mathrm{未受}\mathrm{扰动}\mathrm{的海}\mathrm{水密}\mathrm{度。}{N}^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}表明海水是静力稳定的。

第n模态ISW等密度面的垂直位移为^［1］

\phi (x,t,z)=W_n\left(z\right)U\left(x,t\right),

其中U\left(x,t\right)满足模型（1）。

1.2 守恒量

定义1^［18］ 定义模型的能量函数为

E={\int }_a^b\left(-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\beta u_x{\left(x,t\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}c{u}^{\mathrm{2}}\left(x,t\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\alpha u^{\mathrm{3}}\left(x,t\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{4}}(x,t)\right)\mathrm{d}x,

质量函数为

M={\int }_a^{b}u(x,t)\mathrm{d}x,

动量函数为

I=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_a^b{u}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x。

其离散能量函数、离散质量函数、离散动量函数为

E^n=h{\sum }_{i=\mathrm{1}}^N\left(-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\beta {\left(J{u}^n\right)}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}c{\left(u_i^n\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\alpha {\left(u_i^n\right)}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\left(u_i^n\right)}^{\mathrm{4}}\right),（6）

M^n=h{\sum }_{i=\mathrm{1}}^N{u}_i^n,I^n=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}h{\sum }_{i=\mathrm{1}}^N{\left(u_i^n\right)}^{\mathrm{2}},（7）

其中J为雅可比矩阵。能量误差、质量误差及动量误差分别为

R{E}^n\left(t\right)=\left|E^n-E^{\mathrm{0}}\right|,R{M}^n\left(t\right)=\left|M^n-M^{\mathrm{0}}\right|,R{I}^n\left(t\right)=\left|I^n-I^{\mathrm{0}}\right|。

1.3 PINN算法

PINN算法是将物理定律纳入学习过程的深度学习算法，本质上是一种无网格技术，主要思想是构建一个输出结果的神经网络，将其作为PDE解的代理模型，并将PDE信息作为约束编码到神经网络的损失函数中，通过将直接求解控制方程的问题转化为损失函数优化问题来寻找PDE解。

创建两阶段的神经网络过程如下。

第1阶段：设计根据方程的内部条件、初值条件和边界条件作为原始数据的2个变量x和t作为输入，在参数空间下依据激活函数，以方程解u(x,t)作为输出。其中激活函数是神经网络的一个重要特征，它决定了特定神经元在训练过程中的激活和网络性能的稳定性。在PINN算法中，使用sigmoid、tanh、relu、silu等多种激活函数来解决各种问题。

第2阶段：利用方程解u(x,t)通过自动微分技术（AutoDiff）对模型中的参数进行优化，构建基于不同条件信息的神经网络损失函数（loss），损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}}={\sum }_{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}{M}_{\mathrm{S}\mathrm{E}j}，

其中，方程的内部条件的信息损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{1}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}\left(u_t\left(x_i,t_i\right)+\left(c\left(x_i\right)+\alpha \left(x_i\right)u\left(x_i,t_i\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}\left(x_i\right)u^{\mathrm{2}}\left(x_i,t_i\right)\right)\right.u_x\left(x_i,t_i\right)+\beta \left(x_i\right)u_{xxx}\left(x_i,t_i\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}A{u}_{xx}\left(x_i,t_i\right)+{\left.Qu\left(x_i,t_i\right)\right)}^{\mathrm{2}}；

左边界的信息损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{2}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{2}}}{\left(u\left(-X,t_i\right)-\mathrm{0}\right)}^{\mathrm{2}}；

右边界的信息损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{3}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{3}}}{\left(u\left(X,t_i\right)-\mathrm{0}\right)}^{\mathrm{2}};

初始条件的信息损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{4}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{4}}}{\left(u\left(x_i,\mathrm{0}\right)-\frac{a}{B+\left(\mathrm{1}-B\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\lambda x_i\right)}\right)}^{\mathrm{2}}；

质量损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{5}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{5}}}(m\left(t_i\right)-m(t_{\mathrm{0}}{))}^{\mathrm{2}}；

动量损失函数为

M_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{6}}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{6}}}{\left(v\left(t_i\right)-v(t_{\mathrm{0}})\right)}^{\mathrm{2}}。

其中，

m\left(t_i\right)={\sum }_{j=\mathrm{2}}^{N_x}\widehat{u}\left(x_j,t_i\right)\frac{x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{0}}}{N_x-\mathrm{1}}，m\left(t_{\mathrm{0}}\right)={\sum }_{j=\mathrm{2}}^{N_x}\overline{u}\left(x_j,t_{\mathrm{0}}\right)\frac{x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{0}}}{N_x-\mathrm{1}}，

v\left(t_i\right)=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sum }_{j=\mathrm{2}}^{N_x}{\widehat{u}}^{\mathrm{2}}\left(x_j,t_i\right)\frac{x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{0}}}{N_x-\mathrm{1}}，v\left(t_{\mathrm{0}}\right)={\sum }_{j=\mathrm{2}}^{N_x}{\overline{u}}^{\mathrm{2}}\left(x_j,t_{\mathrm{0}}\right)\frac{x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{0}}}{N_x-\mathrm{1}}，

\widehat{u}\left(x_j,t_i\right)和\overline{u}\left(x_j,t_{\mathrm{0}}\right)分别表示预测值和初始值，m为离散后的质量守恒量，v为离散后的动量守恒量。

通过反向传播算法，可以计算出损失函数对于各个参数的梯度，使用梯度下降等优化算法来更新参数，使得模型逐步收敛到最优解。以此训练神经网络使得信息损失函数达到最小的最优参数，从而获得用神经网络体现的逼近方程物理信息的微分方程解u(x,t)。

PINN的结构如图1所示。

2 数值实例

选取南海东北部海域沿21°N、117°~118°E，将南海东北部海域平均分为五个站点^［9］，如图2所示，五个站点的浮频率如图3所示。将浮频率按深度取离散值，用切比雪夫谱方法数值求解问题（5），再由式（2）—（4）计算出该模态对应的模型（1）的参数。

不失一般性，本文选深水区（S5站点）、中等深度水区（S3站点）及浅水区（S1站点）进行研究。三个站点的相关参数见表1。

如果没有特殊说明，在t=2 s时观察S1、S3和S5站点不同水深的ISW，S1、S3和S5站点的初始振幅分别取a₀=20 m、 a₀=60 m和a₀=120 m。

实例1 考虑刚盖假设下的模型（1），当A=Q=0时，模型（1）退化为eKdV方程。取初始条件为^［19］

U\left(x,t_{\mathrm{0}}\right)=\frac{a_{\mathrm{0}}}{B+\left(\mathrm{1}-B\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\lambda (x-c{t}_{\mathrm{0}})\right)},（8）

其中

B=\frac{-a_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\alpha +a_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}}},{\lambda }^{\mathrm{2}}=\frac{a_{\mathrm{0}}(\mathrm{2}\alpha +a_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}})}{\mathrm{24}\beta },c=c_{\mathrm{0}}+\frac{a_{\mathrm{0}}}{\mathrm{3}}\left(\alpha +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}}\right),

a_{\mathrm{0}}为初始振幅。

取10⁵个训练神经网络的数据集，在［-X，X］×［0，T］上均匀采样，学习率为1×10^-3，优化方法用Adam方法。给定不同的隐藏层数及四种常见的激活函数，其损失函数对比见表2。

由表2可见，silu激活函数更适应本问题。选定silu函数，给定不同的隐藏层及在每层取不同个数的神经元，其损失函数对比见表3。

从效率和精确度考虑，取10层隐藏层和25个神经元为较好选择。

取H=200 m。当t=2 s时，S1站点处数值结果的能量误差、质量误差和动量误差随时间变化如图4所示。图4表明，PINN方法能够很好地保持方程的能量守恒、质量守恒和动量守恒。

实例2 考虑刚盖假设下的模型（1），初始条件同（8）。S5站点、S3站点和S1站点的ISW1如图5所示。

由图5可知，同一站点的ISW1的凹型和凸型保持不变。S5站点内孤立波为凹型，主要集中在水深200~1 000 m处；S3站点内孤立波为凹型，主要集中在水深100~500 m处；S1站点内孤立波为凸型，主要集中在水深30~180 m处。

初始振幅对ISW2的影响如图6所示。由图6可知，随着初始振幅的增大，ISW2波形逐渐变宽，并且ISW2温跃层以下的振幅比温跃层以上的振幅大。

数值模拟工况设置如表4所示，工况1至工况3模拟结果如图7所示，工况4模拟结果如图8所示。

工况5的质量误差和动量误差分别如图9所示。工况1没有耗散项，数值结果保持质量守恒律，如图10所示。工况5有耗散项，数值结果保持耗散质量守恒律，其与曲线y=0.063e^{-0.02 t} 拟合较好，即涡动粘性效应使质量M保持以e^-At 的速度衰减，如图10所示。

3 结论

本文针对南海东北部海域的内孤立波应用连续层结的模型，基于物理信息神经网络方法模拟了不同地形高度、不同初始振幅和各参数变化的情况下海洋内孤立波的演化过程，探讨了内孤立波的非线性因素、频散作用以及浅滩效应和涡动粘性效应对内孤立波波形的影响。研究发现：

（1） 海域内孤立波在一模态下同一地形的波形方向不会发生变化，且不同地形的内孤立波波型不同，S5站点和S3站点的内孤立波为凹型，S1站点的内孤立波为凸型。而在二模态下波形方向会发生变化，S5站点和S1站点的上层区域的内孤立波为凹型，下层区域的内孤立波为凸型，而S3站点的上层区域的内孤立波为凸型，下层区域的内孤立波为凹型。而且离海平面近的内孤立波振幅小于接近地底的内孤立波振幅，进一步证实了密度分层是影响二模态内孤立波上层和下层振幅差异的主要原因。

（2） 内孤立波的初始振幅不同，其波形也不同，内孤立波随着振幅的增大，其内孤立波波形逐渐变宽。当非线性因素的影响增强时，内孤立波波形会发生陡化；当频散效应的影响增强时，内孤立波波形会变得越来越宽。

（3） 由能量误差图、质量误差图和动量误差图说明了PINN方法的可行性和有效性。此方法的内波波形变化与海底地形由深变浅导致频散作用由强到弱、非线性作用由弱到强相符合，从而证明用阻尼eKdV-Burgers模型模拟内波在深海到浅海的传播是可行的，这种方法对研究内波传播具有指导意义。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“全海深内孤立波统一表征及其在深⁃浅过渡区遥感方法反演应用研究”(62161045)

无穷维哈密顿系统及其算法应用（IMNU）教育部重点实验室开放课题资助项目“无穷维哈密顿算子理论与算法研究”(2023KFZDO1)

内蒙古师范大学数学一流拔尖培育学科建设资助项目“哈密顿保结构算法在海洋内波问题中的应用研究”(2024YLKY19)