（2+1）维Sawada-Kotera方程的Lax可积性与精确解研究

Lax Integrability and Exact Solutions of the （2 + 1）-dimensional Sawada-Kotera Equation

摘要

基于Hirota双线性方法和试探函数法，研究（2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性Bäcklund变换，Lax对和精确解问题。利用Hirota双线性方法，将（2+1）维Sawada-Kotera方程转换为双线性形式，并利用试探函数法构造精确解，分析解的性质；再通过构造（2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性Bäcklund变换，获得该方程的Lax对，进而证明方程Lax可积。

Abstract

Based on the Hirota bilinear method and the trial function method， this paper studied the bilinear Bäcklund transformation， Lax pair， and exact solutions of the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation. The Hirota bilinear method was utilized to convert the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation into bilinear form. The trial function method was employed to construct exact solutions， and their properties were analyzed. Furthermore， the Lax pair of the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation was obtained by constructing the bilinear Bäcklund transformation of the equation， which thereby proved its Lax integrability.

Graphical abstract

关键词

（2+1）维Sawada-Kotera方程 / Hirota双线性方法 / Bäcklund变换 / Lax对

Key words

（2 + 1）-dimensional Sawada-Kotera equation / Hirota bilinear method / Bäcklund transformation / Lax pair

孤立子理论的提出和发展，促进了非线性方程的研究，并且学者们提出一系列求解孤子方程的经典方法，如Hirota双线性方法^［1⁃2］、Bäcklund变换法^［1⁃2］、反散射方法^［2］、Daroubx变换法^［2］、Lie对称法^［3］等。其中Hirota双线性方法不仅适用于可积方程，也可以用于不可积方程，应用范围广泛。该方法中Hirota引入了双线性导数概念，通过位势函数变换，可以将非线性发展方程化为双线性形式，再由摄动法求解，即将扰动展开式代入双线性方程中，根据一定的条件将展开式截断，可得到原方程具有线性指数函数形式的单孤子解、双孤子解及三孤子解等具体表达式，用数学归纳法还可由此推测出N孤子解的一般表达式。Hirota双线性方法所引入的位势函数变换，往往以反散射变换的结果或者Painlevé截断展开为基础，但要比反散射方法更加简单直接，因此该方法也被称作Hirota直接方法。

（1+1）维Sawada⁃Kotera方程由Sawada和Kotera^［4］从拥有无穷多对称可积性意义下推导得到。由于物理现象大都是高于一维的，1984年，Konopelcheno和Dubrovsky^［5］运用反散射变换法将（1+1）维Sawada⁃Kotera方程推广到了（2+1）维。

（2+1）维Sawada⁃Kotera方程

u_{\mathrm{x}\mathrm{t}}+u_{\mathrm{6}\mathrm{x}}+\mathrm{5}{u}_{\mathrm{3}\mathrm{x},\mathrm{y}}-\mathrm{5}{u}_{\mathrm{y}\mathrm{y}}+\mathrm{15}{u}_{\mathrm{x}\mathrm{x}}{u}_{\mathrm{3}\mathrm{x}}+\mathrm{15}{u}_{\mathrm{x}}{u}_{\mathrm{4}\mathrm{x}}+\mathrm{15}{u}_{\mathrm{x}}{u}_{\mathrm{x}\mathrm{y}}+\mathrm{15}{u}_{\mathrm{x}\mathrm{x}}{u}_{\mathrm{y}}+\mathrm{45}{u_{\mathrm{x}}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{0},（1）

其中，u=u(x,y,t)是势函数，x和y表示空间变量，t表示时间变量，是可积系统中的一个重要模型，该方程在物理方面应用广泛，如二维量子引力理论、刘维尔场论、共形场理论等^［6⁃10］。方程的诸多性质已在文献［11⁃14］被阐述。近年来，学者们对此高阶非线性发展方程的研究逐渐深入，用许多方法研究其可积性并求解^{［15⁃20］}。

本文利用Hirota双线性方法，构造（2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性Bäcklund变换和Lax对。在直接构造出双线性形式Bäcklund变换的基础上计算五阶Lax对，验证该方程的Lax可积性，基于双线性形式，利用试探函数法获得（2+1）维Sawada-Kotera方程的多个精确解，其中包括具有一般性的sinh-cosh-cos叠加创新解。

1 （2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性形式和Bäcklund变换

1.1 （2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性形式

通过变量变换

u(x,y,t)=\mathrm{2}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}f\right)}_x,f=f(x,y,t),（2）

方程（1）可以改写为双线性形式

\begin{array}{l}(D_x^{\mathrm{6}}+D_x{D}_t+\mathrm{5}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_y-\mathrm{5}{D}_y^{\mathrm{2}})f\cdot f=\mathrm{2}\left(-\mathrm{10}{f_{xxx}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{15}{f}_{xx}{f}_{xxxx}-\mathrm{6}{f}_x{f}_{xxxxx}+f{f}_{xxxxxx}\right)+\\ \mathrm{10}\left({f_y}^{\mathrm{2}}-f{f}_{yy}\right)+\mathrm{10}\left(\mathrm{3}{f}_{xy}{f}_{xx}-\mathrm{3}{f}_x{f}_{xxy}-f_y{f}_{xxx}+f{f}_{xxxy}\right)=\mathrm{0},\end{array}（3）

其中D为双线性微分算子。

1.2 （2+1）维Sawada-Kotera方程双线性形式的Bäcklund变换

基于双线性方程（3），计算双线性Bäcklund变换，考虑到

\begin{array}{l}P=\mathrm{5}(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-\mathrm{5}{f}^{\mathrm{2}}(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}g\cdot g)-\mathrm{5}(D_y^{\mathrm{2}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}{f}^{\mathrm{2}}(D_y^{\mathrm{2}}g\cdot g)+\\ (D_x{D}_{t}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_x{D}_{t}g\cdot g)+(D_x^{\mathrm{6}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_x^{\mathrm{6}}g\cdot g),\end{array}（4）

其中g=g(x,y,t)是方程的另一个解。

根据双线性算子性质可推算交换公式

\begin{array}{l}(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}g\cdot g)=\\ \mathrm{3}{D}_y[(D_{x}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)]-D_y[(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot fg]+\mathrm{3}{D}_x[(D_x^{\mathrm{2}}{D}_{y}f\cdot g)\cdot fg+\\ (D_{y}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)],\\ (D_y^{\mathrm{2}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_y^{\mathrm{2}}g\cdot g)=\mathrm{2}{D}_y[(D_{y}f\cdot g)\cdot fg],\\ (D_x{D}_{t}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_x{D}_{t}g\cdot g)=\mathrm{2}{D}_x[(D_{t}f\cdot g)\cdot fg]=\mathrm{2}{D}_t[(D_{x}f\cdot g)\cdot fg],\\ (D_x^{\mathrm{6}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}-f^{\mathrm{2}}(D_x^{\mathrm{6}}g\cdot g)=D_x\{-\mathrm{3}(D_x^{\mathrm{5}}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}[(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)]+\\ \mathrm{5}{D}_x^{\mathrm{2}}[(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot fg]\},\end{array}（5）

则式（4）可以写为

\begin{array}{l}P=D_x\{\mathrm{15}(D_x^{\mathrm{2}}{D}_{y}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}(D_{y}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)+\mathrm{2}(D_{t}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)-\\ \mathrm{3}(D_x^{\mathrm{5}}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{5}{D}_x^{\mathrm{2}}[(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot fg]\}+D_y\{\mathrm{15}(D_{x}f\cdot g)\cdot (D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g)-\\ \mathrm{5}(D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g)\cdot fg-\mathrm{10}(D_{y}f\cdot g)\cdot fg\}\mathrm{。}\end{array}（6）

令D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g=\lambda fg，D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g=\mu fg，其中\lambda ,\mu为任意常数，有

\begin{array}{l}P=D_x\{\mathrm{15}(D_x^{\mathrm{2}}{D}_{y}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}(D_{y}f\cdot g)\cdot (\mu fg)+\mathrm{2}(D_{t}f\cdot g)\cdot fg-\mathrm{3}(D_x^{\mathrm{5}}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}(\lambda fg)\cdot \\ (\mu fg)+\mathrm{5}{D}_x^{\mathrm{2}}[(\lambda fg)\cdot fg]\}+D_y\{\mathrm{15}(D_{x}f\cdot g)\cdot (\mu fg)-\mathrm{5}(\lambda fg)\cdot fg-\mathrm{10}(D_{y}f\cdot g)\cdot fg\}=\\ D_x[\mathrm{15}(D_x^{\mathrm{2}}{D}_{y}f\cdot g)\cdot fg+\mathrm{15}(D_{y}f\cdot g)\cdot (\mu fg)+\mathrm{2}(D_{t}f\cdot g)\cdot fg-\\ \mathrm{3}(D_x^{\mathrm{5}}f\cdot g)\cdot fg]+D_y\{\mathrm{15}(D_{x}f\cdot g)\cdot (\mu fg)-\mathrm{10}(D_{y}f\cdot g)\cdot fg\}\mathrm{。}\end{array}（7）

则双线性方程（3）的Bäcklund变换可写为

\left\{\begin{array}{l}(\mathrm{15}{D}_x^{\mathrm{2}}{D}_y+\mathrm{15}\mu D_y+\mathrm{2}{D}_t-\mathrm{3}{D}_x^{\mathrm{5}})f\cdot g=\mathrm{0},\\ (\mathrm{3}\mu D_x-\mathrm{2}{D}_y)f\cdot g=\mathrm{0},\\ (D_x^{\mathrm{3}}-\lambda )f\cdot g=\mathrm{0},\\ (D_x^{\mathrm{2}}-\mu )f\cdot g=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（8）

1.3 Lax对

引进相关变量变换：

\psi =\frac{f}{g},\tau =fg,u=\mathrm{2}{(\mathrm{l}\mathrm{n}f)}_{xx},w=\frac{g_y}{g},（9）

则可以得到

\begin{array}{l}\frac{D_{x}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_x,\frac{D_{y}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_y,\frac{D_{t}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_t,\frac{D_x^{\mathrm{2}}{D}_{y}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_{xxy}+u{\psi }_y+\mathrm{4}{w}_x{\psi }_x,\\ \frac{D_x^{\mathrm{2}}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_{xx}+u\psi ,\frac{D_x^{\mathrm{3}}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_{xxx}+\mathrm{3}u{\psi }_x,\frac{D_x^{\mathrm{5}}f\cdot g}{g^{\mathrm{2}}}={\psi }_{xxxxx}+\mathrm{10}u{\psi }_{xxx}+\mathrm{5}{u}_{xx}\psi +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}}\psi \mathrm{。}\end{array}（10）

由变换关系式（10），Bäcklund变换（8）可以写成非线性微分方程组：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{15}({\psi }_{xxy}+u{\psi }_y+\mathrm{4}{w}_x{\psi }_x)+\mathrm{15}\mu {\psi }_y+\mathrm{2}{\psi }_t-\mathrm{3}({\psi }_{xxxxx}+\mathrm{10}u{\psi }_{xxx}+\mathrm{5}{u}_{xx}\psi +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}}\psi )=\mathrm{0},\\ \mathrm{3}\mu {\psi }_x-\mathrm{2}{\psi }_y=\mathrm{0},\\ {\psi }_{xxx}+\mathrm{3}u{\psi }_x-\lambda \tau =\mathrm{0},\\ {\psi }_{xx}+u\psi -\mu \tau =\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（11）

令\mathrm{\Phi }=(\psi ,{\psi }_x,{\psi }_{xx},{\psi }_y{,\tau )}^T，则方程组（11）可以写成如下形式，即Lax矩阵M，N应该满足关系式

\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_x=M\mathrm{\Phi },\\ {\mathrm{\Phi }}_t=N\mathrm{\Phi }\mathrm{。}\end{array}\right.（12）

根据式（11）可得

\begin{array}{l}{\psi }_x=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\mu }{\psi }_y,{\psi }_{xx}=\mu \tau -u\psi ,{\psi }_{yx}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mu {\psi }_{xx},\\ {\psi }_{xxx}=\lambda \tau -\mathrm{3}u{\psi }_x,{\tau }_x=\frac{\mathrm{1}}{\mu }(\lambda \tau -\mathrm{2}u{\psi }_x+u_x\psi )\mathrm{。}\end{array}（13）

由此可得Lax对中，M为

M=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\mu }& \mathrm{0}\\ -u& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mu \\ \mathrm{0}& -\mathrm{3}u& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \lambda \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{3}\mu }{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mu }{u}_x& -\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mu }u& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mu }\lambda \end{array}\right)\mathrm{。}（14）

同理，由Bäcklund变换可知Lax对中，N为

N=\left(\begin{array}{ccccc}{n}_{\mathrm{11}}& n_{\mathrm{12}}& n_{\mathrm{13}}& n_{\mathrm{14}}& n_{\mathrm{15}}\\ n_{\mathrm{21}}& n_{\mathrm{22}}& n_{\mathrm{23}}& n_{\mathrm{24}}& n_{\mathrm{25}}\\ n_{\mathrm{31}}& n_{\mathrm{32}}& n_{\mathrm{33}}& n_{\mathrm{34}}& n_{\mathrm{35}}\\ n_{\mathrm{41}}& n_{\mathrm{42}}& n_{\mathrm{43}}& n_{\mathrm{44}}& n_{\mathrm{45}}\\ n_{\mathrm{51}}& n_{\mathrm{52}}& n_{\mathrm{53}}& n_{\mathrm{54}}& n_{\mathrm{55}}\end{array}\right)\mathrm{。}（15）

其中各个元素为

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{11}}=\frac{\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xx}}{\mathrm{2}\mu },n_{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{135}u\mu }{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{63}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{3}\lambda u_x}{\mathrm{2}\mu }-\mathrm{30}{w}_x-\frac{\mathrm{9}{u}_{xx}}{\mathrm{2}},\\ n_{\mathrm{13}}=-\frac{\mathrm{3}\lambda u}{\mu }-\mathrm{9}{u}_x,n_{\mathrm{14}}=-\frac{\mathrm{15}\mu }{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{15}u}{\mathrm{2}},n_{\mathrm{15}}=-\frac{\mathrm{45}\lambda \mu }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{21}\lambda u}{\mathrm{2}},\end{array}

n_{\mathrm{21}}=-\frac{\mathrm{45}\lambda u_x}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{9}u{u}_x+\frac{\mathrm{21}\lambda u{u}_x}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_{xx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{15}{u}_{xxx}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xxx}}{\mathrm{2}\mu },

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{22}}=-\frac{\mathrm{45}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{45}u\mu }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{12}\lambda u^{\mathrm{2}}}{\mu }+\frac{\mathrm{135}{u}_x}{\mathrm{4}\theta }-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\mathrm{36}u{u}_x+\\ \frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}}-\mathrm{30}{w}_{xx}-\frac{\mathrm{9}{u}_{xxx}}{\mathrm{2}},\\ n_{\mathrm{23}}=-\frac{\mathrm{135}u}{\mathrm{4}\theta }-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{63}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{9}\lambda u_x}{\mathrm{2}\mu }-\mathrm{30}{w}_x-\frac{\mathrm{27}{u}_{xx}}{\mathrm{2}},\\ n_{\mathrm{24}}=-\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}{u}_x,\\ n_{\mathrm{25}}=-\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{15}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{3}\lambda u_x}{\mathrm{2}},\end{array}

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{31}}=-\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{4}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{15}{\lambda }^{\mathrm{2}}u{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{9}{u_x}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{12}\lambda {u_x}^{\mathrm{2}}}{\mu }-\frac{\mathrm{45}\lambda u_{xx}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_{xx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{9}u{u}_{xx}+\\ \frac{\mathrm{21}\lambda u{u}_{xx}}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_{xxx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{15}{u}_{xxxx}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xxxx}}{\mathrm{2}\mu },\end{array}

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{32}}=\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{4}}u+\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{4}}u}{{\mu }^{\mathrm{4}}}-\frac{\mathrm{405}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{135}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{189}{u}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{45}{u}_x}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{45}\lambda u_x}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\\ \mathrm{18}u{u}_x-\frac{\mathrm{3}\lambda u{u}_x}{\mu }-\mathrm{36}{u_x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{90}u{w}_x+\frac{\mathrm{135}{u}_{xx}}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{9}u{u}_{xx}}{\mathrm{2}}+\mathrm{15}{u}_{xxx}+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xxx}}{\mathrm{2}\mu }-\mathrm{30}{w}_{xxx}-\frac{\mathrm{9}{u}_{xxxx}}{\mathrm{2}},\end{array}

n_{\mathrm{33}}=\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{12}\lambda u^{\mathrm{2}}}{\mu }+\frac{\mathrm{135}{u}_x}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\mathrm{99}u{u}_x+\frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{9}\lambda u_{xx}}{\mathrm{2}\mu }-\mathrm{60}{w}_{xx}-\mathrm{18}{u}_{xxx},

n_{\mathrm{34}}=-\frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}},

n_{\mathrm{35}}=-\frac{\mathrm{45}\lambda }{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{135}\lambda u}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{63}\lambda u^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}\mu }-\mathrm{30}\lambda w_x-\mathrm{12}\lambda u_{xx},

n_{\mathrm{41}}=-\frac{\mathrm{135}\lambda u_x}{\mathrm{8}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_x}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{27}u{u}_x}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{63}\lambda u{u}_x}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_{xx}}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{45}{u}_{xxx}}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{9}\lambda u_{xxx}}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}},

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{42}}=-\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{8}\mu }-\frac{\mathrm{135}u}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{135}\lambda u}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{27}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{18}\lambda u^{\mathrm{2}}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}\lambda u^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{405}{u}_x}{\mathrm{8}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{54}u{u}_x}{\mu }+\\ \frac{\mathrm{45}{u}_{xx}}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{45}{w}_{xx}}{\mu }-\frac{\mathrm{27}{u}_{xxx}}{\mathrm{4}\mu },\end{array}

n_{\mathrm{43}}=\frac{\mathrm{405}u}{\mathrm{8}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{189}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{27}\lambda u_x}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{45}{w}_x}{\mu }-\frac{\mathrm{81}{u}_{xx}}{\mathrm{4}\mu },

\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{44}}=-\frac{\mathrm{45}{u}_x}{\mathrm{4}\mu },\\ n_{\mathrm{45}}=-\frac{\mathrm{135}{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{9}\lambda u_x}{\mathrm{4}\mu },\end{array}\begin{array}{l}{n}_{\mathrm{51}}=\frac{\mathrm{9}{u}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\mu }+\frac{u_t}{\mu }-\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{4}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{5}}}+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}u{u}_x}{{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{9}{u_x}^{\mathrm{2}}}{\mu }+\frac{\mathrm{12}\lambda {u_x}^{\mathrm{2}}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{45}\lambda u_{xx}}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_{xx}}{\mathrm{2}\mu }+\\ \frac{\mathrm{33}u{u}_{xx}}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{12}\lambda u{u}_{xx}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_{xxx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{15}{u}_{xxxx}}{\mathrm{2}\mu }+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xxxx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}},\end{array}

n_{\mathrm{52}}=\frac{\mathrm{135}u}{\mathrm{4}\mu }+\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{4}}u}{{\mu }^{\mathrm{5}}}-\frac{\mathrm{135}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{135}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}}{{\mu }^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{63}{u}^{\mathrm{3}}}{\mu }-\frac{\mathrm{45}{u}_x}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{45}\lambda u_x}{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{18}\theta u{u}_x-\frac{\mathrm{9}\lambda u{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{36}{u_x}^{\mathrm{2}}}{\mu }+\frac{\mathrm{60}u{w}_x}{\mu }+\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{4}}{u}_{xx}+\frac{\mathrm{15}{u}_{xxx}}{\mu }+\frac{\mathrm{3}\lambda u_{xxx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{30}{w}_{xxx}}{\mu }-\frac{\mathrm{9}{u}_{xxxx}}{\mathrm{2}\mu },\begin{array}{l}\\ n_{\mathrm{53}}=\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{{\mu }^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{15}\lambda u^{\mathrm{2}}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{135}{u}_x}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{108}u{u}_x}{\mu }+\frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{9}\lambda u_{xx}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{60}{w}_{xx}}{\mu }-\frac{\mathrm{18}{u}_{xxx}}{\mu },\\ n_{\mathrm{54}}=-\frac{\mathrm{15}u}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{15}{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\mu }-\frac{\mathrm{15}{u}_{xx}}{\mathrm{2}\mu },\end{array}

n_{\mathrm{55}}=\frac{\mathrm{45}\lambda }{\mathrm{4}\mu }-\frac{\mathrm{45}{\lambda }^{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{5}}}+\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{45}\lambda u}{\mathrm{4}{\mu }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{3}}u}{{\mu }^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{21}\lambda u^{\mathrm{2}}}{\mu }+\frac{\mathrm{9}{\lambda }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{30}\lambda w_x}{\mu }-\frac{\mathrm{12}\lambda u_{xx}}{\mu }\mathrm{。}

经验证，{\mathrm{\Phi }}_{xt}=(\psi ,{\psi }_x,{\psi }_{xx},{\psi }_y{{,\tau )}^T}_{xt}=(\psi ,{\psi }_x,{\psi }_{xx},{\psi }_y{{,\tau )}^T}_{tx}={\mathrm{\Phi }}_{tx}，所以M,N一定满足零曲率方程，即可验证该方程的可积性。已有相关文献中，尚未有利用该方法验证（2+1）维Sawada-Kotera方程可积性研究。

2 （2+1）维Sawada-Kotera方程的精确解

2.1 呼吸波解

假设方程存在余弦函数与指数函数的组合形式解

f_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[v_{\mathrm{0}}(w_{\mathrm{0}}t+x+{\zeta }_{\mathrm{0}}y)]+p_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{v_{\mathrm{1}}({\epsilon }_{\mathrm{0}}t+x+p_{\mathrm{0}}y)}+{\mathrm{e}}^{-v_{\mathrm{1}}({\epsilon }_{\mathrm{0}}t+x+p_{\mathrm{0}}y)},（16）

其中p_{\mathrm{0}},p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{0}},{\zeta }_{\mathrm{0}},{\epsilon }_{\mathrm{0}}是待定的常数。

将式（16）代入双线性形式方程（3），再令{\mathrm{e}}^{\pm {\nu }_{\mathrm{1}}(x+p_{\mathrm{0}}y+{\epsilon }_{\mathrm{0}}t)}、\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\nu }_{\mathrm{0}}(x+w_{\mathrm{0}}t+{\zeta }_{\mathrm{0}}y)]、\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}[{\nu }_{\mathrm{0}}(x+w_{\mathrm{0}}t+{\zeta }_{\mathrm{0}}y)]的系数为零后得到一个非线性代数方程组（未列出），通过Mathematica软件计算待确定参数之间的关系，得到以下三种情形。

情形1

p_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}=\mathrm{5}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{20}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{16}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}},（17）

情形2

w_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}},p_{\mathrm{2}}=-\frac{{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}},{\epsilon }_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{4}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}},({{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}\ne \mathrm{0},（18）

情形3

w_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}},p_{\mathrm{2}}=\frac{{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}},{\epsilon }_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{4}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}},({{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}（19）

将假设的双线性方程的解（16）和参数关系（19）代入变量变换（2）可以得到（2+1）维Sawada⁃Kotera方程的呼吸波解

u_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}(-\frac{{\mathrm{e}}^{{\nu }_{\mathrm{1}}(x+p_{\mathrm{0}}y+\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}t}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}})}{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}{\nu }_{\mathrm{1}}}-{\mathrm{e}}^{-{\nu }_{\mathrm{1}}(x+p_{\mathrm{0}}y+\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}t}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}})}{\nu }_{\mathrm{1}}-p_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}[{\nu }_{\mathrm{0}}(x-\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{6}}t}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+{\zeta }_{\mathrm{0}}y)])}{{\mathrm{e}}^{-{\nu }_{\mathrm{1}}(x+p_{\mathrm{0}}y+\frac{t{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}})}-\frac{{\mathrm{e}}^{{\nu }_{\mathrm{1}}(x+p_{\mathrm{0}}y+\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}t}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}})}{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+p_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\nu }_{\mathrm{0}}(x-\frac{t{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}}{{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+{\zeta }_{\mathrm{0}}y)]}\mathrm{。}（20）

其中{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}为

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=-{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}-\mathrm{5}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{10}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{9}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{10}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+\\ \mathrm{10}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\nu }_{\mathrm{0}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}={p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{6}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-\\ \mathrm{2}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-\mathrm{2}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}},\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{4}}=\mathrm{5}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{5}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{5}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{9}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{10}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+\\ \mathrm{10}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+\mathrm{10}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}=-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{5}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}({{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\zeta }_{\mathrm{0}})+\mathrm{5}{p}_{\mathrm{0}}({{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}})+\\ {{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{9}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{10}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-\mathrm{5}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{6}}={{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}-{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}(\mathrm{9}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}{\zeta }_{\mathrm{0}})+\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}({p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}})+\\ \mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}=-\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}(-\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\zeta }_{\mathrm{0}})+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\zeta }_{\mathrm{0}})+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}({p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\\ \mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}({{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{\zeta }_{\mathrm{0}})+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}+{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}=-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{6}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}({{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\zeta }_{\mathrm{0}})+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{5}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\zeta }_{\mathrm{0}}-{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}})+\\ p_{\mathrm{0}}({{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}{{\zeta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\zeta }_{\mathrm{0}}))\mathrm{。}\end{array}

呼吸波解（20）中参数为{\zeta }_{\mathrm{0}}=-\mathrm{2.25},{\nu }_{\mathrm{0}}=-\mathrm{1.58},{\nu }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1.7},p_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1.1},p_{\mathrm{0}}=-\mathrm{1.55}，时间为t=\mathrm{0.7}、t=\mathrm{1}、t=\mathrm{1.2}时的三维图见图1（a）、（b）、（c），图1（d）、（e）、（f）是对应的等高线图。

由图1可知，两个指数函数与余弦函数组成测试函数时产生的呼吸波解，随着参数时间t的增大，呼吸波沿着x轴和y轴呈一定角度移动，并且传播过程中呼吸波解的形状和振幅未发生改变。

2.2 sinh-cosh-cos叠加解

假设方程有如下形式的解：

\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{3}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{h}_{i}sinh[k_i(x+r_{i}y+s_{i}t+c_i)]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{2}}}}{\eta }_{j}cosh[{\vartheta }_j(x+{\alpha }_{j}y+{\beta }_{j}t+{\gamma }_j)]+\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{3}}}}{\delta }_{l}cos[{\sigma }_l(x+{\mu }_{l}y+{\nu }_{l}t+{\xi }_l)],\end{array}（21）

其中h_i,k_i,r_i,s_i,c_i,{\eta }_j,{\vartheta }_j,{\alpha }_j,{\beta }_j,{\gamma }_j,{\delta }_l,{\sigma }_l,{\mu }_l,{\nu }_l,{\xi }_l是待定参数，i=\mathrm{1,2},\cdots ,N_{\mathrm{1}},j=\mathrm{1,2},\cdots ,N_{\mathrm{2}},l=\mathrm{1,2},\cdots ,N_{\mathrm{3}}。

将式（21）代入双线性方程（3），再令其中三角函数和双曲函数及其乘积组合的系数全部为零后得到一个非线性代数方程组（略），Mathematica软件解该方程组得如下参数关系：

r_i=-{k_i}^{\mathrm{2}},s_i=\mathrm{9}{k_i}^{\mathrm{4}},{\alpha }_j=-{{\vartheta }_j}^{\mathrm{2}},{\beta }_j=\mathrm{9}{{\vartheta }_j}^{\mathrm{4}},{\mu }_l={{\sigma }_l}^{\mathrm{2}},{\nu }_l=\mathrm{9}{{\sigma }_l}^{\mathrm{4}}。（22）

当N_{\mathrm{1}}=\mathrm{3},N_{\mathrm{2}}=\mathrm{3},N_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}时，

u_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\frac{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{k}_i{p}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[k_i(c_i+\mathrm{9}{k_i}^{\mathrm{4}}t+x-{k_i}^{\mathrm{2}}y)]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\eta }_j{\omega }_j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}[{\omega }_j(x+{\gamma }_j-{{\omega }_j}^{\mathrm{2}}y+\mathrm{9}{{\omega }_j}^{\mathrm{4}}t)]+\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\delta }_l{\sigma }_l[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\sigma }_l(x+{\xi }_l+{{\sigma }_l}^{\mathrm{2}}y+\mathrm{9}{{\sigma }_l}^{\mathrm{4}}t)]\end{array}}{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{p}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}[k_i(c_i+\mathrm{9}{k_i}^{\mathrm{4}}t+x-{k_i}^{\mathrm{2}}y)]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\eta }_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[{\omega }_j(x+{\gamma }_j-{{\omega }_j}^{\mathrm{2}}y+\mathrm{9}{{\omega }_j}^{\mathrm{4}}t)]+\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\delta }_l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\sigma }_l(x+{\xi }_l+{{\sigma }_l}^{\mathrm{2}}y+\mathrm{9}{{\sigma }_l}^{\mathrm{4}}t)]\end{array}}\mathrm{。}（23）

解（23）中取参数为p_{\mathrm{2}}=p_{\mathrm{3}}={\eta }_{\mathrm{1}}={\eta }_{\mathrm{2}}={\eta }_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{1}}=k_{\mathrm{2}}=k_{\mathrm{3}}={\omega }_{\mathrm{1}}={\omega }_{\mathrm{2}}={\omega }_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{3}}={\gamma }_{\mathrm{1}}={\gamma }_{\mathrm{2}}={\gamma }_{\mathrm{3}}={\delta }_{\mathrm{2}}={\sigma }_{\mathrm{2}}={\xi }_{\mathrm{2}}={\delta }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{1}}={\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},时间为t=\mathrm{1}的三维图见图2（a），图2中（b）是对应的等高图。

3 结论

本文通过变量变换得到了（2+1）维Sawada-Kotera方程的双线性形式，利用Hirota双线性方法直接构造了双线性形式的Bäcklund变换，在该Bäcklund变换的基础上计算Lax对，从而验证了方程的可积性。基于方程的双线性形式，通过试探函数法获得（2+1）维Sawada⁃Kotera方程的多个精确解，取不同的参数关系画出解的图像，通过绘制解的三维图和等高线图，分析解的相互作用，包括双指数函数分别与三角函数、二次函数组成的复合型解。另外，获得了由双曲正弦函数、双曲余弦函数、三角余弦函数叠加的新复合型解。

目前，尚未有学者通过双线性Bäcklund变换计算Lax对，而本文则在直接构造出双线性形式的基础上计算出了五阶Lax对，验证了该方程的Lax可积性，使对该方程的研究结论更全面。另外，本文获得的多个解中包括具一般性的sinh-cosh-cos叠加解，有关该方程的参考文献中均未计算这种形式的解。本文不仅假设了叠加形式的解，还计算了一般形式，该解包含单周期解与单孤子解叠加解、单周期解与多孤子解叠加解、多周期解与单孤子解叠加解、多周期解与多孤子解的叠加解，本文使有关该方程的解的结果更加全面。但根据本文Lax方程推导达布变换的问题有待进一步计算。

参考文献

[1] 広田良吾.孤子理论中的直接方法［M］.北京：清华大学出版社，2008：18-55.

[2] 李翊神.孤子与可积系统［M］.上海：上海科技教育出版社，1999：61-72.

[3] MATVEEV V B， SALLLE M A. Darboux transformations and solitons［M］.Berlin：Springer-Verlag，1991：7-28.

[4] SAWADA K， KOTERA T.A method for finding N-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equation［J］. Progress of Theoretical Physics，1974，51（5）：1355-1367.

[5] KONOPELCHENO B G， DUBROVSKY V G.Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1 dimensions［J］.Physics Letters A，1984，102（1-2）： 15-17.

[6] GÖKTAŞ Ü， HEREMAN W. Symbolic computation of conserved densities for systems of nonlinear evolution equations［J］. Journal of Symbolic Computation， 1997， 24（5）： 591-622.

[7] BALDWIN D， GOKTAS Ü， HEREMAN W， et al. Symbolic computation of exact solutions expressible in hyperbolic and elliptic functions for nonlinear PDEs［J］. Journal of Symbolic Computation，2004，37（6）：669-705.

[8] HEREMAN W， NUSEIR A. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differential equations［J］.Mathematics and Computers in Simulation，1997，43（1）：13-27.

[9] HUANG L L， CHEN Y. Lump solutions and interaction phenomenon for （2+1）-dimensional Sawad-Akotera equation［J］. Communications in Theoretical Physics，2017，67（5）：473-478.

[10] WAZWAZ A M. The extended tanh method for new solitons solutions for many forms of the fifth-order KdV equations［J］. Applied Mathematics and Computation，2007，184（2）：1002-1014.

[11] SATSUMA J， KAUP D J. A Bäcklund transformation for a higher order korteweg-de vries equation ［J］.Journal of the Physical Society of Japan，1977，43（2）：692-697.

[12] KAUP D J.On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class ψ_xxx +6Qψ_x +6R_ψ =λψ ［J］.Studies in Applied Mathematics， 1980， 62（3）：189-216.

[13] WEISS J.On classes of integrable systems and the Painlevé property［J］.Journal of Mathematical Physics， 1984， 25（1）：13-24.

[14] ROGERS C， CARILLO S. On reciprocal properties of the Caudrey-Dodd-Gibbon and Kaup-Kupershmidt hierarchies［J］.Physica Scripta，1987，36（6）： 865-869.

[15] CHEN A H， WANG F F. Fissionable wave solutions， lump solutions and interactional solutions for the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation［J］. Physica Scripta， 2019， 94（5）：055206.

[16] JIA S L， GAO Y T， DING C C， et al.Solitons for a （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation via the Wronskian technique［J］.Applied Mathematics Letters，2017，74： 193-198.

[17] LI J H， CHEN Q Q， LI B. Resonance Y-type soliton solutions and some new types of hybrid solutions in the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation［J］. Communications in Theoretical Physics， 2021， 73（4）： 045006.

[18] WANG X B， ZHAO Q L， JIA M，et al. Novel travelling wave structures for （2+1）-dimensional Sawada-Kotera equation［J］. Applied Mathematics Letters， 2022， 124： 107638.

[19] LÜ X. New bilinear Bäcklund transformation with multisoliton solutions for the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera model［J］. Nonlinear Dynamics， 2014， 76（1）： 161-168.

[20] ZHANG H Q， MA W X. Lump solutions to the （2+1）-dimensional Sawada⁃Kotera equation［J］.Nonlinear Dynamics， 2017， 87（4）： 2305-2310.

基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“变系数非线性发展方程解的非线性叠加公式与相关问题研究”(2024MS01003)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“非线性发展方程的贝克隆变换与无穷守恒律问题研究”(2022JBZD011)

内蒙古自治区一流学科科研专项资助项目“人工智能与数学融合发展及应用研究”(YKXKZX⁃NSD⁃001)

内蒙古自治区高校创新科研团队计划资助项目“应用数学团队”(NMGGIRT2414)

内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目"几种非线性发展方程的Lax可积性与精确解"(CXJJS25025)