漏水检测信号的稀疏表示研究

Sparse Representation of Water Leakage Detection Signals

摘要

为解决压缩感知在漏水检测系统中面临的信号重构效果不理想的问题，通过对比多种漏水信号稀疏表示方法，寻找最适合漏水检测信号的稀疏表示。具体方法包括设计伯努利随机观测矩阵，并采用不同类型的稀疏基对漏水信号进行稀疏表示和重构。在实验中，选用离散余弦变换（DCT）和db4小波变换作为固定稀疏基，K-SVD算法和自编码器（autoencoder）方法作为学习型字典的稀疏表示，并结合正交匹配追踪算法（OMP）、压缩采样匹配追踪算法（CoSaMP）和梯度下降法（GD）进行实验分析。实验结果表明，在小数据量条件下，K-SVD相比DCT和db4小波变换在均方误差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）和余弦相似度（cosine similarity）三个指标上均有所提升。而在大数据量的条件下，自编码器的稀疏表示方法表现出了更好的重构性能，其MSE值最低可达到0.000 67，Cosine Similarity值最高可达到0.999 4，且在信号分布密度和波形拟合方面优于K-SVD，展现出更高的重构效率和鲁棒性。

Abstract

This study aimed to address the unsatisfactory signal reconstruction effect of compressed sensing in water leakage detection systems. Multiple sparse representation methods of water leakage signals were compared to identify the most suitable sparse representation for water leakage detection signals. The methodology involved designing a Bernoulli random observation matrix and applying different types of sparse bases for sparse representation and reconstruction of water leakage signals. In experiments， discrete cosine transform （DCT） and db4 wavelet transform were selected as fixed sparse bases， while the K-singular value decomposition （K-SVD） algorithm and the autoencoder method were employed for sparse representation of learning-type dictionary. Additionally， the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm， the compressive sampling matching pursuit （CoSaMP） algorithm， and the gradient descent （GD） algorithm were also used for analysis. The results indicated that in the case of small data sets， K-SVD outperformed DCT and db4 wavelet transform in terms of mean squared error （MSE）， peak signal-to-noise ratio （PSNR）， and cosine similarity. For large data sets， the autoencoder-based sparse representation method demonstrated better reconstruction performance， achieving the lowest MSE of 0.000 67 and the highest cosine similarity of 0.999 4. In addition， it was superior to K-SVD in regard to signal distribution density and waveform fitting， showing higher reconstruction efficiency and robustness.

Graphical abstract

关键词

稀疏表示 / 固定稀疏基 / 学习型字典 / 自编码器 / 信号重构

Key words

sparse representation / fixed sparse basis / learning-type dictionary / autoencoder / signal reconstruction

水资源短缺问题日益严峻，供水管道的漏水检测已成为保障水资源高效利用的重要环节。响应国家节约资源和保护环境的号召，发展高效、低能耗的漏水检测技术具有重要意义。在此背景下，压缩感知（compressed sensing，CS）理论以其突破传统Nyquist采样定律的特点，在低采样率条件下能够获取信号的有用信息^［1］。压缩感知的核心包括信号稀疏表示、观测矩阵构造和重构算法选择。目前，对观测矩阵和重构算法已有较多研究，并在漏水检测领域取得了一定进展^［2］，但对于稀疏表示的研究相对较少，仅停留在固定稀疏基的表示方法上，在实际应用中对漏水信号的稀疏表示未有理想的解决方案。

本文基于物联网（IoT）环境下的漏水检测系统，对终端节点进行压缩采样，汇聚节点进行稀疏采样点重构，并依据重构结果判断漏水位置。然而，当前的压缩采样点重构效果未能达到预期，常常导致漏水位置的误判。经分析，漏水信号的复杂性和环境因素对信号稀疏性的影响使得现有的重构方法在实际应用中面临较大挑战。在不同条件下，漏水信号的稀疏特性难以用统一的表示方法进行有效描述，因此现有稀疏表示方法在漏水检测中的适应性和准确性受限。基于此，本文通过实验和分析，寻找最适合漏水检测中稀疏信号表示的优化方法，从而提升重构精度，减少漏水位置误判，提高漏水检测系统的实际应用效果。

通过文献分析，信号稀疏表示主要有两类：固定稀疏基和学习型字典的稀疏表示。固定稀疏基有离散余弦变换（discrete cosine transform，DCT）^［3］和离散小波变换（discrete wavelet transform，DWT）^［4］，因其构造简单、计算速度快而被广泛应用于信号处理领域。这些方法的局限性是采用预定义的基函数表示信号，无法充分捕捉信号的复杂特征，重构精度受到较大限制。

为提升稀疏表示的适应性，近年来，基于学习型字典的稀疏表示方法得到了广泛关注。学习型字典方法通过从具体信号（如图像、音频等）中学习优化字典，使字典更加适应特定信号的稀疏表示需求。K-SVD（K-singular value decomposition）算法作为一种典型的学习型字典方法^［5］，通过对字典和稀疏系数的交替优化，在图像和复杂信号处理领域表现出色。然而，K-SVD算法在计算复杂度和大规模数据处理能力方面仍然存在一定的不足，限制了其在实际应用（如实时信号监测、大规模数据分析等）中的进一步推广。

随着深度学习技术的快速发展，自编码器（autoencoder）作为一种无监督学习模型^［6］，展示了强大的信号特征学习能力。自编码器通过构建端到端神经网络，能够在不依赖预设字典的情况下，高效进行学习信号的稀疏表示。这一方法不仅克服了传统稀疏表示方法对固定字典的依赖，还在泛化能力和适应性上表现出了更大的优势。

本文拟对比DCT、小波变换（db4）、K-SVD以及基于自编码器的稀疏表示方法，系统评估不同稀疏表示方法在漏水信号重构中的性能，并探讨学习型字典和深度学习模型在该领域的应用潜力，以期为漏水检测系统选择稀疏表示提供依据。

1 相关理论

压缩感知可以从具有较少观测值的信号中恢复出原始信号。使用压缩感知理论的前提是满足两个性质：稀疏性和不相关性。稀疏性为原始信号可以稀疏表示，即原始信号在某一特定的变换域（或称基）下能够展现出稀疏性，在某个基下，信号只有少量的非零系数；不相关性为稀疏基Ψ与测量矩阵Φ之间不相关^［7］。具体的压缩感知重构过程如图1所示，主要由三步完成，稀疏表示原始信号，选择观测矩阵进行采样和投影，重构算法进行重构信号。

假设原信号x是N维向量，可以是某个N×N维稀疏基矩阵Ψ下的稀疏表示，即

x=\Psi s，（1）

其中，s是N×1的稀疏系数向量，大部分元素为0。构造一个M×N型观测矩阵Φ，将原信号x进行线性投影，得到观测向量y，即

y=\Phi x。（2）

通过求解一个优化问题来重构信号，同时满足观测约束条件，即

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}||s|{|}_{\mathrm{1}}s.t.y=\Phi \Psi s。（3）

公式（3）可以被看作是一个优化问题，目标是找到一个向量s的最小1范数^［8］（即s中元素的绝对值之和尽可能小）。同时要满足约束条件y=ΦΨs，将s转换为y的结果必须满足给定的关系。

1.1 伯努利随机观测矩阵

观测矩阵核心在于确保能够通过少量的线性测量值来准确重构出原始稀疏信号。观测矩阵需要满足有限等距性质（restricted isometry property，RIP），这一性质确保测量矩阵与稀疏基之间的不相关性，从而保留了稀疏信号的重要信息。Candes等^［9］的研究表明，高斯随机测量矩阵和伯努利随机测量矩阵都能以高概率满足RIP条件^［10］，由前期漏水检测研究成果^［11］可知，本文选用伯努利随机测量矩阵为观测矩阵，设计方法如下。

设定矩阵的大小为M×N（M<N），其元素a_ij （其中i=1，2，…，M，且j=1，2，…，N）均服从伯努利分布，即

a_{ij}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1},\mathrm{以概}\mathrm{率}p,\\ -\mathrm{1},\mathrm{以概}\mathrm{率}\mathrm{1}-p,\end{array}\right.（4）

其中，p是取值为1的概率（通常取p=0.5以保持矩阵的对称性），而取值为-1的概率则是1-p。在某些特殊情况下，为了保持矩阵的稀疏性或满足其他约束条件，也可以将取值为0的概率纳入考虑，使得伯努利随机观测矩阵在保持一定随机性的同时，也具有较低的计算复杂度。

1.2 信号的重构算法

正交匹配追踪算法（orthogonal matching pursuit，OMP）^［12］以其高效性和简单性成为处理稀疏性强、噪声较小信号的首选。这种稀疏性特点使得OMP算法能够迅速捕捉到相关事件的关键特征，实现快速且准确重构。压缩采样匹配追踪算法（compressive sampling matching pursuit，CoSaMP）^［13］在处理复杂信号结构和噪声干扰较大的情况下表现出色，它通过同时更新信号支持集和近似稀疏向量的方式，能够在噪声环境下提供稳健且精确的重构结果，CoSaMP算法在信号重构处理中具有提高精度的优势。梯度下降法（gradient descent，GD）^［14］是一种基于优化的重构方法，适用于处理非凸问题和大规模数据集。随着现代传感器技术的不断发展，采集信号数据量不断增大，对算法的处理能力提出了更高的要求。

2 稀疏表示的实验设计

2.1 离散余弦变换（DCT）稀疏基

离散余弦变换（DCT）是一种常用的信号处理技术，特别是在图像压缩和信号压缩中被广泛应用。DCT使用一组离散的余弦基函数表示信号，它具有较好的能量集中性，能够在低频部分有效地表示信号，从而达到稀疏表示。对于漏水信号的处理，DCT能够有效提取信号的主要成分，在一些简单或低频泄漏信号的情况下表现良好。其实现过程的伪代码见表1。

2.2 db4小波变换稀疏基

db4小波变换是一种能够在时域和频域之间灵活转换的信号处理方法，因其在时频局部化、正交性和频域紧支撑性方面的优良特性，适合处理包含突变或不规则部分的非平稳漏水信号。这类信号通常具有明显的瞬态特征和宽频带信息，db4小波变换能够有效地进行多尺度分析^［15］。选择合适的小波基函数和分解层数对信号特征提取至关重要，db4小波的4阶消失矩特性保证了信号重构的准确性，同时具备良好的低频特征提取能力。其实现过程的伪代码见表2。

2.3 K-SVD字典学习方法

K-SVD算法通过交替进行稀疏编码和字典更新，从实际的漏水信号中学习一个优化字典，实现信号的稀疏表示和特征提取。该方法通过压缩表示提取信号的关键特征，并利用字典优化过程提高信号的重构精度，逐步逼近最优解，从而为漏水检测和异常识别提供有效支持。K-SVD字典训练算法的设计实现伪代码见表3。

2.4 基于深度学习的自编码器结构

自编码器是一种无监督学习方法，由编码器和解码器组成，能够有效地学习数据的潜在表示。其结构如图2所示，在漏水信号处理中，输入信号X通过编码器映射到低维稀疏表示Z，其中稀疏性通过L1正则化约束λ||Z||₁实现，以鼓励编码器输出具有稀疏特征的表示，从而突出异常漏水信号。解码器将稀疏表示Z映射回原始信号空间，以重构漏水信号X^{\text{'}}。

损失函数结合了重构误差和稀疏性约束项λ||Z||₁，其中λ是稀疏性正则化的超参数。通过反向传播和优化算法，网络参数得以更新，从而提升模型在漏水信号辨别中的表现。其实现伪代码见表4。

3 实验过程及结果分析

3.1 构造数据集

通过树莓派4 b连接ADS1256芯片，并将其ADC0通道连接至压电传感器，采样速率设置为

2 000 SPS，对实际PVC管进行漏水数据的采集^［16］。所收集的数据集包含大量观测样本，每个样本由一个1 024维的向量表示，其中每个特征值反映了漏水信号在特定频率的强度表现。整个数据集共包含14万条样本，实验选择了1 000条作为训练集，300条作为测试集。对收集的数据进行归一化处理，消除不同数据源间的尺度差异，从而确保数据在统一标准下进行处理。

3.2 评价指标

为比较不同的信号稀疏表示方法在漏水信号重构方面的影响效果，实验使用三种重构算法中广泛使用的评价指标，分别是均方误差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）和余弦相似度（cosine similarity，CS）。

3.2.1 均方误差

MSE是一种用于衡量预测值与实际观测值之间的差异指标，计算公式为

\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{1}}{n}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^n(y_i-{\widehat{y}}_i{)}^{\mathrm{2}}，（5）

其中，n是样本数量，y_i是第i个样本的实际观测值，{\widehat{y}}_i是第i个样本的模型预测值。MSE通过计算预测值与实际观测值之差的平方，并对所有样本取平均值得到。MSE值越小，重构效果越好。

3.2.2 峰值信噪比

PSNR是一个用于衡量信号或图像质量的重要指标，主要评估的是重构信号与原始信号之间的失真程度，计算公式为

\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\mathrm{10}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{}^{\mathrm{2}}/\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E})，（6）

其中，\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}是图像中像素的最大可能值，MSE是原始图像和重构图像之间的均方误差。PSNR值越高，表示重构信号的质量越好，即失真程度越低。

3.2.3 余弦相似度

CS是衡量原始信号和重构信号之间的相似性。余弦相似度通过计算两个向量之间夹角的余弦值评估其相似性，计算公式为

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )=\frac{A\cdot B}{‖A‖\times ‖B‖}，（7）

其中，cos（θ）表示两个向量之间的夹角的余弦值，A和B分别表示原始信号和重构信号的向量。余弦相似度的值越接近1，两个向量的夹角越小，表示原始信号和重构信号越相似，重构效果越好。

综上所述，这些指标从多个角度全面评估漏水信号的压缩重构性能。MSE和PSNR主要关注信号在数值层面上的差异，反映了重构信号与原始信号之间的误差大小；而CS则侧重于信号在结构层面上的相似性，评估两者的相关性和一致性。这些指标相互补充，共同构成了一个完整的评价体系，为漏水信号的重构效果提供了全面的量化标准。

3.3 实验结果分析

3.3.1 不同稀疏表示方法的重构分布密度曲线

为探索不同稀疏表示方法在漏水信号重构中的表现，本文选取了DCT、db4小波变换、K-SVD和深度学习自编码器，结合三种重构算法（OMP、CoSaMP和GD）进行对比实验。实验通过分析信号分布密度曲线及三项重构指标（MSE、PSNR和CS），系统地分析了各稀疏表示方法在信号重构方面的效果差异性。

（1）基于DCT和K-SVD的对比分析

比较DCT和K-SVD作为稀疏表示方法的性能，DCT基于频域转换，通过变换基减少信号冗余，提升稀疏性；K-SVD通过优化学习型字典更精确地捕捉信号的复杂结构。实验中，K-SVD字典的字典大小设置为256，稀疏度（每个信号的非零系数）设置为55，最大迭代次数为500，收敛阈值为1×10^-5。这些参数能够有效地优化字典，并提高信号重构的精度。DCT与K-SVD信号分布密度曲线如图3所示，其中实线为K-SVD下三种重构算法的密度曲线，与原始信号分布更为接近；虚线为DCT的对应结果，表现出较大的形状偏差，相似度与原始信号较低。基于DCT和K⁃SVD的重构性能分析见表5和表6。从对比数据可以看出，使用K-SVD作为稀疏基的所有重构方法在各项指标上均明显优于DCT。

（2）基于db4小波与K⁃SVD的对比分析

实验采用10层小波分解，这样的分解深度使得小波变换能够更细致地划分频带，确保低频和高频成分的区分，从而有效识别漏水信号中可能出现的谐波和瞬时异常等特征。此外，10层分解还便于构建观测矩阵，进一步支持信号的稀疏重构过程，使模型在处理压缩感知的信号重构任务时能更好地恢复原始信号的主要成分。db4与K-SVD的分布密度曲线如图4所示，从图4中可以看出，db4曲线在形状相似度上的匹配度仍与原始信号较低。基于db4的重构性能指标见表7，对比表6的数据可以看出，使用K-SVD作为稀疏基的所有重构方法在各项指标上均优于db4。

（3）自编码器与K-SVD的对比分析

为验证深度学习方法的优势，实验选取K-SVD+CoSaMP和自编码器两种方案进行对比，并在自编码器实验中使用完整数据集（训练集与测试集比例为7∶3）。模型采用四层编码器与解码器结构，通过Adam优化器训练100个epochs，学习率（learning rate，lr）设置为0.000 5，同时利用梯度裁剪（max norm设为5.0）防止梯度爆炸。自编码器与K⁃SVD信号分布密度曲线如图5所示，由图5可知，自编 码器重构信号分布密度曲线几乎与原始信号完全重合，表明其对信号内在模式的学习能力显著优于传统方法。基于Autoencoder的重构性能分析见表8，数据显示，自编码器在大数据量条件下实现了最低的MSE（0.000 67）和最高的CS（0.999 4），表明深度学习在信号重构中的潜力。

通过分布密度曲线和各项指标的对比分析可知，在小数据量条件下，K-SVD作为学习型字典，相比DCT和db4表现出更高的重构精度；而在大数据量条件下，自编码器利用深度学习的特性，更好地学习信号内在模式，进一步提升了信号重构效果，是未来漏水信号处理的潜在优化方向。

3.3.2 不同稀疏表示方法的重构对比图

为进一步说明不同稀疏表示方法对漏水信号重构效果的影响，绘制了原始信号与上述四种方法重构信号的对比曲线，如图6所示。图中横坐标表示信号的采样点索引，选取783~791行的信号样本，该区间包含了关键的变化特征，有助于直观比较不同稀疏表示方法在高频细节中的重构差异；纵坐标表示信号在各采样点的幅值。从图6中可以看出，DCT重构信号的波形与原始信号存在明显偏差，尤其是在高频细节（如拐点处）的特征恢复上表现较弱；db4小波变换的重构信号虽然更接近原始信号，但在信号的高频特征恢复上仍有不足；K-SVD通过优化学习型字典，能够更准确地捕捉信号特征，其重构信号在波形拟合上优于前两种方法；而自编码器的重构信号几乎与原始信号完全重合，在高频细节恢复方面表现出卓越的性能。这些结果充分体现了学习型方法（K-SVD和自编码器）在漏水信号重构中的优势，特别是在处理复杂信号和恢复细节方面具有更高的精度和鲁棒性。

4 总结与展望

本文系统研究了压缩感知框架下漏水检测系统中的稀疏表示方法。实验分别选取了DCT、db4小波变换、K-SVD学习型字典以及深度学习自编码器，结合OMP、CoSaMP和GD三种重构算法，对各方法在漏水信号重构中的性能进行了全面评估。实验结果表明：在小数据量条件下，K-SVD通过优化学习型字典展现出优于DCT和db4小波变换的性能，其在MSE、PSNR和CS指标上的优化幅度均较为明显；在大数据量条件下，自编码器凭借深度学习的高效特征学习能力，进一步提升了重构精度，其在信号重构的分布密度和波形拟合方面接近或优于K-SVD，表现出对复杂信号模式的较强学习 能力。尽管K-SVD在学习型稀疏表示方面具有较强的精度优势，但其字典训练过程计算复杂度较高，同时在处理大规模数据时效率有所下降。自编码器在大数据量条件下表现出的高重构性能，为漏水信号重构提供了更具潜力的解决方案。

未来，随着人工智能和深度学习技术的持续发展，基于压缩感知的漏水信号处理有望取得更多突破。当前的压缩感知框架在稀疏表示和重构算法中通常依赖于RIP（限制等距性）约束条件，但未来可能逐步被神经网络的强大拟合能力和特征提取优势所取代。结合深度学习的无监督或半监督特性，研究能够自动学习稀疏表示和信号特征的模型，例如基于自编码器的变种模型或生成对抗网络（GAN），可能成为提升水信号处理精度的重要方向。此外，模型训练效率与大规模数据的处理能力也将成为未来研究的重点，通过优化算法和硬件加速技术（如GPU或TPU）进一步降低模型计算复杂度，将为实际漏水检测系统的部署与应用奠定坚实基础。

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基金资助

内蒙古自治区科技计划资助项目“远程控制地下供水管道漏水监测系统的实现”(2020GG0165)

中央引导地方科技发展资助项目“基于‘人工智能+’管道漏水检测系统的实现”(2024ZY0144)