秦楚九九简牍管窥

Research on Jiujiu Multiplication Bamboo Slips of Qin and Chu

摘要

九九是数字计算的基本工具，在中国有着悠久的历史。目前已知秦朝及以前的出土九九简牍有7件，均来自秦、楚两地。这些九九可分为纯口诀式、纯表格式和带有表格特征的口诀式三种类型。纯口诀式九九出现最早，纯表格式九九属于比较少见的类型，带有表格特征的口诀式九九出现相对较晚，大致到秦代已成为主流。此外，九九的特征与书写材料有关但并不完全对应。

Abstract

Jiujiu multiplication is a basic tool for numerical calculation with a long history in China. At present， it is known that there are seven unearthed Jiujiu multiplication bamboo slips from the Qin Dynasty and before， all of which come from Qin and Chu. These forms of Jiujiu multiplication can be divided into three types， including pure mnemonic form， pure table form， and mnemonic form with table features. The pure mnemonic form appeared the earliest， while the pure table form was relatively rare. The mnemonic form with table features appeared relatively late and had become mainstream by the Qin Dynasty. Additionally， the characteristics of Jiujiu multiplication are related but do not correspond to the writing material.

Graphical abstract

关键词

北大秦简 / 秦家咀楚简 / 里耶秦简 / 九九 / 清华楚简

Key words

Qin's bamboo slips preserved at Peking University / Chu's bamboo slips unearthed in Qinjiazui / Qin's bamboo slips unearthed in Liye / Jiujiu multiplication / Chu's bamboo slips preserved at Tsinghua University

九九口诀有着悠久的历史，因其早先形态的首句为“九九八十一”而得名。古代很早就用“九九”来指称基本数字乘法的总体，本文即取此义。关于九九的考古证据，很长时间内只能追溯到汉代。2002年湖南湘西里耶发掘了一个秦代古井，2003年首次公布其中出土的一部分简牍，内有一枚出土于第6层、编号为J1⑥1的九九木牍^［1］。王焕林^［2］将它与后世的九九进行了比较，分析并指出其间的差异，特别是提出“一一而二”为加法，“字”为“筹算单位”等看法。虽然“筹算单位”的说法有些模糊，但仍很有见地。2008年清华大学收藏了一批战国楚简，从中整理出一个含有21枚简的算表，称为清华简《算表》（图1-2）1

1 图1、图2取自原整理者发表的著作^［3］，肖云晓对调了右侧边上两简的位置（见肖芸晓.清华简《算表》首简简序小议.简帛网，2014年4月21日，见http：//www.bsm.org.cn/show_article.php？id=2011），可能更合理。在不影响讨论的情况下，为简便起见，本文暂时只用整理者发表的图片。

。简册上有横向的栏线和编绳，它们与纵向的简与简之间的缝隙将简册划分为一个纵横交错的表格。简册最上的一栏从左至右依次写着表示\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，20，30，40，50，60，70，80，90的汉字（其中写有表示4、5和30的地方已残缺，但可以根据文例复原），在右侧一枚简上从下至上也依次写有同样的数字。其他各格内的文字记录着其正上方最上一格内的数字和正右方最右一格内的数字之乘积。同时，在简册最上一行数字的旁边和最右一列数字的旁边都有小孔，用来穿出丝绳帮助定位，以方便准确地找到两个数的乘积^［3⁃4］。楚简《算表》与秦简牍九九的差别很大，这是否意味着它们代表了楚、秦两个诸侯国所用九九的差异呢？

邹大海^［4］将九九分为口诀类九九和表格类九九两类。对于前者，他以里耶秦代木牍J1⑥1为代表，并兼用2012年披露的北京大学藏秦简牍材料讨论其特点。对于后者，他以清华简《算表》为依据讨论其特点。在此基础上，他对比了两类九九的异同和优劣。他强调口诀式九九（“小九九”）有基本性和简单性，是与十进位值制记数法和算筹相结合而发挥其巨大效力的，这不仅要求熟记，而且需要训练。九九产生于包含有数学在内的西周“六艺”之前，而《算表》则直接证实它不晚于战国中期，从而将其实物证据比秦简推早了一个世纪。他提出，《算表》的设计者是精通口诀式九九的学者，而其目标用户则是不熟练或不会口诀式九九的使用者。似此，则清华简《算表》并不代表楚地九九的普遍形态。

本文搜集已知出土的战国至秦代的九九简牍，做综合性的讨论。目前共搜得5个秦简牍九九和2个楚简九九。秦简牍九九有：（1）里耶古井出土的两枚木牍，其中一枚是上面提到的编号为J1⑥1的木牍，其正面为一个九九，另一面是其他记录（图3）^［5］，另一枚由出土于第12层和第13层的木牍残片拼合而成，编号为12⁃2 130+12⁃2 131+16⁃1 335，两面各有一个九九（图4）^［6］；（2）《北京大学藏秦简牍》中有两个九九，一个书写于一枚木牍的正面（图5）（另一面为记账文字）^［7］，另一个见于《算书甲种》的首篇《鲁久次问数于陈起》之后，含8枚简（图6）^［8］。楚简九九有两个，一是上面提到的清华大学藏战国竹简《算表》；二是不久以前公布的荆州秦家咀1093号楚墓出土的九九，它比里耶秦简九九要早约一个世纪，可惜目前只公布了编号为1645的一枚简（图7）2

2 荆州博物馆秦家嘴楚简整理小组：《荆州秦家嘴1093号战国楚墓出土竹简选释》，“武大简帛”公众号， https：//mp.weixin.qq.com/s/ONkF8nckEkP2zsmHQJo3ow？scene=25#wechat_redirect。2023年12月21日。因之后的考古发掘简报将“秦家嘴”写成“秦家咀”，故本文在行文中统一作“秦家咀”。

，但从中可以发现不少重要的信息。可以看出，这些九九中，口诀式九九不仅数量多，形式也具有多样性。下面以口诀式为主，兼及表格式，讨论汉以前九九的演变和特征，敬请方家指正。

1 秦楚简牍口诀式九九释文

为讨论方便起见，先将上述口诀式九九的释文列出3

3 清华简《算表》的形态十分特殊，属纯表格形式。本文主要讨论口诀式九九，对于清华简《算表》的利用，因上面的介绍已经足够，故不再详列其释文。

：

（1）里耶古井秦代末年遗层出土九九木牍（下面简称为九九Ⅰ，见图3）：

八十一 九 二 七九六十三 六九五十四 五九卌五 四九卅六

(第1栏)

三九廿七 二九十八 八＝六十四 七八五十六 六八卌八 五八卌 四八卅二

(第2栏)

三八廿四 二八十六 七＝卌九 六七卌二 五七卅五 四七廿八 三七廿一

（第3栏）

二七十四 六＝卅六 五六卅 四六廿四 三六十八 二六十二 五＝廿五 四五廿

（第4栏）

三五十五 二五而十 四＝十六 三四十二 二四而八 三＝而九 二三而六

（第5栏）

二＝而四 一＝而二 二半而一 凡千一百一十三字

（第6栏）^[5]释文7

（2）里耶秦简博物馆藏秦简九九木牍正面（下面简称为九九Ⅱ，见图4右边）：

九＝八十一 八九 二 七九六十三 六九五十四 五九卌五 四九卅六 三九廿七 二九十八

(第1栏)

八＝六十四 七八五十六 六八卌八 五八卌 四八卅二 三八廿四 二八十六

(第2栏)

七＝九卌九 六七卌二 五七卅五 四七廿八 三七廿一 二七十四

(第3栏)

六＝卅六 五六卅 四六□□ 三六十八 二六十二

(第4栏)

五＝廿五 四五廿 三五十五 二五而十 四＝十六 三四十二

(第5栏)

二四而八 三＝而九 二参而六 二=而四 一＝而二 二半而一

(第6栏)^[6]

（3）里耶秦简博物馆藏秦简九九木牍背面（下面简称为九九Ⅲ，见图4左边）：

九＝八十一 八九 二 七九六十三 六九五十四 五九卌五 四九卅六 三九廿七

(第1栏)

二九十八 八＝六十四 七八五十六 六八卌八 五八卌 四八卅二 三八廿四 二八十六

(第2栏)

七＝九卌九 六七卌二 五七卅五 四七廿八 三七廿一 二七十四 六＝卅六 五六卅

(第3栏)

□□廿四 □六十八 二六十二 五＝廿五 □五廿 □五十五 二五而十 四＝十六 □四十二

(第4栏)

二四而八 三＝而九 二三而六 二＝而四 一＝而二 二半而一 ·凡千一百一十三

(第5栏)^[6]

（4）北京大学藏秦简牍中的九九木牍（下面简称为九九Ⅳ，见图5）：

九＝八十一 八九 二 七九六十三 六九五十四 五九卌五 四九卅六 三九廿七 二九十八

(第1栏)

八＝六十四 七八五十六 六八卌八 五八卌 四八卅二 三八廿四 二八十六 七＝九卌九 六七卌二 五七卅五

(第2栏)

四七廿八 三七廿一 二七十四 六＝卅六 五六卅 四六廿四 三六十八 二六十二 五＝廿五

(第3栏)

四五廿 三五十五 二五而十 四＝十六 三四十二 二四而八 三＝而九 二参而六

(第4栏)

二＝而四 一＝而二 二半而一 ·凡千一百一十三字

(第5栏)^[7]

（5）北京大学藏秦简牍《算书甲种》中的九九（下面简称为九九Ⅴ，见图6^［8］）：

九＝八十一 八＝六十四 六七卌二 三六十八 二四而八

(简三三正)

八九 二 七八五十六 五七卅五 二六十二 三＝而九

(简三四正)

七九六十三 六八卌八 四七廿八 五＝廿五 二参而六

(简三五正)

六九五十四 五八卌 三七廿一 四五廿 二＝而四

(简三六正)

五九卌五 四八卅二 二七十四 三五十五 一＝而二

(简三七正)

四九卅六 三八廿四 六＝卅六 二五而十 ·凡千一百一十二字

(简三八正)

三九廿七 二八十六 五六卅 四＝十六

(简三九正)

二九十八 七＝卌九 四六廿四 三四十二

(简四〇正)^[9]

（6）秦家咀楚简九九术（下面简称为九九Ⅵ，见图7）：

……二，五七卅＝又五，四七廿＝又八，三七廿＝又一-，……

【1645】4

4 荆州博物馆秦家嘴楚简整理小组：《荆州秦家嘴1093号战国楚墓出土竹简选释》，“武大简帛”公众号， https：//mp.weixin.qq.com/s/ONkF8nckEkP2zsmHQJo3ow？scene=25#wechat_redirect。2023年12月21日。

王焕林^［2］认为九九Ⅰ中的“一＝（一）而二”是加法，“凡千一百一十三字”中的“字”为“筹算单位”。邹大海^［4］120肯定了他关于“一＝（一）而二”为加法的看法，认为“字”是数的基本单位，也就是一。九九Ⅵ的图片（图7）不是很清晰，有些文字的旁边有墨迹，一部分可以判定为几十的合文的标记，有的可能是表示停顿的勾画，有的则不好解释，不知是符号还是污损的结果。除作合文的标记外，暂不放入释文中。

2 秦、楚口诀式九九在文字上的特点

以上六个九九表（术）皆为口诀式九九，其中除九九Ⅵ是楚九九外（清华简《算表》也是楚九九，但属于表格式九九），其余皆为秦九九。下面主要对秦、楚九九的异同和特点做简要的概括。

第一，符号“＝”与数字有关时，往往或是做重文号，或是做表示几十的合文的标记。上述各种九九也是如此。各个九九中，所有迭字的后一字都以“＝”代替，那么可以推论九九Ⅰ中第一栏首句“ 八十一”前残去的部分应该就是“九＝”。“＝”作为表示几十的合文标记，不见于5个秦简牍九九（九九Ⅰ至九九Ⅴ）， 而只见于楚简九九（九九Ⅵ）已公布的一枚简中，猜想九九Ⅵ的其他几枚简也有这种标记。因九九Ⅵ的时代比这5个秦九九约早80~100年，那么很自然地推测是用“＝”标记几十的合文为秦、楚之异，或反映时代上的差异。这是否如此，还要更多的证据来判定。

第二，5个秦九九（Ⅰ至Ⅴ）都包含乘法口诀“九＝八十一”至“二＝而四”和加法口诀“一＝而二”；且除九九Ⅴ外，都含有分数的乘法口诀“二半而一”；除九九Ⅱ外，最后一句都采用“凡千一百一十…”的句式，表示前面所有各句中乘法或加法的结果之和。考虑到九九Ⅱ写到“二半而一”之后不再有续写一句的空间，而九九Ⅱ和Ⅲ是同一枚木牍的两面，那么九九Ⅲ中的“凡千一百一十三”可以视为Ⅱ与Ⅲ共享的句子。因此，将各句的结果之和在九九的结尾处以形如“凡千一百一十…”的句子表述，应为当时秦九九的通例。九九Ⅴ缺少“二半而一”，最后结果少一，所以最后一句作“凡千一百一十二字”。九九Ⅲ末尾的句子“凡千一百一十三”无“字”，说明“字”的含义确实是数的基本单元一的意思^{［4］119-121}。^{九九Ⅰ至九九Ⅴ都是秦九九，可见秦九九的内容在秦朝应该已经初步具备了较为固定且统一的体例。九九Ⅵ的内容尚未全部公布，笔者还不能得知楚口诀式九九的整体面貌。}

第三，以上九九中表示乘积为三十五、二十八和二十一的三句口诀，在5个秦九九（九九Ⅰ至Ⅴ）中是“五七卅五 四七廿八 三七廿一”；在楚九九（九九Ⅵ）中则是“五七卅＝又五，四七廿＝又八，三七廿＝又一”，在乘积为两位数时，楚九九的口诀在几十与几之间有一“又”字，而秦九九则没有。笔者推测在楚九九尚未公布的几枚简中，也是同样的情形。这也是两者的区别之一。

3 材料形制对书写格式的影响

前文所列的口诀式九九中，九九Ⅴ有较为规整的书写格式，九九Ⅰ至九九Ⅳ的规整度则要低一些。除九九Ⅴ和九九Ⅵ书写在竹简之上外，其余的九九Ⅰ至九九Ⅳ都书写在木牍上。可以推测书写格式的不同可能受到了书写材料形制的影响。不过，书写材料究竟在多大程度影响到了书写格式，还需再做讨论。

九九Ⅱ和九九Ⅲ的书写材料为同一块木牍，其书写材料的形制自然完全相同。正面分为六栏，背面却分为五栏，且正背面并未呈现出较为工整的对应关系。因此笔者判断，在书写这两个九九时应该是有随意性的。另外，这枚木牍存在有明显差异的字体（见图4），笔者推论至少有两位书手。可见，即使书写材料相同，从细处看其书写格式仍可能存在明显的差异性。究其原因，除书手的不同外，还有书手在书写时的随意性。而如果刻意进行对称书写，正背两面的内容对应而规整，在实际操作中无论是几位书手，都完全可以做到。

再结合九九Ⅰ和九九Ⅳ的书写情况，可以推论，在书写材料相同的情况下，总的书写格式之间的差异不大。

经查阅，以上记录九九Ⅰ至九九Ⅳ的三块木牍的形制数据如下：

（1）里耶秦简九九（正面，对应九九Ⅰ）：长度23.0 cm，宽度5.0 cm5

5 本文没有找到这枚木牍数据的直接记录，这里的长、宽数据来自对《里耶秦简.1》中这枚木牍之图版^{［5］彩图1}的测量。此书凡例第三条称“图版据简牍原大影印”，故可据此照片量出它的高和宽。

；

（2）里耶秦简九九（双面，对应九九Ⅱ和Ⅲ）：长度24.1 cm，宽度4.8 cm^［6］160；

（3）北大秦简九九（正面，对应九九Ⅳ）：长度23.0 cm，宽度6.8~7.0 cm^［7］469。

可见它们形制的差别并不是很大。再将九九Ⅰ和九九Ⅳ对比或将九九Ⅰ至九九Ⅳ全部进行比较，也都能看出九九Ⅰ和九九Ⅳ具有上述关于九九Ⅱ和九九Ⅲ的特点。因此，在同为较宽、可以并列书写多行的不同木牍上，九九的书写格式具有很大的相似性。

那么，是否书写材料换为竹简时，规整度就会高一些呢？答案是肯定的。写于竹简上的九九Ⅴ体现出了很高的规整度，这明显是由于细条状的竹简具有天然的分隔功能，同时编绳也有栏线的定位作用，且在常规情况下，书手不会想到也没有必要在一枚简上并列写几行很小的字。

虽然九九Ⅰ至九九Ⅳ的书写材料为木牍，九九Ⅴ为编在一起的竹简，两者区别明显，但它们从上至下分为几栏书写，栏与栏之间的句子间隔明显，且这些口诀都是同一句内从上向下读，然后读左边的一句，读完最左边的一句，再读下一栏最右边的一句，如此反复，直到最后一句。这是九九Ⅰ至九九Ⅴ在书写上的共性，是一种类似表格式九九的形式，和清华简《算表》也有一定的相似之处。

然而，楚简九九Ⅵ的书写却呈现出了完全不同的面貌，主要有以下三点。

第一，公布的唯一一枚竹简的简文作“……二，五七卅＝又五，四七廿＝又八，三七廿＝又一‒，……”，古人没有在每句口诀之间用空白进行间隔，这是楚九九与秦九九的一个重要区别。这种形式的书写带来的一个问题就是，因九九本身就是为初学者学习数学服务的，而不做间隔的口诀式九九相对而言不利于使用者认读，更容易看错位置。

第二，根据九九的特性，结合九九Ⅵ的简文，可以推测，首字“二”前面应该是上一句口诀“六七＝卌又二”的最后一字。这句与后面的“五七……”等几句都是一个数与七相乘的口诀。这些口诀书写在同一枚简上，可以推知九九Ⅵ的其他口诀也应该是连续书写在同一枚简上，写满后再写到下一枚简上，然后连续地接着写。此时，同一句的文字写在不同的简上是很自然会出现的情况。

第三，九九Ⅵ既然如上述方式书写，它自然完全不具备表格形式，所以它只供读者阅读和背诵之用，虽可查阅但并不刻意强调查阅功能。与此相对，秦九九或多或少地具有表格性质，虽然其体量与楚九九相当，但仍具有强调查阅功能的意味。

笔者认为，虽然九九Ⅴ和九九Ⅵ同为竹简，但它们之间存在较大差异，可见不同的材料及其形制对书写格式的影响并不是绝对的。

4 不同种类九九之间的关联

既然材料形制对秦楚九九书写格式的影响并不是很大，那么几种九九所呈现出的不同面貌之间又有什么关联呢？

邹大海^{［4］111-137}提出，口诀式九九，只有与十进位值制记数制度和算筹记数法相配合，经过较长时间的训练才能较好地发挥其作用。清华简《算表》完全不成句子，是一个纯粹的表格，无法背诵，但不需上述的训练，可为更多的人所使用。推想有精通口诀式九九的聪明人设计制作了《算表》作为工具，供不熟悉或不会口诀式九九用法的人使用，成为后世立成（用于查阅的数学表格）的先驱。

新近发现的秦家咀楚简九九（九九Ⅵ）为口诀式九九，时代与清华简《算表》接近，证明以《算表》为代表的纯粹表格式九九的确并不是楚九九的特色，楚九九是口诀式和纯表格式九九两种形式并存的。由于《算表》太长，携带不便，而且用于复杂的运算时并不方便，因此笔者推测，即使在楚地也是口诀式九九占据主流。

秦家咀楚九九与上述5例秦九九虽同为口诀式九九，但也有一定区别。前者（九九Ⅵ，图7）如上文所述，完全没有表格的痕迹，可谓是纯口诀式的；后者则将口诀按一定规则放在醒目的分栏结构中加以排列，或多或少也有表格的一些特点，这也是为什么现代不少人将九九也笼统地称为九九表的原因。从知识发展顺序来看，纯粹的口诀式九九更为原始，出现时代早；带有表格特征的口诀式九九是后来改进得来的，出现时代晚。不过，虽然上述秦家咀出土的楚九九简早于里耶出土的秦九九木牍和北京大学收藏的秦九九简牍（分别为九九的早、晚两种形态的样本），但这并不意味着这几个样本所处的时代就是这两种九九开始出现的时代。也就是说，带有表格特征的口诀式九九的产生时代可能比秦代要早，早到秦家咀九九或更早时代的可能性也是存在的；而纯口诀式九九也不一定只存在于秦家咀九九的时代或更早的历史时期，而是可以晚于秦家咀九九的时代。但是，目前所知的所有5个秦代的口诀式九九，都带一些表格特征，因此纯口诀式九九到秦代应该已经非常稀少，甚至可能已经被完全淘汰了。

参考文献

[1] 湖南省文物考古研究所，湘西土家族苗族自治州文物处、龙山县文物管理所.湖南龙山里耶战国：秦代古城一号井发掘简报［J］.文物，2003（1）：1-35.

[2] 王焕林.里耶秦简九九表初探［J］.吉首大学学报（社会科学版），2006，27（1）：46-51.

[3] 李学勤.清华大学藏战国竹简：肆：下册［M］.上海：中西书局，2013：135-138.

[4] 邹大海.中国数学在奠基时期的形态、创造与发展［M］.广州：广东人民出版社，2022：111-137.

[5] 湖南省文物考古研究所.里耶秦简：1［M］.北京：文物出版社，2012：彩版1.

[6] 里耶秦简博物馆，出土文献与中国古代文明研究协同中心中国人民大学中心.里耶秦简博物馆藏秦简［M］.上海：中西书局，2016：160.

[7] 北京大学出土文献与古代文明研究所.北京大学藏秦简牍：贰［M］.上海：上海古籍出版社，2023：461-472.

[8] 北京大学出土文献与古代文明研究所.北京大学藏秦简牍：叁［M］.上海：上海古籍出版社，2023：504.

[9] 北京大学出土文献与古代文明研究所.北京大学藏秦简牍：肆［M］.上海：上海古籍出版社，2023：754.

基金资助

国家社科基金冷门绝学研究专项资助项目“《北京大学藏秦简牍》数学文献研究”（23VJXG012）；中国科学院战略研究专项：中国科学院自然科学史研究所“十四·五”重大资助项目“中国科技传统及其现实意义研究”。