中西数学知识的互动——以勾股和较术的发展为例

Interaction of Chinese and Western Mathematical Knowledge： A Case Study of Development of Gougu Hejiao Method

摘要

明末到清末，勾股和较术逐渐全面化、系统化和代数化，与之相伴，论证在弱化，以至于被彻底舍弃。明末清初以勾股和几何为中西数学的代表，两者互相解释。乾嘉时期，勾股与几何被看作普通算法，两者关系不再密切。由于借根方与天元术的比较，与勾股建立直接联系的变成了天元术。晚清的算家倾向用西方代数学解勾股和较术题目，对勾股和较内在问题的关注较少。随着时间推移，对西方数学演绎法的接受反而越不充分。

Abstract

From the late Ming Dynasty to the end of the Qing Dynasty， the Gougu Hejiao Method gradually became comprehensive， systematic， and algebraic， accompanied by the weakened and even completely abandoned argumentation. In the late Ming and early Qing dynasties， Gougu （Chinese Pythagorean theorem） and geometry were representative of Chinese and Western mathematics， explaining each other. During the reigns of emperors Qianlong and Jiaqing， Gougu and geometry were regarded as ordinary algorithms， and their relationship was no longer closely related. Due to the comparison between Jiegenfang and Tianyuan Shu， it was Tianyuan Shu that established a direct connection with Gougu. In the late Qing Dynasty， mathematicians tended to employ Western algebra to solve Gougu Hejiao problems and paid less attention to internal problems. Over time， the acceptance of Western mathematical deduction methods became increasingly inadequate.

Graphical abstract

关键词

勾股和较术 / 算法史 / 文化互动

Key words

Gougu Hejiao Method / history of algorithms / cultural interaction

中西数学知识互动是数学史研究的重要议题，但问题极为复杂，不仅包括中西数学的异同分析、价值判断、会通实践，还涉及对中国传统数学的看法、数学体系重建、算法发展等问题，甚至思想和社会因素也发挥重要作用，至今仍无法整体把握，只能采取案例研究策略。勾股和较术是已知“勾股十三事”，即已知勾、股、弦、勾弦较、勾股较、股弦较、勾弦和、勾股和、股弦和、弦和和、弦较和、弦较较、弦和较的任意两个数据，求其他值的算法。若已知两数据是勾、股、弦三者之二，问题核心变成了勾股定理。明清时期，除勾股和较术，还有对勾股定理的专门证明。唐王孝通《辑古算经》引入“勾股相乘幂”“勾弦相乘幂”“股弦相乘幂”等概念^［1］。这两种情况不作为讨论重点。关于勾股和较术的算法史，已有很好的研究1

1 对勾股和较术的研究以算法分析为主，见参考文献［1，7，24—25，27］，及2002年黄清扬硕士论文《中国1368—1806年间的勾股术发展之研究》等。

，在此基础上，本文将勾股和较术放在更大的算法和时代背景中，呈现与其他算法案例不同的历史图景，丰富对中西数学互动的理解。

１ 明末清初几何学与勾股术的互释

无论从翻译《几何原本》的数学知识背景，还是从算学实践来看，出于实用的考虑，勾股问题都是 徐光启关注的重点。合译《几何原本》前的1603年，徐光启已在《量算河工及测验地势法》中，讨论中国传统数学范畴的勾股测量问题^［2］57-62。甚至可以大胆推测，徐光启翻译《几何原本》的一大缘由在于建立勾股测量算法的基础，以此解决水利等实际问题。他关于《几何原本》的论述，也始终不离实用性。

明译《几何原本》出版同年，徐光启与利玛窦编译《测量法义》，讨论勾股测望问题，次年定稿，并在此基础上撰写《测量异同》一书。这些著作集中在勾股测量，他的《勾股义》则涉及更广泛的勾股问题：“勾股自相求，以至容方、容圆、各和、各较相求。” ^［3］徐光启《勾股义序》称：“独水学久废，即有专门名家，代不一二人，亦绝不闻以勾股从事。……方今历象之学，或岁月可缓，纷纶众务，或非世道所急。至如西北治河、东南治水利，皆目前救时至计。”^［3］徐光启曾治西北和东南水利^［4］。

徐光启比较了中国传统勾股术与西方几何学的异同。他的《题测量法义》说：“是法也，与《周髀》《九章》之勾股测望异乎？不异也。不异何贵焉？亦贵其义也。”^［2］82《测量异同》绪言更进一步概括道：“其法略同，其义全阙。”^［5］该书通过六道题，比较中西勾股测量术的异同，共分为四种情况：“此旧法与今译同”“其实同法同论”“旧篇所有今译所无”“稍改旧法以从今论”。这是用西方几何测量法来解释中国传统勾股测量术。《勾股义》自序称：“勾股遗言独见于《九章》中，凡数十法，不出余所撰正法十五条。”^［3］该书把传统勾股术纳入15个问题中，按照西方几何学的模式，给算法以证明。

《勾股义》共15题，除了4道勾股容圆、容方问题外，其余11题属于勾股和较问题，题目主要引自《算法统宗》。每题主要分为题目、法曰、论曰三部分，法曰是算法，论曰是证明。从题目和法曰来看，核心是数值计算与算法程序，非几何式证明。论曰以《几何原本》为标准，是针对中算勾股“其义全阙”给出的，证明多采用中国传统数学的出入相补法^［6］。《同文算指通编》卷六“附勾股略”收录了《勾股义》的主要内容。李笃培（1575-1631）《中西数学图说》，将西算纳入九章体系。其勾股和较知识来自《勾股义》《同文算指通编》，但给出了勾股和较的全部78种情形，并用中算出入相补原理证明了基本类型中的22种。但该书未刊行，影响不大^［7］。

徐光启的比较主要在勾股与几何之间，据其文集字里行间所透露的消息，勾股与几何成了中西数学的代表，两者的特征、异同和关系，扩展成了对中西数学的整体判断。由于传统数学在明代失传，徐光启的古代数学知识有限，《题测量法义》认为刘徽“能说一表不能说重表”^［3］，就显示他未见过《海岛算经》，由此得到的判断未必合理。

明末编纂《崇祯历书》。1631年正月，徐光启所进历书包括“《大测》二卷”。传教士邓玉函在自序中比较了三角学与勾股：“勾股章以二测一，则皆三角形也。其不言勾股者，勾与股交，必为直角。直角者，正方角也。遇斜角，则勾股穷矣。分斜角为两直角，亦勾股也。遇或不可得分，又穷矣。三角形之理，非勾股可尽，故不名勾股也。勾股之易测者，直线也，平面也。测天则圜面曲线，非勾股所能得也，故有弧矢弦割圜之法。”^［8］这里认为勾股与三角有相通之处，三角之理非勾股可尽。这种看法，对中国 士大夫产生了一定影响，李天经有类似说法。

纵览梅文鼎的算学著作及其关于勾股的论述，他的绝大多数算学工作似乎都反驳这种观点。他在《平三角举要》序中说：“西法用三角，犹古法之用勾股也。但三角有钝角，而勾股无之，论者遂谓勾股之术有所穷。殊不知锐角形须分为两勾股，钝角形须补成勾股，边角比例，莫非勾股也。至于弧三角以直线测浑圆，其理最奇，又于无勾股中寻出勾股也。然则勾股虽不备三角之形，而能兼三角之理。三角不能出勾股之外，而能尽勾股之用。一而二，二而一者也。”^［9］梅文鼎由此发展出“勾股即几何”的说法，在其著作中经常出现^［10］。陈訏《勾股引蒙》也有类似说法。

梅文鼎在传统中算知识有限的情况下，重构了数学体系：“夫数学，一也，分之则有度有数。度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股。算术最浅者粟布，稍进为衰分，为均输，为盈朒，而极于方程。方程于算术，犹勾股之于量法，皆其最精之事，不易明也。”^［11］2244这里突出方程与勾股的重要地位。当时对方程的关注远不如勾股。梅文鼎又认为“言西学者，以几何为第一义。”^［12］451勾股与几何已等同于中西数学。

梅文鼎将西方几何学纳入中算量法体系。“量法者，长短远近以求其距，西法谓之测线；方圆弧矢、幂积周径以相求，西法谓之测面；立方、浑圆、堆垛之形以求容积，西法谓之测体。在古九章，则为方田、为少广、为商功、为勾股。”^［11］梅文鼎著《几何通解》，主旨是“以勾股解《几何原本》之根”，序言说：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者，以勾股释之则明。”^［12］447该书用勾股术与出入相补原理证明《几何原本》的部分题目，试图将西方几何学纳入勾股理论中^［10］。

梅文鼎《勾股举隅》共十三题，分为勾股定理、勾股积与和较相求、勾股和较术三类。勾股和较术仅给出五种类型，正如梅瑴成在识语中所说：“以勾股弦三者相并相减以生和较，参伍错综，遂如五花八门。然要皆知其二，即可得其余也。兹编不过略举数端以示途径。”^［13］每种都用出入相补证明。

《数理精蕴》勾股和较问题集中在下编卷十二和卷十三，共给出63种情形，除“勾股弦相求”三种情形外，关于余下六十种，编者称：“勾股弦和较相求之法，错综变换，共有六十。旧算书所有者八，按旧法可以变通者三十有四，旧法所无，今创立者一十有八。”^［14］每题都绘图说明和论证，证明方法有三率法和出入相补原理。

2 天元与勾股：李锐《勾股算术细草》

乾嘉时期，对几何与勾股的认知发生了很大变化，体现在重要性下降和代数化两方面。就几何来说，李锐给焦循写信称：“西人求每弧通弦，用诸等边割圆，借根方法也。借根方即立天元一，则有天元一而后有借根方，有借根方而后有八线表，有八线表而后有弧三角法，有弧三角法而后测验密，测验密而后推步精。”^［15］借根方是西方早期代数学，是三角形的基础。

勾股不再是中算的代表，被认为是普通算法之一。汪莱《开方通释》叙说：“算学之书，汗牛充栋，莫不以开方为大法。故九数之中，方田、粟米、商功、勾股四者之精义，反覆相究，统于少广一章。”^［16］勾股与方田、粟米、商功地位相当，更有概括性的则是少广。焦循《释弧》：“九九者，数也。以数相加减，不出乎矩。以数相乘除，不出乎方。故开方、勾股，均可以乘除之理言之。”^［17］核心算理是乘除。罗士琳《比例汇通》自序：“窃思勾股、少广相表里，而方田与商功无异，差分与均输何殊？自九章之名立而滋人之惑其夥，与其因比例之不同分作九章，而其法转淆，不若判九章之名，别统归比例而致用划一。”^［18］比例是一般性算法。与勾股建立直接对应关系的，已从明末清初的几何变成了少广、加减乘除、比例等，但最重要的当数天元术。

李锐是钱大昕的学生，志在整理古代数理著作，为此提出“三大愿”。1796年，李锐向焦循借书，包括秦九韶《数书九章》、李冶《测圆海镜》《益古演段》。焦循从阮元处得《测圆海镜》《益古演段》，寄给 李锐。李锐校勘二书，于1798年刊入《知不足斋丛书》。乾嘉学者在意这些著作记载的天元术。李锐称：“《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》三书皆发明立天元一者，前书故举是为问。”^［15］阮元也说：“《测圆海镜》为何而作也？所以发挥立天元一之术也。”^［19］

天元术在李锐的算学工作中占据重要地位，如其所言：“锐于算学，未有深得，而笃好立天元术，亟欲章而明之。”^［20］他所著《弧矢算术细草》也是“爰集弧矢之问，入以天元之法，凡十三术，都为一卷”。^［21］天元术在其《勾股算术细草》中同样扮演重要角色，焦循评价：“仁卿（李冶）之书，说天元一。校而通之，秘奥以发。惟兹《细草》，仅露其蘖。”^［22］这是将该书看作天元术著作。张敦仁在其序中说：“《勾股算术细草》一卷，举和较相求七十余事，以廿五术御之，斯亦简矣。……盖李敬斋《益古演段》一洗术家溟涬陋矣，而犹不免于疏略。好学深思之士，得尚之书而读之，古学之兴，庶有翼也。”^［23］1这提示了值得注意的几点：（1）李锐给出了勾股和较的全部78种情形，并使之系统化，概括为25种基本类型；（2）受到《益古演段》的影响，李潢对该书的称赞也集中在“条段各图，细入毫芒”^［23］2，所谓“条段”是《益古演段》的核心；（3）落脚点在“古学之兴”，这符合李锐的诉求。概括来说，《勾股算术细草》是关于勾股和较术的重要著作，以天元术和演段法诠释勾股和较问题，最终目的是复兴古算。

《勾股算术细草》的一题为：

今有勾一十二，股弦和七十二，问股、弦各几何？

答曰：股三十五；弦三十七。

术曰：二幂相减，余半之，为实。和为法。以法除实，得股。以股减和，余为弦。

草曰：立天元一为股，自之得\begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}，为股幂。又置勾一十二，自之，得144，为勾幂。二幂相加得\begin{array}{l}\mathrm{144}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}，为弦幂，（寄左）。又置股弦和七十二，以天元股减之，得下\begin{array}{l}\mathrm{72}\\ -\mathrm{1}\end{array}，为弦，自之，得\begin{array}{l}\mathrm{5}\mathrm{184}\\ -\mathrm{144}\\ \mathrm{1}\end{array}，为同数。与左相消得\begin{array}{l}\mathrm{5}\mathrm{040}\\ -\mathrm{144}\end{array}，上下俱半之，得\begin{array}{l}\mathrm{2}\mathrm{520}\\ -\mathrm{72}\end{array}。上实下法，得三十五，即股也。以股三十五

减股弦和七十二，余三十七，即弦也。合问。

解曰：和幂内有股幂一、弦幂一、股弦相乘幂二。和幂内减勾幂，其余为股幂二、股弦相乘幂二。半之，为股幂一、股弦相乘幂一。并连二幂，即是一段股与股弦和相乘幂，故以和除之，得股。^[23]6

这是李锐25个基本类型之一，另5种勾股和较的情形：“勾勾和和”“勾勾和较”“股弦和勾和和”“股弦和勾和较”“勾和和勾和较”，可归于其中。具体方法是，如已知“勾勾和和”即a、a+\left(b+c\right)，则“以勾减和，余即股弦和”，也就是

\left[a+\left(b+c\right)\right]-a=b+c，

如此，问题就转化成已知勾和股弦和这一基本类型了。

题目的“术”，相当于给出公式：

b=\frac{\frac{{\left(c+b\right)}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}{b+c}。

“草”用天元术解答，首先，设股为未知数x，由勾股定理，得弦方为x^{\mathrm{2}}+a^{\mathrm{2}}；其次，根据已知条件，得到弦方为

{\left[\left(b+c\right)-x\right]}^{\mathrm{2}}={\left(b+c\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\left(b+c\right)x+x^{\mathrm{2}}；

然后，由弦方建立等式，运算得

x=\frac{{\left(b+c\right)}^{\mathrm{2}}-{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\left(b+c\right)}。

“解”所用的是演段法，据图，先说明{\left(b+c\right)}^{\mathrm{2}}=b^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}bc；再说明{\left(b+c\right)}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}=b^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}bc+\left(c^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}bc；然后通过等式两边除以2的算术法，得

\frac{{\left(b+c\right)}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=b^{\mathrm{2}}+bc；

最后，两侧除以股弦和，得

b=\frac{\frac{{\left(c+b\right)}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}{b+c}。

可见，“术”“草”“解”“图”关系密切。大致可推测出李锐解决勾股和较问题的路径：首先，由勾股定理，据天元术给出解题方案；其次，在天元“草”的基础上，提炼出算法，即“术”；最后，根据此算法，建立演段术。以现代数学的观点，这里构造了一个包括算术、代数、几何的完整体系。当然，该书有西方演绎数学影响的痕迹^［24］，如演段法的加入。这虽与李锐对《益古演段》的研究有关，但也不能否定《几何原本》重视证明的影响。

李兆华^［25］指出《勾股算术细草》在题目、解法、图形等方面受到了《数理精蕴》下编卷12-13的影响。还要注意的是，《勾股算术细草》以天元释勾股和较问题的做法及其体例，也应受了《数理精蕴》的影响。《数理精蕴》下编卷三十五“借根方比例·面类”主旨在借根方，给出以借根方解勾股和较问题的十种情形，并给予图形说明。李锐熟悉借根方与《数理精蕴》，有借鉴条件。

乾嘉学者如此重视天元术，有特定的数学背景。康熙大力推行“西学中源”。就算法而言，以梅文鼎 为代表的“几何即勾股”说，证明了几何的源头在中国。但未找到借根方的源头，论证缺了一半。梅瑴成在《赤水遗珍》中提出的“借根方即天元一”，在整个逻辑链上证明了西算中源，影响很大。由于算法、知识传播、文化取向等复杂原因，乾嘉学者多认为天元术优于借根方^［26］。

3 以代数演勾股：作为算题的勾股和较术

李锐之后，项名达著《勾股六术》（1825年），把勾股和较的78种情形归纳为25种基本类型，与李锐的25种基本类型有差别。在此基础上，进一步将其归纳为6种更基本的类型，这就是书名所谓的“六术”。又有不著作者《勾股六术补》一书，以“勾股五术”为题。《勾股六术》用勾股恒等式解题，论证是对勾股恒等式的证明^［27］。自序说：“惟和较诸题，术稍繁杂，初学恒未了然。……繁杂可无复虑，亦足为入门之一助云。”^［28］黎应南的序同样强调“勾股乃学数初步”^［28］。此时勾股的地位与明末清初相比已有天壤之别。项名达此书后，鲜有类似做法，从算法角度来看，难有更大突破。

晚清的勾股和较术研究路径可分为两类。第一，在“勾股十三事”外提出更多概念。李锐其实已给出与“勾股十三事”不同的概念，如以“勾和和”代替“弦和和”，“勾和较”代替“弦较和”，“勾较和”代替“弦较较”，“勾较较”代替“弦和较”。李锐仍用了13个概念，勾股和较情形总数也是78种。1888年， 徐绍桢的《勾股通义》在“勾股十三事”基础上，增加了“勾和较”“勾较和”“勾较较”“股较和”“股和较”“股较较”等六个概念2

2 徐绍桢．勾股通义［M］．光绪十四年刊本，1888．

，前三个李锐已经使用。这样，勾股和较的情形就达到了171种。其实，这些新概念都可纳入“勾股十三事”中，虽然如此，这些“理同形异”的概念会导致勾股和较基本类型的差异。这类研究不多，《勾股通义》是基本文献。第二，采用勾股和较术的题目，来说明借根方、天元术和代数学，这种做法在晚清很普遍。《数理精蕴》《勾股算术细草》已有类似做法，但它们或多或少受西方演绎数学的影响，体例中包括几何式证明一项。这在晚清发生很大变化。

李锡蕃（1823-1850）遗稿《借根勾股细草》，1862年出版。李氏给出勾股和较的67种情形，总结为25种基本类型，应未参考《勾股算术细草》和《勾股六术》。该书受《测圆海镜》和《数理精蕴·借根方比例》影响，起首就是“今问正数”，核心在借根方。吴嘉善《借根勾股细草》序说：“余读之，知其于借根方以能毫无滞碍。夫西法之借根方即中法之天元一也，以之驭算，可谓得一而万事毕矣。李君能此，岂不卓然一算家哉？”^②这里始终围绕借根方在说，明确指出该书重点是以借根方驭勾股和较。

《借根勾股细草》一题为：

设如有股十五尺，弦十七尺，求勾几何？

法借一根为勾。以一根自乘得一平方，为勾自乘数。以股十五尺自乘，得二百二十五尺，为股自乘数。以弦十七尺自乘，得二百八十九尺，为弦自乘数。以股自乘数减弦自乘数，得六十四尺，亦为勾自乘数，而与勾自乘之一平方相等。乃以六十四尺为正方积，用开方法算之，得八尺为一根之数，即勾。³

3 李锡蕃．借根勾股细草［M］．荷池精舍本，1872：4-5．

这是此题全貌，书中其他问也类似。这道题比较简单，就“法”来说：设勾为x，于是x^{\mathrm{2}}=c^{\mathrm{2}}-b^{\mathrm{2}}=\mathrm{64}，开方得勾8。与明末清初和乾嘉时期的勾股和较著作相比，最大的变化是，此书没有了几何式证明，只用借根方解答。部分题目还设不同未知数，给出多种解法。这再次说明该书的主旨在于借根方，而不是勾股和较问题的解答，况且书首的“今问正数”也类似《测圆海镜》给出了问题的答案。

李锡蕃写作此书还在晚清西方数学系统传入之前。对晚清传入的西方数学影响较大的是代数学，包括微积分。虽然翻译了《几何原本》后九卷，影响远不如代数学，丁福保与传教士狄考文都认为没有续译的必要。

江衡学习代数学提道：“积月，始悟其与天元相通。因取李氏勾股原题，以代数术演之，视天元之用真数为简焉。昔长沙李晋夫先生有《借根方勾股草》，与李氏天元草并行。今代数之术，复来自泰西，重为演草，以证三术之相通云尔。”4

4 江衡．勾股演代［M］．光绪十四年江阴刊本，1888：卷一自识，卷二自识．

这里道出了《勾股演代》的成书过程及其“证三术相通”的主旨。其实，江衡以代数释勾股的真实目的是：“以见代数之术能包函众法于内，而李氏（李锐）所立诸术得此代数术考之，始信其为通法也。” ^③

《勾股演代》出版于1873年，用代数学重新演算李锐《勾股算术细草》算题。它不关心勾股和较术，只是取其题目而已。李锐将勾股和较问题归为25种基本类型，并根据数值差异，给出部分基本类型以多种解答，江衡将李锐增加的解答作为与基本类型等同的一题，这样共给出34题。从勾股和较术的角度来看这种做法是不合适的。《勾股演代》包括题、答、法三部分，法是以代数学解题，与《借根勾股细草》一样，没有几何式证明，只是在第二卷中给出代数公式作为解法基础。相较于代数学，借根方与天元术在晚清已渐微，该书的做法更具普遍性。

以天元释勾股和较，在晚清也还存在，多是对《勾股算术细草》的改造，刘鹗《天元勾股细草》就是如此。此书符合当时的一般做法，删去了李锐书中类似几何的条段证明。

4 结语

明末清初，算家所见中算有限，以几何与勾股互释，使其意义提升到中西数学的高度。算家所论勾股和较问题较为零散，多是一题一术，重视论证，《中西数学图说》与《数理精蕴》更全面且系统地研究了勾股和较术，后者影响较大。乾嘉时期，学者通过“借根方即天元一”的中西数学比较，关注焦点从明末清初的几何、勾股，转向了天元术、借根方，特别是与古算复兴相关的天元术。李锐《勾股算术细草》专门讨论勾股和较问题，以天元释勾股，重点在弘扬天元术，但仍重视论证，虽然采用的是条段法。晚清，学者倾向以代数学、借根方、天元术解勾股和较问题，其中以代数解勾股是主流，勾股和较著作普遍删去了论证。从中可以梳理出勾股和较术发展的两条发展线索：（1）全面化和系统化，勾股和较的情形逐渐完备，基本类型从概括为25种，又到6种及5种；（2）代数化加强，几何论证弱化。与之相对，算法一般化的简便性增加，几何式的论证精神减少。西方数学的传入、中算的复兴、对中西数学关系的认知等显然对勾股和较术的发展有重要影响。反之，勾股和较术的发展又呈现了中西数学互动更幽微的面貌，如对《几何原本》演绎体系接受的曲折与漫长。

参考文献

[1] 沈康身 ．勾股术新议［C］//吴文俊．中国数学史论文集：二．济南：山东教育出版社，1986：19-28．

[2] 徐光启 ．徐光启集：上［M］．王重民，辑校.北京：中华书局，1963．

[3] 徐光启 ．勾股义［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：四．郑州：河南教育出版社，1993：27-42．

[4] 缪启愉 ．试论徐光启的治水营田见解［J］．中国农史，1983，2（3）：32-39．

[5] 徐光启 ．测量异同［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：四．郑州：河南教育出版社，1993：21-23．

[6] 安国风 ．欧几里得在中国：汉译《几何原本》的源流与影响［M］．纪志刚， 郑诚， 郑方磊，译.南京：江苏人民出版社，2008：338-355．

[7] 高峰 ．《中西数学图说》勾股和较问题探微［J］．自然科学史研究，2020，39（2）：135-151.

[8] 邓玉函 ．大测［C］//崇祯历书．徐光启，编纂.潘鼐，汇编．上海：上海古籍出版社，2009：1173-1174．

[9] 梅文鼎 ．平三角举要［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：四．郑州：河南教育出版社，1993：461．

[10] 刘钝 ．梅文鼎在几何学领域中的若干贡献［C］//梅荣照．明清数学史论文集．1990：182-218．

[11] 梅文鼎 ．方程论［C］//历算全书：六．高峰，点校．北京：中华书局，2023．

[12] 梅文鼎 ．几何通解［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：四．郑州：河南教育出版社，1993．

[13] 梅文鼎 ．勾股举隅［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：四．郑州：河南教育出版社，1993：433．

[14] 数理精蕴［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：三．郑州：河南教育出版社，1993：466．

[15] 李锐 ．观妙居日记［M］．上海图书馆藏节抄本．

[16] 焦循 ．开方通释［M］．德化李氏刊本. 1801．

[17] 焦循 ．释弧［C］//续修四库全书：子部：天文算法类：第1045册．上海：上海古籍出版社，2002：378．

[18] 罗士琳 ．比例汇通［M］．上海图书馆藏节抄本 ．嘉庆戊寅刻本.1818．

[19] 李冶 ．测圆海镜［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：一．郑州：河南教育出版社，1993：729．

[20] 焦循 ．天元一释［C］//续修四库全书：子部：天文算法类：第1045册．上海：上海古籍出版社，2002：344．

[21] 李锐 ．弧矢算术细草［C］//续修四库全书：子部：天文算法类：第1046册．上海：上海古籍出版社，2002：26．

[22] 焦循 ．雕菰集［C］//续修四库全书：集部：别集类：第1489册．上海：上海古籍出版社，2002：165．

[23] 李锐 ．勾股算术细草［C］//续修四库全书：子部：天文算法类：第1046册．上海：上海古籍出版社，2002．

[24] TIAN M. A formal system of the Gougu method： A study on Li Rui's detailed outline of methematical procedures for the right-angled triangle［C］//KARINE C. The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions.London： Cambridge University Press， 2012：552-573.

[25] 李兆华 ．清代算家的勾股恒等式证明与应用述略［J］．自然科学史研究，2020，39（3）：269-287.

[26] 魏雪刚 ．乾嘉算学家对借根方与天元术看法的转变［J］．中国科技史杂志，2019，40（4）：402-411.

[27] 赵彦超 ．传统勾股在清代的发展与西学的影响［D］．北京：中国科学院自然科学史研究所，2005：52-58.

[28] 项名达 ．勾股六术［C］//郭书春．中国科学技术典籍通汇：数学卷：五．郑州：河南教育出版社，1993：605．

基金资助

内蒙古自治区哲学社会科学规划资助项目“中国传统数学勾股定理的证明、实践与文化意义研究”(2023NDB179)