可展曲面判定史：从欧拉到高斯

Determination History of Developable Surfaces： From Euler to Gauss

摘要

可展曲面的判定是曲面论中的重要内容，它的出现与地图绘制、大地测量等问题密切相关。欧拉最先意识到可展曲面的判定条件是值得探究的课题并发表相关论文，经过蒙日的推进，高斯在《关于曲面的一般研究》中系统地解决了该问题。基于原始文献解读和对比分析，发现欧拉、蒙日和高斯在研究可展曲面判定条件时采取了不同的研究视角，并且用到了微分三角形、偏微分方程和第一基本形式等研究工具，这是曲面理论研究历程的缩影，也体现了空间观念的变革。梳理可展曲面判定条件的研究历程，对比三位 数学家采用的研究视角、依据和工具，有助于更好地理解从一般欧式几何到内蕴几何的飞跃。

Abstract

The determination of developable surfaces is an important aspect of surface theory， and its emergence is closely related to problems such as mapping and geodetic surveys. Euler was the first to realize that the determination conditions for developable surfaces are a topic worth exploring， and published relevant papers. With the advancement of Monge， Gauss systematically solved this problem in his General Investigations of Curved Surfaces. The interpretation and comparative analysis of the original literature show that Euler， Monge， and Gauss adopted different research perspectives when studying the determination conditions for developable surfaces， and employed research tools such as differential triangles， partial differential equations， and first fundamental forms. This is a reflection of both the research process of surface theory and the transformation of spatial concepts. Summarizing the research process of determination conditions for developable surfaces and comparing the research perspectives， basis， and tools adopted by the above-mentioned three mathematicians can help better understand the leap from general Euclidean geometry to intrinsic geometry.

关键词

可展曲面 / 欧拉 / 蒙日 / 高斯 / 内蕴几何

Key words

developable surface / Euler / Monge / Gauss / intrinsic geometry

可展曲面是指可以展开成为平面的曲面^［1］。如何判定一个曲面是否可展的问题困扰了17至18世纪的科学家，尤其是制图学家，因为这与地图的绘制密切相关。

1519-1522年间的麦哲伦环球航行，直接印证了之前的大地球形说。此后，地球是否为一个规则的球体成为科学家关注的课题^［2］。与此同时，各个国家的复杂地形如何能够精确地绘制在平面地图上，也是经济、政治、军事等多重背景下亟待攻克的难题。以往绘制世界地图时，多采用墨卡托投影（Mercator projection）。这种投影方式得名于地图学家墨卡托（Gerardus Mercator，1512—1594），他提出按照保角映射的条件，将地球表面的经纬网投影到一个与地轴方向一致且与地球相切的圆柱面上，再将圆柱面展开成为平面即得地图。但是，这种投影可以保持角度和方向的正确性，却无法保证长度和面积同样准确，采用墨卡托投影绘制的地图，形变会随着地理纬度升高而越发严重，在纬度60°之处，面积即已相差一倍^［3］。因此，虽然应用墨卡托投影绘制的地图非常适用于航海，甚至沿用至今，但是当时的各国君主更希望有形变较小的制图方式。

第一个系统讨论这个问题的人是欧拉（Leonhard Euler，1707—1783），1770年，他发表论文《论表面可以展平的立体》^［4］，专门探讨了曲面可以展成平面的条件。当时任职于圣彼得堡科学院的欧拉，敏锐地发现俄国地图变形严重的问题可以依据墨卡托投影、球极平面投影的数学原理进行解释，随后发表了三篇论文，论证了球面无法保形映射到平面的结论，分析了以往的保角映射不适用于高纬度地区的原因，最终针对俄国的地理位置，得出了结论：同时满足保角映射和保积映射才能绘制更精确的俄国地图^［5⁃7］。

此后，经由蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）的推进，高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）将此问题升华为两个任意曲面可以互相展开的条件，并得到了著名的“绝妙定理”。这个过程长达半个多世纪，且涉及了古典微分几何中曲面理论研究的多重视角，恰恰体现了空间观念从“曲面嵌入在欧式空间之中”到“曲面本身就是一个空间”的变革。因此，从欧拉到高斯的可展曲面判定史成为具有重要意义的微分几何学史研究课题。

但是，以往对于曲面理论的研究多以高斯的论文为起点，探讨“绝妙定理”的来源^［8］、内蕴几何思想及流行的起源^［9⁃10］。概而言之，多从高斯的曲面理论出发，兼论他对后来黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）等人的重大影响，而对于高斯之前，尤其是欧拉和蒙日的曲面理论研究历程关注较少。鉴于这样的研究现状，本文将以可展曲面判别史为研究对象，通过解读欧拉、蒙日和高斯的原始文献，分析对比三位数学家研究可展曲面时采取的视角、采用的工具，梳理18世纪末至19世纪初的 可展曲面研究历程，目的在于以研究视角的转变为线索，揭示曲面理论研究的历程，为理解微分几何早期历史提供一个窗口。

1 多重视角下的可展曲面

17至18世纪，为了加快版图扩张，世界各国都投入大量的人力物力绘制精确的军事地图，这也成为近现代几何学发展的核心推动力之一。然而，此前常用的墨卡托投影会导致俄国等高纬度区域产生严重的形变，而且计算过程会涉及不便应用的超越曲线，所以俄国政府委派航海员和科学家组成团队，于18世纪30年代初共同绘制俄国地图，数学家欧拉是团队中的核心成员。

在绘制地图的过程中，欧拉引申出了另一个重要课题：“柱体或者锥体的侧面可展成平面，为什么球面不可以？”因此，欧拉以解决“满足什么条件的曲面可以展平”为目标，将绘制地图的实际问题转化为可展曲面的判定问题，并于1772年发表论文《论表面可以展平的立体》（以下简称论文E4191

1 E419是Gustaf Eneström对论文《论表面可以展平的立体》给出的编码。

）^［4］，这是历史上公开发表的第一篇可展曲面论文。

论文E419共有54节，在第1节中，欧拉指出要解决的问题：

柱体和锥体的侧面可以展平，相反地，球面并没有这种性质，……除了柱体和锥体侧面以外，什么样的曲面可以展平？什么样的曲面不能？为了研究这种区别，需要考虑：求解可以展平的立体侧面的一般表达式。^[4]

为此，欧拉给出三种方法，他分别称之为：分析方法、几何解法以及求解阴影曲面法。

（1）分析方法。欧拉在论文E419中采用的分析方法，主要思想是要用到微分三角形：

曲面可以展平的条件是曲面和平面上的微分三角形不仅相对位置相同，而且各对应边长度相等。^[4]

也就是说，可展曲面上的微分三角形应该与平面上的微分三角形全等。为了将三维空间中的点与平面上的点对应起来，欧拉给出了曲面的曲纹坐标：

\left\{\begin{array}{c}\mathrm{d}x=l\mathrm{d}t+\lambda \mathrm{d}u,\\ \mathrm{d}y=m\mathrm{d}t+\mu \mathrm{d}u,\\ \mathrm{d}z=n\mathrm{d}t+\nu \mathrm{d}u,\end{array}\right.

其中的系数均为变量t,u的函数。从而，当“曲面和平面上的微分三角形对应边长度相等、相对位置保持不变”时，上述系数满足的条件即为曲面可展的解析条件。

作为18世纪“分析学”的代名词，欧拉灵活运用了分析学理论解决几何问题，对于可展曲面的研究就是他成功地将无穷小思想应用于几何学研究的实例。欧拉很少在其他的文章中提到他的微分几何工作，但是在写给拉格朗日的信中，他提到了曲面的曲纹坐标^［11］483，可见欧拉本人对此非常满意。

（2）几何解法。在几何解法中，欧拉考虑了可展曲面上直线的位置关系：

在不考虑立体底面的情况下，如果其侧面可以无限延伸，使得其上所有直线都可以延长并两两相交，那么交点将构成一条双曲率曲线。^[4]

这里的双曲率曲线是17至18世纪数学家对于空间曲线的表述。欧拉发现，可展曲面由一条空间曲线的所有切线构成，所以可展曲面表达式的研究转化成求解空间曲线的切线问题。通过构造球坐标系，欧拉得到空间曲线切线上任意一点Z(x,y,z)的坐标分量所满足的方程，从而得到了可展曲面在 球坐标系下的表达式。

欧拉所谓的几何解法以他发现的可展曲面几何性质为出发点。在以往实际问题的引导下，科学家们只知柱面和锥面的侧面可以展开成为平面，而欧拉超越了几何直观，得到了第三类可展曲面，即一条空间曲线的切线族所形成的曲面。

（3）求解阴影曲面法。在E419中，阴影曲面（superficie umbrae）可以理解为发光物体照射处于黑暗空间的不透明物体时形成的光柱侧面，可以想象成用手电筒照射不透明球体时形成的光柱。欧拉对于阴影曲面的研究，其实是可展曲面理论在光学领域的拓展。这主要是因为光线是直线，它所构成的阴影曲面其实就是与不透明物体相切的一族光线的集合，因此阴影曲面是可展的：

假设一个平面与发光物体和不透明物体同时相切，两个切点的连线即为光线，它是阴影曲面的边界。若有另一条光线，其发光点与前一条光线的发光点无限逼近，那么这两条光线将在同一个切平面上，所以阴影曲面满足可展曲面的性质。^[4]

欧拉取两个互相平行的平面分别过发光物体和不透明物体上的切点作截面，再在两个截面上分别建立平面直角坐标系表示截线上的微元，那么这两个微元必须位于阴影曲面的同一个切平面上且互相平行。由此，欧拉再次利用分析学视角考虑微元间关系，并且得到：当曲面y=P+Qx,z=R+Sx的系数是同一个变量的函数且满足

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}R}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}S}

时，该曲面是可展的，且为阴影曲面的表达式。

综上可知，欧拉通过分析、几何、光学应用三种视角讨论了可展曲面的表达式。在此过程中，他引入了微分三角形和曲纹坐标作为工具，得到了可展曲面的性质。虽然在论文E419中，欧拉得到的可展曲面表达式稍显复杂，但该论文充分体现出欧拉对于曲面本质的认识，正如劳伦斯在评价论文E419时所说：

虽然欧拉一生共有800多部作品，但是这篇论文被很多人认为是他最好的数学工作之一。^[12]

2 画法几何学视角下的可展曲面

2.1 蒙日的初次探索

从1764年起，蒙日成为梅济耶尔皇家工程学院的一名绘图员，负责计算防御工事的必要高度，他给出的新方法有效避免了烦琐的计算。1771年，蒙日将结果提交给巴黎皇家科学院，题目为《关于双曲率曲线的渐屈线、曲率半径和不同类型拐度的论文》（以下简称“双曲率曲线论文”）^［13］。据劳伦斯考证，蒙日在完成这篇论文前并未阅读过欧拉的E419，由于蒙日的方法被认定为军事机密，直到1785年才得以公开，所以发表时间晚于E419^［14］。

蒙日所谓的双曲率曲线同样表示的是空间曲线，但他已经意识到空间曲线的性质需要用两个“拐度”2

2 此处术语“拐度”及简单拐度、双拐度均由蒙日原始文献翻译而来，在蒙日的时代还未形成“挠率”概念。

来刻画，概括来说，在简单拐度（simple inflexion）处，空间曲线成为平面曲线，可以借助挠率为0来理解；在双拐度（double inflexion）处，空间曲线成为直线，可以理解为曲率为0。整篇论文共有45节，包含5个定理、10个问题。在前18节中，蒙日定义了空间曲线的法平面、极点、极轴、配极可展曲面3

3 蒙日当时并没有“配极可展曲面”这个术语。

等概念并概述研究思路，在后27节中，蒙日给出具体求解步骤，引入了画法几何和无穷小等思想，得到了 配极可展曲面方程、脊线方程等重要结果。

在该论文的第18节，蒙日对可展曲面做出了如下分析：

可展曲面是由可以延伸到无穷远的无限多条直线构成的，这些直线互相平行时，曲面是以任意曲线为底的柱面，它们全部交于一点时，曲面是以任意曲线为底的锥面，更加一般的情形是这些直线一个接一个地与前一条曲线相交，此时位置相邻的两条直线在同一平面上，这些直线的交点轨迹为一条双曲率曲线，并且这些直线都是双曲率曲线的切线。^[13]

由此可见，蒙日已经得到了可展曲面的三种类型，即：柱面、锥面以及一条空间曲线的切线构成的曲面。在还未看过欧拉论文的情况下，蒙日是如何得到此结果的？蒙日并非直接考虑三维几何对象本身，而是将画法几何学的思想融入其中，将空间曲线视为它在三个互相垂直的坐标平面上的投影曲线的合成。以求解配极可展曲面方程为例，蒙日首先考虑几何构造：一条空间曲线在其上所有点处的法平面的交线即为这条曲线的极轴，它们构成的曲面是可展的，所以求解该空间曲线的渐屈线轨迹等价于求解其法平面的交线。接下来，他进行了具体计算，假设该空间曲线在xOy和xOz平面上的投影分别为曲线y=\varphi (x)和z=\psi (x)，通过这两条投影曲线的切线求解原空间曲线的法平面，对于这条空间曲线来说，其上任意两个无穷近点处的法平面交线所形成的包络，就是配极可展曲面的方程。

当时，蒙日这种画法几何学，或称射影几何学的思路是对几何和空间事物的一种新的认知方式^［15］，这种思想贯穿了蒙日几何研究的整个过程。然而，蒙日的目的在于研究空间曲线的性质，而非可展曲面，所以只是得到了配极可展曲面的方程，并未构建可展曲面的一般理论。直到他看到了欧拉的论文以后，才从多重视角对此展开研究。

2.2 蒙日的再研究

在看过欧拉的论文E419后，蒙日写下了他的第二篇可展曲面论文《关于几类曲面，尤其是可展曲面的性质，及其在本影、半影理论中的应用》（以下简称论文“关于几类曲面的性质”）^［16］，发表于1780年。虽然现有的微分几何史研究认为，蒙日只是简化了欧拉的结果，但是其意义远不止于此。论文包含14个问题，内容从可展曲面的表达式、性质、光学应用延伸至对直纹面的研究。蒙日在引言中评价了欧拉的工作，并且指出自己论文的不同之处：

杰出的几何学家欧拉已经给出了可展曲面的判别公式。我针对同一问题用简单的方法得到了简洁的结果。我得到了任意不透明物体被发光物体照射时得到的本影和半影。我将给出一条直线运动生成的曲面性质及其一般方程。^[16]383

蒙日将可展曲面描述为“一个可以折叠、弯曲但不能拉伸的曲面，在不重叠或者破坏其连续性的情况下可以映射在一个平面上”，在欧拉指出“可展曲面由空间曲线的切线构成”的基础上，蒙日也将可展曲面问题转化为求解一条空间曲线的切线方程问题，并加入了应用偏微分方程求解包络面的方法，他将这条空间曲线投影在两个互相垂直的坐标平面上，此时其切线可以用两条平面投影曲线的切线方程联立表示，为了求其包络，蒙日消去切线方程中的变量和待定函数，得到任意曲面\mathrm{d}z=p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y可展的必要条件为

\mathrm{\delta }\mathrm{\delta }z\cdot \mathrm{d}\mathrm{d}z={(\mathrm{d}\mathrm{d}z)}^{\mathrm{2}}，（1）

其中，记号\mathrm{\delta },\mathrm{d}分别表示对x,y求偏导数，因此上式与现代数学

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}z}{\partial x^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}z}{\partial y^{\mathrm{2}}}={(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}z}{\partial x\partial y})}^{\mathrm{2}}

等价。

为了判定式（1）是否为曲面可展的充分条件，蒙日对式（1）两端积分，结合曲面表达式\mathrm{d}z=p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y发现p\mathrm{、}q之间存在函数关系，对应于可展曲面的几何意义：可展曲面是单参数平面族的包络。因此，式（1）是曲面可展的充分必要条件。

值得一提的是蒙日的分析解法。欧拉在E419中采用了分析的思想，他所谓的“可展曲面上的微分三角形与平面上的微分三角形全等”意味着可展曲面的任意微元都与平面微元等价。蒙日在这一思想的基础上，对可展曲面\mathrm{d}z=p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y进行分割，得到无穷多个面积微元，他发现在每个面积微元内部p\mathrm{、}q均为常量，然而，对不同微元来说p\mathrm{、}q均为变量。因此，如果曲面可展，p\mathrm{、}q将同时为变量或同时为常量，令p=\varphi (q)，分别对x\mathrm{、}y求偏导数，从而可以更加直接地以简单的方法得到可展曲面的偏微分方程（1）。

蒙日的分析解法深受欧拉分析方法的影响，他本人也指出“在几何研究中加入分析有极大的好处，可能可以解决在几何条件下很难解决的问题”^［14］，而且运用偏微分方程可以极大地简化研究思路和计算过程。

在欧拉的启发下，蒙日也运用可展曲面的性质研究了阴影曲面，且更进一步地将阴影曲面区分为本影曲面和半影曲面：

当发光体和不透明体都是任意形状时，1°本影曲面是一个与发光体和不透明体同时外接的可展曲面，2°存在一个光亮与黑暗的分界不清晰的空间，它是与本影存在区别的另一个可展曲面，称为半影。^[16]

由此可知阴影曲面，无论是本影还是半影都是可展的。蒙日求解与两个立体同时相切的切平面，将其表达式中的切点横坐标视为参数，得到一个单参数平面族，联立三个连续切平面的方程，再根据“单参数平面族的包络是可展曲面”，最终得到了阴影曲面的方程。

此外，蒙日还发现可展曲面其实是直纹面的特殊情形，他将求解直纹面方程的问题阐述为：求解由一条直线运动生成曲面的一般方程，通过联立在两个坐标平面上投影的平面直线方程来表示直母线，从而得到直纹面的一般方程为

\frac{\mathrm{\delta }(\frac{-\mathrm{\delta }\mathrm{d}z+\sqrt[]{\omega }}{\mathrm{d}\mathrm{d}y})}{\mathrm{d}(\frac{-\mathrm{\delta }\mathrm{d}z+\sqrt[]{\omega }}{\mathrm{d}\mathrm{d}y})}=-(\frac{-\mathrm{\delta }\mathrm{d}z+\sqrt[]{\omega }}{\mathrm{d}\mathrm{d}y})，

其中，\omega ={(\mathrm{\delta }\mathrm{d}z)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{\delta }\mathrm{\delta }z\mathrm{d}\mathrm{d}z为曲面判别式。与（1）式比较可知，可展曲面其实是直纹面中\omega =\mathrm{0}的特殊情况。蒙日由此证明了在三维空间中，可展曲面是直纹面，但反之并不成立。

3 内蕴几何视角下的可展曲面

3.1 大地测量工作与哥本哈根获奖论文

1818年，高斯开始任职于普鲁士汉诺威公国测量局，负责大地测量工作。他先是通过实地测量积累了大量经验和数据，后来才开始专攻其中的计算。这项工作持续了31年，1847年高斯辞去了测量局的职务，第二年汉诺威的大地测量工作才真正完成。在此过程中，高斯提出了由长边大三角形布设三角网的设想，发明了太阳回照器，应用最小二乘原理解决了大地测量平差问题^［17］。在以大地测量问题为实际背景下，高斯深刻认识到曲面理论，更确切地说是曲面的投影问题，是值得深入探讨的重要课题。

早在1816年，高斯写信给友人时就已经提到：“我在思考一个有趣的问题：在一般情况下，怎样将一个曲面投影到另一个曲面上，使得它们在无穷小部分保持相似。一个特殊的情形就是第一个曲面是球面，第二个曲面是平面，球极投影和墨卡托投影就是这种特殊情形下解决问题的办法。但是，我们要找一个包含所有特殊情形的、对所有曲面都适用的一般解法。”^［18］大地测量工作促使高斯持续关注曲面投影问题，他在1825年5月给舒马赫的信中提到，他又重新开始研究曲面理论，这是高等大地测量学中投影问题的基础，是一项内容丰富而又难以解决的课题。同时，高斯也明确表示，虽然曾有学者进行过相关研究，但是“从根本上解决问题”仍是非常艰巨的课题。

到1822年，高斯完成了论文《将一给定曲面投影到另一曲面上，使得保持它们在无穷小部分相似性的一般解决方法》（以下简称“曲面投影解决方法”）^［19］，这解决了哥本哈根科学院于1821年提出的有奖竞赛问题“地图投影的无穷小相似性问题”，高斯也因此获得1823年的科学院大奖。高斯在这篇论文中得到线元是曲面的内在度量，也就是说，它表示的是曲面本身所具备的性质，并不会因为曲面所在的空间或曲面的形状而改变，即为曲面的内蕴性质。另外，高斯还定义了第一基本形式，得到两个曲面之间的映射是保角映射的解析条件为：在无穷小区域范围内，两个曲面的第一基本量分别对应成比例。更进一步地，如果两个曲面可以互相展开，那么二者的第一基本量应该对应相等^［20］。可见，高斯确实完成了一个“对所有曲面都适用的一般方法”，这与欧拉和蒙日相比是极大的突破。

3.2 可展曲面与绝妙定理

1827年10月8日，高斯向皇家学会提交了另一篇论文《关于曲面的一般研究》（以下简称“一般研究”）^［21］，他在其中系统阐述了内蕴几何思想，得到了绝妙定理、高斯⁃博内公式等重要结果。“一般研究”被认为是古典微分几何向现代微分几何的过渡，是微分几何研究历程中的里程碑。

此前，国内的学者系统阐述了“一般研究”的内容，探讨了“一般研究”与高斯哥本哈根获奖论文之间的内在联系，以及与非欧几何、黎曼流形之间的关联，从而强调了“一般研究”的重要性和价值^［8⁃10］。然而，以可展曲面的研究过程为线索纵剖历史时发现，蒙日已经得到了可展曲面应该满足的条件，高斯在此基础上的进步之处在于，他得到了曲面在展平过程中保持不变的量，并且将可展曲面这种特例引申至更为一般的——两个任意曲面之间的映射问题，而这两处突破都在“一般研究”中有详细论述。

高斯对于一般曲面的研究，需要将曲面上的面积微元投影在半径为单位长度的球面上，这样，曲面面积微元上的每一点都与单位球面上的某个点有相互平行的法线方向，因而形成一一对应的关系，也就是说，曲面上的面积微元被投影成球面上的一块特定区域。因此，高斯在一般曲面与特殊曲面——球面之间建立了映射，曲面不同面积微元之间的大小、位置关系都可以通过球面上投影而成的区域的大小、位置关系体现出来，这种在曲面和球面之间建立关系的映射现在称为高斯映射。

接下来，高斯用三种方式表示曲面——三个变量x、y、z的隐函数，曲纹坐标表示，曲面的蒙日形式。他定义曲率测度为一个商，是曲面上一点处面积元素的曲率积分除以这一点的面积元素本身，也就是说，它表示曲面上无穷小区域面积与对应的单位球面上的无穷小区域面积的比值。当用曲纹坐标(p,q)表示曲面A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y+C\mathrm{d}z=\mathrm{0}时，若记

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}(x,y,z)}{\partial {(p,q)}^{\mathrm{2}}}=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & {\alpha }^{\text{'}}& {\alpha }^{″}\\ \beta & {\beta }^{\text{'}}& {\beta }^{″}\\ \gamma & {\gamma }^{\text{'}}& {\gamma }^{″}\end{array}\right)，

那么，曲面上任意一点处的曲率测度为

\kappa =\frac{D{D}^{″}-{D^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}{(A^{\mathrm{2}}+B^{\mathrm{2}}+C^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}，

其中，

D=A\alpha +B\beta +C\gamma ,D^{\text{'}}=A{\alpha }^{\text{'}}+B{\beta }^{\text{'}}+C{\gamma }^{\text{'}},D^{″}=A{\alpha }^{″}+B{\beta }^{″}+C{\gamma }^{″}。

通过定义第一基本量

E=a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}},F=a{a}^{\text{'}}+b{b}^{\text{'}}+c{c}^{\text{'}},G={a^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}+{b^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}+{c^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}，

高斯证明了曲面的线元

\sqrt[]{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{d}{y}^{\mathrm{2}}+\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}=\sqrt[]{E\mathrm{d}{p}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}F\mathrm{d}p\cdot \mathrm{d}q+G\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}}}

仅与第一基本量有关，是曲面的内蕴性质。

以第一基本量为基础，高斯更进一步地指出：一个任意曲面可以展开到另一个曲面（可以是曲面也可以是平面）时，二者的线元应该彼此相等，也就是二者的第一基本量彼此相等。高斯将这一结果命名为“绝妙定理”：如果一个曲面可以展开到另一曲面上，那么曲率测度在每一对应点处保持不变。因此，可展曲面作为特殊情形被包括在“绝妙定理”之内，此时因为平面的高斯曲率为0，所以可展曲面应该同样地在每一点处高斯曲率均为0。高斯提到“迄今为止，几何学家的注意力一直限于此种情形”，即可展曲面，而高斯的做法“从根本上解决了问题”，得到了“包含所有特殊情形的、对所有曲面都适用的一般方法”。

4 欧拉、蒙日、高斯的可展曲面研究之比较

由以上研究可知，曲面是否可展的判定问题在欧拉、蒙日和高斯的系列论文中逐步被解决，并拓展到更为一般的两个任意曲面互相展开的问题。经过三位杰出数学家半个世纪的研究，可展曲面的性质越发清晰、简明。

在欧拉发表的论文E419中，他讨论的是曲面可以展平的简单情形，而他将无穷小思想引入其中，得到可展曲面与平面上微分三角形之间的解析关联，这是具有突破性的创举。在此基础上，他还采用曲纹坐标表示曲面，为研究曲面的内在性质提供了有力工具。对于可展曲面的讨论也使得欧拉对于曲线性质有了更深入的了解，他发现可展曲面是由一条空间曲线的所有切线构成的曲面，因而从空间曲线的切线表达式入手，构造了可展曲面的判别条件。最后，欧拉将可展曲面的性质延展到阴影曲面，使其成为光学研究的理论依据。欧拉在同一篇论文中以三种不同的视角讨论可展曲面的判定问题，得到的判别条件也趋于简单。

蒙日关于可展曲面的课题发表过两篇研究论文，虽然第一篇比第二篇的发表时间晚，但本文仍旧按照他完成的顺序进行解读，这有助于了解蒙日研究思想的转变，尤其是分析欧拉的论文E419对蒙日的影响。蒙日的“双曲率曲线论文”其实主要探讨的是空间曲线的性质，会涉及可展曲面是因为：一条空间曲线在其上所有点处的法平面的包络是一个特殊曲面，它满足可展曲面的性质，现在称之为配极可展曲面。蒙日通过求解上述空间曲线的渐屈线轨迹得到了配极可展曲面的方程。在阅读了欧拉的论文E419之后，蒙日在“关于几类曲面的性质”中专门探究了可展曲面问题，不仅利用偏微分方程得到了更简单的表达式，而且还在欧拉的光学应用基础上，区分了本影和半影曲面，且将可展曲面向直纹面推进了重要的一步。

高斯在“曲面投影解决方法”和“一般研究”中，讨论了从地图绘制问题引出的球面到平面的映射问题。他定义了第一基本量，证明曲面上的线元是内蕴不变量，从而得到：曲面若要展平，那么它的线元应与平面的线元相等，拓展后得到两个任意曲面可以互相展开时，二者的线元，即第一基本量对应相等。因此，高斯从与欧拉和蒙日不同的背景出发，以更高的观点构建了囊括以往可展曲面研究的更一般情形。绝妙定理的重要之处在于，使人们对曲面的认识发生了改变，从“曲面是嵌入三维几何空间的对象”到“曲面本身就是一个空间，与其所在的空间或曲面本身的形状无关”，体现了高斯带来的空间观念的变革。

综上所述，在解读原始文献的基础上，本文比较了欧拉、蒙日和高斯在研究可展曲面判别问题时的研究对象、视角、依据、工具和结果，得到的结果见表1。

5 结语

由于与大地测量、地图绘制等问题息息相关，所以可展曲面的判定成为古典微分几何曲面论中的核心问题。本文通过系统解读欧拉、蒙日和高斯的相关论文，梳理出三人的主要思路，并从研究对象、视角、依据、工具和突破性结果五个方面进行对比。

欧拉和蒙日研究的是可展曲面问题，采用了分析、几何、光学等多重视角。欧拉引入的工具包括 微分三角形、曲纹坐标，而蒙日则用偏微分方程研究可展曲面及其性质。在二人的研究中，可展曲面的类型更加清晰，被分为柱面、锥面和空间曲线的切线构成的曲面，其表达式也逐渐得到简化，更重要的是，几何对象之间的互逆关系得到了凸显，即一条空间曲线的法平面包络是可展曲面，可展曲面上相继的切线交点轨迹会形成一条空间曲线。最后，高斯引入了球面映射、第一基本形式等概念，发现了曲面的内蕴性质，得到了两个任意曲面能够互相展开的充要条件，即绝妙定理。

可展曲面判定史历经半个世纪得以完成。在欧拉、蒙日、高斯手中，可展曲面判定问题从特例研究转变为一般问题，最终被彻底解决，而且与解决此问题相关的微分三角形、曲纹坐标、偏微分方程、第一基本形式等都成为了微分几何中的重要工具，这一过程中研究视角、工具的转变，揭示了微分几何研究思想的演进和空间观念的变革。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“《关于双曲率曲线研究》的译注及研究”(12126513)

国家社会科学基金青年资助项目“知识史视角下清代割圆捷术文献整理与研究”(24CTQ062)

内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持资助项目“中国数学典籍数字化”(NMGIRT2407)