由“变易之”与“还原法”看清代算家对“立术之由”的探究

Exploring the “Principles of Algorithms” by Qing Dynasty Mathematicians from the Perspective of “Substitution Method” and “Reduction Method”

摘要

清代算家在解决割圆捷术中的相关问题时，有时所设计的算法较为复杂，且同一问题设计的算法多样。《外切密率》中的“变易之”和“还原法”即是戴煦对同一问题而设计的不同算法。从具体操作和计算的复杂度上来看，戴煦对同一问题选择“变易之”是考虑了割圆捷术中各项系数的分子变化规律，最终目标则是揭示“立术之由”。由此表明，在当时的割圆捷术算学圈中，算家在追求计算精度的同时，也在深入探究算法原理。

Abstract

During the Qing Dynasty， mathematicians sometimes designed complex algorithms to solve problems related to the power series expansion， and the algorithms designed for the same problem were also diverse. The “substitution method” and “reduction method” in Waiqie Milü （外切密率， a book on circumscribed polygon ratios written by Dai Xu in the Qing Dynasty） were distinct algorithms designed by Dai Xu for the same problem. From the perspective of specific operations and computational complexity， Dai Xu’s choice of “substitution method” for the same problem takes into account the numerator’s variation laws of various coefficients in the power series expansion， with the ultimate goal of revealing the “Li Shu Zhi You （立术之由，principles of algorithmics）”. This indicates that in the arithmetic circle of the power series expansion at that time， mathematicians were not only pursuing computational accuracy but also delving into the principles of the algorithms.

关键词

变易之 / 还原法 / 《外切密率》 / 立术之由

Key words

substitution method / reduction method / Waiqie Milü / principles of algorithms

在清代的幂级数展开式（清时称“割圆捷术”）研究中，计算问题依附于“术”而实施，算家借“术”以阐“由”。“术”与“由”相互补充，互相融汇。“术”是算家所设计的提高计算速度的具体算法，“由”则是算家在不断探求的算法原理，即为算法提供合理性。学界一般将割圆捷术中的“由”纳到“术”的范畴中，对其中的“术”讨论颇多，而对“由”的阐述仍需深入探究。

戴煦（1805—1860）所著的《外切密率》四卷（1852年）主要讨论了正切、余切、正割、余割和弧度之间的相互关系，正确创立了正切、余切、正割、余割的级数展开式。该书中每“术”后附有操作方法和具体算例，藉以阐明“立术之由”。因切割线出于圆外，戴煦所设计的多例算法有别于明安图等算家所设计的主要算法。基于此，以“变易之”和“还原法”为例，由戴煦对这两种算法的选择，透视清代算家对割圆捷术中“立术之由”的探究。

1 《外切密率》中的“变易之”与“还原法”

1.1 “变易之”

在《外切密率》卷四“割线求本弧”中，记本弧为a，本弧割线为\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha，割线半径差为\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r，割线半径差之倍为\mathrm{2}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)，本弧正矢为vers\alpha，本弧正矢之倍为\mathrm{2}vers\alpha，有连比例关系：

\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha }{r}=\frac{\mathrm{2}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)}{\mathrm{2}vers\alpha }。

令r={\varphi }_{\mathrm{1}}，{\varphi }_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)，则有

\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha ={\varphi }_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}。（1）

命倍矢率分为三率，半径为一率，令

r={\varphi }_{\mathrm{1}}={\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}，{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}vers\alpha。（2）

由式（1）—（2）可得：

{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}vers\alpha =\frac{{\varphi }_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{3}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}}，

{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}={\varphi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots1

1 此处推导从略，后同。参见：李俨. 中算史论丛：第三集［M］. 北京： 科学出版社， 1955： 441-445.

。（3）

由式（2），依次递求五、七、九率：

{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}，{\varphi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}，{\varphi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}{\varphi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}，…。

进而求得各式：

{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{(\mathrm{2}vers\alpha )}^{\mathrm{2}}}{r}={\varphi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{3}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{4}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots ,

{\varphi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{(\mathrm{2}vers\alpha )}^{\mathrm{3}}}{r^{\mathrm{2}}}={\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{6}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots ,

{\varphi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{(\mathrm{2}vers\alpha )}^{\mathrm{4}}}{r^{\mathrm{3}}}={\varphi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots，

{\varphi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{(\mathrm{2}vers\alpha )}^{\mathrm{5}}}{r^{\mathrm{4}}}={\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots。

以往的研究认为戴煦在依次求得五、七、九各率分数时运用了“还原法”。具体而言，戴煦虽是通过 连比例关系依次求得各率分数，但其目的不是加减相消仅留首项再反求未知量。事实上，上述各式相加减是不能消尽的。再者，按戴煦原意，求得五、七、九各率后是为了将已得到的倍矢求弧背各率分数的分子与之对应，便于下一步计算时整体代入。

求得五、七、九各率分数后，戴煦将关注点聚焦在各率分数的分子分母上，并与递加数建立了联系。若求其中一列的第r个数，则有：

倍矢三率各率分数的分子为1，1，1，1，1，…，为递加数根；分母递加二分。

倍矢五率各率分数的分子为1，2，3，4，5，…，为递加数；分母递加二分。第r个数即为r。

倍矢七率各率分数的分子为1，3，6，10，15，…，为二次递加数；分母递加二分。第r个数即为\frac{r(r+\mathrm{1})}{\mathrm{1}\times \mathrm{2}}。

倍矢九率各率分数的分子为1，4，10，20，35，…，为三次递加数；分母递加二分。第r个数即为\frac{r(r+\mathrm{1})(r+\mathrm{2})}{\mathrm{1}\times \mathrm{2}\times \mathrm{3}}。

倍矢十一率各率分数的分子为1，5，15，35，70，…，为四次递加数；分母递加二分。第r个数即为\frac{r(r+\mathrm{1})(r+\mathrm{2})(r+\mathrm{3})}{\mathrm{1}\times \mathrm{2}\times \mathrm{3}\times \mathrm{4}}2

2 依戴煦原意，将倍差求倍矢三、五、七、九率各分子斜列之，可进一步求得第P斜行的第r个数，而这正与《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”有关。

。

……

将式（3）命为倍矢求弧背三率，“以倍差求倍矢率分变易之，即得倍差求本弧各率分数”^［1］，这是戴煦处理的关键之处。据倍矢求弧背各率分数，则有：

a^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}vers\alpha +\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdot {(\mathrm{2}rvers\alpha )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}!}+\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\cdot {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{2}rvers\alpha )}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}!\cdot r}+\cdots。（4）

再由倍差求倍矢率分代入式（4）：

\begin{array}{l}{a}^{\mathrm{2}}=r{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}+\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdot r{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{4}!}+\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdot {\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\cdot r^{\mathrm{2}}\cdot {\varphi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{6}!}+\cdots =r({\varphi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\\ \frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots )+\left(\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdot r}{\mathrm{4}!}\cdot ({\varphi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{3}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{4}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots )\right)+\\ \left(\frac{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\cdot {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\cdot r^{\mathrm{2}}}{\mathrm{6}!}\cdot ({\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{6}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots )\right)+\cdots \mathrm{。}\end{array}（5）

代入后项数增多，计算较繁。因戴煦规定了求至十一率截去不用，故在“推演割线求本弧总图”中分为五列3

3 实质上是将前面代入后的式子分为了五段，从而给出了“定母”的方法。

。计算时半径取1，即

第一列：{\varphi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots；

第二列：\frac{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}}\cdot ({\varphi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{3}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{4}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots )；

第三列：\frac{{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\cdot {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}}\cdot ({\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{6}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{11}}+\cdots )。

……

在“定母”（规定分母）的基础上，将第一至第五列进行通分，命为

变母一列：{\varphi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{520}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}\times \mathrm{7}\times \mathrm{8}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\cdots；

变母二列：\frac{\mathrm{1}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}}{\varphi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}\mathrm{260}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}\times \mathrm{7}\times \mathrm{8}}{\varphi }_{\mathrm{9}}-\cdots；

变母三列：\frac{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdot {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{336}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}\times \mathrm{7}\times \mathrm{8}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{30}\mathrm{240}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}\times \mathrm{7}\times \mathrm{8}\times \mathrm{9}\times \mathrm{10}}{\varphi }_{\mathrm{11}}-\cdots。

……

计算至此，将变母一至五列分别相加减，可得：

{\varphi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}}{\varphi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{1}\mathrm{560}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}\times \mathrm{5}\times \mathrm{6}\times \mathrm{7}\times \mathrm{8}}{\varphi }_{\mathrm{9}}+\cdots。（6）

然而，戴煦并未直接相加减，他先将变母一至五列中的首项相加，命为第一层，即数根。再将变母一至五列中的第二项相加，命为第二层，后仿此。若取变母前三列的首项来分析，各个首项均是由倍差求倍矢和倍矢求弧背所构成，如变母二列的首项\frac{\mathrm{1}\cdot {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times \mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{5}}，即是由倍矢求弧背之五率（即系数部分）和倍差求倍矢五率率分之五率4

4 此处五率含义不同。第一处指“倍矢求弧背”中的五率率数，第二处指本文定义的{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}，第三处则指{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}表达式中的首项{\varphi }_{\mathrm{5}}。

所构成。

最后，由已知倍差求倍矢和倍矢求弧背，得到倍差求弧背的平方：

a^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}r(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)-\frac{\mathrm{5}\cdot \mathrm{2}\cdot {\left(\mathrm{2}r\cdot (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}!\cdot r}+\frac{\mathrm{64}\cdot \mathrm{2}\cdot {\left(\mathrm{2}r\cdot (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)\right)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}!\cdot r^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}\mathrm{560}\cdot \mathrm{2}\cdot {\left(\mathrm{2}r\cdot (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)\right)}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{8}!\cdot r^{\mathrm{3}}}+\cdots，（7）

开方即得“割线半径差之倍求本弧”。

总结各层之间分子的递求规律，进而寻求各减数与递加数根之间的关系，结果见表1。

至此，也说明了戴煦没有直接相加减，是因为他通过审视倍差求本弧率分与倍矢求弧背率分之各率分子，试图给出既能解决各率分子递求的方法，又能彰显各率分子变化的规律，即他所称的“立术之由”。

以往的研究对“变易之”的解释不尽相同，王荣彬^［2］认为戴煦的“变易之”为“借径术”，即把一级数代入另一级数的运算，并认为徐有壬的“借径术”由戴煦首先给出。陈启文^［3］认为戴煦的“变易之”为“代入法”。本文认为戴煦的“变易之”虽是徐有壬“借径术”的雏形，但非简单代换，因代入的对象不只是单项式，也有多项式与无穷级数，使用的范围更广。

1.2 “还原法”

5

5 经笔者验证，原文中的“63”应为“64”。

有弧背求余弦各率分数，弧背求正矢各率分数，本弧求割线半径差各率分数。记半径r={\phi }_{\mathrm{1}}，本弧a={\phi }_{\mathrm{2}}，有连比例关系：

\frac{a^{\mathrm{2}}}{r}={\phi }_{\mathrm{3}}，\frac{a^{\mathrm{3}}}{r^{\mathrm{2}}}={\phi }_{\mathrm{4}}，\frac{a^{\mathrm{4}}}{r^{\mathrm{3}}}={\phi }_{\mathrm{5}}，…，

\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{r}=\frac{vers\alpha }{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r}，\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -{\phi }_{\mathrm{1}}=\frac{{\phi }_{\mathrm{1}}vers\alpha }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }，

可得：

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ={\phi }_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots，

vers\alpha =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}-\cdots，

\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -{\phi }_{\mathrm{1}}=\frac{{\phi }_{\mathrm{1}}vers\alpha }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }=\frac{{\phi }_{\mathrm{1}}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}-\cdots )}{{\phi }_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots }=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{61}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}\mathrm{385}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{50}\mathrm{521}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots =

\frac{a^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}!\cdot r}+\frac{\mathrm{5}{a}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}!\cdot r^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{61}{a}^{\mathrm{6}}}{\mathrm{6}!\cdot r^{\mathrm{5}}}+\frac{\mathrm{1}\mathrm{385}{a}^{\mathrm{8}}}{\mathrm{8}!\cdot r^{\mathrm{7}}}+\frac{\mathrm{50}\mathrm{521}{a}^{\mathrm{10}}}{\mathrm{10}!\cdot r^{\mathrm{9}}}+\cdots。（8）

6

6 经笔者验证，原文中的“2 520”应为“-2 520”。

“本弧求割线半径差率分，倍之，命为连比例三率，以半径为一率，依法求得五、七、九等率。”^［1］以“还原法”求解：

令{\phi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}=r={\phi }_{\mathrm{1}}，{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -{\phi }_{\mathrm{1}})，则有

{\phi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\phi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}{\phi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}}{{\phi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}}，{\phi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}{\phi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\phi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}，{\phi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}{\phi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\phi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}，…。

依次求得{\phi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}，{\phi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}，{\phi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}，…，其中：

{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{122}}{\mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{770}}{\mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{101}\mathrm{042}}{\mathrm{10}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots。

以{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}为不变的乘数，依次求得下式：

{\phi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{738}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{67}\mathrm{400}}{\mathrm{3}\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{8}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots，

{\phi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}=\begin{array}{cc}& \end{array}\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{120}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{964}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{6}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots，

{\phi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}=\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & \end{array}\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{320}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{4}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots，

{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}=\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!}{\phi }_{\mathrm{11}}+\cdots。

……

观察本弧三率、五率、七率、九率和十一率率分的分母分子，将各率率分的分母调整为阶乘的形式，如本弧三率率分的系数为\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}!}，五率率分的系数分别为\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{4}!}和\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}!\cdot \mathrm{2}!}=\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{4}!}。再相加减，最后仅留本弧三率率分，得到：

{\phi }_{\mathrm{3}}=\frac{a^{\mathrm{2}}}{r}={\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}-\frac{\mathrm{5}\cdot \mathrm{2}r\cdot {\phi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{4}!}+\frac{\mathrm{64}\cdot \mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}\cdot {\phi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{6}!}-\frac{\mathrm{1}\mathrm{560}\cdot \mathrm{2}{r}^{\mathrm{3}}\cdot {\phi }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{8}!}+\cdots。（9）

将{\phi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha -r)代入式（9）即得式（7），此不赘述。

关于“还原法”，明安图称为“反求”，董祐诚称为“还原”，项名达称为“易率法”，徐有壬称为“还原术”，李善兰称为“回求”^［4］。戴煦在《外切密率》“切线求本弧”（卷三）和“割线求本弧”（卷四）中给出了“还原法”的具体操作，并指明了使用“还原法”的不便之处：“惟分子之所由来，究不可见。”^［1］同时，他也指明了采用“变易之”的便利之处：“分子之所由来，乃显然而可见矣。”^［1］

1.3 “变易之”与“还原法”的复杂度比较

不难得出，在解决同一问题时，“还原法”大体分为四步：重新命名各率率分，递次求得各率率分，通分各率率分并相消和代入。其中，只有第三步较为繁杂，因为在对各率率分进行通分时，分母较难统一，且在相消时，中间参数的确定较为烦琐。

若使用“变易之”大体分为五步：重新命名各率率分，由倍差求本弧正矢之倍，递次求得倍差求倍矢各率率分，取倍矢求弧背和代入。其中，第二步和第五步较为复杂，第二步需要作商除运算，第五步中的代入与“还原法”中的代入也不同。这里代入的对象为本弧求倍差（割线半径差之倍）各率率分，各项至少为多项式，运算量较大。“还原法”中代入的对象是本弧求倍差（割线半径差之倍）率分之三率，仅为单项式，运算较为简便^［5］。

显然，两种算法在具体操作上有颇多不同之处，“还原法”较之“变易之”更为简洁与快捷，但戴煦用大量篇幅表述“变易之”的具体递推过程，透过“变易之”产生了多组运算，在处理不同的变换时，呈现各项系数的分子变化规律，为“立术之由”给出细致而深刻的依据，表明了他选择“变易之”是出于对各率率分中分子变化规律的考虑，所关注的主要是如何揭示“立术之由”，而不过多考虑两种方法在具体计算时的复杂度问题。

2 从戴煦对两种算法的选择看清代算家对“立术之由”的探究

在《外切密率》中，戴煦将整个算法过程用一张“总图”表示，实际上是算法程序图，如“推演本弧求正切线总图”等，辅以相应的推演图和详解图，其中的“术（曰）”给出了“各率乘法”的递推过程，“解（曰）”和“推演图”则蕴含了“立术之由（原）”。如前所述，戴煦在给出“变易之”与“还原法”的具体操作后，指明了两种算法的优劣之处。尽管两种算法可视为一种转化关系的演算法，但在同一问题中，其中一种算法（如“变易之”）是为了揭示“立术之由”而设计的7

7 为此戴煦给出了“变易之”的具体推导方法，以及各层之间、各率分子之间、各率分子与分母之间的关系。

，而另一种算法则是快捷且主流的算法。戴煦的这一思路，在一定程度上代表了当时算学圈中割圆捷术研究的通法与特征。

事实上，“杜氏三术”传入后，从明安图开始的算家就在尝试针对同一问题设计不同的算法，在证明和推广割圆捷术的同时，还努力对所设计的算法提供坚实的原理依据。除了本文所讨论的两种算法之外，算家们对“立术之由”的探究在其他算书的算法中也有所体现^［6］。如明安图在《割圆密率捷法》卷二“角度求八线”的多个算例中为使降位更快设计了两种算法，卷三中就“（二）分弧通弦率数求全弧通弦率数”问题给出了三种算法^［7］。由于“零分起度弦矢率”中的第一、第二形腰部分在圆外，与“整分起度弦矢率”有所不同，项名达在《象数一原》中引入了“借率法”和“易率法”^［8］，两种方法经常配合使用。徐有壬在《割圆八线缀术》中利用四种推导方法解决各术互求问题，所创的“缀术”则是四种方法的总括^［9］。这均体现了“术”之二维向度，一方面，是可用来计算所求量的实际操作方法；另一方面，扩展所设计算法的适用范围，便于实施快捷计算，进而追求精度（尽管算家在有些实际计算中对精度的要求并不高）和阐明算理。

3 结语

尽管“变易之”与“还原法”已成为当时算学圈探究割圆捷术所熟悉的算法，但藉由“变易之”与“还原法”揭示“立术之由”是戴煦工作的独特之处。他在简明的算法（如“还原法”）之外，又设计了一种更为精细的算法（如“变易之”），在解决同一问题时对多样的算法是有选择性的。可见，清代算家在割圆捷术的实际计算中，一般不采用简明的算法，而采用精细的算法，因精细的算法在追求计算精度的同时，还可以阐明算法中蕴含的本原或理论基础。这不仅丰富了各术的理论基础，也强调了算法原理的重要性。

参考文献

[1] 戴煦. 外切密率［M］// 刘铎. 古今算学丛书. 上海：上海算学书局，1898.

[2] 王荣彬. 论戴煦的数学成就［D］. 呼和浩特： 内蒙古师范大学， 1991： 56.

[3] 陈启文. 清代算学家戴煦及其算学研究［D］. 台北：台湾师范大学，2002：97.

[4] 王鑫义， 郭世荣. 再论“反求” “易率” “还原” “回求” 之异同［J］. 广西民族大学学报（自然科学版）， 2022， 28（4）： 22-26.

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[6] 曲安京， 袁敏， 唐泉. 中国古代历法家对“算理” 的探究［J］. 自然科学史研究， 2007， 26（1）： 1-11.

[7] 罗见今. 《割圆密率捷法》译注［M］.呼和浩特： 内蒙古教育出版社， 1998： 133.

[8] 王鑫义. 明安图、董祐诚、项名达的无穷级数表示法研究［D］. 呼和浩特： 内蒙古师范大学， 2018： 152.

[9] 王鑫义， 郭世荣. 从形式到方法： 徐有壬“缀术” 的双重意义［J］. 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）， 2021， 50（5）： 412-417.

基金资助

国家社会科学青年基金资助项目“知识史视角下清代割圆捷术文献整理与研究”(24CTQ062)