从《缉古算经》论隋朝的工程与数学

Engineering and Mathematics of Sui Dynasty Based on Jigu Suanjing

摘要

隋朝政府兴建了大量土木工程，并首次将数学纳入官办教育，在客观上促进了数学的发展。成书于唐初的《缉古算经》在一定程度上反映了隋代的工程要求与数学水平。从《缉古算经》中具体的数学问题入手，对照史料中的工程及徭役情况，可从新的角度展现隋朝的工程规模与数学水平，进而讨论隋朝开设官办数学教育却未能推动数学作用于工程实践的原因。

Abstract

The Sui Dynasty government built a large number of civil engineering projects and for the first time incorporated mathematics into official education， objectively promoting the development of mathematics. Written in the early Tang Dynasty， Jigu Suanjing to some extent reflects the engineering requirements and mathematics level of the Sui Dynasty. Based on the specific mathematics problems in Jigu Suanjing， the engineering and forced labor situations in historical materials are compared to present the engineering scale and mathematical level of the Sui Dynasty from a new perspective. Furthermore， the reasons why the Sui Dynasty's official mathematics education failed to promote the application of mathematics in engineering practice are discussed.

关键词

《缉古算经》 / 隋朝数学 / 隋朝工程

Key words

Jigu Suanjing / mathematics of Sui Dynasty / engineering of Sui Dynasty

中国在隋朝实现统一后，隋朝统治者为加强中央集权、巩固国家统一，大兴土木，这在客观上推动了当时数学注重实际工程需求的发展方向，而数学官办教育的开设也反映了政府对数学的需求与重视。《缉古算经》的作者王孝通生活年代跨越隋唐两朝，其所著的《缉古算经》在一定程度上反映了隋朝的工程需求，值得学界加以重视。

前人对《缉古算经》进行了较为深入的研究，如钱宝琮先生的《算经十书》^［1］和李迪等数学史家的《中国数学史大系·第四卷》^［2］对该书进行了收录并对其中的内容作了分类研究。郭世荣^［3］在《〈缉古算经〉造仰观台题新解》一文中，对具体的数学知识作了详解。前人研究为本文提供了有力的支撑，但大多集中于《缉古算经》的数学成就方面，对于其中所反映隋朝劳役及工程情况却少有涉及。本文拟从《缉古算经》的数学问题入手，结合隋朝时期的人口、工程量等史料，对当时的工程规模与数学水平展开进一步的评述。

1 《缉古算经》与其中的工程数学问题

隋唐时期是数学官办教育的开端，《缉古算经》作为官方数学教育丛书《算经十书》中的一册，主要任务是培养政务人员、天文工作者或工程技术人员^［4］。所以《缉古算经》在问题设计上很大程度反映了隋唐时期的工程技术需求，不能单纯地作为数学问题看待。《缉古算经》具体的成书年代已不可考，其作者王孝通亦生卒年不详^［1］。据《旧唐书》所记，王孝通在626年（武德九年）时为算历博士，可以推断他在隋炀帝大业年间已经成年^［5］。根据李迪等数学史家在《中国数学史大系·第四卷》所述，王孝通在贞观初年“上缉古算术表”时已快白头，由此可以推测他约生于579年，即他的青壮年时代大部分是在隋朝度过^［2］199。王孝通《上缉古算术表》曾言及“臣长自闾阎，少小学算”^［1］493，可知他长于民间，对于隋朝时期百姓生活应当有较多了解。青年时代的王孝通对《九章算术》和《缀术》都进行过深入研究，指出了两书存在的不足，“遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术”，完成《缉古算经》一书^［2］199。虽然《旧唐书》和《新唐书》都称《缉古算经》有四卷，但按照其“凡二十术”的说法，以及现传本确为二十个问题，此二十问应该就是全书。

王孝通所列二十问中，第一题是天文历法问题，这可能与他后来升任为太史丞的工作有关。第十五题到第二十题则是勾股问题，其余第二题到第十四题全部为建筑观象台、河堤、粮窖等工程问题^［1］。以这些实际问题结合王孝通本人成长年代和背景来看，正与隋朝时期众多工程项目的兴建时间相对应。如《隋书》记载有“又诏发丁男百馀万筑长城，西拒榆林，东至紫河”，“四年春正月乙巳，诏发河北诸郡男女百余万开永济河”^［6］。从时间来看，大运河的开凿以及大兴城、洛阳城和安济桥等工程都在这一时期完成，《缉古算经》中不少的工程问题在一定程度上也反映了该历史时期的工程建设情况。如《缉古算经》第二问所述：

假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？^[1]496

从数学角度分析仰观台和羡道的形状及该问题的解法，前人已经有了较为深入的研究^［3］。其成果也验证了王孝通给出的答案，即仰观台高18丈，上广7丈，下广9丈，上袤10丈，下袤14丈。这样一个工程需要甲、乙两县共4 640人，每人每日积75尺，耗时5天完成。换算成现在的数学单位，即每人每天建约2.1 m³，4 640人耗时5天完成体积约为48 720 m³的仰观台。从现在的建筑技术来看，熟练瓦工师傅砌火砖在每天2 500~3 000块左右，以目前火砖的体积粗略计算，在每天4立方米左右。对比在隋唐时期的生产水平，人均每天筑造2.1 m³，这虽然存在一定的理想化因素，但可算是非常快的建造速度，人均工作量巨大，可见工程之繁重。

再如《缉古算经》第三问：

假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少於西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多於东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟躕十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役毕。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高，及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？^[1]502

王孝通在这里提到“古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到”，十合为一升，十升为一斗，按照唐朝时的计量单位，一升约合今600 mL^［7］，即负土约0.015 m³，换算成重量单位大概在20~25 kg。一步为五尺，唐朝一尺约为30 cm^［7］，一步即约为1.5 m，这句话大概指出了一人负土 四五十斤，行288 m，每日如此进行62个来回。照此推算，人均每天要负重四五十斤行18 km左右，再原路返回。虽然这可能存在一定的夸大，但仍体现了当时工程要求，需以这种高强度的工作量进行工程建造，这也从侧面反映了隋朝的工程量之多。

《中国人口史》隋唐五代卷依据梁方仲先生的统计表和隋志总序订正统计后得出，隋大业五年总户数达9 070 131户，平均每县有7 238.96户，户均人口数为5.166^［8］54，见表1。

以上两个数据虽有差异，但可以大致确定当时的人口数。根据《缉古算经》中所说“甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人”，“甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人”等等之数，说明仅一项建造仰观台的工程需要的人数为四五千人，历时五天左右完成；筑堤则需五六万人在一天完成。即使按照一户一丁男粗略计算，全国也大概有八九百万的壮丁参与工程建设。《食货志》曾言及“杨素为营作大监，每月役丁二百万人”^［9］即可作为一例旁证。按此计算，隋大业年间全国人口为四千六百万，每月役丁二百万，全国的成年男丁都应参与过工程建设。

2 隋朝时期的工程管理水平

在如此多人口的辛苦建设下，隋朝用短短三十几年的时间完成大运河、两京营造等划时代工程，其基建规模与速度在中国古代史上也是罕有匹敌的。因此，这一成就显然不仅依赖于庞大的人力征发，更需辅以管理体系支撑。

《缉古算经》中的“分县协作、定额定量”其实在一定程度上展示了配役办法，这是一种中央统筹、地方执行的工程管理体系。唐长孺^［10］在《魏晋至唐官府作场及官府工程的工匠》一文中除了提到隋朝 征役之重外，还研究工匠征发形式等问题。他提到在隋之前北周实行的是一种六番制度，六番是指每年六个工匠轮流，即每个工匠每年服役两个月。匠是伎作户的改称，丁是从一般农民中征发的。

隋朝统一之后，北周六番的匠役应即推行于全国。然而这个制度也不是完全被尊重的。隋书卷四五房陵王勇传：“ 副将作大匠高龙义预追番丁，辄配东宫使役，营造亭舍。”这里的番丁应亦包括番匠，建筑亭舍不可能完全由农民来完成。从这条记载中可知番役制度常被破坏。但此时毕竟只能预追还不应上番的丁匠，而不是随意征发。^[10]68

然而到了隋炀帝时，因工程集中爆发，各种徭役同时并兴，番役制（不论丁或匠）全部被破坏。在隋大兴年间，征役妇女老幼也是常有的事。如《资治通鉴·隋纪五》中记载“丁男不供，始役妇人”^［11］。尽管如此，隋朝并非毫无章法，番役制度的破坏并不代表官方没有设置管理制度。

贾志刚^［12］在《隋朝工程营建之多层次监管法再考察》一文中，详细阐述了隋朝“多层次监管法”的运作程式。在隋朝工程进行中，除了分区监管和分点监管，还有相当明确的分工协作。以隋代营建东京来看，工程规模巨大，数百万人力为工程组织管理增加了难度。于是这项工程不仅委任了一位营东京大监和多位副监，如杨素、宇文恺等顶层管理者，还有营东都大监丞孟公行掌判监事从中协调，并且指派专人分点督作和分区营建，设立各专门监的分工协作，专门监之下还有僚属若干以供其职。这是一套行之有效的“多层次监管法”的运作程式。

唐人杜宝之《大业杂记》大业元年条记载：

初，卫尉卿刘权、秘书丞韦万顷总监筑宫城。一时布兵夫周匝四面，有七十万人。城周匝两重，延袤三十余里，高四十七尺，六十日成。其内诸殿基及诸墙院又役十余万人，直东都土工监常役八十余万人。其木工、瓦工、金工、石工，又役十余万人。^[13]15

这段文字不仅描述了当时的宫城营造速度，也表明了各专门监的分工协作。对比考古探测的洛阳宫城北墙长1 400 m，南墙长1 710 m，东墙长1 275 m，西墙长1 270 m，共5 655 m，西墙的夯墙厚度还保留在1.75 m以上^［14］。总长与杜宝记载的有较大出入，杜宝这里的“三十余里”或是两重城墙的长度，虽然也稍有误差，但总长应大于11 000 m。即动用八十万余人用时六十天就完成了如此大的宫城的建造。这种建造速度虽然比不上前文《缉古算经》中理想化的超级建筑速度，但也称得上进度神速了。这种神速的背后凸显的是分工协作、层级管控等管理技术的发展。

然而，管理技术上的进步不足以抵消人力上的大量消耗。“多层次监管法”的运作程式只能说明隋朝时期对工程建造已有比较完善的分级管理概念，但对于人力的管理仍然不够科学。从上文提到的番役制被全面破坏来看，隋朝的工程管理本质上还是一种粗放型效率——其速度依赖的是层级管控与人力透支，而非精确的计算调配。这也与工程管理者的数学水平息息相关。

3 隋朝数学教育与工程实践的关系

隋朝时期的数学水平与社会的生产需求有着紧密的联系。隋一统后，隋朝两代皇帝出于各种各样的原因，在短短三十多年的统治期内兴建了众多大型工程。《缉古算经》中最高的数学成就，即求三次方程正根，就是同兴修水利和建造仰观台土方计算以及验收工作联系在一起的。

按王孝通在《上缉古算经表》所记：

伏寻《九章》商功篇，有平地役工受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内，阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间，同欹邪之用。斯乃园孔方枘，为何可安。……遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰“缉古”。^[1]494

“商功”一词本就是估算工程量或劳动日的意思^［15］，王孝通以此为出发点，也恰恰印证了他对工程 数学的重视。他认为《九章算术》中的“商功”章仅适用于规则的几何体，而实际工程并非如此，他所做的工作为实际中的“上宽下狭，前高后卑”的异形几何体计算填补了空白。由隋朝时期工程量之巨大、工程设计之繁杂可知，隋朝时期的数学水平应该不低。如李浩^［16］在《唐初数学家王孝通与〈缉古算经〉》一文所言，隋朝时期国家刚刚结束乱世并完成统一，发展强盛，皇家宫殿和桥梁大规模建造，疏建扩建运河等大工程相继开工，出现大量复杂多变的计算问题，这极大推动了当时应用数学的发展。王孝通恰恰是在这种背景之下，利用数学理论深入研究土木工程、仓库容积等问题，取得丰硕成果。

除却大量的应用需求外，隋朝也是首个开创了数学官办教育的朝代。隋建国伊始就设立了国子寺（607年改称国子监）作为专门的教育行政部门，国子寺也设了国子学、太学、四门学、书学和算学^［17］。按照《隋书·百官志》记载，算学学生人数虽不及国子、太学、四门，却超过了书学^［18］，这也说明了隋朝统治者对数学人才的需求。但因是创学初始，其教育体系仍然存在明显不足。

首先是教材体系的缺失。王青建^［19］在其研究中提到《算经十书》是历史上第一套由国家下令颁行的数学教科书。即在唐朝李淳风等人注释《算经十书》之前，国家从未颁布过数学教科书。其数学教育缺乏标准教材，教学内容也必然缺乏系统性。

其次是技术官僚的数学水平也未必专业，数学理论和实践存在一定脱节。在《资治通鉴·隋纪五》中记载了一场因测算错误导致战争失利的事件。按其记载：

帝命工部尚书宇文恺造浮桥三道于辽水西岸，既成，引桥趣东岸，桥短不及岸丈余。高丽兵大至，隋兵骁勇者争赴水接战，高丽兵乘高击之，隋兵不得登岸，死者甚众。^[11]

宇文恺是当时著名的建筑学家，他负责设计的大兴城，规划之严整为当时所称道，却在建造浮桥时短了丈余。宇文恺的计算失误暴露出隋朝工程数学可能存在的两大缺陷：（1）测量技术粗放，基础测距问题需依赖经验估算，而非严谨的勾股术或三角测量；（2）理论脱离实践，尽管《缉古算经》已能解决复杂体积计算，但官方工程中仍缺乏标准化数学工具，导致设计误差频发。这一矛盾也表明，隋朝对数学的专门教育并未转化为实际工程能力。技术官僚（如宇文恺）的数学素养可能仍来源于经验层面，而并没有受到官方教育的隋代民间工匠李春，却能修建巧夺天工的赵州桥。

再者，隋朝科举制度的导向也是造成数学教育体系失灵的原因之一。隋立国后，急需大量的职业化官僚治理国家，同时要改变士族垄断政权的局面，需要创立新的选官制度。开科取士虽然是“矫时惩弊之权法，非经国不刊之常典”^［20］，但无奈的是官学却一直未能培养出需要的人才^［21］。仁寿元年，隋文帝认为“国学胄子垂将千数，州县诸生咸亦不少，徒有名录，空度岁时”，诏“以天下学校生徒多而不精，唯简留国子学生七十人”。隋炀帝即位后，虽又恢复了学校教育，并常常下诏分科举人，但“改置明经，进士二科”，将之作为科举常科考试的最主要科目^［22］，因此仍未选拔出优秀的算学人才。即隋朝的国子寺 空设算学，但并未培养出足够数量的能力出众的算学者。

唐朝继承了隋朝的教育体系并进行了充分的改造。李淳风等校注《算经十书》并首次将其作为官办数学教育教材。此十本书中，仅有《九章算术》和《缉古算经》涉及工程问题，《海岛算经》涉及测高、望远、量深等测量数学问题，体现出以往并不重视工程数学。唐朝建立后，在科举常科考试名目中正式加入了算科，虽因其在仕宦路途上于前进助益不大，从而“自是士族所趣乡，唯明经、进士二科而已”^［23］，但仍培养了一些在天文数学上有突破的人才。太史局中的职位多由明算科及第者担任，数学教育和职官体系开始衔接。对比隋朝资源分配不合理造成徭役过度的局面，唐代则通过《营缮令》等法规，详细规定了计划工程的用功、进度，规范了营造公共工程时的民力征发^［24］。以水利工程为例，唐朝的《水部式》是我国现存最早的一部水利法典。它的制定对于合理利用水利资源、发挥水利工程效益都具有至关重要的意义^［25］。

隋唐两代的对比揭示了数学教育的实效性不仅取决于官方的重视程度，更需制度配套与价值认同。隋朝虽首创算学专科，却因种种原因未能将数学赋能于工程实践，而唐朝在其基础上的改造为理论实践做出了一定贡献。这种历史经验对当代科技教育仍具有一定启示，脱离社会需求与制度支撑的学科建设，终将陷入“空度岁时”的困境。

4 结语

总之，《缉古算经》问题设计一定程度上受到了隋朝工程项目众多的影响，也从一个侧面反映了隋朝工程量的一些实际情况。另外，隋朝的国子寺虽然将算学首次列入了官办教育，但由于数学教材的不完善、隋文帝的中途叫停以及算学之于仕途并无助益等原因，官办的数学教育并没有培养出足够数量的善算者来进行工程统筹计算。隋朝统一的三十七年间，也并未出现多少负有盛名的数学家，《缉古算经》到唐初才得以成书问世。数学教育流于形式，技术官僚培养的机制失效，最终退化为对民力的竭泽而渔。隋朝基建的“强”，本质是以高强度征役掩盖技术短板的不可持续模式，其速朽结局恰为此矛盾的历史注脚。但不可否认的是，尽管征役强度引发社会矛盾，但其工程遗产（如大运河的经济整合功能）深刻影响了中国历史进程。一方面要承认隋朝的工程为后世带来的便利；另一方面，也要以史为鉴，正如习近平总书记指示的那样：“人命关天，发展决不能以牺牲人的生命为代价。这必须作为一条不可逾越的红线。”^［26］

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基金资助

内蒙古自治区哲学社会科学规划资助项目“中国传统数学勾股定理的证明、实践与文化意义研究”(2023NDB179)