多项式环的概念史研究

Historical Study on Concept of Polynomial Rings

摘要

鉴于多项式环在现代数学中的重要性以及数学史上的关键地位，运用数学概念史研究的方法，探寻多项式环概念建立和发展的历史过程。研究发现：首先，通过诺特、范德瓦尔登等数学家的奠基工作， 多项式环从具体特例中抽象出来，一般化的多项式环概念最终得以建立。其次，代数学家雅各布森对多项式环概念的发展，经历了从未定元向超越元的认识变迁，他在前人研究的基础上，进一步揭示出多项式环的序列形式和超越本质。历史意蕴在于：多项式环概念的确立拓展了多项式的内涵，打破了多项式与函数以往混为一谈的局面；多项式环的概念史反映了代数学发展中代数倾向的学科魅力和高度抽象的理论精神，显现出数学史的连续性。

Abstract

Given the importance of polynomial rings in modern mathematics and their fundamental role in the history of mathematical thought， this study applies the methodology of conceptual history to trace the formation and development of the concept of polynomial rings. It is found that the generalized concept of polynomial rings was gradually established through the foundational work of mathematicians such as Emmy Noether and Bartel van der Waerden， who abstracted the concept from specific instances. In addition， the algebraist Nathan Jacobson contributed significantly to its conceptual evolution by shifting the focus from indeterminate to transcendental indeterminate. Building upon earlier research， he further clarified the sequential form and transcendental nature of polynomial rings. The historical significance lies in the fact that the formalization of the concept broadened the scope of the concept of polynomials and broke with the earlier tendency to confuse polynomials with functions. The conceptual history of polynomial rings not only reflects the algebraic focus and high level of abstraction in the development of modern algebra but also highlights the continuity inherent in the history of mathematics.

关键词

多项式环 / 代数学 / 数学概念史 / 数学史

Key words

polynomial ring / algebra / history of mathematical concept / history of mathematics

1 问题的提出

多项式是由未定元（或称变量）和系数组成的数学表达式，它仅涉及加、减、乘法以及非负整数次的乘方运算，并且只包含有限项。多项式方程，又名代数方程，求解代数方程即确定多项式的根是数学史上最古老的问题之一。在代数学的发展过程中，多项式不仅赋予其学科问题，还参与了内部的抽象化。十九世纪以来，群环域等代数结构的发现，彻底改变了古典代数的面貌，探寻这些基本代数概念的外延变得更加重要^［1］。多项式的全体是怎样的一个代数结构？在抽象的层面如何表达和理解多项式？这是当时近世代数的演进所面临的问题。

环上的多项式仍会构成一个环，这样的代数结构称为“多项式环”（polynomial ring/ ring of polynomials）^［2⁃3］。多项式环普遍存在于数论、交换代数和代数几何等诸多数学领域，并成为它们的基础部分。在环论中，许多类型的环，如唯一分解环、正则环等，都是通过推广多项式环的性质而引进的。十九世纪下半叶，多项式环逐渐从代数几何和不变量理论的角度得到广泛的研究^［4］。这是因为，交换环理论是代数几何和复解析几何学的重要基础，而域上的多项式环正是最基本的交换环之一。同时，与代数方程的求解相等价的几何构造问题成为该主题的又一来源^［5］。

多项式环的概念诞生于古典代数向近世代数的生长点，喻示着具体形式与抽象结构的碰撞和统一。那么，多项式环的概念是如何产生并发展的？它在认识论上有何影响？本文将追溯多项式环概念演变的历史过程，考察蕴藏其中的精妙数学思想。近现代数学的发展是超越的，其短暂的历史和年轻的样貌，让人们对它的认知隔绝而不全^［6⁃8］。在流变不居的历史中探寻数学概念的直观理解，为当代的数学教育和科学普及提供一种历史的知识感觉方式，这是数学概念史研究的目的及意义。

2 多项式环概念的建立：从诺特到范德瓦尔登

古典代数时期，有理系数或整数系数的多项式在数学世界随处可见。直到十九世纪，数的系统中蕴藏着普遍的代数结构——这一发现使人们意识到，之前所考虑的多项式其实是有理数域或整数环上（系数取自它们）的多项式。

1914年，弗兰克尔（A. Fraenkel，1891—1965）建立了抽象环的概念^［9］。环是带有加法和乘法两种运算的非空集合，它关于加法作成一个交换群，关于乘法作成一个半群，其中元素适合关联两种运算的分配律。代数结构源自数系的提炼和抽象，如所有整数的全体就满足环的条件，因而构成一个环。进一步，如果环中的非零元关于乘法也作成一个交换群，那么，此时的环就上升为域的概念了。

在多项式环的概念建立之前，关于这种数学对象的研究已经出现。1882年，德国数学家戴德金（R.Dedekind，1831—1916）和韦伯（H.Weber，1842—1913）将几何思想与多项式环联系起来^［10］，说明人们当时正在研究多项式环和数环。但要将这些主题结合起来，形成公理化的理论，还需要四十年的时间。

2.1 诺特和阿廷的初步工作

艾米·诺特（E.Noether，1882—1935）被誉为“抽象代数之母”，她是世界上最伟大的女数学家之一。大约在1921年，诺特迈出了关键的一步，她将关于多项式环的研究统一在交换环的抽象理论之下^［11］。然而，受当时种族和性别歧视的影响，直到1930年，范德瓦尔登（B.L.Van der Waerden，1903—1996）关于近世代数的重要著作出版，诺特的研究结果才广为人知。

1920年，诺特刻画了所谓的“一般多项式环”（polynombereich）的概念^［12］。通过引入有限个未定元（indeterminate），构造有限项之和的多项式，事实上，她考虑的是一个抽象域上的多元多项式环。在文中，诺特限定此多项式环中的乘法是非交换的，并规定它所满足的封闭性，即任意两个多项式的乘积仍为其中形式的多项式。诺特还指出这种多项式环中单位元的存在，以及其中没有零因子的性质。

1926年，在讨论理想理论的代数结构时，诺特再一次提出多项式环（ring aller polynome）的概念^［13］。按照她的解释，顾名思义，此即“关于一些不定元且系数取自一个域的所有多项式构成的环”^［13］。值得注意的是，诺特的工作中还蕴含着对多项式环概念的独特理解：“向环R添加一个未定元u，考虑所有系数属于R的关于u的多项式构成的环R*，其中两个多项式相等定义为它们的系数相等。”^［13］多项式环可以通过给系数所在的基本环添加其外的一个未定元，即基本环的扩张而得到，这为多项式环后来的概念抽象和界定指出新的路径。

有限除环是一个域，早在1905年的论文中^［14］，韦德伯恩（J.Wedderburn，1882—1948）就证明了这个定理。除环是指其中带有除法的环。1927年，德国数学家阿廷（E.Artin，1898—1962）在重建这一定理的证明时，考虑了系数取自一个除环的所有多项式构成的集合^［15］。他规定，未定元应当与此除环中的元素相乘可交换，并同初等数学中已知的那样，定义了多项式的加法和乘法。阿廷构造的多项式集合其实继承了系数所在环的性质，它也适合除环的全部条件，因而作成一个除环。由此，阿廷建立了这种多项式环所应具备的除法。在1929年的数学文本中随之出现了多项式环的德文术语“polynomringe”^［16］，今天常用的指称即本于此。

2.2 范德瓦尔登的系统抽象

范德瓦尔登是一位荷兰数学家，他最著名的作品是《近世代数》教科书，他还从事拓扑学与数学史的研究。1830年，在诺特和阿廷工作的基础上，范德瓦尔登建立了一般抽象环上的多项式环的系统概念。将其定义摘录如下：

设R是一个环。利用一个不属于R的新符号x，我们构造表达式f\left(x\right)=\sum a_v{x}^v，其中包含有限v项求和，v取不同的非负整数；系数a_v属于环R。这些表达式叫作多项式，符号x被称为未定元。假定所有x的幂与这个环的元素可交换，对x的同幂项进行合并。我们以此可以定义两个多项式的加法和乘法，并断言：这些多项式构成一个环。源自R的多项式环记作R[x]。多项式环R\left[x\right]包含原环R。从环R到R\left[x\right]的转换过程也被称为未定元x的添加（在此情况下是环的添加）过程。如果给环R依次添加未定元x_{\mathrm{1}},\dots ,x_n（也就是说，如果我们构造R\left[x_{\mathrm{1}}\right]\left[x_{\mathrm{2}}\right]\cdots \left[x_n\right]）,我们会得到一个多项式环R\left[x_{\mathrm{1}},\dots ,x_n\right]，我们把它叫作关于n个未定元x_{\mathrm{1}},\dots ,x_n的多项式环。^[17]43-45

以系数所在的基本环为基础，多项式环的结构和性质往往继承并取决于它的结构和性质。正如 范德瓦尔登所指出的^［17］44，如果基本环是交换环或整环，那么，其上的多项式环也相应地为交换环或整环。当考虑具体数环上的多项式环时，如上界定的多项式即是初等代数中遇到的多项式。相比之下，范德瓦尔登的多项式环概念更为一般，它所定义的多项式的系数不再局限于数，而是某个抽象环当中的元素。

同时，范德瓦尔登^［17］45还揭示出，可以将基本环的任意元素（假设它与基本环中的所有元素可交换）代入到相应多项式环的多项式中，即多项式中的未定元可以用基本环的任意元素代换。这种代换是可能的，因为如此并不会改变多项式环的运算所保持的一切关系。此时的未定元相当于变量，多项式正是熟知的关于这些变量的函数。

在诺特研究结论的基础上，范德瓦尔登进一步阐明：多项式环不仅仅是通过多项式这种形式组合所产生的代数结构，在抽象代数的高度，就像域扩张那样，它还可以看作由基本环添加未定元的扩张而得到的新环^［17］44。在这个意义下，范德瓦尔登将多项式环的概念推广到多元多项式环。值得注意的是，多项式不能做成域的结构^［18］，因为未定元的次数非负，多项式的乘法逆元并不存在。

鉴古启今，贯通起已知和未知、具体与抽象、形式和结构，打开人们观知数学世界的“全视之眼”，这即是多项式环概念在数学史中强大的意义。

3 多项式环概念的发展

随着环论的构建与发展，人们开始在环的视域下，对多项式环这种新颖而独特的代数结构进行重新审思。洞察多项式环的内部结构和抽象形式，成为这一历史阶段此概念发展的主题，这对于多项式环数学理论的构建影响颇深。

3.1 从未定元到超越元

1951年，美国代数学家雅各布森^{［19］92-93}（N.Jacobson，1910—1999）在《抽象代数讲义》一书中，进一步发展了多项式环的概念。雅各布森以环论方面的工作闻名于世，他撰写了很多经典的代数学著作，部分作品直到今天依然是通用的数学教材。雅各布森曾经听过韦德伯恩关于矩阵论的课程，这促使他最终在有限域上发展了有限维代数的经典结构理论。雅各布森还读过韦德伯恩的论文《不具备有限基的代数》，这篇论文后来引导他得到关于环结构的重要成果。他听过诺特关于类域论的讲座，并与她在朋友家中结识，诺特对他的论文给予了一些评论。这样密切而重要的学术联系，为雅各布森发展多项式环的概念奠定了良好的基础。

雅各布森将多项式环的概念限定在一个以之为子环的大环之内，考虑由此环的一个子环以及其中的一个附加元即未定元所生成的多项式环。为此，雅各布森假定此大环包含单位元，且它的子环也含有这一单位元；同时，未定元与该子环中的所有元素可交换。从结构上来看，这样的多项式环将是此大环的特殊子环，即包含已知子环及未定元的最小子环。后来，基于雅各布森的界定条件，数学家们直接在含幺交换环的结构中定义多项式环^{［3， 20⁃22］}。

环关于加法做成一个群，故其中必有加法零元，而且，此零元应当是唯一的。但如果讨论由多项式所构成环的零元，它的唯一性并不是自然的，需要人为规定。在多项式环中，理想的零元即零多项式，应该是系数均取基本环的零元多项式。因为，这样才能使零多项式或任意多项式的表示法唯一，同个多项式的次数恒定不变，以及两个多项式相等当且仅当它们的对应系数相等。如此，更符合初等代数中对多项式的直观理解。

通过多项式环零元的规定，可以引出未定元的不同划分。如果基本环上关于未定元的多项式为零多项式，当且仅当它的所有系数皆是基本环的零元，那么，这样的未定元就被称作“超越元”（transcendental element）^［19］93；反之，则为代数元。换言之，超越元是作为零多项式之根而存在的元素，而代数元则是非零多项式之根。与超越数、超越扩张类似，超越元诠释了一个未定元关于基本环的超越关系。

3.2 序列环：多项式环概念的抽象之抽象

为了确定多项式环的结构，重要的是要有可供利用的形如U \left[x\right]的环，这里的x为超越元。在添加一个超越元的多项式扩张中，多项式a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}u+a_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}+\dots +a_n{u}^n决定了一个唯一序列(a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},\cdots )，其中，对于足够大的i来说，a_i=\mathrm{0}。因此，我们自然采用以下步骤来构造U \left[x\right]。^[19]94

雅各布森提出，可以通过序列的形式来刻画多项式环的概念。这是因为，有一个基本环上的多项式，就会对应一个基本环的系数序列，而且，不同的多项式其实是由它们的系数所区分的。不过问题在于，在抽象过程中所舍弃的超越元x应怎样理解，又从何所出呢？

给定U是一个有单位元的环，考虑此环中元素的所有无穷序列\left(a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots \right)构成的集合B，其中仅有有限项a_i非零。雅各布森通过给这些序列定义加法和乘法^{［19］94-95}，从而证明，B作成一个环。再考虑由特殊的序列a^{\text{'}}=\left(a,\mathrm{0},\mathrm{0},\cdots \right)所构成的环U'，它显然是B的子环。又令x=(\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0},\cdots )，他根据序列的运算法则推出x^k=\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{0},\cdots \right)以及a^{\text{'}}{x}^k=\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0},a,\mathrm{0},\cdots \right)=x^k{a}^{\text{'}}，这里的非零元素均处于第（k+\mathrm{1}）项的位置。由此可见，x与环U'中的每个元a^{\text{'}}皆可交换，而且，序列\left(a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_n,\mathrm{0},\mathrm{0},\cdots \right)正好可以写成多项式的形式，即：a_{\mathrm{0}}^{\text{'}}+a_{\mathrm{1}}^{\text{'}}x+a_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{x}^{\mathrm{2}}+\dots +a_n^{\text{'}}{x}^n。

因此，雅各布森所定义的序列环B正是多项式环U{}^{\text{'}}[x]，同时，他所设定的序列形式的x恰好就是相对于环U'而言的超越元。其实，环U'与U是同构的，从而，可将二者视作一样。所以，在抽象层面，不妨用U来代替U'，并将a^{\text{'}}写作a。那么，此时，序列环B就是多项式环U \left[x\right]^［19］95。从环扩张的角度来看，环U \left[x\right]为环U关于超越元x的一个超越扩张^{［20］86-87}，又称多项式扩张^［23］。

给定一个环，其中未必含有已知环上的超越元。比如，环R\left[i\right]即不包含整数环R上的超越元，因为，它尚属代数扩张。只有在比之足够大的环中，才能找到已知环上的超越元。不过，雅各布森的构造性工作已经揭示出^［19］95，对任何有单位元的交换环，其上的超越元一定存在。因此，其上的多项式环也必然存在。他还发现，关于一个环上的不同超越元的任何两个多项式环都是同构的^［19］97。

多项式环理论与一般环理论最明显的区别是，它包含后者所不具备的消去和约简算法。这一特质使得在多项式环的概念抽象出来之前，以它为对象的数学研究已经兴起。例如，1890年，希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）在讨论不变量问题时，不是考虑不变量，取而代之的是考虑有限个变量的多项式环。通过这样一种概念化的新颖方法，他证明了任何形式、任何次数、任意数目的变量都有一个基，一举震惊了当时的数学界^［1］32。再如1915年，英国数学家麦考利（F.Macaulay，1862—1937）在处理多变量的多项式系统的方程求解问题时^［24］，考察了其解的结构性质，即研究了多项式环的理想。他发现了多项式环理想的准素分解，这类似于数论中整数的素幂因子分解。

4 结语

数学的抽象化，不仅将多项式的古老概念纳入代数结构的语境，还揭示出多项式环作为序列环、超越扩张环的形式意涵。从未定元到超越元、从多项式到序列，这是多项式环的概念发展所经历的演变路径。在当今的数学知识体系下，这些历史片段不复再现，值得引起学术界的重视。人们通过概念史的研究，可以打开曾经有过的文化记忆，进而获取关于数学的全面而连贯的认识。

未定元的界定实质上体现了结构语言之下的一种代数回归。对于未知的元素和关系，学者们倾向于区分它们是否为“代数的”，或是否可以再次纳入过去所熟悉的代数范畴予以讨论。另一方面，“万物皆数”，多项式在根本上可以看成系数序列的形式。如此基于抽象多项式环的再抽象，深刻地捕捉住了多项式环概念的数学本质。这两种现象显现出，代数学发展中代数倾向的学科魅力和高度抽象的理论精神，以及数学史的连续性。

在认识论上，多项式环概念的建立，完全颠覆了人们过去对于多项式的认知，多项式被拓展出了新的形式与内涵。在环的结构语言下，重新讨论和组织起多项式的定义，使多项式的概念变得更加抽象和一般。多项式环对于多项式概念的发展，在真正意义上，将函数与多项式区别开来，打破了以往彼此混为一谈的局面。

代数学的抽象化将人们对初等代数的理解提到了新的高度。从原初直观出发，识别出数学结构，进一步领略形式根本，扩展了知识的边界。多项式环概念的形成过程展现出今非昔比又贯穿古今的历史感，如同科学史上宇宙系统、中心学说的更迭，唯有在更广大的结构和更深刻的关系中，才能认清事物本身。

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基金资助

延安大学博士科研启动资金资助项目“本原方程的历史研究”(YDBK2022-64)