印度早期三角学简史及今后研究展望

Brief History of Early Trigonometry in India and Future Research Prospects

摘要

三角学最早发源于古希腊，是天文学研究的重要工具。之后随着希腊天文学和占星术，三角学传至印度，得到印度天文学家的大幅改进，如改全弦为半弦、发展弦表计算方法等，深刻影响了三角学的理论发展。通过印度，三角学第一次传入中国和伊斯兰世界，构成数学知识在文明间交流的一个代表案例。对这时期的历史做出梳理和初步的探究可以看出，对三角学历史的研究将具有数学内史研究的学术意义、数学教育的现实意义，以及作为文明交流互鉴的代表意义这三个方面的重要价值。为此，以印度原典文献为基础，从理解概念算法到厘清理论整体流变将是未来印度三角学史研究的目标。

Abstract

Trigonometry， which originated in ancient Greece， became a crucial tool in astronomical studies. As Greek astronomy and astrology spread， trigonometry was transmitted to India， where it was significantly developed by Indian astronomers. Key advancements included replacing the full chord with the half-chord and developing methods for calculating chord tables， which had a lasting influence on the theoretical development of trigonometry. From India， trigonometry was later introduced to China and the Islamic world， forming a representative case of the exchange of mathematical knowledge among civilizations. A review and preliminary exploration of this historical period suggest that the study of trigonometry’s history has academic value for the internal history of mathematics， practical relevance for mathematics education， and symbolic importance as an example of intercivilizational exchange. Therefore， future research on the history of trigonometry in India， based on Indian classical texts， should aim to deepen the understanding of its conceptual algorithms and clarify the overall development of its theoretical framework.

Graphical abstract

关键词

三角学 / 印度数理天文学 / 半弦 / 文明交流互鉴

Key words

trigonometry / Indian mathematical astronomy / half-chord / intercivilizational exchange

一般认为，三角学在公元前2世纪发源于古希腊天文学，它作为天文学的一个重要的研究工具，随着希腊天文学和占星术一并在3世纪左右传至印度，经过印度天文学家的大幅改进和进一步发展后，自8世纪开始又经由印度传入中国和伊斯兰世界^［1］4322。因此，整个三角学的历史就是数学知识在文明间的交流互鉴的一个代表案例，其中印度人对三角学的接受和改进深刻地影响了三角学的理论发展，本文将对这时期的历史做出梳理和初步的探究。

1 印度人对三角学的接受与发展

印度现存最早记载三角函数的文献是阿耶波多（Āryabhata）的《阿耶波多历算书》（Āryabhatīya，499年），随后彘日（Varāhamihira）编撰的《五大体系汇编》（Pañcasiddhāntikā，505年）中也涉及了三角函数。因此，印度人使用三角函数的历史可以追溯到公元3世纪至5世纪。在术语名称上，印度人也继承了希腊人在三角学中的名称，由于在希腊语中表示“弦”的单词和表示“生命”的单词拼写相同但重音位置不同，所以当弦传入印度后，在梵语里也使用了相对应的两个单词“jyā”（弓弦）和“jīva”（生命）来表示弦的概念^［2］164。

1.1 改全弦为半弦

相较于希腊人考察圆心角所对的“全弦”，印度人对于三角学理论第一项大的改进是发展出了“半弦”的概念（图1）。如图1所示，若有一弧度为2α的全弦AB，其长度为Rcrd2α（R为弦所在圆的半径），印度人取它的一半，称之为“半个弦”（ardha⁃jyā），即AH。它所对的弧度为α，其长度是Rsinα。数学上两者的关系是：AB=2AH，即Rcrd2α=2Rsinα。若取R=1，那么印度的半弦值就是如今所使用的正弦值。

这种改变的好处是，印度人的弦长变化将以一象限90°为变化周期，这样就可以在任意弧度（α）和半径（R）之间通过半弦建立起对应的消长关系，从而能够使用“三量法”（trairāśika，即四项比例算法）进行计算。相应地，印度半弦表的定义域是0~90°（而希腊是180°），对应弦的值域就是0~R。特别地，在有关天球的沿子午线平面投影（analemma）的问题上，半弦对应为天体相对地平线的垂线，半弦表在其中发挥了非常大的功用。另外，《五大体系汇编》中的半弦表取R=120，正好是托勒密《至大论》弦表所使用的R=60的两倍，因此根据上面的关系式，《至大论》中弦表的值直接就成为了《五大体系汇编》中的半弦表的值。

1.2 发展弦表的计算方法

印度的半弦表并未停留在希腊人的水平，在计算半弦表方面印度天文学家也有值得瞩目的新贡献。 阿耶波多在其《阿耶波多历算书》中给出了两种计算半弦值的方法：几何方法（从中可以导出半角公式和余角公式）和渐近比例方法，特别是后者采用了一种递归计算方法，由日本学者林隆夫^［3］175在结合了一份作成于16世纪的《阿耶波多历算书》的注释书后解读成功。在7世纪初的另一部《阿耶波多历算书》的注释作品中，注释者婆什迦罗一世（Bhāskara I）还给出过一个设计巧妙的近似公式来计算半弦值^［4］。此外，还有非常重要的一点是：《阿耶波多历算书》中的半弦表后来在我国唐代的《九执历》（718年）中也能找到，这是三角学知识第一次传入中国的实证。

阿耶波多之后，另一位诞生于6世纪末的著名印度天文学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）也在其著作《婆罗摩修正体系》（Brāhmasputasiddhānta，628年）第21章《天球章》的后半部分（17—23节），详细给出了三角学的一些基本公式，并演示如何以此计算半弦表。后来，婆罗摩笈多的天文学著作在8世纪 下半叶进献给了巴格达宫廷，并且被立即翻译为阿拉伯语^［5］448，构成《积尺》等伊斯兰天算文献的早期理论渊源。由此，三角学知识又通过印度第一次传入了伊斯兰地区。婆罗摩笈多学派的一位继承人，12世纪初的婆什迦罗二世（Bhāskara Ⅱ）在其巨著《天文体系之冠》中的《天球论》章节里也专门设有“弦的生成”（jyotpaptti）这一主题，继承并向前推进了婆罗摩笈多的三角学理论。

1.3 发展“正矢”等三角函数

印度天文学家对于三角学理论的第三个发展是增加了一个名为“正矢”（versed sine）的三角函数，它在数量上等于半径减去余弦。正弦（半弦）和正矢构成了印度人最常用的两种三角函数。直到12世纪初， 婆什迦罗二世才引入了现在“余弦”的概念。然而，关于印度人的正矢函数，国内外均未见有深入研究。通过本文的初步研究推断，正矢函数诞生的原因可能是在某些弧（如天体的时角）的定义域大于90°的情况下，需要建立起弧和直径的比例关系，而正矢函数正好符合这个要求。

1.4 发明二次内插法

随着印度人对于三角学的深入研究，婆罗摩笈多发明了二次内插公式用于精确地计算半弦值。他在著作中曾给出过两种半弦表，其中一个（《婆罗摩修正体系》第2章2-9节）取R=3 270的24项半弦表，另一个（《婆罗摩修正体系》第25章16-17节）以便捷计算为目的，取R= 150，每900′（15°）间隔的6项半弦表。同时针对后者，为了提高计算落在表间的那些弧度的弦值精度，婆罗摩笈多又叙述了他的等间距二次内插法，它等价于牛顿⁃斯特劳林内插法的二次形式，但比西方早了一千年。之后，在他晚年的著作《历法甘露》中，还给出了不等间距二次内插法^［6］，只是对于这个公式是如何推导出来的，学界还未见有可信服的复原过程。而据本文的初步研究发现，只要通过“三量法”、直角三角形三边关系（勾股定理）以及三角函数的加法定理，就可以方便地推导出这个等间距二次内插法。对于其中关键的加法定理，在婆罗摩笈多的数学认知范围内，也是完全有可能认识并使用的。

2 印度三角学史的研究现状和展望

2.1 已有文献及研究

前面介绍过的包含三角学知识的印度天算文献基本上都存在有校勘本，如《阿耶波多历算书》有Shukla^［7］校订的Āryabhatīya， with the Commentary of Bhāskara and Someśvara（1976），《婆罗摩修正体系》有Dvivedin^［8］校订并注释的Brāhmasputasiddhānta and Dhyānagrahopadeśādhyāya by Brahmagupta（1902），《弦的生成》有Heroor^［9］翻译并注释的Jyotpatti by Bhāskarācarya（2007）等，这些作为原始文献将构成本文深入开展印度三角学发展史研究的主要基础。

关于研究文献，在以往很长一段时间内对于印度三角学知识的介绍，主要见于西方和印度科学史家所撰写的印度数学、天文学通史类书籍，其内容也以简单呈现和罗列为主。Pingree^［10］在其论文中展现了他对印度天文学史的研究，并介绍了弦表和三角函数的应用方法。对于印度三角学真正意义上的专门研究，应为日本学者楠葉隆徳、林隆夫、矢野道雄合著的《インド数学研究》（1993）一书，其中有单独一章“印度的三角学”详细梳理了印度三角学的发展脉络和各时期的发展特点^［11］。他们的工作是 学者们研究印度三角学的重要材料，值得深入学习。除此之外，围绕阿耶波多的弦值计算方法问题， 林隆夫在其《インド数学》（1991）中作了深入细致的研究。围绕二次内插法的推导问题，Gupta^［12］也做过专门研究，然而其方法涉及半倍角公式，可能并不是婆罗摩笈多真正的方法。国内袁敏^［13］在博士论文中讨论了印度与希腊正弦表的异同，以及其随《九执历》传入中国这一事件。可见无论国内外，对 婆罗摩笈多二次内插法的古证复原问题及正矢函数的发明和使用等问题，都还有待更加深入细致的研究。

2.2 具体工作展望

首先，最基础的是文献方面的准备工作。更深入的研究需要基于印度梵语原典的翻译与解读开展。其中主要包括印度数理天文学早期的阿耶波多《阿耶波多历算书》相关章节中的内容、中期婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》、中晚期婆什迦罗二世《天文体系之冠》中《天球论》章中的“弦的生成”等部分，总共包含经文百余节。同时，对国外重要的印度三角学史研究成果进行译介，如翻译日本学者《インド数学研究》（1993）一书的第5章“印度的三角学”等。

其次，在建立起扎实的文献基础上，可以具体开展以下三点的研究工作。（1）以印度三角学理论的发展和流变情况为研究对象，涉及的具体问题包括：印度人改希腊的全弦为半弦的根本原因是什么？天文学计算中半弦优于全弦的具体问题有哪些？印度人和希腊人计算弦表的方法有哪些异同？印度人自古较擅长的比例算法“三量法”在这种改变中是否有较强的影响？等等。关于这些问题将在仔细研读《阿耶波多历算书》等早期印度天算文献基础上尝试做出回答。目前猜想其可能的原因之一是和 印度早期行星均轮模型的不对称性有关（其半径大小根据奇偶象限的不同而不同），这说明三角学理论变化的实质是印度人对希腊天文学理论改变的反映。（2）关注印度天文学家对三角学理论的进一步发展的细节，包括印度人为何发明正矢这个三角函数？正矢与正弦有什么不同，它又是怎么计算和使用的？以及婆罗摩笈多二次内插法的古证复原等问题。这方面的研究可以结合《历法甘露》等文献中出现的月食时计算月亮的方位偏斜等算法来具体探讨。（3）关注印度三角学知识传入中国和伊斯兰的问题，通过比较几个文明的代表性历算文献内容来尝试对此进行深入的探究。

最后，印度三角学史的研究目标是以原典文献为依托、以数理分析为展开、以还原历史实操为归宿，从细节和整体上厘清印度三角学的发展史和印度文明在整个三角学知识流变过程中所扮演的角色。尝试对三角学知识在印度的流变给出总图景，讲清楚从希腊的全弦，到印度的半弦，再到今天的正弦是怎样一步步诞生的，其间印度天文学家的具体成果以及其推导原理等。对印度三角学发展史进行从术语到思想、从算法到算理、从理论知识到应用问题的全方位立体式考察。

3 研究印度三角学发展史的意义

三角学最早诞生在希腊，从术语名称和弦表数值等多方面可以看出，印度早期的三角学知识来源于希腊这点是毋庸置疑的。然而，三角学传入印度之后，发生了很多关键的变化。这些内容从印度出发，传播到了伊斯兰国家以及中国，再后来又通过伊斯兰传入欧洲，并在此过程中继续发展、演变，最终成为当今的三角学理论。由此，对于三角学在印度的发展历史的研究包含以下三层意义。

（1）数学内史研究方面的学术意义。围绕从全弦到半弦的演变能够帮助研究者厘清三角学早期的发展脉络。通过正矢函数的研究，能帮助研究者更加理解三角学发展与天文学之间的深刻关系，可以说在三角学理论种种变化的背后，都有其天文学解决具体实际问题的实用目的。通过弦值计算和二次内插法的研究，能够帮助研究者对于从三角学衍生发展出的其他一些数学方法有更深入的认识，并且也揭示出数学知识的整体联系。

（2）数学教育方面的现实意义。正弦概念的解析、三角学在天文学中的应用、半弦表的计算等内容，也能够给三角函数的教育带来启发和帮助。比如弦表是如何建立的，如何从几何推导出半角公式，还有如何从简单的三角学公式推导出二次内插法公式等等。借助本研究过程涉及的历史文献和真实具体的问题语境，不仅可以促进学生们对三角学理论的理解与应用，并且还能帮助打通数学各内部学科之间、数学与天文学等各自然学科之间，甚至文理之间的壁垒。

（3）文明交流互鉴方面的代表意义。作为一个科技交流的典型案例，三角学知识虽然最早诞生在希腊，但随之在欧亚各文明间的传播过程中不断地接受到各文明的改进和发展，最终成为人类数学理论中的重要一支，很好地向人们传达了文明通过交流互鉴从而多姿多彩的这一重要认识。其中印度是最为关键的一个节点，印度最先吸收希腊的三角学知识，又对其进行了重大的改造，然后再传入中国和伊斯兰国家。三角学的历史中，印度无疑是不可忽略的一个重要章节。

参考文献

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[10] PINGREE D. History of mathematical astronomy in India［M］//GILLISPIE C. Dictionary of Scientific Biography， Supplement I：Vol. 15. New York： Scribners， 1978： 533-633.

[11] 楠葉隆徳，林隆夫，矢野道雄.インド数学研究［M］.东京：恒星社，1993.

[12] GUPTA R C. Second order interpolation in Indian mathematics up to the Fifteen Century ［J］. Indian Journal of History of Science， 1969 （4）： 87-98.

[13] 袁敏.古代中印数理天文学比较研究［D］.西安：西北大学，2001. （下转第392页）

基金资助

国家社会科学基金资助项目“古代中印天文历法体系比较研究”(22BSS040)