从天文学工具到独立学科：文艺复兴时期三角学的理论建构与范式转型

From Astronomical Tool to Independent Discipline： Theoretical Construction and Paradigm Transformation of Trigonometry during the Renaissance

摘要

文艺复兴时期三角学的发展遵循两条主要的历史路径，一方面是“三角形问题”研究开始脱离附属于天文学的地位，从形式独立、功能扩展与术语革命三个方面，完成了从天文计算工具向独立数学学科的理论构建。这一过程既包含正弦定理、球面三角法则等核心三角理论的体系化，也体现出三角形问题从“技艺”到“科学”的范式革命。另一方面，“三角形问题”的实用性也在文艺复兴时期不断凸显，其广阔的应用范围受到当时数学家约翰·迪伊的重点关注和讨论。研究文艺复兴时期三角学的发展，在探讨数学学科发展史、三角学的实用和理论价值以及数学知识的传承与融合方面具有重要意义。

Abstract

The development of trigonometry during the Renaissance period follows two main historical paths. On the one hand， the study of the “triangle problem” began to break away from its position of affiliation to astronomy， and completed the theoretical construction from an astronomical calculation tool to an independent mathematics discipline from the three aspects， including formal independence， functional expansion， and terminology revolution. This process not only involves the systematization of core triangle theories such as the Sine theorem and spherical triangle rule but also reflects the paradigm revolution of the triangle problem from “skill” to “science”. On the other hand， the practicality of the triangle problem also became increasingly prominent during the Renaissance， and its extensive application range attracted the attention and discussion of then-mathematician John Dee. Studying the development of trigonometry during the Renaissance is of great significance for discussing the history of mathematics， the practical and theoretical value of trigonometry， and the inheritance and integration of mathematical knowledge.

关键词

三角学 / 文艺复兴 / 雷格蒙塔努斯 / 约翰·迪伊 / 雷蒂库斯

Key words

trigonometry / Renaissance / Regiomontanus / John Dee / Rheticus

15世纪以前的三角形理论主要是天文学使用的数学工具，其功能在于弦表的制定和应用，如古希腊托勒密《至大论》（公元2世纪）、印度《阿耶波多历算书》（Āryabhatīya，公元5世纪）均包含专门的弦表部分。文艺复兴时期，对三角形问题的研究开始摆脱附属于天文学的地位，演进为数学领域的独立分支，形成文艺复兴时期三角学发展的主要特点。也是在这一时期，三角形问题的应用在各学科领域中逐渐显现，成为近代科学起源的关键部分。1570年英国数学家约翰·迪伊（John Dee，1527—1608）为 欧几里得《原本》撰写《数学序言》（Mathematical Preface）时，从不同的侧面阐述了三角形问题的实用价值。

1 形式、功用、术语——三角学从天文学独立的三个方面

1.1 形式独立：公理化体系的奠基与学科本体论重构

文艺复兴时期，三角形问题研究从天文学的工具发展为独立的数学分支。雷格蒙塔努斯 （Johannes Regiomontanus，1436—1476）、雷蒂库斯（George Joachim Rheticus，1514—1574）和比的斯克斯（Bartholomaeus Pitiscus，1561—1613）是关键的代表人物，他们的工作分别代表了三角学在形式、功用和术语方面的独立过程。

1457年11月，雷格蒙塔努斯被维也纳大学任命为教员，成为波伊巴赫（Georg von Peuerbach，1423—1461）的同事，并跟随波伊巴赫一起学习天文学。在贝萨里翁枢机主教（Cardinal Bessarion，1403—1472）的积极推动下，波伊巴赫开始用拉丁语缩译托勒密的天文学经典《至大论》^［1］。波伊巴赫离世后，雷格蒙塔努斯接手了这项工作，并跟随贝萨里翁前往罗马。波伊巴赫和雷格蒙塔努斯在整理文献的 过程中，逐渐意识到需要对三角形问题作更系统的论述，尤其是平面三角形和球面三角形的边角比。雷格蒙塔努斯在《至大论》缩译本的献辞中表达了撰写一部三角形问题相关论著的计划，即后来在三角学历史上占据不朽地位的著作《论各种三角形》（De Triangulis Onmimodis）^［2］。翻译和研究托勒密《至大论》为雷格蒙塔努斯撰写《论各种三角形》积累了知识储备，13世纪天文学家纳西尔·丁·图西（Nasīr al-Dīn al-Tūsī，1201—1274）曾著有一部《横截线原理书》（Kashf Al-qināʽ Fī Asrār Shakl Al-qitāʽ）^［3］，也是《论各种三角形》的重要参考文献^［4］。

1533年8月12日，雷格蒙塔努斯去世半个多世纪后，《论各种三角形》才首次出版。这部著作对后来三角形问题的研究影响巨大，也是首部将三角形问题作为独立于天文学的数学分支加以讨论的学术著作^［1］350，标志着文艺复兴时期三角形问题的著述从出版形式上开始脱离天文学著作而独立成册。

雷格蒙塔努斯通过定义、公理和195条定理为三角形问题构建了公理化体系，使三角形问题突破了天文学计算工具的传统范式，标志着三角形问题向着独立的数学分支迈进。

《论各种三角形》不但从出版形式上成为第一部专门讨论三角形问题的著作，而且在内容编排方面，通过定义、公理和195条定理为三角形问题构建了公理化体系，其中第二卷定理1提出了平面三角形的边与对角的正弦成比例（即正弦定理），定理23是首次在西方文明中用代数方法解决三角形问题^［1］；第三卷开始由平面三角形向球面三角形过渡，随后的两卷则专论球面三角形的各种定理^［4］。更为重要的是，在著作第一卷的开头，雷格蒙塔努斯用“量”和“比”这对经典的数学概念为三角形问题奠定理论基础。《论各种三角形》构建的公理化体系推动三角形问题从“天文学工具”向“数学实体”的本体论跃迁，为三角学的诞生做好了铺垫。

1.2 功用延展：方法论革命与认知范式转型

进入16世纪后，三角形问题的功用开始向天文学之外延展，这种转变一方面蕴含于雷蒂库斯定义三角形边角关系的路径，另一方面也集中体现于约翰·迪伊对数学实用性的论述。

青年时期的雷蒂库斯曾拜访过德国天文学家约翰内斯·舍纳（Johannes Schöner，1477-1547）^［5］，正是后者出版了雷格蒙塔努斯的遗著《论各种三角形》 ^［2］。雷蒂库斯留名青史的主要功绩是协助哥白尼出版了《天球运行论》，他关于三角形问题的研究也以《天球运行论》为基础。1542年初，《天球运行论》尚未正式出版，雷蒂库斯以哥白尼的名义将其中关于平面和球面三角形的内容率先出版，题为《论三角形的边和角》（De Lateribus et Angulis Triangulorum），并在其中对哥白尼的弦表做了精度优化^［5］396。

《天球运行论》出版后，雷蒂库斯继续于1551年出版了《三角形学说准则》（Canon Doctrinae Triangulorum）。这部著作在三角学史上的重要地位来自以下三条特征：首先它给出了第一份包含全部六种三角形边角关系（即三角函数）的表格；其次，雷蒂库斯通过将大于45°的角与其余角相对应的方式，使传统表格的长度缩短了一半；最值得关注的是第三条特征，雷蒂库斯借助“一条直角边固定的 直角三角形”来讨论三角形边与角的关系^［6］，而不是像《至大论》^［7］和《天球运行论》^［8］使用弦表，从弧与弦的关系入手。托勒密和哥白尼等天文学家制定弦表是为了应用于球面天文学计算，通过弧弦关系构造弦表无疑是最方便的。雷蒂库斯的三角形边角关系表，摈弃天文学传统的弧弦关系概念，反映了三角形问题从功用上开始向天文学之外延伸。

雷蒂库斯构造的三角形边角关系表是一场方法论范式的革命。库恩在《科学革命的结构》中强调，范式转换的核心在于科学家看待世界的根本方式发生改变^［9］。这一论断在雷蒂库斯的创新中体现得尤为明显。首先，托勒密弦表始终以圆弧与内接弦长为理论基础，其功能局限于解决天球的弧长问题。雷蒂库斯则通过固定直角边长度，使三角形边角关系的研究脱离天球与圆弧的语境，使三角形问题从具体天球弧段的度量工具升格为抽象数量关系的普遍法则。

雷蒂库斯的后半生致力于编造更为精确的三角形边角关系表，他未能在生前完成这项计算量庞大的工作。他的学生奥托（L. Valentine Otho，1545/46—1603）继承了雷蒂库斯的事业，于1596年在腓特烈四世（Frederick Ⅳ，1574—1610）的资助下出版了《宫廷三角形著作》（Opus Palatinum de Triangulis），以0°到90°的正弦表为基础，表内间距为10角秒。雷蒂库斯甚至针对1°和89°的情形计算了间距为1角秒的正弦表^［6］。这些工作构成了文艺复兴时期第三位三角学重要人物比的斯克斯的研究基础。

1.3 术语革新：学科溯源及新话语体系的诞生

比的斯克斯曾担任过腓特烈四世的宫廷牧师和宫廷布道者^［10］，这使他有机会能够接触雷蒂库斯遗留下来的手稿。1595年，比的斯克斯出版著作《三角测量法：或清晰简短的三角形研究解答》（Trigonometria： Sive de Solutions Triangidorum Tractatus Brevis et Perspicuus），用古希腊语“三角形”（τρίγωνον）加上“测量”（μετρíα）构造了名词“三角测量学”（trigonometria），试图建立新学科与古希腊学术传统的谱系联系，正式标志着文艺复兴以来三角形边角关系研究独立化过程的完成。新学科的创立必须通过语言符号的再创造，在知识场域中获得话语地位。自此以后，该名词就成为研究三角形问题的学科专名而被沿用至今，即“三角学”（trigonometry）。

比的斯克斯除重新修订雷蒂库斯的三角表之外，还在欧洲大陆首次提出利用代数方程求解sin 1°数值的方法^［11］。其著作很快被翻译成英文和法文，在16至17世纪的欧洲流传甚广^［10］，甚至被明末来华传教士邓玉函（Johannes Schreck）翻译成中国第一部汉语三角学译著《大测》^［12］。

2 圆周、测量及航海——文艺复兴时期三角学的实际应用

2.1 三角形问题的应用延伸

文艺复兴时期三角形问题的应用从天文学向外延伸，除体现在雷蒂库斯构造三角形边角关系表时对天文学弧弦关系的摈弃外，更集中体现在约翰·迪伊（John Dee，1527—1608）对三角形问题实用性价值的探讨。

1570年，英国数学家亨利·比林斯利（Henry Billingsley，1532—1606）完成了欧几里得《原本》的首个英译本。约翰·迪伊为这个英译本撰写了一篇长达50页的《数学序言》，体现了文艺复兴时期欧洲学术发展的全貌^［13］，同时被认为是比林斯利英译《原本》中“最引人注目的部分”^［14］。

迪伊《数学序言》在讨论角度计算时提到了构造弦弧关系的天文学传统，但特别指出涉及“度、分、秒”的圆周算术（circular arithmetic）并不仅仅被用于天文学^［15］。雷蒂库斯构造三角表试图以三角形边角关系取代天文学色彩浓厚的弧弦关系，迪伊则更进一步地指出，即便是考虑弧弦关系的三角形问题仍然可以超出天文学本身的应用范围。

迪伊论述三角形问题的主要目的是强调数学的实用性，他指出算数是一门证明数的性质和所有数运算的科学。当分数运算独立于整数运算之后，圆周计算是分数计算中的重要部分，其应用范围远比天文学更为广泛^［15］。比如在机械制造中，两个轮子可以同速转动，轮子的轨迹可以是直线，也可以是螺旋线、圆锥曲线的椭圆线和其他各种不规则的线路，这些数学原理可应用于许多机械工作。同时，迪伊还提到了齿轮的应用，在磨坊及钟表中的齿轮装置成为16世纪末期英国乡村的主要机械应用。而在螺旋动力方面，平面、圆柱、锥体、球形、锥形或球体上的所有螺旋线的设计，以及与它们有关的所有属性的数学技艺在设计建筑和各种器械时均可以大显身手^［15］182。这些都代表着三角学在实际生活中的重要实用价值。

文艺复兴时期，古希腊自然哲学被逐渐翻译成拉丁语。翻译之初，欧洲学者对欧几里得《原本》的价值了解有限。迪伊在《数学序言》中反复强调数学的实用性，号召更多的学者投身数学学习，呼吁国家在复合型人才培养中要以数学为基础，同时建议政府重视数学对于国家发展的重要作用^［15］。

迪伊将相当长的篇幅用来阐述测量学的关键性，这是当时三角学实际应用的主要方向。他将测量学按照测量对象细分为不同的分支，将地表测量、边界测量、草地测量归为一类，并用希腊语词汇“表面”（ŝμβαδóν）和“测量”（μετρíα）为这个分支构造出一个新名称，即“表面测量学”（Embadometry）。此外 迪伊还论述了测远、测高、测地及地理学、地势学、水文学、透视学、工具制造等学科及应用场景，其中都体现了三角学的重要功能^{［15］164-170}。甚至在军事领域，迪伊专门提到了军队排兵布阵时对三角阵法的使用^［15］166。迪伊将三角学作为这些学科的联结：

这里有从几何学衍生出的（或者互相关联的）有章法的合乎体统的名字，透视学，天文学，音乐，占星术，静力学，建筑学，航海学，人类志，圆轮力学……

为了让这篇序言芬芳甜美，愉悦您的心灵，我必须分别讲述它们的有益之处。您绝不敢再将几何视作只会造房子，奇妙的桥，威斯敏斯特大厅的屋顶或一些巧妙的装置，或只用在木匠和工匠他们那里的小机械。^[15]167

早在公元前1世纪，维特鲁威（Marcus Vitruvius Pollio，前80/70-前15）《建筑十书》（De Architectura， Libri Decem）已经开始讨论立方体加倍问题及在两条已知线的比例问题，这些问题都与 三角形相关，比如如何在空心平行六面体、金字塔或者锥体上已知的两线中计算中间比例；在长方体中，每个角由三条垂直的边或线组成，若给出三线比例，可知长方体的相似比例，等。迪伊认为这将是英国制造工业、航海制造业及建筑学原理不可或缺的理论基础。

那么，任何球体，混合体或任何不规则体都可以由第一个已知比例的已知立体形构成。因此，根据人体模型（如荷兰画家所称），一个巨人可以获得同样的对称性。人体模型可以做到的姿势，巨人也可以做到（反之亦然）。

那么，根据任何模型或船模，你可以造出任何比例大小的相似模型。

那么，根据任何火炮或小原型你都可以造出你想要的大小（所有点都符合相同的体系）。想想这会多么有用。^[15]180

15至16世纪，以丢勒（Albrecht Dürer，1471-1528）为代表的欧洲画家开始借助透视学进行创作。丢勒在其绘画理论著作《人体比例四书》（Vier Bücher von Menschlicher Proportion）和《画家手册》（Underweysung der Messung mit Zirckel und Richtscheyt in Linien， Ebnen und Gantzen Corporen）中专门论述了透视学。《画家手册》首先讨论线的定义，然后是螺旋线、圆锥曲线、多边形及多面体的截面计算，以实际测量的计算作为主要论述内容，着重阐述如何在角度及比例计算的理论基础上进行艺术创作^［16］。

迪伊将绘画定义为一门数学艺术，他强调在建筑领域，如果定线、布局、所有的线条和角度都相似，不同材料的建筑也可以拥有相同的建筑轮廓^{［15］187-190}。建筑的审美价值取决于发现建筑外观的线条和角能够相互协调的最好方式。此外，比的斯克斯同样关注三角学在建筑领域的重要应用，他特别在《三角测量法》第三次出版时，增加了关于三角学与建筑的一卷^［10］。

迪伊指出，在英国人最为看重的航海事业中，船员通过观察某些恒星与行星的角度关系，以及它们升起和落下的位置，可以对所处的海面状况作出重要的判断。在迪伊看来，三角学“对一个国家的裨益简直毋庸赘述”^{［15］190-191}。

2.2 三角学进入现代科学

除了以“三角形”或“三角学”为名的专门论著之外，三角形问题在文艺复兴时期继续构成天文学或数学著作的重要组成部分。哥白尼《天球运行论》第一卷最后三章（哥白尼最初将其编为第二卷的前三章）是针对弦与弧的关系、平面三角形以及球面三角形的专门论述，包括一张半径为100 000、表内间隔为10角分的正弦表^［8］47-81，雷蒂库斯《论三角形的边和角》即以此部分内容为基础。另外，符号代数学的开创者韦达（François Viète，1540—1603）在其《数学准则》（Canon Mathematicus）中，也给出了一份包括六种三角函数的表内间隔为1角分的三角函数表，明显是受到了雷蒂库斯的影响^［6］；此后他又对倍角三角形展开了研究^［17］，并且开创性地使用代数符号来表达三角关系，为三角学的代数分析开辟了道路^［18］。

17世纪后期，随着微积分的诞生，三角学也迈入高等数学阶段。法国数学家罗贝瓦尔（Gille Persone de Roberval，1602—1675）在研究旋轮线面积问题时引入旋轮线的“伴线”（compagne）。罗贝瓦尔没有意识到这条“伴线”实际上正是余弦函数的曲线，并且他还第一次画出了正弦曲线^{［14］381-383}。随后，无穷级数为三角学注入了新的理论内涵。无穷级数的发展，很大一部分原因是为了响应包括三角函数在内的函数表的编制需求。一百年前，雷蒂库斯、比的斯克斯等数学家为追求高精度的三角表皓首穷经 地计算。找到一个快速收敛的级数展开形式，能大幅缩减编制高精度三角函数表的计算工作量，使新兴的三角学在规模日增的航海和测量需求中大显身手。

1669年，牛顿（Issac Newton，1642—1727）在《有无限多项方程的分析学》（De Analysi Peraequationes Numero Terminorum Infinitas）给出了正弦和余弦函数的级数展开形式^［19］。大约与此同时，莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）和苏格兰数学家詹姆斯·格里高利（James Gregory，1638—1675）也得到了部分三角函数的级数展开形式^［20］。

进入18世纪，欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）和克莱罗（Alexis Claude Clairaut，1713—1765）将三角函数用作其他函数级数展开的表达形式，使三角学获得了前所未有的理论价值。1747年，欧拉在将函数的插值问题应用于行星扰动理论时，得出了函数的三角级数表示：

y=\mathrm{1}+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\left\{a_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}k\mathrm{\pi }x+A_k\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{2}k\mathrm{\pi }x-\mathrm{1}\right)\right\}。

1757年，克莱罗更进一步地将任意函数表示为

f\left(x\right)=A_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{\sum }_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx，

其中，

A_n=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx\mathrm{d}x。

这些工作成为后来傅里叶发展傅里叶级数和傅里叶变换的基础^{［20］182-186}。

此外，欧拉与伯努利父子（Johannes Bernoulli，1667—1748；Daniel Bernoulli，1700—1782）在求解运动微分方程的过程中广泛引入三角函数^{［14］432-435}。欧拉还将棣莫弗（Abraham de Moivre，1667—1754）1722年提出的棣莫弗定理

{\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi +\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \right)}^n=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\phi +\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\phi，

推广到n为实数的情况，并在此基础上提出著名的欧拉公式：

{\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\pm \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x。

经过欧拉、伯努利家族、克莱罗和傅里叶的不断探索，三角学极大地突破了求解三角形与圆弧的传统应用范围，脱离了几何学的初始语境，最终成为现代科学中不可或缺的数学分析工具。

3 结论

文艺复兴至近代早期是孕育近现代科学的关键时期。研究文艺复兴至近代早期欧洲的三角学发展历史具有以下意义：

（1）就数学学科发展史而言，文艺复兴至近代早期三角学发展的主要特征是三角学脱离天文学和几何学的应用，成为一门独立的数学学科，并最终成为数学分析的重要工具。这一过程是近现代数学学科体系形成的重要表现，象征着三角学从一种实用数学方法成长为具有独立理论价值的专门科学。研究这一过程有助于了解近现代数学学科的发展脉络，揭示三角学从天文学和几何学中分化独立背后的社会背景和思想动因。

（2）就三角学的实用性和理论价值而言，文艺复兴时期以雷格蒙塔努斯、雷蒂库斯和比的斯克斯为代表的数学家，在构造三角函数表方面不断精益求精，既是为了满足三角学在天文计算、航海测量等方面的实际应用，也发展出平面正弦定理、球面正弦定理和球面余弦定理等三角学基本定理。 约翰·迪伊更是从数学实用性的各个方面系统阐述了三角学广泛的实用价值。17世纪微积分诞生后，三角学突破传统应用范围成为数学分析的重要手段，获得全新的理论价值。文艺复兴至近代早期，欧洲数学家在开发三角学实用价值的同时追求其理论价值，反映出实用数学与理论数学相辅相成的发展图景。

（3）就数学知识的传承与融合而言，文艺复兴时期的三角学虽然直接继承古希腊知识传统，但许多思想和方法还具有印度和阿拉伯数学的色彩。这一时期形成的三角学学科体系后来也随着传教士传播到东亚，对东亚科学的现代化产生明显的影响。研究文艺复兴时期欧洲的三角学有助于更深入地呈现西学东渐的知识传递过程。

文艺复兴时期三角学的发展史，本质上是一部知识形态的演化史：从托勒密弦表的实用计算工具，到雷格蒙塔努斯建构的公理化体系，再到牛顿时代的级数展开和18世纪的数学分析，三角学完成了从“技艺”到“科学”的转变。这种转变既得益于欧洲学者对古希腊几何学的重新诠释，也离不开东方数学的数值计算传统，更与航海时代的技术需求相呼应。三角学的独立过程还揭示了近代科学革命的深层机制：当三角形问题从天文学著作中独立时，三角学实际上不再是专门求解天体运动问题的工具，而是获得了数学知识的本体论地位，成为独立的数学学科分支。这种认知转变使三角学突破具体的应用场景，发展为具有自主体系的数学理论，最终成为描述自然规律的通用语言。

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基金资助

国家社会科学基金青年资助项目“晚清西学传人与上海地区藏刻书活动的互动关系研究”(20CZS083)

内蒙古自治区高等学校创新团队发展计划支持资助项目“中国数学典籍数字化”(NMGIRT2407)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“中国数学典籍数字化研究团队”(2022JBTD016)