邹伯奇《乘方捷术》对年月日利率关系的新认识

Zou Boqi's New Understanding of Relationship Between Daily， Monthly， and Yearly Interest Rates in Chengfang Jieshu

摘要

借贷行为是人类经济社会发展到一定阶段出现的一种经济现象，在中国社会较早流行。利息发生于借贷，是借贷关系的核心，数学简牍典籍中文字记载最早的借贷取息问题源自岳麓书院藏秦简《数》。因历代律典对复利一般令行禁止，记载借贷复利算法的存世文献典籍有限。晚清邹伯奇《乘方捷术》首次发现并揭示，在复利情形下，年利率均分为月利率或日利率时，会导致利息的不等值，至今仍有现实意义。

Abstract

Borrowing behavior is an economic phenomenon that inevitably occurs after a certain stage of human socioeconomic development， and has been popular in China's society for a long time. Interest is produced from borrowing， and is the core of the borrowing relationship. The earliest recorded problem of borrowing and withdrawing interest in mathematical documents and classics comes from the Qin Dynasty bamboo slips Shu housed in Yuelu Academy. Due to the general prohibition of compound interest in legal codes throughout history， there are limited surviving literature and classics that record the algorithm for compound interest in borrowing. In the late Qing Dynasty， Zou Boqi first discovered and revealed in his book Chengfang Jieshu that in the case of compound interest， when the annual interest rate is evenly divided into the monthly or daily interest rates， it will lead to non-equivalent interest rates， which still has practical significance till today.

关键词

邹伯奇 / 《乘方捷术》 / 借贷算法 / 复利

Key words

Zou Boqi / Chengfang Jieshu / borrowing algorithm / compound interest

古往今来，在借贷计算中，通常将年利率均分为月利率（如年利率的1/12）、月利率又均分为日利率（如月利率的1/30或者年利率的1/360），这种算法在复利计算时会出现利息不等值现象。综观现存文献，我国最早发现并揭示这一不等值关系的是晚清学者邹伯奇，他在《乘方捷术》举例说明年利率化为月利率或日利率时利息的不等值性。

1 年利率、月利率与日利率互换影响利息溯源

借贷行为是人类经济社会发展到一定阶段后出现的一种经济现象，在中国社会较早流行。“中国何时出现借贷行为，史无明文。以私有制的产生为条件，则借贷行为应该产生于神农氏以前。”^［1］8-9

利息发生于借贷，据史考之，其时当在周代之前。按《路史·后纪》云，神农之时（公元前2700年之际），“亡种者贷之新”，当时已有贷种之事。利贷自周初已然发生。“周季贷利，其计算之法，皆以周岁为期。更长或更短之钱债，其计息之法，是否按年推算，或于常年假贷，是否有复利率之计算法，皆不可知也。”^［2］

利息是借贷关系的核心，历代律典对“利上起利”（即复利）一般予以禁止。中国古代有利息总计不得超过本金的法令，该法令最早产生于何时，缺乏明确的记载。但因律典一般令行禁止，记载复利计算的存世文献典籍有限。“其利息之计算，普通皆为单利率，然亦有复利率计者，惟受法律所限，故不多见也。”^［1］127

1.1 月利率转为日利率的单利模型

迄今可知的出土数学简牍和数学典籍中，文字记载涉及年月日利率互换关系的借贷算法问题，最早出现在岳麓书院藏秦简《数》“贷人百钱”算题，与之相近的张家山汉简《算数书》“息钱”算题，之后《九章算术》衰分章“贷人千钱”题，其结构和内容相似，均为借贷单利计算。

岳麓书院藏秦简《数》“贷人百钱”题（ 表示简牍残断，□表示无法补出的残缺字）：

貣（贷）人百钱，息八/

/钱，今貣（贷）人十七钱，七日而归之，问取息几可（何）？曰：得息三百七十五。

分钱百一十九。其方：卅日乘

/□以为法，亦以十七钱乘七日为实=，(实)如法而一。^[3]

张家山汉简《算数书》“息钱”题：

息钱 贷钱百，息月三。今贷六十钱，月未盈十六日归，请息几何。得曰：廿五分钱廿四。术(術)曰：计百钱一月，积钱数以为法，直(置)贷钱以一月百钱息乘之，有(又)以日数乘之为实，实如法得息一钱。^[4]

《九章算术》衰分章“贷人千钱”题：

今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何?

答曰：六钱、四分钱之三。

术曰：以月三十日乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。^[5]

这三个问题的情境、算法一致，已知利率、本金、时间，求利息，都是按月计息，不足一月按日计算，每月30日计，为含有两个乘积项的复比例问题。但因是单利计算，不影响利息数。

以“贷人千钱”题为例，刘徽以30日乘1 000钱得30 000，折算成借钱30 000（所有率），一日利息为30钱（所求率），而9日借750钱，折算为1日借钱9\times750钱（所有数），归结为今有术，得息数（所求数）=（所有数\times所求率）÷所有率=［（9\times750）\times30］÷30 000=\mathrm{6}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}，即复比例计算“30∶得息数 = 30\times1 000∶9\times750”求得。刘徽还提出另一种求法，以月息30钱÷30日=1钱/日为所求率，今所贷钱750\times9为所有数，1 000钱为所有率，殊途同归^［6］。算法上，无论是将月数转换成日数，还是将月息化为日息，其实质都是月利率转为日利率，形成借贷算法的月利率转为日利率单利模型。

《九章算术》之后，宋《数书九章》的“推求典本”题承继了秦简《数》等建立的这类借贷问题及其算法：

问典库今年二月二十九日，有人取解一号主家，听得当事共计算本息一百六十贯八百三十二文。称系前岁头腊月半解去，月息利二分二厘。欲知元本几何？

答曰：本，一百二十贯文。

术曰：以粟米求之。置积日，乘息分数，增三百，为法。以三百乘共钱，为实。实如法而一，得本。^[7]

已知月利率、本利和、时间，求本金，由“术”知，积日464天（45+360+59）乘息二分二厘得一百二文八厘（464\times0.22=102.08），增三百即得402.08文，三百乘共钱300\times160 832=48 249 600文，48 249 600÷402.08=120 000，即一百二十贯文。易见，其中运算采用月利率转为日利率模型。

1.2 日利率化为月利率或年利率的单利模型

元朱世杰《算学启蒙》《丁巨算法》等基于历史上的借贷算法单利模型，进一步明确了不足一月将日数转换成月数的利息算法。

《算学启蒙》“库务解税门”第二、四、五问就开宗明义地阐释“以三十日除之”的日数转成月数的方法：

[第二问]今有人典钱二百三十六贯，每贯月利二十五文，今七个月九日。问：利钱几何？

答曰：四十三贯七十文。

术曰：列九日，以三十日除之，得三分，加入七个月，共得七个月三分。以二十五文乘之，得数，以乘本钱二百三十六贯。合问。

[第四问]今有人借钱，共还本利九百九十六贯六百五十六文，只云每贯月利三十五文，今九个月一十八日。问：元借钱几何？

答曰：七百四十六贯。

术曰：置共还钱为实，列九个月六分，六分者乃三十日除一十八日，以三十五文乘之，得数，加本钱一贯，共得一贯三百三十六文为法。实如法而一，得元借钱数。合问。

[第五问]今有人借银九十两，月利二两，只云今共还四千三百五十六两，经三个月一十二日。问：本利几何？

答曰：本银四千五十两，利银三百六两。

术曰：置共还银，以九十两乘之，得三十九万二千四十为实。列三个月四分，以二两因之，得数，加入九十两，共得九十六两八钱为法。实如法而一，得本银。反减共还银数，余即利银也。合问。^[8]

元《丁巨算法》仅见一例日数转成月数的借贷计息问题：

今有人典钞，不记本钱，每月息三分。今二十四个月二十一日，通该本息钞五十四锭三十三两三钱七分，问：本息各几何？

答曰：本钞三十一锭二十两，息钞二十三锭一十三两三钱七分。

以本息共钞为实。以二十四个月二十一日，三除日数，为月下之分。以月息三分乘之，得七钱四分一厘，即每两之息也。加入本钞一两，得一两七钱四分一厘，为法。除实，先将本钞。反减，得息钞。^[9]167

“库务解税门”第二问是经典的“利息=本金×利率×时间”借贷算法单利模型，将日数转成月数9÷30=0.3，则利钱=（7+0.3）×25×236=43 070文，即四十三贯七十文。第四、五问及《丁巨算法》典钞题均为已知本利和、月利率、时间，求本金（利息=本利和-本金），先将日数转成月数，注意月利率的表示方式，再由“本金=本利和÷（1+利率×时间）”或其等价形式求得本金。

明吴敬《九章算法比类大全》卷三在转录《九章算术》“贷人千钱”题以及《算学启蒙》第四、五问的基础上，新增三道借贷计息问题，但本质和《算学启蒙》如出一辙：

[问题三]今有人上年三月十五日借钞九十贯，月利四分。于今年二月十二日共还本利钞一百一十五贯。问：净欠钞几何？

答曰：一十四贯二百四十文。

法曰：先下今年二月十二日加上年十二月，减原借三月十五日，余十个月二十七日。乘原借该月利三贯六百文，得三十九贯二百四十文。加原借钞，共一百二十九贯二百四十文。减今还钞，余为净欠钞。合问。

[问题四]今有人上年四月二十日典钞五十六贯，月利二分。今年二月十四日取赎，问：典月日并利钞各几何？

答曰：计九个月零二十四日，利钞一十贯九百七十六文。

法曰：先置取赎二月十四日，加上年十二月，共十四个月十四日。减原典四月二十日，即得典借九个月零二十四日。零日以三除之，得八分，为实。以原典钞以月利二分乘之，得一两一钱二分，为法。乘实，得利钞。合问。

[问题五]今有人午年六月十五日借钞一百六十贯，月息三分。今已还利钞七十三贯四百四十文。问：该展至何年月日？

答曰：入利十五个月零九日，至未年九月二十四日。

法曰：置借钞，以月利三分乘之，得四贯八百文，为法。已还利钞七十三贯四百四十文，为实。以法除之，得十五个月零三分。以三乘之，得九日。加原典月日。合问。^[10]

问题三、问题四本质上由本金、月利率、时间、本利和求利息，问题五是知本金、月利率、利息求时间，仍是“利息=本金×利率×时间”单利模型，关键是日数与月数间的互化。如问题三，“十个月二十七日”=（10+\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{30}}）月=10.9月，本利和=\mathrm{90}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{100}}\times \mathrm{10.9}\right)=129.24贯，问题五则将不足月的“三分”（0.3月）化为9日。

明程大位《算法统宗》卷二“异乘同除”设置四个有关“先归日，后除月”的年月日换算借贷计算问题，依然隶属单利模型，前三题给出年利率，需将日月数转成年数。如问题一：

假如今有人借去银二百六十两，每年加三起息。今有十个月二十四日，问：该利银若干？答曰：七十两零二钱。

法曰：先将二十四日用三归，得八数。在十月隔空一位之下，再以十二月除之，得九数，如年。以乘原本，得二百三十四两，为实。以每年加三为法，因之。合问。

解曰：凡算年月日期，即似与两求斤法减六同理，每斤一十六两，减六，只作一数。每年十二月，每月三十日，故先用三归，如月；并月，后用十二除月，如年。以乘各人原本，合得。^[9]193

与其他三题不同的是，除“答曰”“法曰”外，本题还加“解曰”，进一步说明换算理由及规则。由“利息=本金×利率×时间”模型，“十个月二十四日”=10.8月=（10.8÷12）年=0.9年，从而利银=260×0.3×0.9=70.2两。

明末李之藻、利玛窦编译的《同文算指》，是中国第一部系统介绍欧洲笔算的著作，《通编》卷四、五借助“补若干条”“补例若干条”“俱补”“又补盈朒十条”“叠数盈朒八条”等方式，加入中国传统数学中的借贷算法，这是德国克拉维斯底本《实用算术概论》所没有的内容，西方借贷算法此时尚未传入中国。当然，这些传统借贷算法问题都没有超越《九章算术》的范围，分布在相关的数学著述中，且数量有限，更无借贷算法数学专著行市。

进入清代，算书大多因袭秦简《数》、汉简《算数书》《九章算术》确立的借贷算法单利模型，设置本金、利率、利息、本利和时间互求借贷计算问题，单利不因年月日互换使利息发生变化，直至晚清邹伯奇《乘方捷术》提出，复利情形下，年、月、日互换产生的年利率、月利率与日利率关系，导致利息不等值，这是我国历史上的第一次。

2 《乘方捷术》及其对数开方计息

《乘方捷术》是邹伯奇（1819—1869）的代表性数学著述，是他步入当时国内算学一流学者行列的鼎力之作。《清史稿》畴人传“邹伯奇传”记载：“又因修改对数表之根求析小术，是开极多乘方法，可径求自然对数，即讷对数，以十进对数根乘之，即得十进对数，著《乘方捷术》三卷。”梁启超《中国近三百年学术史》亦说：“邹特夫之发明《乘方捷术》。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，迳开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。”计算的快捷性是其突出特点。

邹伯奇舅父招培中在《乘方捷术》序中称：“近者徐庄愍公《造各表简法》及李君壬叔《则古昔斋算学》，俱有求对数较法，而操算各殊，惟夏君紫笙《万象一原》，有求真数之讷氏对数四术，其布算与特夫略同，但倍借对数以起数为异，特夫谓此是求对数较法。凡本真数与借真数比例等者，其对数较必同，故不得从借对数起数也。此四条次置第一数倍之一句，当改作次置对数根倍之，则通矣，此夏君偶失检而特夫之精审可见。至对数开方计息诸草，所以著其术之切于日用。末附十亿对数表及纯杂表，则手此一编，即可取数以省他检也。”对于乘方与开方算法，董祐诚、戴煦、徐有壬、李善兰、夏紫笙等诸多学者都曾深究过，但邹伯奇认为他们的研究成果都存在不足，因而作《乘方捷术》以补正之。

时值尚无电子计算器/机的晚清，计算乘方和开方一般仍依赖数学用表，常见的如平方表、立方表、平方根表、立方根表、常用对数表、反对数表等。因此，如何从数学上找到便捷的新方法以精确地造出各种数学用表，就成为晚清数学家孜孜不倦的学术追求。

《乘方捷术》未提著作年月，李俨以卷二对数发明史叙述提及佛拉哥出自伟烈亚力《数学启蒙》为据，推知《乘方捷术》成于咸丰癸丑（1853年）以后^［11］。《乘方捷术》版本有《邹微君遗书》本（1874年）、《中西算学丛书初编》本（1896年）与《古今算学丛书》本（1898年），2021年《理工丛书汇编》收录了《乘方捷术》的《中西算学丛书初编》本，这是《乘方捷术》当代价值之体现。

《乘方捷术》是《邹征君遗书》中的一种，共三卷，无目录，包括：《乘方捷术》序、卷一“乘方捷法通例”、卷二“有大小两真数求对数较法”、卷三“对数开方计息”（《算草拾遗》附）及“孔继藩、汤金铭/汤金铸、弟仲庸、族孙镜澜同校”署名^［12］。概要地说，卷一阐释通例四术，从二项式展开式入手，求开方式的幂级数展开式，并将幂级数中的幂指数推广至有理数，与戴煦《对数简法》提及的倍大率和折小率八术有相通之处，其成果虽晚于戴煦，却更为深刻，戴煦分别但未结合地讨论倍大率和折小率，通例四术将这一遗漏补充完整；卷二论述对数开方法，利用对数及对数性质将开方运算中的乘除运算转化为加减运算，从而达到提高计算速度之目的，更正了夏鸾翔“倍借对数”之疏漏；卷三应用对数开方法解决借贷计息问题，即“所以著其术之切于日用”，与传统带从开方法相比，更简便快捷。

李俨《中国算学小史》（1930年）论及邹伯奇在“方程式”与“对数”上的数学成就，《中算史论丛》第一集、第三集分别列出《乘方捷术》卷一、卷二的主要结论，指出：“清邹伯奇（1819—1869）曾于同治壬戌（1862年）影写项名达遗著全部，而夏鸾翔（1823—1864）父执则为戴煦，故邹、夏二氏实传项戴之学。邹伯奇著《乘方捷术》三卷，其书隐括董方立（祐诚，1791—1823）《割圆连比例》、戴鄂士（煦）《开方捷法》之说，立开方四术。”钱宝琮^［13］认为，“他（邹伯奇）在戴煦《续对数简法》的基础上，对二项式的n次根与对数的幂级数展开式有着进一步的探讨，从而扩大了它们的应用，撰写《乘方捷术》三卷。”对于卷三，学界鲜有关注，但它建立的借贷计息模型与方法至今仍具参考价值。

《乘方捷术》卷三的对数开方计息，是卷二对数开方法在借贷计算问题中的具体运用，共设四类19个借贷计息问题，求利率3题、求时间6题、求本金4题、求本利和6题，卷末附有对数尺度表、十亿对数表和纯杂表（1-1 000的对数表），是解决这19个问题不可或缺的工具，历史性地完整讨论了如今仍使用的四类借贷计息基本模型与方法^［14］。

3 年利率均分为月利率、日利率使利息不等值例证

《乘方捷术》卷三“对数开方计息”开篇指出：

设有银一千两，每年得息银一百两¹

1 白银是清代货币，以两为基本单位，其换算单位有两、钱、分、厘、毫、丝、忽、微、尘、渺（10进制），即1两=10钱、1钱=10分、1分=10厘、1厘=10毫、1毫=10丝、1丝=10忽、1忽=10微、1微=10尘、1尘=10渺。

。此年无闰月。问每月、每日息。答曰：十二个月算，该每月息银七两九钱七分四厘；月三十日算，该每日息银二钱六分四厘七毫。

法曰：一年本息共一一，开十一乘方，得每月本息共一〇〇七九七四²

2 方框表示小数点位置， 一一即1.1（千两），一〇〇七九七四表示1.007 974（千两）亦即一千零七两九钱七分四厘，“开十一乘方”是指“开12次方”。

。

若置一一为实，开三百五十九乘方，得每日本息共一 〇〇〇二六四七。

用对数检表，一一假数³

3 假数就是现今的对数。

〇〇四一三九二七，十二除之，得假数〇〇〇三四四九四，检真数，得一〇〇七九七四。

若用三百六十除之，得假数〇〇〇〇一一四九八⁴

4 原文为 〇〇〇〇〇一一四九八，笔误，据题数据予以修正。

，检真数，得每日本息一〇〇〇二六四七。

如有闰年，则置一年本息一一假数，十三除之，得假数〇〇〇三一八四〇六，检真数，得每月本息共一千〇〇七两三钱五分九厘⁵

5 一千〇〇七两三钱五分九厘就是一千零七两三钱五分九厘，即1.007 359（千两）。

。六一三五，检真数，得每日本息共银一千两〇〇〇二钱四分四厘四毫三丝。

问曰：何不以年息均分为月息、日息耶？

答曰：每年息银百两，是年底开支。若每月、每日支息，须将此银照例生息，至年底适足百两，方为合公平之理。今试以年息均十三个月，每月息银七两六钱九分二厘三毫，每月递加生息，至十三个月，得本息共银一千一百零四两七钱五分一厘，是溢多息银四两余也。又以年息均三百九十日，每日该息银二钱五分六厘四毫一丝，每日递加生息，至三百九十日，得本息共银一千一百零五两一钱四分二厘七毫，又比年息溢多五两余矣。

算法：以一日本息共一〇〇〇二五六四一，检对数表，得假数〇〇〇〇一一一三三一⁶

6 一〇〇〇二五六四一即1.000 256 41（千两），从此处起原文不再使用方框表示小数点位置，〇〇〇〇一一一三三一就是0.000 111 331（千两），下不赘述。

，三百九十乘之，得假数〇〇四三四一九〇九，检真数，得一一〇五一四二七，即年底本息共银也。

这是一道经典的借贷算法问题，由两小问构成：一是已知本金银1 000两、一年所得利息100两，求月息与日息；二是为何不能将年息均分为月息、日息。问题结构包括题设、“问”、“答”、“算法”或“法”，用文字及中文数字呈现算法的大致过程，言简意赅地给出所用到的对数表数值及最终答案。

3.1 借贷算法复利模型的建构

已知本金和年息，求月息、日息及其与年息的关系，实质是由本金、年息求利率的问题，邹伯奇分平年与闰年进行讨论。在平年，年息均分为月息、日息时，采用直接开方法（仅此一次）和对数法，并借助开方表与对数表计算，这也是现代通行的计算方法，只是使用计算器或计算机变得更为简单易行。

用现代数学语言叙述，设P为本金、r为利率、n为期限、i为利息、A为本利和，则问题即是：已知本金P=\mathrm{1}\mathrm{000}两银，一年所得利息i=\mathrm{100}两银，此年无闰月，求月息i_{\mathrm{1}}与日息i_{\mathrm{2}}。

设月利率、日利率分别为r_{\mathrm{1}}、r_{\mathrm{2}}，由题意有A=P{\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{12}}，即\mathrm{1.1}={\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{12}}，据卷二方法开12次方，得\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}=1.007 974，从而i_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.007}\mathrm{974}=\mathrm{7.974}（两），月利率为7.974‰。

由A=P{\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{360}}=\mathrm{1.1}，据卷二方法开360次方，得\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.000}\mathrm{264}\mathrm{7}7

7 开1.1的360次方是一个复杂的计算过程，现代用开方计算器计算\sqrt[\mathrm{360}]{\mathrm{1.1}}，保留小数7位是0.000 264 8，保留小数8位是0.000 264 79，邹伯奇的计算结果稍有出入，但在当时只有人工手算的情况下实属难得。

，故i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.000}\mathrm{264}\mathrm{7}=\mathrm{0.264}\mathrm{7}（两），日利率为2.647‱。

对\mathrm{1.1}={\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{12}}，两边取常用对数，得\mathrm{12}\times \mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}。查对数表\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}=\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}，可得\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}}{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}}{\mathrm{12}}=\mathrm{0.003}\mathrm{449}\mathrm{4}。

查反对数表（真数检表），得\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.007}\mathrm{974}=\mathrm{0.003}\mathrm{449}\mathrm{4}，即\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}=\mathrm{1.007}\mathrm{974}，故月息银i_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.007}\mathrm{974}=\mathrm{7.974}（两），即本金1 000两，每月息为银七两九钱七分四厘，月利率为7.974‰。

对{\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{360}}=\mathrm{1.1}，两边取常用对数，得\mathrm{360}\times \mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}。查对数表\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}=\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}，可得\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}}{\mathrm{360}}=\frac{\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}}{\mathrm{360}}=\mathrm{0.001}\mathrm{149}\mathrm{8}。

查反对数表，得\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.000}\mathrm{264}\mathrm{7}=\mathrm{0.000}\mathrm{114}\mathrm{98}，即\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.000}\mathrm{264}\mathrm{7}，故日息银i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.000}\mathrm{264}\mathrm{7}=\mathrm{0.264}\mathrm{7}（两），即本金1 000两，每日息为银二钱六分四厘七毫，日利率为2.647‱。

若此年有闰月，一年按13个月、390天算。

由\mathrm{1.1}={\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{13}}，两边取常用对数，得\mathrm{13}\times \mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}。查对数表\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}=\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}，可得\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}}{\mathrm{13}}=\frac{\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}}{\mathrm{13}}=\mathrm{0.003}\mathrm{184}\mathrm{06}。

查反对数表，得\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.007}\mathrm{359}=\mathrm{0.003}\mathrm{184}\mathrm{06}，即\mathrm{1}+r_{\mathrm{1}}=\mathrm{1.007}\mathrm{359}，故月息银i_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.007}\mathrm{359}=\mathrm{7.359}（两），即本金1 000两，每月息为银七两三钱五分九厘，月利率为7.359‰。

据{\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{390}}=\mathrm{1.1}，两边取常用对数，得\mathrm{390}\times \mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}。查对数表i_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.007}\mathrm{359}=\mathrm{7.359}（两），即本金1 000两，每月息为银七两三钱五分九厘，月利率为7.359‰。

据{\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{390}}=\mathrm{1.1}，两边取常用对数，得\mathrm{390}\times \mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}。查对数表\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}=\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}，可得\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.1}}{\mathrm{390}}=\frac{\mathrm{0.041}\mathrm{392}\mathrm{7}}{\mathrm{390}}=\mathrm{0.000}\mathrm{106}\mathrm{135}。

查反对数表，得\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.000}\mathrm{244}\mathrm{43}=\mathrm{0.000}\mathrm{106}\mathrm{135}，即\mathrm{1}+r_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.000}\mathrm{244}\mathrm{43}，故日息银i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{0.000}\mathrm{244}\mathrm{43}=\mathrm{0.244}\mathrm{43}（两），即本金1 000两，每日息为银二钱四分四厘四毫三丝，日利率则是2.444 3‱。

古代称之为发商生息的问题，即如今银行存贷款问题，已知本金、本利和、时间，求利率，其基本数学模型即a{\left(\mathrm{1}+x\right)}^t=b（每期利率x、时间t，本金a，本利和b），基本方法是两边取对数，化简得\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+x\right)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{b}{a}\right)}{t}，据对数表求出\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{b}{a}\right)的值，再依反对数表找到\frac{\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{b}{a}\right)}{t}的值所对应的真数即\mathrm{1}+x，然后求得x。除数字表示和数学符号外，邹伯奇建立的复利计算数学模型及其对数方法与今无异，早于同治 十一年（1872年）初刊的《代数术》（华蘅芳、傅兰雅合译）提供的同类模型和方法。

这类银行存贷款数学模型，目前仍是大学《金融数学引论》等课程的基础知识，现行高中数学教材也有渗透，银行业务更离不开这一模型。

3.2 年利率均分为月利率、日利率的不合理性

每年息银百两，年底才支付。如果每月、每日支息，则这些息银照例生息，到年底恰好百两，这才公平合理。如将闰年的年息均分为十三个月的月息，\mathrm{100}÷\mathrm{13}=\mathrm{7.692}\mathrm{3}，每月息银七两六钱九分二厘三毫，即月利率为7.692 3‰；查对数表得假数（即现在的对数），再乘以13，\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\mathrm{1}+\mathrm{0.007}\mathrm{692}\mathrm{3}\right)\times \mathrm{13}=\mathrm{0.043}\mathrm{263}\mathrm{22}，查反对数表得真数1.104 751，至十三个月本息共银\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{1.104}\mathrm{751}=\mathrm{1}\mathrm{104.751}两，比实际所得利息一百两银多四两七钱五分一厘。不过，此处邹伯奇算得的“本息共银一千一百零四两七钱五分一厘”即1 104.751两有误差，用计算器算，实际上的本息和为{\left(\mathrm{1}+\mathrm{0.007}\mathrm{692}\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{13}}=\mathrm{1.104}\mathrm{747}\mathrm{99}千两。

若将年息均分为日息，按照闰年计算，则可得日息为\mathrm{100}÷\mathrm{390}=\mathrm{0.256}\mathrm{41}，即一日本利和为1.000 256 41，检对数表得假数\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1.000}\mathrm{256}\mathrm{41}=\mathrm{0.000}\mathrm{111}\mathrm{331}，再乘以390可得假数0.043 419 09，检真数得1.105 142 7，至三百九十日本息和\mathrm{1}\mathrm{000}\times \mathrm{1.105}\mathrm{142}\mathrm{7}=\mathrm{1}\mathrm{105.142}\mathrm{7}两，这样求得的利息为105.142 7两，比实际所得利息高5两多。同样，此处亦有误差，实际上本息和为\mathrm{1}\mathrm{000}\times {\left(\mathrm{1}+\mathrm{0.000}\mathrm{256}\mathrm{41}\right)}^{\mathrm{390}}=\mathrm{1}\mathrm{105.156}\mathrm{7}两。

也就是说，将年利率均分为月利率、日利率，月息总和、日息总和均高于年息，日息总和最高，这就是不能将年息均分为月息、日息的内在原因。

如今，住房按揭贷款中月还款额的计算就涉及年利率均分为月利率，银行计算的月利率就是年利率的1/12（平年）。邹伯奇早就用这一具体例子，说明在复利计算中将年利率均分为月利率会增加利息，是不合理的。如果说在计算手段不发达的古代，年利率均分为月利率或日利率计算繁杂尚情有可原，但如今信息时代仍存在计算中暗藏提升利率的现象。

事实上，容易从数学上予以推演，证明年利率均分为月利率、日利率的不合理性。不妨设月利率为r，年利率为R，本金为1，按复利计算的定义，用月利率计算复利12次，最后得到的本息总额应等于用年利率计算的一年本息总额，即则应有{\left(\mathrm{1}+r\right)}^{\mathrm{12}}=\mathrm{1}+R，也就是r={\left(\mathrm{1}+R\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{12}}-\mathrm{1}=\mathrm{1}+\frac{R}{\mathrm{12}}+\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\cdots \approx \frac{R}{\mathrm{12}}（当R很小时，可忽视R的高次项）。这就是月利率等于年利率1/12的理论依据。同理，也可用月利率的1/12或者年利率的1/360来计算日利率。更确切地说，若将年利率均分为月利率，则一年后的本利和为

{\left(\mathrm{1}+\frac{R}{\mathrm{12}}\right)}^{\mathrm{12}}=C_{\mathrm{12}}^{\mathrm{0}}{\mathrm{1}}^{\mathrm{12}}+C_{\mathrm{12}}^{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}^{\mathrm{11}}\left(\frac{R}{\mathrm{12}}\right)+C_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{1}}^{\mathrm{10}}{\left(\frac{R}{\mathrm{12}}\right)}^{\mathrm{2}}+\cdots +C_{\mathrm{12}}^{\mathrm{12}}{\left(\frac{R}{\mathrm{12}}\right)}^{\mathrm{12}}>\mathrm{1}+R\mathrm{。}

同理，若将年利率均分为日利率，则一年后的本利和为{\left(\mathrm{1}+\frac{R}{\mathrm{360}}\right)}^{\mathrm{360}}>\mathrm{1}+R。不难发现，无论年利率均分为月利率或日利率，在复利计算情况下实际利息都高于按年利率计算对应的利息，即实际上提高了利率。其实，年息计算是单利，月息、日息计算则是复利，利息自然会高。当贷款年利率很小时（如小于2%），这种提高微不足道；当按揭年利率在4%~5%左右时，这一提高是相当可观的。以2024年公布的5年以上房贷利率为例，公积金房贷年利率为3.1%（首套房）、3.575%（二套房），商业房贷年利率为4.0%（首套房）、4.4%（二套房），如由\mathrm{1}+\mathrm{4.4}\mathrm{\%}=\mathrm{1.044}，{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4.4}\mathrm{\%}}{\mathrm{12}}\right)}^{\mathrm{12}}\approx \mathrm{1.003}{\mathrm{7}}^{\mathrm{12}}\approx \mathrm{1.045}\mathrm{3}，即每年每万元就要多交13元利息。对个人而言，这数额也许能够接受，但对放贷银行来说这种“隐形提高”的利息总额不可小觑。

邹伯奇设置的问题年利率为10%（100/1 000），若均分为月利率或日利率，则每千两银每年就多出4或5两银，淋漓尽致地剖析其不合理性。

当然，将年利率不断均分为月利率、日利率、“分利率”、“秒利率”等无穷无尽地细分下去计算复利，利息将不断提高但增速渐缓，且利息总额要受到限制。设年利率为R，本金为1，按“R/n年利率”计算复利的本利和为{\left(\mathrm{1}+\frac{R}{n}\right)}^n，当n趋于无穷大时，有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\mathrm{1}+\frac{R}{n}\right)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left[{\left(\mathrm{1}+\frac{R}{n}\right)}^{n/R}\right]}^R={\mathrm{e}}^R，其中\mathrm{e}=\mathrm{2.718}\mathrm{281}\mathrm{828}\mathrm{459}\mathrm{045}\cdots。

就是说，即便年利率R=\mathrm{1}（不太可能），利息亦不会超过1.72倍^［15］。

参考文献

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[15] 史树中. 数学与金融［M］. 上海： 上海教育出版社， 2006： 20-22.

基金资助

2024年用友基金会第八届“商的长城”重点资助项目“中国借贷算法的历史演进研究（先秦至1949年）”(2024-Z03)