《钦天历》行星算法及精度研究

Planetary Theory and Its Accuracy in the Qintian Calendar

摘要

《钦天历》是五代时期的最后一部历法，其“步五星术”亦是唐宋行星理论变革中极为重要的一部历法。“步五星术”相较于其前诸历而言，其推步框架更为清晰，计算水平也有所提升，主要体现在相关常数、数表、修正算法及计算精度等方面。《钦天历》行星计算天文常数及数表设置更加简洁，五星动态表的精度也达到了较高水平。修正算法中考虑了日躔差的影响，并设计“变历”作为计算修正数值的自变量，这对后世历法起到了积极的引导作用。在使用《崇玄历》相关内容补充其散佚数表的基础上，计算得到行用初期三十年五星黄经误差绝对值的平均值分别为1.18°、2.62°、1.81°、2.48°与5.38°。

Abstract

The Qintian Calendar， the last calendar of the Five Dynasties period， features its “five planets calculation method” pivotal in the evolution of planetary theories during the Tang and Song dynasties. Compared to those in earlier calendars， its calculation framework is more distinct， with improved calculation levels reflected in related constants， numerical tables， correction arithmetic， and calculation accuracy. The astronomical constants and numerical tables in the Qintian Calendar for planet calculation are more concise， and the precision of its five-planet dynamic table reaches a high level. The correction arithmetic incorporates the influence of solar motion difference and introduces “variant calendar” as an independent variable for corrections， significantly influencing later calendars. By supplementing missing numerical tables of the Qintian Calendar with content from the Chongxuan Calendar， the average absolute errors in ecliptic longitudes of five planets during the first 30 years of implementation were calculated as 1.18°， 2.62°， 1.81°， 2.48°， and 5.38°， respectively.

Graphical abstract

关键词

《钦天历》 / 行星理论 / 精度

Key words

Qintian Calendar / planetary theory / accuracy

我国古代传统历法中的行星算法为占卜天象提供了推算的基础与依据，这部分算法可统称为“步五星术”。自《皇极历》首次将北齐张子信天文发现引入行星计算伊始，我国古代历法中的行星理论不断变化和完善，最终在宋代确立了基本推步框架^［1］。五代时期唯一保留较为完整的历法《钦天历》，行星理论较其前各历颇有创见^［2］。《钦天历》编制者王朴曾总结出前历“步五星术”的三条不足，“自古诸历，分段失实，隆降无准，今日行分尚多，次日便留，自留而退，唯用平行，仍以入段行度为入历之数，皆非本理，遂至乖戾。”^［3］最终根据这些不足，“校定逐日行分，积逐日行分以为变段。于是自疾渐而迟，势尽而留，自留而行，亦积微而后多。别立诸段变历，以推变差，俾诸段变差际会相合，星之迟疾，可得而知之矣。”^［4］《钦天历》以此为后世历法中的行星理论奠定了条理清晰的推步框架。《天文大成管窥辑要》对此评价为“周王朴以星行舒丞有渐，始校逐日行分积度，究其损益之分，皆出积微而至于多，斯得其密”^［4］。

对我国古代行星理论的研究大体可以分为历法内容释读^［5⁃7］、数理模型建构^［8⁃18］和计算精度分析^{［19⁃24］}等多个方面。现有成果已经基本厘清了我国古代行星理论推步方法的思想内核与计算精度变化，但其中对《钦天历》“步五星术”的研究仍存在不足。鉴于此，本文试图在《钦天历》原始文本的基础上，对其行星不均匀运动修正思想进行深入探讨，并进一步使用计算机程序模拟其行用初期30年的视位置计算精度。需要说明的是，《大衍历》之后的唐宋历法“步五星术”受其影响较深，因此本文提及关于《大衍历》的内容，可参考吕瑶虹和唐泉^［24］的相关研究。

1 《钦天历》行星推步思路及天文常数与数表

《旧五代史》中仅载有《钦天历》“步五星术”中的天文常数与数表^{［3］1869-1877}，而《新五代史》则在此基础上还载有相关算法之术文^［25］，故本研究均基于《新五代史》所载《钦天历》“步五星术”展开。

《钦天历》“步五星术”推步思路可大体分为五个部分，分别是五星中日中星、五星常日定星、五星定日、初行夜半宿次和每日夜半宿次。在推步过程中，从五星中日中星到五星常日定星的修正，《钦天历》使用的先后定数并非太阳中心差，而是类似于后世成熟历法中的盈缩差。《钦天历》同时使用先后定数对各个段目节点处的日数与度数进行修正。五星定日算法则是在常日的基础上，使用太阳中心差对各段目节点与冬至之间日数进行二次修正。五星初行夜半宿次是在计算所得各段目初日行分的基础上，计算五星夜半视位置。每日夜半宿次则是在计算所得每日行分的基础上，计算每日夜半五星视位置。从《钦天历》“步五星术”推步思路可以看出，其算法框架十分清晰，从平运动至真运动的修正过程也简洁明了，且《钦天历》是第一部各个段目节点处修正算法与定合时刻及位置修正算法完全相同的历法。

从推步思路来看，《钦天历》“步五星术”框架较《大衍历》等前历更为简洁，因而其行星天文常数相较于唐代数部历法也有了较大的简化，仅仅保留了会合周期和修正周期的相关常数。其中，变率是《钦天历》一个会合周期内修正数值对应自变量的累计值，该自变量出现在其五星动态表中，历率则与修正起点的进动有关。以木星为例，将其天文常数列于表1。

一般而言，我国古代成熟历法“步五星术”中包含两个数表，分别是描述会合周期内行星运动的五星动态表和载有修正数值的数表，但现存《钦天历》仅保留前者。作为示例，表2为《钦天历》木星动态表。由表2可知，《钦天历》五星动态表共有四列，其中前三列分别为变段、变日与变度，这与其前历法中的五星动态表基本相同，分别对应于行星在一个会合周期内所划分的各段目名称、各段目日数及各段目视运动度数，这些数据均为平运动数据。第四列为变历，即上文中所提到计算修正数值时使用的自变量，该列的累加值即为《钦天历》天文常数中的变率。此外，《钦天历》五星动态表并未描述五星在各个段目的平运动速度，在实际计算中直接使用了插值法计算的五星每日行分。根据《钦天历》五星动态表中的日数，分别计算其各段目度数的误差，其中误差计算依据前人研究中的相关公式^{［12］552-553，［26］}。计算可得《钦天历》木星、火星、土星、金星和水星的动态表误差绝对值的平均值分别为0.51°、1.08°、0.16°、1.33°和1.65°。显然，《钦天历》的五星动态表精度已经达到了较高水平，尤其是外行星动态表精度。

2 《钦天历》行星不均匀运动修正算法

《钦天历》算法结构清晰，各个段目节点处的修正算法本质上使用的是同一类算法。从上述《钦天历》“步五星术”推步思路来看，其与《大衍历》的区别在于从中星到定星的修正过程中并未涉及太阳中心差，具体术文如下：

常日定星：置中日中星，各以先后定数，先加、后减之，留用前段先后数，太白顺伏见及前顺疾次疾后次迟次疾、辰星顺伏见及前疾后迟，并先减、后加之，即各为其段常日定星。置定星，以其年天正中气日躔黄道宿次加而命之，得逐段末日加时宿度也。

定日：置常日，以盈缩定数盈减、缩加之，为定日。以其年天正中气加而命之，即逐段末日加时日辰也。^[25]696-698

因此，可以设平合时刻\gamma对应的行星平位置和真位置分别为P_{\mathrm{0}}和P_t，太阳平位置为E_{\mathrm{0}}，定合时刻{\gamma }^{\text{'}}对应的行星真位置为{P_t}^{\mathrm{\text{'}}}，太阳平位置为{E_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{\text{'}}}，模型如图1所示1

1 内外行星各段目算法思路相同，故仅以外行星为例。

。

图1中c_p=\mathrm{\angle }{P}_{\mathrm{0}}S{P}_t，且行星中心差与太阳中心差大于零。结合算法术文，可知平合时刻与定合时刻之间的时间差{\gamma }^{\text{'}}-\gamma =\pm y-c_s，其中金星的夕见、晨伏、前顺疾、前次疾、后次迟、后次疾等段目与水星的夕见、晨伏、前顺疾、后顺迟等段目y取负号，其余均为正。根据模型示意图与术文可得：

c_p+{\int }_{\gamma }^{{\gamma }^{\text{'}}}{v}_p\mathrm{d}t\approx c_p+v_p\times \left({\gamma }^{\text{'}}-\gamma \right)=v_s\times \left({\gamma }^{\text{'}}-\gamma \right)，（1）

化解可得：

y=\pm \left(\frac{c_p}{v{}_s{}^{}-v_p}+c_s\right)，（2）

式中正负号的规则与{\gamma }^{\text{'}}-\gamma中y的规则相同。由于《钦天历》五星先后定数相关数表已经散佚，因此无法进一步展开分析。但内行星相关段目符号相反的相关算法，在其使用数表不变的情况下，无法符合理论公式。

《钦天历》在计算先后定数时使用的自变量为变历。从式（2）来看，该自变量同时与行星近日点与太阳近地点有关，依照该式计算理论值之后确实可以找到一个修正起点，该起点可以被认为是前人研究中指出的A点^{［12］567-568}，进而可将变历定义为以时间t或与t有关的变量为自变量的函数。需要指出的是，行星进入盈缩周期的起点度数始终是一个地心概念，因此变历函数还需考虑在计算过程中向日心的转换，故其复杂性增加。分别将火星与金星的一个会合周期内变度、变历与公转角度曲线绘于图2中，其中火星曲线图中的公转角度为火星公转角度，金星曲线图中的公转角度则为太阳公转角度。

从图2中金星变历与太阳公转角度的关系来看，其计算修正数值的自变量显然与太阳运动的关系更大，水星也有同样的情况。为解释内行星自变量取值与太阳公转角速度更为接近，以金星角速度与天数乘积、太阳角速度与天数乘积为自变量，代入式（2），计算结果如图3所示。

从《钦天历》金星一个完整会合周期的变历取值来看，其累加值与会合周期日数恰好相等，故二者相比可得金星一个会合周期内约包含1.6个修正周期，该值与右图更接近。在此计算过程中，直接以天数乘以太阳公转角度为自变量的结果已经与《钦天历》变历所蕴含的结果较相似，若依此，《大衍历》修正数值自变量的取值方式是正确的，《钦天历》创造和使用变历是否有意义？为回答这一问题，分别将火星与金星对应的理论公式（2）在一个修正周期中的结果均分为24份，得到其对应的自变量，结果如图4所示。

由图4可知，火星与金星理论值等间隔分为24份时，其已对应了非线性的自变量，因而对《大衍历》直接取平运动速度的方式的改变将是必然的，《钦天历》确实对其进行了修改，但目前无法直接构建时间与所推求公式之间的关系。可以肯定的是，《钦天历》开辟了一条正确的道路，五代以降的我国古代传统历法完全继承了其中对自变量的创新。此外，由于此过程中自变量对应的修正数值是均分的，故可以从侧面说明《崇玄历》中的修正周期不均分，可能是其在搭配行星平运动度数为自变量使用时做出的修改。

3 《钦天历》行星视位置算法释读及精度

《新五代史》所载《钦天历》术文较为完整，但其五星先后数表格与太阳盈缩数表格均已散佚。五代时在王朴《钦天历》之前的历法为后晋马重元所制《调元历》，其五星部分基本沿袭了唐末《崇玄历》^［27］，因此本文以《崇玄历》相应数表补充五星先后数表格。此外，我国古代历法中对太阳中心差相关数值改变不大^［28］，因此同样使用《崇玄历》中太阳中心差的相减相乘公式作为补充^{［12］158-159}。本节重点讨论《钦天历》中不同的计算精度。

3.1 《钦天历》行星视位置算法

《钦天历》“步五星术”中共有12个算法，且均给出了对应的算法术文名称。除“入中节”算法与本文视位置计算精度无关之外，其余算法在计算机模拟之中均有涉及。鉴于此，对其余11个算法术文逐一释读，并给出相应的算例。

（1）中日中星。该算法的目的是计算所求年天正冬至后，首个会合周期内各段目节点处与冬至点时刻之间的时间距离，以及行星与该时刻太阳之间的位置距离。术文中计算五星天正中气后合的部分使用“岁率”（或两倍岁率）减去“天正中气积前合”，前者为《钦天历》中的回归年常数，而后者为天正中气与其前最后一次合之间的时间。事实上，该算法与其他历法中的相应算法并无二致^［29］。据此，设上元至所求年的积年为N_n，回归年常数为T，\mathrm{会合}\mathrm{周期}\mathrm{常数}\mathrm{为}H，则可得

T{N}_n\equiv {\gamma }_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}H\right)，

术文中的气积即为T{N}_n。上式中{\gamma }_{\mathrm{0}}为天正中气积前合，则后合为H-{\gamma }_{\mathrm{0}}。由于太阳日行一度，且会合时刻行星与太阳位置相同，故平合中日与中星在数值上是相等的。在此基础上，分别累加五星动态表中各段目的日数与度数即可得各段目的中日与中星。中日中星分别为各段目段末2

2 《钦天历》计算各段段目的相关数值，段末实则为下段段首。

与冬至点之间的时间距离，及该时刻行星与冬至时刻太阳之间的位置距离。

（2）入历。该算法的目的是根据相关常数，计算会合周期内各段目节点时刻行星与修正周期起点之间的度距。前人对该算法有较为深入的研究^{［12］571-572，［29⁃30］}，故仅给出对应计算公式。设上一步骤中所得周数为n，历率为L，变率为\mathrm{\Delta }，平合入历为{\lambda }_{\mathrm{0}}，则可得

\left(n+\mathrm{1}\right)\mathrm{\Delta }\equiv {\lambda }_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}L\right)。

在此基础上累加各段目变历即可得到各段目段末节点处的入历度。

（3）先后定数。该算法是根据各段入历度计算与五星先后数表格，计算各段目段末处的修正数值。在实际计算中使用《崇玄历》中的五星盈缩历进行补充。

（4）常日定星。该算法的目的是使用算法（3）所得五星先后定数与算法（1）所得五星中日中星，计算得到各段目的常日定星，并根据定星计算可得各段目段末时刻的行星宿度。计算过程中规定了先后定数的符号。实际计算中，天正中期日躔黄道宿次则使用DE441星历表计算天正冬至时刻太阳真黄经。

（5）盈缩定数。该算法的目的是计算五星各段目常日对应的太阳中心差。在实际计算过程中使用《崇玄历》中的相减相乘公式。

（6）定日。该算法的目的是根据常日“盈减缩加”太阳中心差，计算得到各段定日，并进一步根据天正冬至日辰计算得到各段定日的日辰。在实际计算中则根据天正冬至日对应的儒略日进行计算。

（7）平行分。该算法根据各段段末的定日之间差值与定星之间差值，计算各段的平行分。术文中乘以经法72，将平行度转换为平行分，经法数值为统法的百分之一。

（8）初末行分。该算法的目的是计算五星在各段目初日与末日的行分，分别对伏段、留段、近伏段、近留段及不近伏留段给出了对应的计算方法。

（9）初行夜半宿次。该算法是在算法（4）所得五星各段节点处位置的基础上，结合各段节点处末日行分，推算其昏后夜半时刻的位置。设第i段段末昏后夜半行星位置为{{\omega }_i}^{\mathrm{\text{'}}}，第i段段末定日时刻行星位置为{\omega }_i，第i段段末定日时刻至其晨前夜半时间距离为r_i，第i段末日行分为v_{i\mathrm{2}}，则可得

{{\omega }_i}^{\mathrm{\text{'}}}={\omega }_i\pm \frac{\mathrm{72}-r_i}{\mathrm{72}}\times v_{i\mathrm{2}}，

式中顺行段目取+，退行段目取-。

（10）每日行分。该算法的目的是利用各段目初末日行分，计算得到段目内每日行分，并累加得到五星每日昏后夜半宿度。需要指出的是，该算法使用各段目初末日行分及各段目首日昏后夜半与末日昏后夜半之间的日数，计算得到段首日与段末日昏后夜半的行分，术文中称为初末定行分。

（11）先定日昏后夜半宿次。该算法本质上是计算五星某日昏后夜半位置的一种便捷算法，使用的是每日速度差、初日行分及所求日置段首日数。设日差为d，初日行分为v_{i\mathrm{1}}，所求日至段首时间距离为n，所求日昏后夜半行星位置与段首行星位置为{{\omega }_t}^{\mathrm{\text{'}}}，段首行星位置为{\omega }_i，则可得

\omega {}_i{}^{}{}^{\mathrm{\text{'}}}={\omega }_i\pm \frac{v_{i\mathrm{1}}+v_{i\mathrm{1}}\pm \left(n-\mathrm{1}\right)\times d}{\mathrm{2}}\times \left(n-\mathrm{1}\right)。

但该算法在计算中使用的段目首日行分为初日行分，并非初定行分，故此处n-\mathrm{1}也应当并非整数。

3.2 《钦天历》木星视位置算例

根据前文算法（1）到算法（10）即可进行计算机模拟，本文以木星956年天正冬至后首个会合周期内晨见段第五日昏后夜半为例，给出对应儒略日与具体黄经的算例，各数据保留三位小数。为了方便读者对比算例与具体算法，算例具体步骤前同样标有相应序号。

上元至956年的积年为72 698 452年，即N₉₅₆=72 698 452，回归年常数T=2 629 760.40，木星 会合周期常数H=2 871 976.06，统法为7 200。

（1）根据《钦天历》相关常数及算法，可得956年天正冬至后木星首次平合中日与中星为

\mathrm{2}\mathrm{629}\mathrm{760.40}\times \mathrm{72}\mathrm{698}\mathrm{452}\equiv \mathrm{2}\mathrm{038}\mathrm{530.62}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\mathrm{871}\mathrm{976.06}\right)，

\mathrm{木星}\mathrm{中日}\mathrm{中星}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{871}\mathrm{976.06}-\mathrm{2}\mathrm{038}\mathrm{530.62}}{\mathrm{7}\mathrm{200}}\approx \mathrm{115.756}，

该计算过程中所得周数为66 567 236。

（2）又《钦天历》木星变率Δ=232 215.66，木星历率L=2 629 761.78，由此可得该会合周期平合入历为

\mathrm{66}\mathrm{567}\mathrm{237}\times \mathrm{242}\mathrm{215.66}\equiv \mathrm{261}\mathrm{654.06}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2}\mathrm{629}\mathrm{761.78}\right)。

以此除以统法7 200则可得平合入历度约为36.341。

（3）（4）根据平合入历与《崇玄历》木星盈缩历可得其先后定数为3.891，则平合常日定星为119.647。

（5）（6）根据计算所得平合常日及《崇玄历》中的相减相乘公式，可得太阳中心差为2.167，则可得平合定日的儒略日为2 070 339.533。

为计算方便，本文直接取冬至时刻太阳真黄经计算会合时刻五星黄经。根据《钦天历》计算956年天正冬至为955年12月17日，其具体时刻儒略日约为2 070 222.014。又据DE441星历表可得该时刻太阳真黄经为270.687°。进一步结合《钦天历》恒星年长度\frac{\mathrm{2}\mathrm{629}\mathrm{844.80}}{\mathrm{7}\mathrm{200}}，可知956年天正冬至后首合的木星黄经为

\mathrm{270.687}+\mathrm{119.647}\times \frac{\mathrm{360}}{\mathrm{2}\mathrm{629}\mathrm{844.80}/\mathrm{7}\mathrm{200}}\approx \mathrm{388.614}°。

（7）（8）重复上述过程，则可以得到上一会合周期夕伏段与该会合周期晨见段木星平行分分别约为0.204度/日和0.205度/日。由此可知该会合周期晨见段初日行分约为0.205度/日，末日行分约为0.206度/日。

（9）根据晨见段初日行分、平合定日小余及平合定星黄经，可得晨见段初日昏后夜半木星黄经为

{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{388.614}+\left(\mathrm{1}-\mathrm{0.033}\right)\times \mathrm{0.205}=\mathrm{388.812}°。

（10）再由晨见段初日昏后夜半至末日昏后夜半整日数17、晨见段初末行分及晨见段平行分，计算可得每日日差及初定行分，结果为

\mathrm{日差}=\frac{\mathrm{0.205}-\mathrm{0.206}}{\mathrm{17}}=-\mathrm{5.294}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}，

\mathrm{初定}\mathrm{行分}=\mathrm{平行}\mathrm{分}-\frac{\mathrm{日差}}{\mathrm{2}}\approx \mathrm{0.205}。

综上，则可得到该会合周期晨见段第五日木星黄经为

\mathrm{388.812}+\mathrm{0.205}\times \mathrm{5}+\mathrm{5.294}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}\times \mathrm{4}=\mathrm{389.838}°，

即可得956年天正冬至后木星首个会合周期，晨见段第5日昏后夜半之儒略日为2 070 345.5，其对应黄经为29.838°。

3.3 《钦天历》行星视位置精度

按照《钦天历》算法与《崇玄历》太阳中心差及五星修正相关公式与数表，分别计算了显德三年（956年）后约30年的五星黄经值，并依据DE441星历表计算误差，结果如图5所示，五星误差统计见表3。

计算结果中木星、火星、土星、金星与水星分别包括28个、15个、29个、19个与96个完整汇合周期，其计算精度较《大衍历》整体有了较大的提升。《钦天历》五星黄经误差绝对值的平均值分别为1.18°、2.62°、1.81°、2.48°与5.38°。从五星黄经绝对误差散点图来看，《钦天历》五星精度提升的主要 原因是其会合周期内误差变化明显变小。此外，《钦天历》误差散点图会合周期之间并未像《大衍历》出现中断的情况^［24］，这是因为前者将各段目修正数值自变量的起点从定合入爻转变为平合入历。

4 结论

综上可知，《钦天历》算法框架简洁，推步思路清晰，这点从天文常数与数表可见一斑。《钦天历》五星天文常数仅保留了与会合周期及修正周期相关的5个天文常数，相较《大衍历》，《钦天历》省去了计算五星修正起点进动的相关数值，而是在算法中直接利用修正周期进行计算。《钦天历》五星动态表同样较为简洁，仅设有各段目名称、日数、度数及修正周期自变量四列，其外行星动态表的精度达到了较高水平。

修正算法方面，《钦天历》各段目修正算法与定合修正算法完全相同，因此仅对定合修正算法相关术文进行分析，并得到了两种相应的理论公式。但其相关数表均已失传，故无法考察其合理性。值得注意的是，根据理论公式，对内行星而言太阳中心差的影响较大，故金水二星与太阳位置关系发生改变时，其修正数值也会产生变化。《钦天历》在计算修正数值使用的自变量中，创造性地在各个段目使用了变历，该值可以表示为以时间为自变量的函数，但其既需调和太阳近地点黄经与五星近日点黄经，同时还需考虑地心与日心之间的转换。毫无疑问，《钦天历》创造变历作为计算修正数值的自变量的出发动机是正确的，主要源于其修正数值中同时包含了行星中心差与太阳中心差的相关项，这也为后世我国传统历法“步五星术”奠定了基础。此外，《钦天历》内行星使用与太阳公转角度相近的值为自变量，与理论公式计算值反映的结果是一致的。

计算精度方面，在使用《崇玄历》相应内容补充《钦天历》缺失数表的基础上，计算了《钦天历》五星视位置误差。结果表明，《钦天历》五星视位置黄经精度相较于此前历法有了较大提升，五星黄经误差绝对值的平均值分别为1.177°、2.615°、1.809°、2.480°与5.382°。《钦天历》五星误差散点图首次出现相邻会合周期误差连续的现象，这是其修正数值自变量累加起点从《大衍历》真运动转变为平运动导致的。《钦天历》“步五星术”简洁清晰的算法框架与变历的首创性使用，使得五星视位置推算精度达到了较高水平，由此为后世历法奠定了坚实基础。

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基金资助

国家社会科学基金冷门绝学研究专项学术团队资助项目“中国古代历法中的‘步五星术’研究”(20VJXT005)