半无限平面边界障碍物绕流问题

Detour Flow Around Obstacles on Semi-Infinite Plane Boundaries

摘要

对无穷远处来流的无粘性不可压缩流体，平行绕过半无限平面边界障碍物时，障碍物附近的流动情况进行研究。利用Schwarz-Christoffel变换和复变函数理论，得到半无限平面边界障碍物绕流的复势函数，进一步求解半无限平面边界障碍物绕流的速度势函数和流函数。通过数值算例，得到半无限平面边界障碍物绕流的流线图、等势线和压强系数图，分析障碍物表面流体的速度和压强分布情况。

Abstract

This paper studies the flow condition near the obstacles when an inviscid and incompressible fluid coming in from infinity flows parallel around the obstacle on the semi-infinite plane boundary. By adopting the Schwarz-Christoffel transformation and the theory of functions of complex variables， the complex potential function for the detour flow around the obstacle on the semi-infinite plane boundary is derived. Furthermore， the velocity potential function and stream function for this detour flow problem are solved. By conducting numerical examples， the streamline chart， equipotential line， and pressure coefficient diagrams of the detour flow around the obstacles on the semi-infinite plane boundary are obtained， with the fluid velocity and pressure distribution on the obstacle surface analyzed.

Graphical abstract

关键词

障碍物绕流 / Schwarz-Christoffel变换 / 复变函数 / 势函数 / 流函数

Key words

detour flow around obstacles / Schwarz-Christoffel transformation / function of complex variables / potential function / stream function

流体力学是研究流体运动和力学特性的重要分支，绕流问题是其中一个核心的研究领域。董乐善^［1］通过具体事例，说明许多工程实际问题（例如机翼绕流，桥墩绕流等），均可简化为平面位流问题。范伯全^［2］主要研究了全平面内不可压缩欧拉方程的卡门涡街问题。文献［3⁃4］分别从数值模拟和理论解析两个维度推进了三维空间中不同流态下绕流问题的研究。符永正等^［5］运用K-\epsilon双方程湍流模型与SIMPLE算法，开展数值模拟，获取高层建筑外表面风压分布以及其他流场信息。盛磊祥等^［6］依据流体动力学的相关原理，构建了二维平面势流计算模型。朱景辉^［7］运用涡团法模拟有限平板的绕流问题。文献［8⁃9］表明，障碍物（如丁坝）的布置与外形不仅能通过改变流场结构（如引发角隅流动分离）产生显著的水动力学效应，还能进一步带来积极的生态效益，如改善鱼类栖息地环境。当前对圆柱、椭圆绕流问题的研究较多^{［10⁃15］}。近些年对于具有复杂轮廓或尖锐边缘的工程障碍物，基于复变函数理论与保角映射的技术（如Schwarz-Christoffel变换），可将复杂物理域映射至简单参考域（如上半平面），应用保角变换，最终可求得精确的流动复势函数。Sinha和Odgaard^［16］利用Schwarz-Christoffel变换将流动的物理边界转换成一个复平面，为比较研究提供了无粘解。文献［17⁃18］都是根据复杂的物理边界映射到规则矩形区域的Schwarz-Christoffel变换基本原理，解决流动问题。张伟等^［19］应用Schwarz-Christoffel变换方法，实现从复平面单位圆到多边形区域的共形映射。Trevelyan等^［20］利用Schwarz-Christoffel变换和复势理论，研究了具有多个半无限子通道的半无限通道中的势流体流动。

本文基于解析函数理论，应用Schwarz-Christoffel变换，首次研究了半无限平面边界障碍物的绕流 问题，分析了流场的速度和压强，对揭示复杂边界条件下流体的运动规律和流变特性具有理论意义和应用价值。本文所研究的半无限平面边界障碍物绕流的流动模型，可用于模拟实际工程中的丁坝绕流问题 ^［21］。

1 基本方程

1.1 无粘性不可压缩流体无旋运动的速度势函数

理想流体是真实流体的一种近似模型，是无粘性不可压缩流体做无旋运动，该运动需满足连续性方程^{［22⁃24］}

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathit{v}=\mathrm{0}（1）

和运动方程

\frac{\mathrm{D}\mathit{v}}{\mathrm{D}t}={\mathit{F}}_{\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{1}}{\rho }\nabla p,（2）

其中v、F_{\mathrm{b}}、\rho、p分别表示流体速度、质量力、流体密度、流体压强。

如果给出的是做无旋运动的流体，即\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t} \mathit{v}=\mathrm{0}，根据矢量运算法则，对于任何标量\phi都有\nabla \times \nabla \phi =\mathrm{0}，这样可以定义一个标量\phi \left(x,y,z;t\right)，使得\vec{v}=\nabla \phi。标量\phi \left(x,y,z;t\right)称为速度势函数，将\vec{v}=\nabla \phi代入式（2），连续性方程变为

{\nabla }^{\mathrm{2}}\phi =\mathrm{0},（3）

即无粘性不可压缩流体无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程，给定运动学的边界，速度势方程是定解的。也就是说，速度场完全由运动学条件确定。若流动无旋，通过对运动方程积分化简为一阶微分方程，这个方程称为柯西⁃拉格朗日积分，也就是伯努利积分

\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{v^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+P+\prod =c\left(t\right),（4）

这里v表示流体速度，P表示压强系数，\prod表示体力势。对于不可压缩流体，\rho =常数，故P=\frac{p}{\rho }，假定体力是重力，有\prod =g z，则可以求出压强。

由式（3）-（4）化简得无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程组为

{\nabla }^{\mathrm{2}}\phi =\mathrm{0},（5）

\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{v^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+P+\prod =c\left(t\right),（6）

边界条件视具体边界而定。

1.2 不可压缩流体平面运动的流函数

对于二维流动问题，则连续性方程写为

\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=\mathrm{0},（7）

流体速度在x、y方向的分量分别为v_x、v_y。由二维的连续性方程可以定义流函数，用\psi表示，其定义式为

v_x=\frac{\partial \psi }{\partial y}, v_y=-\frac{\partial \psi }{\partial x}。（8）

对于二维流动，流体涡量\omega只有z轴方向上的分量，记为\mathit{\omega }=\omega \mathit{k}。从而有\mathit{\omega }=-{\nabla }^{\mathrm{2}}\psi \mathit{k}，又可以写为

\omega =-{\nabla }^{\mathrm{2}}\psi ,（9）

在无旋运动的情况下，方程（9）化为

{\nabla }^{\mathrm{2}}\psi =\mathrm{0}\mathrm{。}（10）

可见，对于二维无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程。

1.3 平面无旋运动的复势

根据速度势\phi和流函数\psi的定义，在直角坐标系中，满足如下关系：

v_x=\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y},v_y=\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}。（11）

这种关系式称为柯西⁃黎曼条件，因此满足这个条件的两个实函数\phi和\psi可以构造一个复变解析函数：

W\left(z\right)=\phi \left(x,y\right)+\mathrm{i}\psi \left(x,y\right),（12）

式中z=x+\mathrm{i}y为复变量，\mathrm{i}=\sqrt[]{-\mathrm{1}}，W\left(z\right)称为平面无旋运动的复势。因此，有\phi \left(x,y\right)=\mathrm{R}\mathrm{e}W\left(z\right)，\psi \left(x,y\right)=\mathrm{I}\mathrm{m}W\left(z\right)。于是，只要找到复势W\left(z\right)，便可以得到速度势\varphi和流函数\psi。

1.4 流场中的速度及压强分布

在流场中的任意一点处的流体速度为

v=\sqrt[]{v_x^{\mathrm{2}}+v_y^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（13）

对于流场中任意一点的压强p可以由伯努利方程求出^{［22⁃24］}

p=p_{\mathrm{\infty }}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{\infty }}\left(V_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{2}}-v^{\mathrm{2}}\right),（14）

其中用V_{\mathrm{\infty }}、p_{\mathrm{\infty }} 和{\rho }_{\mathrm{\infty }}分别表示无穷远来流的速度、压强和密度。为了分析流场中的压强变化，引入压强系数c_p描述流场中的压强分布，其表达式为

c_p=\frac{p-p_{\mathrm{\infty }}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{\infty }}{V}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（15）

2 半无限平面边界障碍物绕流问题的解析解

2.1 复势函数的求解

由于模型的复杂边界，考虑利用保角映射将复杂边界映射到上半平面求解。为了得到保角映射，引进Schwarz-Christoffel变换。

设在z平面内有一个n角形，其内角分别是{\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_n（用弧度表示），令

z=A\int {\left(\zeta -a_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\pi }}-\mathrm{1}}\cdot {\left(\zeta -a_{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{\pi }}-\mathrm{1}}\cdots {\left(\zeta -a_n\right)}^{\frac{{\theta }_n}{\mathrm{\pi }}-\mathrm{1}}\mathrm{d}\zeta +B ,（16）

式中A与B为复常数，a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n是实常数。式（16）成为Schwarz-Christoffel变换，它将n角形变换为\zeta平面的上半平面，多角形的顶点A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},\cdots ,A_n变换为\zeta平面实轴上的点{A_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},{A_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}},\cdots ,{A_n}^{\mathrm{*}}，其坐标分别为a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n，平面图如图1—2所示。

对于本文的模型，设在无粘性不可压缩流体中，半无限平面边界竖直放置一长为l m障碍物（忽略其宽度），在无穷远处，有一速度为V_{\mathrm{\infty }}的均匀来流绕经障碍物，并做平面无旋运动。流动形式如图3所示。

利用Schwarz-Christoffel变换函数将半无限平面边界障碍物区域映射到上半平面，表1为对应点的关系。

根据所对应点的关系，变换式（16）为

z=A\int \frac{\zeta \mathrm{d}\zeta }{{\left(\zeta +l\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\cdot {\left(\zeta +l\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}+B=A\sqrt[]{{\zeta }^{\mathrm{2}}-l^{\mathrm{2}}}+B,（17）

利用z平面上的A_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{A}_{\mathrm{4}}和\zeta平面上{A_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{*}}\mathrm{、}{A_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{*}}的对应关系，确定式（17）中的待定系数A和B，根据对应关系得

\mathrm{i}l=A\mathrm{i}l+B,（18）

\mathrm{0}=B,（19）

于是有

A=\mathrm{1}，B=\mathrm{0}\mathrm{。}（20）

因此保角映射变换式表示为

z=\sqrt[]{{\zeta }^{\mathrm{2}}-l^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（21）

这样\zeta平面上半平面的流动复势为

W^{\mathrm{*}}\left(\zeta \right)=V_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{*}}\zeta ,（22）

则在物理平面z上，半无限平面边界障碍物流体绕流的流动复势为

W\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（23）

2.2 势函数和流函数

根据式（12），复势函数的实部和虚部分别为势函数和流函数，因此分离式（23）的实部和虚部得

\begin{array}{l}W\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+\\ \\ \mathrm{i}{V}_{\mathrm{\infty }}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（24）

于是可以得到流体的速度势函数\varphi \left(x,y\right)和流函数\psi \left(x,y\right)

\begin{array}{l}\phi \left(x,y\right)=V_{\mathrm{\infty }}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\\ \end{array}（25）

\psi \left(x,y\right)=V_{\mathrm{\infty }}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\mathrm{。}（26）

对于势函数和流函数，由\phi \left(x,y\right)=c（c为常数），可得其等势线图；由\psi \left(x,y\right)=c（c为常数），可得其流线图。

2.3 尖端速度奇异性

对半无限平面边界障碍物绕流的复势函数W\left(z\right)求导，得到速度场为

v_x-\mathrm{i}{v}_y=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=V_{\mathrm{\infty }}\frac{z}{\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}},（27）

在障碍物尖端z=\mathrm{i}l，展开z=\mathrm{i}l+\epsilon\left(\epsilon \to \mathrm{0}\right)，得

\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=V_{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{i}l}{\sqrt[]{{\left(\mathrm{i}l\right)}^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\mathrm{i}l\epsilon }}\propto {\epsilon }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},（28）

表明速度奇异性为{\epsilon }^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，属于平方根奇异性。

2.4 无穷远衰减特性分析

对于半无限平面绕流，势流解通常由以下两个部分组成。

（1） 无穷远均匀流（主导项）：

W_{\mathrm{\infty }}\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}z ,（29）

其中V_{\mathrm{\infty }}是来流速度，远场均匀流主导了流动结构。

（2） 局部障碍物的绕流效应（扰动项）：

W_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}}\left(z\right)=f\left(z\right)=W\left(z\right)-W_{\mathrm{\infty }}\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\left(\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}-z\right),（30）

其中f\left(z\right)代表障碍物（图5中的竖直障碍物A_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{3}}​）对流动的影响。对f\left(z\right)利用泰勒公式展开得到

f\left(z\right)\approx V_{\mathrm{\infty }}\left(z+\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z}-z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z},（31）

f\left(z\right)=\frac{z}{\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}}\mathrm{。}（32）

式（23）表示均匀流与局部扰动的组合。为了分析其无穷远行为，对该函数进行渐近展开。当\left|z\right|\gg l（远离障碍物）时，展开根式为

\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}=z\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{l^{\mathrm{2}}}{z^{\mathrm{2}}}},（33）

采用泰勒公式展开（当x\ll \mathrm{1}时，\sqrt[]{\mathrm{1}+x}\approx \mathrm{1}+\frac{x}{\mathrm{2}}）得

\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{l^{\mathrm{2}}}{z^{\mathrm{2}}}}=\mathrm{1}+\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}},（34）

因此，

\sqrt[]{z^{\mathrm{2}}+l^{\mathrm{2}}}\approx z+\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z},（35）

代入复势函数得

W\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\left(z+\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z}\right),（36）

其中主导项V_{\mathrm{\infty }}z表示均匀流，扰动项V_{\mathrm{\infty }}\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z}表示由于障碍物的影响，流动的扰动项，衰减率为\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z}\right)。

对其速度场衰减行为，根据复势函数的导数给出复速度

V\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=V_{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(z+\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}z}\right),（37）

V\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{1}-\frac{l^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}}\right),（38）

其中主导项V_{\mathrm{\infty }}​表示远场保持均匀流，扰动项\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}}\right)表示衰减速率较快。

对于经典圆柱绕流的无穷远衰减行为，经典圆柱绕流的复势函数为

W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}\left(z+\frac{R^{\mathrm{2}}}{z}\right),（39）

对其远场展开为

W_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}\left(z\right)=V_{\mathrm{\infty }}z+\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z}\right),（40）

求其速度场为

V\left(z\right)\approx V_{\mathrm{\infty }}+\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}}\right),（41）

即速度扰动项衰减为\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}}\right)。

通过对比得到，半无限平面障碍物绕流主要由均匀流项\mathrm{{\rm O}}\left(z\right)主导，远场扰动项\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}}\right)迅速衰减，因此其远场流动恢复均匀流的速度较快。在无穷远处，半无限平面障碍物绕流的速度衰减特性与经典圆柱绕流相似，速度扰动都是以\mathrm{{\rm O}}\left(\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}}\right)衰减，而主流速度趋向于均匀流。与经典圆柱绕流的模型相比，半无限平面障碍物绕流模型更具有普遍性。

3 数值算例

在无粘性不可压缩流体中，半无限平面边界竖直放置一长为2 m障碍物（忽略其宽度），在无穷远处，有一速度为V_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{2}\mathrm{m}/\mathrm{s}的均匀来流绕经障碍物，并做平面无旋运动，流动形式如图3所示。以下分析障碍物附近的流体流动情况及障碍物表面的压强分布情况（流体密度为1 000 \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）

3.1 势函数和流函数

将V_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{2}\mathrm{m}/\mathrm{s}，l=\mathrm{2}\mathrm{m}带入式（25）和式（26）得

\phi \left(x,y\right)=\mathrm{2}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},（42）

\psi \left(x,y\right)=\mathrm{2}{\left({\left(x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}}{y}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}xy}{x^{\mathrm{2}}-y^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}+\mathrm{2}k\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},（43）

其中k值取0、1，由于流动关于障碍物对称，故把流动分成两个区域，即左边区域和右边区域。

3.2 流线图和等势线图

根据式（43），令\psi \left(x,y\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}，应用MATLAB软件得到两个区域的半无限平面边界障碍物绕流的流线图，如图4所示。

根据式（42），令\varphi \left(x,y\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}，应用MATAB软件得到两个区域的半无限平面边界障碍物绕流的等势线图，如图5所示。

3.3 压强系数

由图4-5可知，半无限平面边界障碍物绕流是对称的，现取障碍物左部为研究对象，研究流场压强分布情况。由于障碍物忽略宽度，故障碍物的位置为x=\mathrm{0}，利用式（13）-（15）可得压强系数

c_p=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{16}{y}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}{y}^{\mathrm{4}}+y^{\mathrm{6}}}{{\left(y^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{3}}},\left(\mathrm{0}\le y\le \mathrm{2}\right)。（44）

再由式（44）得出了障碍物表面的压强系数图，如图6所示。根据图6可知在y=\mathrm{0}处，压强系数达到最大值0.5，表明此处压强也达到最大值\mathrm{2}\mathrm{000}+p_{\mathrm{\infty }}，并且此时流体速度为v=\mathrm{0}\mathrm{m}/\mathrm{s}。而在约y=\mathrm{1.41}处，压强系数为c_p=\mathrm{0}，故此处的压强为p_{\mathrm{\infty }}，速度为v=V_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{2}\mathrm{m}/\mathrm{s}。

4 结论

本文对无粘性且不可压缩流体在半无限平面边界遇到障碍物时的绕流问题进行研究。在研究过程中，引入了Schwarz⁃Christoffel 变换，并借助复变函数推导出了该种绕流情形下复势函数、速度势函数、流函数以及压强系数的解析表达式。通过分析可知，在流场的驻点位置，流体的速度为零，而压强恰恰在这一位置达到最大值。依据压强系数所绘制出的压强系数图，其呈现的结果能够与流线图所反映的结果实现良好的呼应，二者相互印证。进一步观察流线图、等势线图以及压强系数图能够发现，障碍物绕流所展现出的情况与实际流动状况有较高的吻合度。

本文首次系统应用Schwarz-Christoffel变换解析半无限平面边界障碍物的绕流问题，无粘性不可压缩流突破了传统无限流域模型的限制；精确推导障碍物表面的速度与压强分布，揭示混合边界条件下的流场特性，能为丁坝等实际水利工程的绕流分析提供直接的理论模型与基准解，具有重要的理论意义与应用价值。

参考文献

[1] 董乐善. 理想不可压缩平面位流绕翼流动的保角变换解法［J］. 西安公路学院学报， 1984， 4（4）： 82-90.

[2] 范伯全. 不可压缩欧拉方程卡门涡街解的去奇异化［D］. 广州： 广州大学， 2022.

[3] 夏曦， 尤再进， 王召伟. 圆柱绕流的三大类型湍流模型及稳定性数值模拟研究［J］. 水利水运工程学报， 2024（5）： 84-94.

[4] 徐新生， 王敏中. 空间Stokes流的三维复变函数法［J］. 北京大学学报（自然科学版）， 1991， 27（1）： 22-25.

[5] 符永正， 李义科， 武文斐. 高层建筑空气绕流运动的数值模拟［J］. 武汉冶金科技大学学报， 1998， 21（1）：5.

[6] 盛磊祥， 陈国明， 刘健. 带阻流板海底管道管跨绕流流场分析［J］. 中国海上油气， 2007， 19（6）： 424-427.

[7] 朱景辉. 有限平板绕流的数值模拟［J］. 计算物理， 1990， 7（3）： 363-370.

[8] 张大朋， 严谨， 赵博文， 等. 二维溃坝的数值模拟及其自由液面大变形流动研究［J］. 中国海洋大学学报（自然科学版）， 2022， 52（12）： 120-133.

[9] 魏文杰，张小霞，张新华.丁坝布置形式对中小河流栖息地影响的数值模拟研究［J］.中国农村水利水电，2017（9）：136-140.

[10] 纪雪林， 田振国， 郝亚娟， 等. 椭圆柱绕流的理论研究［J］. 燕山大学学报， 2014， 38（1）： 89-94.

[11] 纪雪林. 不同外形壳体的绕流及变形分析［D］. 秦皇岛： 燕山大学， 2014.

[12] 张雪娇，刘官厅.椭圆柱绕流的相关问题研究［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2021，50（1）：15-24.

[13] 张雪娇， 刘官厅. 点汇对圆柱绕流流场的影响研究［J］. 数学的实践与认识， 2020， 50（21）： 269-277.

[14] 张雪娇， 刘官厅. 点涡对圆柱绕流流场的影响研究［J］. 内蒙古大学学报（自然科学版）， 2020， 51（6）： 600-607.

[15] 张雪娇. 具有复杂边界柱体的绕流问题研究［D］. 呼和浩特： 内蒙古师范大学， 2021.

[16] SINHA S K， ODGAARD A J. Applications of conformal mapping to diverging open channel flows［J］. Journal of Engineering Mathematics， 1996， 30（3）： 355-363.

[17] LÜ J， ZHU X L， YU Y. A two-dimensional liquid sloshing analysis in a partially filled complicated-shape tank by the schwarz-christoffel transformation［J］. Acoustics， 2024， 6（2）： 346-361.

[18] 姬安召， 王玉风， 张光生. 基于Schwarz Christoffel变换的曲流河地质建模方法［J］. 科学技术与工程， 2022， 22（15）： 6051-6059.

[19] 张伟， 张文普. 基于Schwarz-Christoffel变换的非圆截面血管流场分布研究［J］. 应用数学和力学， 2021， 42（5）： 470-480.

[20] TREVELYAN P M J， ELLIOTT L， INGHAM D B. Potential flow in a semi-infinite channel with multiple sub-channels using the Schwarz-Christoffel transformation［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2000， 189（1）： 341-359.

[21] 陆永军， 徐成伟， 陈志轩. 丁坝绕流研究的现状及进展［J］. 水道港口， 1991， 12（1）： 23-29.

[22] 周光垌，严宗毅，许世雄，等 ．流体力学：上册［M］．2版．北京：高等教育出版社，2011.

[23] 吴望一 ．流体力学：下册［M］．北京：北京大学出版社，2004.

[24] 夏国泽. 船舶流体力学［M］. 武汉： 华中科技大学出版社， 2003.

基金资助

国家自然科学基金资助项目“压电准晶材料弹塑性断裂力学模型及广义复变方法研究”(12162027)

内蒙古自治区自然科学基金重点资助项目“稀土准晶材料的弹性理论及多尺度断裂力学问题研究”(2024ZD21)

内蒙古师范大学基本科研业务费资助项目“多场耦合智能材料断裂力学问题研究”(2023JBZD005)