流体中碳纳米管增强复合材料梁的自由振动分析

Free Vibration Analysis of Carbon Nanotube-Reinforced Composite Beams in Fluid

摘要

基于一阶剪切变形理论（FSDT）和势流理论，研究流体中的功能梯度碳纳米管增强复合材料（FG-CNTRCs）梁的自由振动特性。通过分离变量法确定流体速度势和水动力载荷，结合Hamilton原理推导运动方程，并采用多域广义微分正交（GDQ）方法离散求解，计算梁在空气和流体中的固有频率。参数化研究分析长厚比、边界条件、碳纳米管（CNTs）分布模式及流体密度等参数对振动特性的影响。

Abstract

Based on the first-order shear deformation theory （FSDT） and potential flow theory， this paper investigates the free vibration characteristics of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite （FG-CNTRC） beams in fluid. The fluid velocity potential and hydrodynamic loads are determined by adopting the method of separation of variables. Additionally， combined with Hamilton's principle， the equations of motion are derived， and the multi-domain generalized differential quadrature （GDQ） method is employed for a discrete solution to calculate the natural frequency of the beam in the air and fluid. A parametric study is conducted to analyze the effects of parameters such as the aspect ratio， boundary conditions， CNT distribution patterns， and fluid density on the vibration characteristics.

Graphical abstract

关键词

一阶剪切变形理论 / 功能梯度碳纳米管增强复合材料梁 / 自由振动 / Hamilton原理 / 多域广义微分正交（GDQ）方法

Key words

first-order shear deformation theory / functionally graded carbon nanotube-reinforced composite beam / free vibration / Hamilton's principle / multi-domain generalized differential quadrature （GDQ） method

1991年日本科学家伊藤刚志（Sumio Iijima）^［1］发现“碳纳米管（CNTs）”。Gong等^［2］通过试验得出，将1%的CNTs加入复合材料中，整个结构的弹性模量将增加30%。Wuite和Adali^［3］发现，在混凝土梁中均匀分散少量CNTs，可使结构的刚度显著提高。Shen等^［4］首次提出FG-CNTRCs。Kwon等^［5］在实验室制备出FG-CNTRCs。Bohlén和Bolton^［6］通过分子动力学（MD）模拟观察到，定向CNTs的存在使复合梁的杨氏模量在指定方向上增强。Yas和Samadi^［7］研究了嵌入FG-CNTRCs的铁木辛柯梁的屈曲和自由振动特性。Lin和Xiang^［8］采用FSDT和三阶剪切变形原理（TSDT）研究了由FG-CNTRCs制成的梁的固有频率特性。Ansari等^［9］使用FSDT研究了FG-CNTRCs梁的受力响应。Aydogdu^［10］研究了由FG-CNTRCs制成的梁的振动响应。Chaudhari和Lal^［11］研究了FG-CNTRCs制成的弹性支撑梁在不同温度条件下的自由振动行为。Gholami等^［12］采用Timoshenko梁理论研究了具有几何缺陷的FG-CNTRCs复合梁在谐波横向载荷下的动态行为。Shafiei和Setoodeh^［13］在非线性基础上，评估了由FG-CNTRCs材料制成的梁的后屈曲和自由振动特性。Ghorbani等^［14］研究了由FG-CNTRCs材料制成的预扭曲梁的热振动特性。Tas和Soykok^［15］研究了掺入CNTs对复合梁刚度的影响。Talebizadehsardari等^［16］研究了由FG-CNTRCs组成的弯曲梁的静态弯曲特性。Westergaard^［17］提出了固液结构的耦联振动问题。

目前国内外对FG-CNTRCs梁的研究主要是对梁板的线性和非线性自由振动、受迫振动、屈曲、弯曲、热后屈曲等，主要环境有热环境、弹性地基上以及压电材料等，但在流体环境中的研究较少。

本文基于FSDT和势流理论，研究浸没于双侧流体中的FG-CNTRCs梁的自由振动特性。通过将流体动力荷载等效为附加分布质量，结合分离变量法计算流体速度势和水动力载荷，利用Hamilton原理推导梁-流体相互作用的运动方程和边界条件，并采用GDQ方法离散方程，计算梁在空气及流体中的固有频率。数值分析探讨长厚比、边界条件、CNTs分布模式及流体密度等参数对振动特性的影响。

1 理论建模

1.1 FG-CNTRCs梁-流体系统

FG-CNTRCs梁-流体系统如图1所示，长度为l、厚度为h的杆与流体接触，左侧流体深度为l₁，右侧流体深度为l₂。笛卡尔坐标系原点位于梁的底部中心（z=0），x轴和z轴分别沿水平和垂直方向。FG-CNTRCs梁由各向同性基体材料和碳纳米管组合而成，其中碳纳米管按照功能梯度的形式沿厚度方向分布在基体中，材料属性沿着厚度方向呈现功能梯度变化， 现有的碳纳米管有四种不同的分布形式，分别为UD、FG-Λ、FG-X和FG-O，碳纳米管的体积率可表示为

\begin{array}{l}\mathrm{U}\mathrm{D}: V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}(x)=V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.\le x\le \raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.;\\ \mathrm{F}\mathrm{G}-\mathrm{X}: V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\mathrm{4}x}{h}{V}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.\le x\le \mathrm{0},\\ \frac{\mathrm{4}x}{h}{V}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},\mathrm{0}\le x\le \raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.;\end{array}\right.\\ \mathrm{F}\mathrm{G}-\mathrm{O}: V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}(x)=\left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{4}x}{h}\right)V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.\le x\le \mathrm{0},\\ \left(\mathrm{2}-\frac{\mathrm{4}x}{h}\right)V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},\mathrm{0}\le x\le \raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.;\end{array}\right.\\ \mathrm{F}\mathrm{G}-\mathrm{\Lambda }: V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}(x)=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}x}{h}{V}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}},-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.\le x\le \raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.\mathrm{。}\end{array}（1）

其中V{}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{*}是碳纳米管的总体积分数，UD、FG-Λ、FG-X和FG-O分布模式下梁的总质量分数保持不变。

为了在复合材料物理模型参数中能够计入尺寸、界面及应变梯度效应等影响，Shen^［4］于2009年考虑了碳纳米管的尺寸及温度依赖性，引入碳纳米管的效能参数提出广泛应用的广义混合律模型：

\left\{\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{11}}\left(x\right)={\eta }_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right)E_{\mathrm{11}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}+V_{\mathrm{m}}\left(x\right)E^{\mathrm{m}},\\ E_{\mathrm{22}}\left(x\right)=\frac{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\frac{V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right)}{{E_{\mathrm{22}}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}}+\frac{V_{\mathrm{m}}\left(x\right)}{E^{\mathrm{m}}}},\\ G_{\mathrm{12}}\left(x\right)=\frac{{\eta }_{\mathrm{3}}}{\frac{V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right)}{{G_{\mathrm{12}}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}}+\frac{V_{\mathrm{m}}\left(x\right)}{G^{\mathrm{m}}}},\\ V_{\mathrm{m}}\left(x\right)=\mathrm{1}-V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right),\end{array}\right.（2）

其中E_{\mathrm{11}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}、{E_{\mathrm{22}}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}、{G_{\mathrm{12}}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}分别表示FG-CNTRCs的有效弹性模量和剪切模量，下标11、下标22分别为沿碳纳米管水平排布方向及垂直碳纳米管排布的方向，{\eta }_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\right)为碳纳米管的效能参数，可通过匹配广义混合律模型预测得到；E^{\mathrm{m}}、G^{\mathrm{m}}分别为基体的弹性模量和剪切模量，V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}、V_{\mathrm{m}}分别为碳纳米管和基体的体积分数。FG-CNTRCs梁泊松比和质量密度定义为

\begin{array}{l}{\nu }_{\mathrm{12}}(x)=V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right){\nu }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}+V_{\mathrm{m}}\left(x\right){\nu }^{\mathrm{m}},\\ {\nu }_{\mathrm{21}}(x)=\frac{{\nu }_{\mathrm{12}}(x)}{E_{\mathrm{11}}\left(x\right)}{E}_{\mathrm{22}}\left(x\right),\\ \rho (x)=V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}\left(x\right){\rho }^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}+V_{\mathrm{m}}\left(x\right){\rho }^{\mathrm{m}},\end{array}（3）

式中{\rho }^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}、{\rho }^{\mathrm{m}}分别表示碳纳米管和各向同性基体的密度，{\nu }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}、ν^m分别表示碳纳米管和各向同性基体材料的泊松比，{\nu }_{\mathrm{12}}表示沿着碳纳米管水平排布方向作用的应力引起的应变对应的泊松比，{\nu }_{\mathrm{21}}表示垂直于碳纳米管方向作用的应力引起的应变对应的泊松比。

1.2 动水压力载荷

假设流体是理想的不可压缩、无粘性和无旋的流体，因此下文忽略流体阻尼效应，存在满足Laplace方程的速度势\mathrm{\Phi }(x,z,t)：

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{\Phi }}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}\mathrm{\Phi }}{\partial z^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}。（4）

关键假设：

（1）忽略自由表面波动的影响；

（2）远离梁时，流体被认为是未受干扰的，因此速度势在无穷远处为零；

（3）流体底部没有垂直方向的流体运动：在流体底部边界处，流体的垂直速度为零；

（4）界面处的横向速度相等：在梁与流体相互作用的界面上，梁与流体的横向速度相等，这意味着流体的运动与梁的振动一致。

对于梁左侧液体，

\mathrm{\Phi }{\left|\right.}_{z=l_{\mathrm{1}}}=\mathrm{0},\mathrm{\Phi }{\left|\right.}_{x\to -\mathrm{\infty }}=\mathrm{0},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}{\left|\right.}_{z=\mathrm{0}}=\mathrm{0},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}{\left|\right.}_{x=-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=\frac{\partial W\left(z,t\right)}{\partial t} ,x\le -\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.；（5）

对于梁右侧液体，

\mathrm{\Phi }{\left|\right.}_{z=l_{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},\mathrm{\Phi }{\left|\right.}_{x\to +\mathrm{\infty }}=\mathrm{0},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}{\left|\right.}_{z=\mathrm{0}}=\mathrm{0},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}{\left|\right.}_{x=\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=\frac{\partial W\left(z,t\right)}{\partial t} ,x\ge \raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.，（6）

其中W（z，t）=Y（z）T（t）是梁的横向振动位移，Y（z）是梁在振动时的挠度函数，即振幅。

设\mathrm{\Phi }(x,z,t)=X(x)Z(z)\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}，由伯努利方程p(x,z,t)=-{\rho }_f\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}可知，左右两侧液体作用在梁上的动水压力p_{\mathrm{1}}(x,z,t){\left|\right.}_{x=-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}，p_{\mathrm{2}}(x,z,t){\left|\right.}_{x=\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}，其中{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}}是左右两侧液体的密度。

p_{\mathrm{1}}(x,z,t){\left|\right.}_{x=-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=-{\rho }_{\mathrm{1}}\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}}{\partial t}{\left|\right.}_{x=-\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=-\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}T}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{4}{\rho }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\pi }}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\lambda }_{\mathrm{1}}z){\int }_{\mathrm{0}}^{l_{\mathrm{1}}}Y(\xi )cos({\lambda }_{\mathrm{1}}\xi )\mathrm{d}\xi，（7）

p_{\mathrm{2}}(x,z,t){\left|\right.}_{x=\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=-{\rho }_{\mathrm{2}}\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}}{\partial t}{\left|\right.}_{x=\raisebox{1ex}{$h$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{2}$}\right.}=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}T}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{4}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{\pi }}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\lambda }_{\mathrm{2}}z){\int }_{\mathrm{0}}^{l_{\mathrm{2}}}Y(\xi )cos({\lambda }_{\mathrm{2}}\xi )\mathrm{d}\xi，（8）

其中{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{(\mathrm{2}n-\mathrm{1})\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{(\mathrm{2}n-\mathrm{1})\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}},n=(\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots )。

设梁上的单位高度的动水总压力为p_{\mathrm{c}}(z,t)，增加的质量为\mathrm{\Theta }(z)，则

，（9）

（10）

1.3 控制方程

根据一阶剪切变形理论（FSDT），设\overline{U}和\overline{W}分别表示梁沿z和x方向的位移。根据FSDT，FG-CNTRCs梁上任意点沿x方向和z方向的位移可以表示为

\overline{U}(x,z,t)=U(z,t)+x\mathrm{\Psi }(z,t),\overline{W}(x,z,t)=W(z,t)，（11）

式中U(z,t)和W(z,t)为梁中间平面的纵向和横向位移，\mathrm{\Psi }(z,t)为梁的转动位移，t为时间，x表示梁上一点距离中间平面的距离。

梁的刚度分量和惯性项定义为

\begin{array}{l}\left\{A_{\mathrm{11}},B_{\mathrm{11}},D_{\mathrm{11}}\right\}={\int }_{-h/\mathrm{2}}^{h/\mathrm{2}}{Q}_{\mathrm{11}}(x)\left\{\mathrm{1},x,x^{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{d}x,A_{\mathrm{55}}={\int }_{-h/\mathrm{2}}^{h/\mathrm{2}}{Q}_{\mathrm{55}}\left(x\right)\mathrm{d}x,\\ \left\{I_{\mathrm{1}},I_{\mathrm{2}},I_{\mathrm{3}}\right\}={\int }_{-h/\mathrm{2}}^{h/\mathrm{2}}\rho (x)\left\{\mathrm{1},x,x^{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{d}x,\end{array}（12）

其中

Q_{\mathrm{11}}\left(x\right)=\frac{E_{\mathrm{11}}\left(x\right)}{\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{12}}(x){\nu }_{\mathrm{21}}(x)},Q_{\mathrm{55}}\left(x\right)=G_{\mathrm{12}}(x),\kappa =\mathrm{5}/\mathrm{6}。（13）

Hamilton原理推导了梁-流体相互作用系统的运动微分方程

{\int }_{\mathrm{0}}^t\delta ({\prod }_{\mathrm{S}}-{\prod }_{\mathrm{K}}-{\prod }_{\mathrm{W}})\mathrm{d}t=\mathrm{0}，（14）

得到控制方程

A_{\mathrm{11}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{U}_i}{\partial {z_i}^{\mathrm{2}}}+B_{\mathrm{11}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Psi }}_i}{\partial {z_i}^{\mathrm{2}}}=I_{\mathrm{1}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{U}_i}{\partial t^{\mathrm{2}}}+I_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Psi }}_i}{\partial t^{\mathrm{2}}}，（15）

\kappa A_{\mathrm{55}}\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{W}_i}{\partial {z_i}^{\mathrm{2}}}+\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_i}{\partial z_i}\right)=\left(I_{\mathrm{1}}+{\mathrm{\Theta }}_i\right)\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{W}_i}{\partial t^{\mathrm{2}}}，（16）

B_{\mathrm{11}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{U}_i}{\partial {z_i}^{\mathrm{2}}}+D_{\mathrm{11}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Psi }}_i}{\partial {z_i}^{\mathrm{2}}}-\kappa A_{\mathrm{55}}\left(\frac{\partial W_i}{\partial z_i}+{\mathrm{\Psi }}_i\right)=I_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{U}_i}{\partial t^{\mathrm{2}}}+I_{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Psi }}_i}{\partial t^{\mathrm{2}}}。（17）

其中\mathrm{0}\le z_{\mathrm{1}}\le l_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{1}}\le z_{\mathrm{2}}\le l_{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}\le z_{\mathrm{3}}\le l。

在本研究中，梁两端的边界条件可以考虑为固支-自由端（C-F），简支端（H-H）。C-F为

\left\{\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}:U_{\mathrm{1}}=W_{\mathrm{1}}={\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},\\ z_{\mathrm{3}}=l:N_{Z_{\mathrm{3}}}=Q_{Z_{\mathrm{3}}}=M_{z_{\mathrm{3}}}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（18）

H-H为

\left\{\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}:U_{\mathrm{1}}=W_{\mathrm{1}}=M_{z_{\mathrm{1}}}=\mathrm{0},\\ z_{\mathrm{3}}=l:U_{\mathrm{3}}=W_{\mathrm{3}}=M_{z_{\mathrm{3}}}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（19）

流体自由表面的相容条件为

\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{1}}=l_{\mathrm{1}}:U_{\mathrm{1}}=U_{\mathrm{2}},N_{z_{\mathrm{1}}}=N_{z_{\mathrm{2}}},W_{\mathrm{1}}=W_{\mathrm{2}},Q_{z_{\mathrm{1}}}=Q_{z_{\mathrm{2}}},{\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{1}}={\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{2}},M_{z_{\mathrm{1}}}=M_{z_{\mathrm{2}}},\\ z_{\mathrm{2}}=l_{\mathrm{2}}:U_{\mathrm{2}}=U_{\mathrm{3}},N_{z_{\mathrm{2}}}=N_{z_{\mathrm{3}}},W_{\mathrm{2}}=W_{\mathrm{3}},Q_{z_{\mathrm{2}}}=Q_{z_{\mathrm{3}}},{\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{2}}={\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{3}},M_{z_{\mathrm{2}}}=M_{z_{\mathrm{3}}}\mathrm{。}\end{array}（20）

1.4 无量纲化

引入无量纲量

\begin{array}{l}\left({\zeta }_{\mathrm{1}},{\zeta }_{\mathrm{2}},{\zeta }_{\mathrm{3}},\zeta \right)=\left(\frac{z_{\mathrm{1}}}{l_{\mathrm{1}}},\frac{z_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}}{l_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}},\frac{z_{\mathrm{3}}-l_{\mathrm{2}}}{l-l_{\mathrm{2}}},\frac{z}{l}\right),(g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{3}})=(\frac{l_{\mathrm{1}}}{l},\frac{l_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}}{l},\frac{l-l_{\mathrm{2}}}{l}),\omega =\frac{\mathrm{\Omega }}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{0}}},\\ ({\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}},{\eta }_{\mathrm{3}},\eta )=(\frac{l_{\mathrm{1}}}{h},\frac{l_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}}{h},\frac{l-l_{\mathrm{2}}}{h},\frac{l}{h}),\left(u,w\right)=\frac{\left(U,W\right)}{h},\psi =\mathrm{\Psi },\theta \left(\zeta \right)=\frac{\mathrm{\Theta }\left(z\right)}{I_{\mathrm{10}}},\tau ={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{0}}t,\\ \left({\tilde{I}}_{\mathrm{1}},{\tilde{I}}_{\mathrm{2}},{\tilde{I}}_{\mathrm{3}}\right)=\left(\frac{I_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{10}}},\frac{I_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{10}}h},\frac{I_{\mathrm{3}}}{I_{\mathrm{10}}{h}^{\mathrm{2}}}\right),\left(a_{\mathrm{11}},a_{\mathrm{55}},b_{\mathrm{11}},d_{\mathrm{11}}\right)=(\frac{A_{\mathrm{11}}}{A_{\mathrm{110}}},\frac{\kappa A_{\mathrm{55}}}{A_{\mathrm{110}}},\frac{B_{\mathrm{11}}}{A_{\mathrm{110}}h},\frac{D_{\mathrm{11}}}{A_{\mathrm{110}}{h}^{\mathrm{2}}}),{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{l}\sqrt[]{\frac{A_{\mathrm{110}}}{I_{\mathrm{10}}}}\mathrm{。}\end{array}（21）

将无量纲参数式（21）代入式（15）-（20）中，得到量纲归一化后的控制方程、边界条件、相容条件。

2 微分求积法

根据GDQ近似，位移分量及其对\zeta的k阶导数可以离散为

\begin{array}{l}\left\{u_i,w_i,{\psi }_i\right\}\left|{}_{\zeta ={\zeta }_{ij}}\right.={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^N}{q}_m({\zeta }_{ij})\left\{u_{im},w_{im},{\psi }_{im}\right\},\\ \frac{{\partial }^k}{\partial {\zeta }_i^k}\left\{u_i,w_i,{\psi }_i\right\}\left|{}_{\zeta ={\zeta }_{ij}}\right.={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^N}{C}_{ijm}^{\left(k\right)}\left\{u_{im},w_{im},{\psi }_{im}\right\},\end{array}（22）

其中u_{im}=u\left({\zeta }_{im},\tau \right),w_{im}=w\left({\zeta }_{im},\tau \right),{\psi }_{im}=\psi \left({\zeta }_{im},\tau \right)；下标i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}分别为浸没在流体中的部分梁和暴露在空气中的部分梁对应的物理量；q_m\left({\zeta }_{ij}\right)是拉格朗日插值多项式；C_{ijm}^{\left(k\right)}为加权系数。采样点（网格点）为

\begin{array}{l}{\zeta }_{\mathrm{1}{j}_{\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }\left(j-\mathrm{1}\right)}{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\right] ,j_{\mathrm{1}}=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N_{\mathrm{1}},\mathrm{0}\le {\zeta }_{\mathrm{1}{j}_{\mathrm{1}}}\le \mathrm{1},\\ {\zeta }_{\mathrm{2}{j}_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }\left(j-N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right] ,j_{\mathrm{2}}=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1},\cdots ,N_T ,\mathrm{0}\le {\zeta }_{\mathrm{2}{j}_{\mathrm{2}}}\le \mathrm{1},\\ {\zeta }_{\mathrm{3}{j}_{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }\left(j-N_{\mathrm{1}}-N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)}{N_{\mathrm{3}}-\mathrm{1}}\right] ,j_{\mathrm{3}}=N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\mathrm{1},\cdots ,N ,\mathrm{0}\le {\zeta }_{\mathrm{3}{j}_{\mathrm{3}}}\le \mathrm{1}, \end{array}（23）

其中N为分布在\zeta轴上的节点总数，N_T=N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}},N=N_T+N_{\mathrm{3}}。

控制方程离散为

\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{2}\right)}{u}_{i{m}_i}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{2}\right)}{\psi }_{i{m}_i}=g_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left({\tilde{I}}_{\mathrm{1}}{\ddot{u}}_{i{j}_i}+{\tilde{I}}_{\mathrm{2}}{\ddot{\psi }}_{i{j}_i}\right),\\ a_{\mathrm{55}}({\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{2}\right)}{w}_{i{m}_i}+{\eta }_{\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{1}\right)}{\psi }_{i{m}_i})=g_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left[{\tilde{I}}_{\mathrm{1}}+\theta \left({\zeta }_{i{j}_i}\right)\right]{\ddot{w}}_{i{j}_i},\\ b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{2}\right)}{u}_{i{m}_i}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{i{j}_i{m}_i}^{\left(\mathrm{2}\right)}{\psi }_{i{m}_i}-{\eta }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{55}}({\displaystyle \sum _{m_i}^{}}{C}_{j_i{m}_i}^{\left(\mathrm{1}\right)}{w}_{i{j}_i}+{\eta }_{\mathrm{1}}{\psi }_{i{j}_i})=g_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left({\tilde{I}}_{\mathrm{2}}{\ddot{u}}_{i{j}_i}+{\tilde{I}}_{\mathrm{3}}{\ddot{\psi }}_{i{j}_i}\right)\mathrm{。}\end{array}（24）

边界条件离散：C-F为

\left\{\begin{array}{l}{\zeta }_{\mathrm{11}}=\mathrm{0}:u_{\mathrm{11}}=w_{\mathrm{11}}={\psi }_{\mathrm{11}}=\mathrm{0},\\ {\zeta }_{\mathrm{3}N}=\mathrm{1}:\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{u}_{\mathrm{3}m}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{\psi }_{\mathrm{3}m}=\mathrm{0},\\ b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{u}_{\mathrm{3}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{u}_{\mathrm{3}m}=\mathrm{0},\\ a_{\mathrm{55}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{3}}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{w}_{\mathrm{3}m}+{\psi }_{\mathrm{3}N}\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.\end{array}\right.（25）

H-H为

\left\{\begin{array}{l}{\zeta }_{\mathrm{11}}=\mathrm{0}:u_{\mathrm{11}}=w_{\mathrm{11}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{11}m}^{\left(\mathrm{1}\right)}{u}_{\mathrm{1}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{11}m}^{\left(\mathrm{1}\right)}{\psi }_{\mathrm{1}m}=\mathrm{0},\\ {\zeta }_{\mathrm{3}N}=\mathrm{1}:u_{\mathrm{3}N}=w_{\mathrm{3}N}=\mathrm{0},b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{u}_{\mathrm{3}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=NT+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}Nm}^{\left(\mathrm{1}\right)}{\psi }_{\mathrm{3}m}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（26）

相容条件离散为

\begin{array}{l}{\zeta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}({\zeta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}):\\ u_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}=u_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})},w_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}=w_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})},{\psi }_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}={\psi }_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})},\\ \frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}\left(a_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{1}m}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{1}m}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}\left(a_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{2}m}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{2}m}\right),\\ \frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}\left(b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{1}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{1}m}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}\left(b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{2}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{2}m}\right),\\ a_{\mathrm{55}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}}{C}_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}m}^{(\mathrm{1})}{w}_{\mathrm{1}m}+{\psi }_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}\right)=a_{\mathrm{55}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{w}_{\mathrm{2}m}+{\psi }_{\mathrm{2}(N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})}\right);\end{array}（27）

\begin{array}{l}{\zeta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}({\zeta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}):\\ u_{\mathrm{2}{N}_T}=u_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})},w_{\mathrm{2}{N}_T}=w_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})},{\psi }_{\mathrm{2}{N}_T}={\psi }_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})},\\ \frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}\left(a_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}{N}_{T}m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{2}m}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}{N}_{T}m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{2}m}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{3}}}\left(a_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{3}m}+b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{3}m}\right),\\ \frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}\left(b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}{N}_{T}m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{2}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}{N}_{T}m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{2}m}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{3}}}\left(b_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{u}_{\mathrm{3}m}+d_{\mathrm{11}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{\psi }_{\mathrm{3}m}\right),\\ a_{\mathrm{55}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\displaystyle \sum _{m=N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}^{N_T}}{C}_{\mathrm{2}{N}_{T}m}^{(\mathrm{1})}{w}_{\mathrm{2}m}+{\psi }_{\mathrm{2}{N}_T}\right)=a_{\mathrm{55}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{3}}}{\displaystyle \sum _{m=N_T+\mathrm{1}}^N}{C}_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})m}^{(\mathrm{1})}{w}_{\mathrm{3}m}+{\psi }_{\mathrm{3}(N_T+\mathrm{1})}\right)\mathrm{。}\end{array}（28）

将边界条件（25-26）和相容条件（27-28）代入控制方程（24），得到控制方程的矩阵形式

\begin{array}{l}(\mathbf{M}+{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}})\ddot{d}+\mathbf{K}d=\mathrm{0},\\ d=\left\{\left\{u_i\right\},\left\{w_i\right\},\left\{{\phi }_i\right\}\right\},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N,\end{array}（29）

其中，\mathbf{K}为刚度矩阵，\mathbf{M}为质量矩阵，{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}}为附加质量矩阵。对于简谐运动，动态位移矢量d可以表示为d=d^{\mathrm{*}}{\mathrm{e}}^{iw\tau }的形式，其中d^{\mathrm{*}}为振动模态振型向量。继续写成

\left[\mathbf{K}-{\omega }^{\mathrm{2}}(\mathbf{M}+{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}})\right]\mathrm{d}=\mathrm{0}。（30）

由于{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}}中各元素的取值依赖于位移，本文采用迭代方法确定梁-流体相互作用系统的固有频率，迭代步骤如下：

（1）忽略附加质量矩阵{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}}，由特征值方程（30）得到FG-CNTRCs梁在空气中的初始特征值（振动频率）及其相关特征向量（振动模态）；

（2）利用步骤（1）的特征向量计算{\mathbf{M}}_{\mathbf{F}}，从更新后的特征值方程（30）得到新的特征值和特征向量；

（3）继续进行步骤（2），直到连续两次迭代得到的特征值之间的相对误差<0.1%，则可以得到梁流体系统的固有频率。

此外，在数值算例中，使用维度固有频率f=\mathrm{\Omega }/\mathrm{2}\mathrm{\pi },\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{0}}\omega。

3 数值算例分析

本文讨论CNT1和CNT2两种碳纳米管增强材料，材料参数见表1。基体材料均为聚甲基丙烯酸甲酯，材料属性为E_{\mathrm{m}}=\mathrm{2.5},{\nu }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.3},{\rho }_{\mathrm{m}}=\mathrm{1}\mathrm{190}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}通过与分子动力学模拟结果相匹配^{［18⁃19］}，可得到CNTs的效能参数，见表2。FG-CNTRCs梁厚度h=0.1 m。

3.1 收敛与验证

在参数研究之前，本文进行了收敛和比较分析，以验证本公式和求解过程的准确性。表3列出了CNT1，V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0.17}，UD型FG-CNTRCs梁-流体相互作用系统具有不同网格点数量的基频。在本例中，两侧流体是水\rho =\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},g_{\mathrm{1}}=g_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},g_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}表示梁在空气中；g_{\mathrm{1}}=g_{\mathrm{2}}=g_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}/\mathrm{3}表示左侧流体深度占梁长的1/3，右侧流体深度占梁长的2/3；g_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},g_{\mathrm{2}}=g_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}梁与流体完全接触，长厚比l/h=\mathrm{12}。为简单起见，对左侧流体子域的网格点数N_{\mathrm{1}}和右侧流体子域的网格点数N_T和空气子域的网格点数N_{\mathrm{3}}，选取相同数N_{\mathrm{1}}=N_{\mathrm{2}}=N_{\mathrm{3}}=m。表3表明，当网格点数目增加到15个时，基频不再波动，此时解具有较好的收敛性。

对UD、FG-Λ、FG-O和FG-X四种碳纳米管分布形式和不同体积分数，在两端简支（H-H）边界条件下运用GDQ法求解，得到其前三阶的自由振动固有频率，见表4。以UD和FG-X为例，由表4可以看出本文所用模型求得的结果与Ke^［20］和郑思文^［21］等文献中的结果基本一致，说明了所建立模型的正确性。

3.2 比较

以FG-Λ和FG-X为例，在C-F边界条件下，不同体积分数V{}_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{*}下长厚比对CNT1和CNT2两种FG-CNTRCs梁-流相互作用系统基频的影响如图2所示。分析图2可知，对于不同类型的碳纳米管增强材料，CNT2的高密度增加了复合材料梁的质量，导致基频下降。相比之下，CNT1的密度较低，虽然刚度较低，但由于质量更轻，最终使得基频高于CNT2。同时随着长厚比增加，基频逐渐减小，表明长厚比增大导致梁的刚度降低，从而降低振动基频。在本例中，两侧流体是水\rho =\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},

g_{\mathrm{1}}=g_{\mathrm{2}}=g_{\mathrm{3}}=\mathrm{1},h=\mathrm{0.1}\mathrm{m}。

FG-X型分布模式表现异常是由于刚度分布不均，刚度主要集中在表面，中间区域贡献几乎为零，产生了非线性耦合效应，刚度与质量的非线性分布影响固有频率的稳定性。

图3研究了在C-F边界条件下，CNT2碳纳米增强复合材料梁在不同液体环境中（丙酮、溴仿和水）表现的基频f随碳纳米管体积分数V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}}的变化。分析图可知，所有分布模式下（UD、FG-Λ、FG-X、FG-O），随着V_{\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}}^{\mathrm{*}}增加，基频f均呈上升趋势。这是由于体积分数增加提升了材料刚度。

在不同液体环境下，流体密度较高，导致附加质量较大，基频整体略低，丙酮（Acetone-Acetone）的基频较高，液体密度较低，对系统的附加质量影响较小。水（Water-Water）的基频略低于丙酮环境，因为水的密度较大，增加了系统的附加质量，降低了固有频率。溴仿（Bromoform-Bromoform）的基频最低，溴仿密度最高，系统附加质量最大，对频率的抑制作用最明显。在本例中，丙酮（{\rho }_f=\mathrm{788}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）、水（{\rho }_f=\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）和溴仿（{\rho }_f=\mathrm{2}\mathrm{820}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}），g_{\mathrm{1}}=g_{\mathrm{2}}=g_{\mathrm{3}}=\mathrm{1},l/h=\mathrm{12}。

4 结论

本文主要研究了浸没于双侧流体中的功能梯度FG-CNTRCs梁的自由振动特性。流体动力作用可以等效为FG-CNTRCs梁横振动时的附加质量。结合一阶剪切变形理论和势流理论，通过求解Laplace方程确定流体速度势和流体动力荷载，利用Hamilton原理和GDQ法，导出了控制方程和边界条件以及连续性条件的离散化形式，采用直接迭代法计算了梁-流耦合系统的基频和模态。通过数值算例分析了体积分数、端部边界条件、流体密度、分布模式、长厚比等关键参数对振动特性的影响。以下为研究结果。

（1）碳纳米管体积分数越大，基频越高，因为材料刚度得到提升。

（2）流体密度越大，附加质量越大，基频越低。

（3）FG-X异常表现：由于刚度分布不均、分散问题、非线性耦合和应力集中，FG-X在高体积分数和高l/h比下表现异常。

碳纳米管体积分数、边界条件、液体环境共同影响FG-CNTRs梁的基频性能，而流体密度的增加显著降低系统的基频。本研究为海洋工程结构轻量化部件等FG-CNTRCs梁领域的设计提供理论依据，在涉及流体环境的振动、屈曲与优化方面具有重要意义。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“准晶颗粒增强复合材料的细观力学研究”(11962026)

内蒙古自治区自然科学基金重点资助项目“石墨烯增强复合材料力学性能及复杂行为机理研究”(2025ZD024)