（2+1）维变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的复合型新解

New Composite Solutions to （2+1）-Dimensional Variable-Coefficient Kadomtsev-Petviashvili Equation

摘要

基于Bell多项式方法，首先将（2+1）维变系数Kadomtsev-Petviashvili方程转化为Hirota双线性形式；其次利用试探函数法和符号计算系统Mathematica，求出其几种复合型新解；最后通过选取适当的参数，画出精确解的三维图形和等高线图分析解的性质和特点。

Abstract

Based on Bell's polynomial method， this paper first transforms the （2+1）-dimensional variable-coefficient Kadomtsev-Petviashvili equation into the Hirota bilinear form. Secondly， several new composite solutions are obtained by adopting the trial function method and the symbolic computation system Mathematica. Finally， by selecting appropriate parameters， 3D graphs and contour maps of the exact solutions are plotted to analyze the properties and characteristics of the solutions.

Graphical abstract

关键词

Bell多项式方法 / Hirota双线性形式 / 试探函数法 / 复合型新解

Key words

Bell's polynomial method / Hirota bilinear form / trial function method / new composite solution

非线性发展方程的求解问题一直是孤子理论的主要研究内容之一，学者们为了得到非线性发展方程的精确解，相继给出了多种方法，例如Hirota双线性方法^［1］、Bell多项式法^［2］、试探函数法^［3］、Bäcklund变换法^［4］、Darboux变换法^［5］、齐次平衡法^［6］等。

在非线性发展方程中，Korteweg-de Vries（KdV）型方程已被用于浅水、分层内波和等离子体的离子声波中的非线性现象。Kadomtsev-Petviashvili方程也称二维KdV方程，已被用于描述单层浅层流体中振幅小、对横坐标依赖性低的长波，以及不同深度和宽度的海峡或通道中的表面波和内波。研究发现，在模拟不同物理背景下的各种非线性现象时，变系数非线性发展方程比常系数非线性发展方程能更加精确地描述实际情况^［7］。

本文拟研究在单层浅流体中可变系数的（2+1）维变系数Kadomtsev-Petviashvili方程（KP方程）^［7⁃10］

[u_t+\alpha (t)u{u}_x+\beta (t)u_{\mathrm{3}x}{]}_x-\gamma (t)u_{\mathrm{2}y}=\mathrm{0},（1）

其中u是关于缩放空间坐标x\mathrm{、}y和时间坐标t的函数，它是二维流体域在变化地形或倾斜底部湍流中长波的振幅。三个实函数\alpha (t)\ne \mathrm{0},\beta (t)\ne \mathrm{0}和\gamma (t)\ne \mathrm{0}分别表示非线性项系数、色散项系数以及沿y方向的扰动波速度系数。文献［7］已经给出了方程（1）的Lump解、Lump孤子解以及Rogue孤子解。文献［8］研究了方程（1）的Bäcklund变换。文献［9］给出了方程（1）的孤子解。文献［10］给出方程（1）的Wronskian解和Gramian解。文献［7⁃10］都没有给出方程（1）的有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数任意组合的解。而文献［7⁃8，10］中得到方程（1）的双线性形式是利用Hirota直接方法得到的，这种方法的计算量较大。本文基于Bell多项式方法、试探函数法和符号计算系统Mathematica，继续 寻找方程（1）的指数函数、余弦函数和双曲余弦函数两两相乘与有理函数之和的复合型新解，以及有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数之和的复合型新解。

1 Hirota双线性方法与Bell多项式方法

1.1 Hirota双线性导数的定义

设F(x,y,t)和G(x,y,t)是变量x\mathrm{、}y和t的可微函数，引进微分算子D_x\mathrm{、}{D}_y和D_t,使得对任意的非负整数l\mathrm{、}m和n都有

D_x^l{D}_y^m{D}_t^n(F\cdot G)={(\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial x^{\text{'}}})}^l{(\frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial }{\partial y^{\text{'}}})}^m{(\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial t^{\text{'}}})}^{n}F(x,y,t)\cdot G(x,y,t){|}_{x^{\text{'}}=x,y^{\text{'}}=y,t^{\text{'}}=t},（2）

其中x^{\text{'}}\mathrm{、}{y}^{\text{'}}和t^{\text{'}}为形式变量，那么式（2）称Hirota双线性导数，也称为D⁃算子^［1］。

1.2 Bell多项式方法

定义1 设f=f(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n)是具有n个变量的C^{\mathrm{\infty }}上的函数，则称

Y_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(f)=Y_{n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}},\dots ,n_l}(f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l})={\mathrm{e}}^{-f}{\partial }_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}\cdots {\partial }_{x_l}^{n_l}{\mathrm{e}}^f（3）

为多维Bell多项式^{［11⁃12］}。其中f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}={\partial }_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}\cdots {\partial }_{x_l}^{n_l}f,(r_k=\mathrm{0,1},\cdots ,n_k,k=\mathrm{1,2},\cdots ,l)\mathrm{。}

定义2 在定义1的基础上，多维的双Bell多项式可以被定义为

{\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(v,w)=Y_{n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}},\dots ,n_l}(f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}),（4）

其中函数f和它的导数分别被函数v和w的相应项按照如下规则所替换

f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}=\left\{{}_{w_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l},r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}+\cdots +r_l\mathrm{为偶}\mathrm{数。}}^{v_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l},r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}+\cdots +r_l\mathrm{为奇}\mathrm{数},}\right.（5）

定理1 阶数为n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l的双Bell多项式和标准的Hirota双线性项D_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot G之间的关系为

{\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(v=\mathrm{l}\mathrm{n}F/G,w=\mathrm{l}\mathrm{n}FG)={(FG)}^{-\mathrm{1}}{D}_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot G,（6）

其中n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l\ge \mathrm{1}\mathrm{。}特别地，当F=G时，

F^{-\mathrm{2}}{D}_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot F={\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(v=\mathrm{0},w=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F)=\left\{{}_{P_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}(q),n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l\mathrm{为偶}\mathrm{数。}}^{\mathrm{0},n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l\mathrm{为奇}\mathrm{数},}\right.（7）

P多项式为

P_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F)=F^{-\mathrm{2}}{D}_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot F,（8）

当且仅当n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l为偶数时。

所以P多项式可以表示为只含有函数q的偏微分的形式。例如

\begin{array}{l}{P}_{x,t}(q)=q_{xt},P_{\mathrm{2}x}(q)=q_{\mathrm{2}x},\\ P_{\mathrm{3}x,y}(q)=q_{\mathrm{3}x,y}+\mathrm{3}{q}_{\mathrm{2}x}{q}_{xy},P_{\mathrm{4}x}(q)=q_{\mathrm{4}x}+\mathrm{3}{q}_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}},\cdots \mathrm{。}\end{array}（9）

这表明如果一个非线性发展方程可以通过变换写成P多项式的形式，那么它就可以被转化为一个双线性方程。

1.3 KP方程的双线性形式

引入变换

u=c_{\mathrm{0}}{q}_{\mathrm{2}x}（10）

和约束条件

\mathrm{6}\beta (t)=c_{\mathrm{0}}\alpha (t)(c_{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0}),（11）

其中q是x,y和t的函数。将变换（10）和约束条件（11）代入方程（1），并对其x积分两次，积分常数都取零，得到

q_{xt}+\mathrm{3}\beta (t)q_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}+\beta (t)q_{\mathrm{4}x}-\gamma (t)q_{\mathrm{2}y}=\mathrm{0},（12）

利用式（9）可以得到P多项式的形式

P_{xt}(q)+\beta (t)P_{\mathrm{4}x}(q)-\gamma (t)P_{\mathrm{2}y}(q)=\mathrm{0},（13）

再利用式（8），可以得到方程（1）的双线性形式为

[D_x{D}_t+\beta (t)D_x^{\mathrm{4}}-\gamma (t)D_y^{\mathrm{2}}]F\cdot F=\mathrm{0}\mathrm{。}（14）

双线性方程（14）与直接对方程（1）利用Hirota方法得到的双线性形式^［7］是一致的，但是计算量少。由上述计算过程可知，利用Bell多项式方法，将非线性发展方程转化为双线性形式，比直接利用Hirota方法将非线性发展方程转化为双线性形式要简单得多。

2 试探函数法与精确解

基于试探函数法，引入下列试探函数，构造精确解。

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{1}}=g^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}}+p{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\xi }_{\mathrm{2}}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\xi }_{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{9}},\\ g=a_{\mathrm{1}}x+a_{\mathrm{2}}y+a_{\mathrm{3}}(t)+a_{\mathrm{4}},h=a_{\mathrm{5}}x+a_{\mathrm{6}}y+a_{\mathrm{7}}(t)+a_{\mathrm{8}},\\ {\xi }_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{1}}x+p_{\mathrm{2}}y+p_{\mathrm{3}}(t),{\xi }_{\mathrm{2}}=q_{\mathrm{1}}x+q_{\mathrm{2}}y+q_{\mathrm{3}}(t),{\xi }_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y+k_{\mathrm{3}}(t),\end{array}（15）

其中a_j,p_l,q_m,k_n(j=\mathrm{1,2},\mathrm{4,5},\mathrm{6,8},\mathrm{9};l,m,n=\mathrm{1,2})和p都是待定的常数，a_{\mathrm{3}}(t),a_{\mathrm{7}}(t),p_{\mathrm{3}}(t),q_{\mathrm{3}}(t)和k_{\mathrm{3}}(t)为变量t的待定函数。

将式（15）代入式（14），可以得到一个非线性方程组（未列出），利用符号计算系统Mathematica计算之后，可以得到该方程组的以下几种解。

情况1k_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{0},a_{\mathrm{2}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{6}},a_{\mathrm{3}}(t)=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{8}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},

\begin{array}{l}\beta (t)=\gamma (t),q_{\mathrm{3}}(t)=\int (\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,p_{\mathrm{2}}=\frac{p_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\gamma (t)-A_{\mathrm{1}}}{q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)},\\ p_{\mathrm{3}}(t)=\int [-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}(p_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\gamma (t)-\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}})}{q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}]\mathrm{d}t,\end{array}（16）

其中A_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{\mathrm{3}}\sqrt[]{-q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\beta (t)\gamma (t)},并且q_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况2q_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{0},a_{\mathrm{2}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{6}},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},

\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{6}}=-\frac{\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\beta (t)}}{\sqrt[]{\gamma (t)}},a_{\mathrm{7}}(t)=\int \frac{\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t,\beta (t)=\gamma (t),\\ k_{\mathrm{3}}(t)=\int (-\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,p_{\mathrm{2}}=\frac{k_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}}{k_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}(k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})\sqrt[]{\beta (t)}}{\sqrt[]{\gamma (t)}},\\ p_{\mathrm{3}}(t)=\int [-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{2}}(k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})\sqrt[]{\beta (t)}\sqrt[]{\gamma (t)}}{k_{\mathrm{1}}}+\frac{k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}]\mathrm{d}t,\end{array}（17）

其中A_{\mathrm{2}}=\mathrm{12}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\beta (t)+\mathrm{4}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\beta (t)}\sqrt[]{\gamma (t)}-k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t), 并且k_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况3p_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},p_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},p_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{0},a_{\mathrm{2}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{6}},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},

a_{\mathrm{8}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{3}}=\int (-\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,（18）

其中k_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况4a_{\mathrm{2}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{6}},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{8}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},

k_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{3}}(t)=\int (\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,（19）

将式（16）-（19）分别和式（15）一起代入变换（10），其中q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F，可以得到方程（1）的如下四组精确解

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}p{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{1}}}[a_{\mathrm{9}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{4}}}(p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{H}_{\mathrm{2}}-{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{1}}}p{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{9}}{p}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{4}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{H}_{\mathrm{2}}]}{(a_{\mathrm{9}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{4}}}+p{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{1}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{H}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ u_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(G_{\mathrm{2}}-k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{G}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)}{{\left(A_{\mathrm{10}}+A_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{12}}+k_{\mathrm{1}}(A_{\mathrm{5}}+A_{\mathrm{8}}+k_{\mathrm{1}}p{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{3}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}})\right)}^{\mathrm{2}}},\end{array}

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y+\int [-\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}}]\mathrm{d}t\right),\\ u_{\mathrm{4}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=-\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}\left(q_{\mathrm{1}}x+q_{\mathrm{2}}y+\int [\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{q_{\mathrm{1}}}]\mathrm{d}t\right)\mathrm{。}\end{array}（20）

其中 A_{\mathrm{3}}=\frac{q_{\mathrm{2}}[p_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\beta (t)-\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}\sqrt[]{-q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\beta {(t)}^{\mathrm{2}}}]}{q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}},

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{4}}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}y\sqrt[]{-q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\beta {(t)}^{\mathrm{2}}}}{q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\beta (t)},\\ A_{\mathrm{5}}=k_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{8}}^{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{9}}-\mathrm{2}\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{8}}(k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y)-\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{8}}{k}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}y,\end{array}

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{6}}=p_{\mathrm{1}}x+\frac{k_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}}{k_{\mathrm{1}}}y+\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}(k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})y,A_{\mathrm{7}}=\frac{k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}}{k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{2}}(k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})}{k_{\mathrm{1}}},\\ A_{\mathrm{8}}=\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{4}}(k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y-\mathrm{2}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}y),A_{\mathrm{9}}=k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y+\frac{-\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,\\ A_{\mathrm{10}}=\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{4}}-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{8}})k_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,A_{\mathrm{11}}=-\mathrm{24}{a}_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{4}}-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{8}})k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,\\ A_{\mathrm{12}}=-\mathrm{8}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{4}}-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{8}})k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,\\ H_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{1}}x+\frac{p_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}}{q_{\mathrm{1}}}y+\int \left(A_{\mathrm{3}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)\right)\mathrm{d}t,H_{\mathrm{2}}=q_{\mathrm{1}}x+q_{\mathrm{2}}y+\frac{\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{q_{\mathrm{1}}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,\\ H_{\mathrm{3}}=A_{\mathrm{6}}+A_{\mathrm{7}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,H_{\mathrm{4}}=(k_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}}+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}},\end{array}（21）

\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{4}}-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{8}})+{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{3}}}p{p}_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}}+{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{3}}}{k}_{\mathrm{1}}p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}},\\ G_{\mathrm{2}}=p{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{3}}}{H}_{\mathrm{4}}[A_{\mathrm{10}}+A_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{12}}+k_{\mathrm{1}}(A_{\mathrm{5}}+A_{\mathrm{8}}+p{k}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{H_{\mathrm{3}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{9}})]\mathrm{。}\end{array}

选取一些合适的参数之后就可以画出以上四个精确解u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}},u_{\mathrm{4}}的三维图和等高线图，如图1-4所示。

为了寻找方程（1）的更多新精确解，本文选择下列试探函数法，构造新精确解

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{2}}=g^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{{\eta }_{\mathrm{1}}}+b_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-{\eta }_{\mathrm{1}}}+b_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\eta }_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\eta }_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{5}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\eta }_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\eta }_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{9}},\\ g=a_{\mathrm{1}}x+a_{\mathrm{2}}y+a_{\mathrm{3}}(t)+a_{\mathrm{4}},h=a_{\mathrm{5}}x+a_{\mathrm{6}}y+a_{\mathrm{7}}(t)+a_{\mathrm{8}},\\ {\eta }_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{1}}x+p_{\mathrm{2}}y+p_{\mathrm{3}}(t),{\eta }_{\mathrm{2}}=k_{\mathrm{1}}x+k_{\mathrm{2}}y+k_{\mathrm{3}}(t),{\eta }_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{4}}x+k_{\mathrm{5}}y+k_{\mathrm{6}}(t),\\ {\eta }_{\mathrm{4}}=q_{\mathrm{1}}x+q_{\mathrm{2}}y+q_{\mathrm{3}}(t),{\eta }_{\mathrm{5}}=q_{\mathrm{4}}x+q_{\mathrm{5}}y+q_{\mathrm{6}}(t)\mathrm{。}\end{array}（22）

其中a_j,b_r,p_l,q_m,k_n,(j=\mathrm{1,2},\mathrm{4,5},\mathrm{6,8},\mathrm{9};r=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{6};l=\mathrm{1,2};m,n=\mathrm{1,2},\mathrm{4,5})是待定的常数，a_{\mathrm{3}}(t),a_{\mathrm{7}}(t),p_{\mathrm{3}}(t),q_{\mathrm{3}}(t),q_{\mathrm{6}}(t),k_{\mathrm{3}}(t)和k_{\mathrm{6}}(t)为变量t的待定函数。

将式（22）代入式（14）中，得到一个非线性方程组（未列出），利用符号计算系统Mathematica计算可以得到该方程组的以下几种解。

情况1b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{0},a_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{2}},\beta (t)=\gamma (t),

a_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)}{a}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}}{\sqrt[]{\gamma (t)}},a_{\mathrm{7}}(t)=-\mathrm{6}{a}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,a_{\mathrm{9}}=-\frac{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}},（23）

q_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\gamma (t)}},q_{\mathrm{3}}(t)=-\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,

其中a_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0},q_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况2b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{6}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{2}},

\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{8}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},\beta (t)=\gamma (t),p_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},p_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\gamma (t)}},\\ p_{\mathrm{3}}(t)=-\mathrm{2}\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\int \sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)\gamma (t)}\mathrm{d}t,q_{\mathrm{3}}(t)=\int (\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,\end{array}（24）

其中q_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况3b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{6}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{2}},

\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{8}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},\beta (t)=\gamma (t),q_{\mathrm{5}}=-\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{4}}\sqrt[]{\beta (t)}{k}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{(b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\gamma (t)}},\\ q_{\mathrm{6}}(t)=-\int \frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{5}}\sqrt[]{\beta (t)}\gamma (t)}{\sqrt[]{(b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\gamma (t)}}\mathrm{d}t,k_{\mathrm{6}}(t)=\int [\frac{k_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{4}}}-\frac{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})k_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}\beta (t)}{b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}]\mathrm{d}t,\end{array}（25）

其中k_{\mathrm{4}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况4a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{3}}(t)=a_{\mathrm{4}}=a_{\mathrm{5}}=a_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{7}}(t)=a_{\mathrm{8}}=a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},

\beta (t)=\gamma (t),p_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{6}}(t)=\int [\frac{\mathrm{4}(b_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})q_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}\beta (t)}{\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+\frac{q_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{q_{\mathrm{4}}}]\mathrm{d}t,（26）

p_{\mathrm{2}}=-\frac{b_{\mathrm{6}}\sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)}{q}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\gamma (t)}},p_{\mathrm{3}}(t)=-\int \frac{\mathrm{2}{b}_{\mathrm{6}}{q}_{\mathrm{4}}{q}_{\mathrm{5}}\sqrt[]{\mathrm{3}\beta (t)}\gamma (t)}{\sqrt[]{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\gamma (t)}}\mathrm{d}t,

其中q_{\mathrm{4}}\ne \mathrm{0,4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

情况5a_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{5}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{6}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{2}},a_{\mathrm{8}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{4}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},p_{\mathrm{1}}=-\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},

\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{3}}(t)=-\mathrm{4}\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,k_{\mathrm{1}}=-\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{3}}(t)=p_{\mathrm{3}}(t),k_{\mathrm{4}}=-\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},\\ k_{\mathrm{6}}(t)=p_{\mathrm{3}}(t),q_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,q_{\mathrm{4}}=-q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},q_{\mathrm{6}}(t)=-q_{\mathrm{3}}(t)\mathrm{。}\end{array}（27）

情况6a_{\mathrm{1}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{5}},a_{\mathrm{3}}(t)=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{7}}(t),a_{\mathrm{4}}=-\mathrm{i}{a}_{\mathrm{8}},a_{\mathrm{6}}=\mathrm{i}{a}_{\mathrm{2}},a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},p_{\mathrm{1}}=-k_{\mathrm{1}},

\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{2}}=-\mathrm{i}{q}_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}}(t)=\int (\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,k_{\mathrm{2}}=\mathrm{i}{q}_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{4}}=k_{\mathrm{1}},\\ k_{\mathrm{3}}(t)=-\int \frac{\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\beta (t)+q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t,k_{\mathrm{5}}=\mathrm{i}{q}_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{6}}(t)=k_{\mathrm{3}}(t),q_{\mathrm{1}}=-\mathrm{i}{k}_{\mathrm{1}},\\ q_{\mathrm{3}}(t)=\mathrm{i}\int \frac{\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\beta (t)+q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t,q_{\mathrm{4}}=-\mathrm{i}{k}_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{5}}=q_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{6}}(t)=q_{\mathrm{3}}(t),\end{array}（28）

其中k_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}

将式（23）-（28）分别和式（22）一起代入变换（10），其中q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F,可以得到方程（1）的如下六组 精确解。

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{5}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{H}_{\mathrm{5}}[\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{5}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(q_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{13}})]-\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}[b_{\mathrm{5}}{q}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(q_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{13}})-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{15}}{]}^{\mathrm{2}}}{H_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}},\\ u_{\mathrm{6}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=-\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{b}_{\mathrm{5}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{16}}}(b_{\mathrm{5}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{16}}}+b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{A}_{\mathrm{17}})}{(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{5}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{16}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{A}_{\mathrm{17}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ u_{\mathrm{7}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=-\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{b}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{A}_{\mathrm{19}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{18}})}{(b_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{A}_{\mathrm{19}}-b_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{A}_{\mathrm{18}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ u_{\mathrm{8}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=-\frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{b}_{\mathrm{6}}{q}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{20}}}[b_{\mathrm{6}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{20}}}+(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{A}_{\mathrm{20}}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{A}_{\mathrm{21}}]}{(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{A}_{\mathrm{20}}}+b_{\mathrm{6}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{20}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{A}_{\mathrm{21}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ u_{\mathrm{9}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=-\frac{\mathrm{8}{c}_{\mathrm{0}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}-\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}})(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}+\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}){\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{22}}}}{[\mathrm{2}{b}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}-\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}+(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}+\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}){\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{22}}}{]}^{\mathrm{2}}},\end{array}（29）

u_{\mathrm{10}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{n}F\right)}_{xx}=\frac{\mathrm{8}{c}_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}+\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}})[\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}+(b_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}-\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}){\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{23}}}]{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{23}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{24}}}}{[(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}-\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}+b_{\mathrm{3}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{A}_{\mathrm{23}}}+(\mathrm{2}{b}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{5}}+\mathrm{i}{b}_{\mathrm{6}}+b_{\mathrm{3}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{A}_{\mathrm{24}}}{]}^{\mathrm{2}}},

其中

A_{\mathrm{13}}=x-\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{1}}y-\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,A_{\mathrm{14}}=a_{\mathrm{8}}-\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}y-\mathrm{6}{a}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{15}}=a_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{1}}x-\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}y,A_{\mathrm{16}}=\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y+\mathrm{2}\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,\\ A_{\mathrm{17}}=q_{\mathrm{1}}x+q_{\mathrm{2}}y+\frac{(\mathrm{4}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\int \beta (t)\mathrm{d}t}{q_{\mathrm{1}}},\\ A_{\mathrm{18}}=k_{\mathrm{4}}x+k_{\mathrm{5}}y+[\frac{k_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{4}}}-\frac{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})k_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}]\int \beta (t)\mathrm{d}t,\end{array}

A_{\mathrm{19}}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}y\sqrt[]{\beta (t)}}{\sqrt[]{(b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\beta (t)}}+\int \frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{4}}{k}_{\mathrm{5}}\beta {(t)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{(b_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\beta (t)}}\mathrm{d}t,

A_{\mathrm{20}}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{6}}{q}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}y\sqrt[]{\beta (t)}}{\sqrt[]{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\beta (t)}}+\int \frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{6}}{q}_{\mathrm{4}}{q}_{\mathrm{5}}\beta {(t)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{(\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})\beta (t)}}\mathrm{d}t,

A_{\mathrm{21}}=q_{\mathrm{4}}x+q_{\mathrm{5}}y+[\frac{\mathrm{4}(b_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}})q_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{b}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+\frac{q_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}}{q_{\mathrm{4}}}]\int \beta (t)\mathrm{d}t,（30）

A_{\mathrm{22}}=\mathrm{2}\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}}x+\mathrm{8}\mathrm{i}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\int \beta (t)\mathrm{d}t,A_{\mathrm{23}}=k_{\mathrm{1}}x+\mathrm{i}{q}_{\mathrm{2}}y,

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{24}}=\int (\mathrm{4}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\beta (t)+\frac{q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\gamma (t)}{k_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}t,\\ H_{\mathrm{5}}=A_{\mathrm{14}}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}-\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\frac{b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}+b_{\mathrm{5}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(q_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{13}})\mathrm{。}\end{array}

选取合适的参数绘制以上六个精确解u_{\mathrm{5}},u_{\mathrm{6}},u_{\mathrm{7}},u_{\mathrm{8}},u_{\mathrm{9}},u_{\mathrm{10}}的三维图和等高线图，如图5-10所示。

3 小结

本文基于Bell多项式方法，将（2+1）维变系数的KP方程（1）转化为Hirota双线性形式（14），利用Bell多项式方法，这比文献［7，10］中的用Hirota方法将非线性发展方程转化为双线性形式要简单得多。在文献［7］研究的基础上，进一步采用两种不同形式的函数试探法，利用符号计算系统Mathematica得到了方程（1）的10组新的复合型解。在试探函数（22）中取

b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{5}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},（31）

b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{5}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},（32）

b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{5}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},（33）

得到文献［7］中给出的Lump解、 Lump孤子解和Rogue孤子解。在方程（1）中取\alpha (t)=\mathrm{6},\beta (t)=\mathrm{1},\gamma (t)=-\mathrm{3}\sigma ,然后在试探函数（22）中令

a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{4}}=a_{\mathrm{5}}=a_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{7}}=a_{\mathrm{8}}=a_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},（34）

得到文献［13］中给出的周期解。并绘制出精确解的三维图和等高线图，由图可知解的特点以及波的演化过程。

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“变系数非线性发展方程解的非线性叠加公式与相关问题研究”(2024MS01003)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“非线性发展方程的贝克隆变换与无穷守恒律问题研究”(2022JBZD011)

内蒙古自治区一流学科科研专项资助项目“人工智能与数学融合发展及应用研究”(YLXKZX-NSD-001)

内蒙古自治区一流学科科研专项资助项目“人工智能与数学融合发展及应用研究”(YLXKZX-NSD-009)

内蒙古自治区高校创新科研团队计划资助项目“应用数学团队”(NMGIRT2414)