含五角星孔热电材料的弹性分析

Elastic Analysis of Thermoelectric Materials with Pentagram Holes

摘要

基于复变函数法，研究含五角星孔热电材料在电绝缘和热精确边界条件下的二维断裂力学问题。用保角映射求得电场势函数、温度场势函数和弹性场势函数的解析式。在此基础上得到环向能量流、环向应力分量的实形式表达式，讨论在无外加电场的作用下，空气热导率和五角星孔的大小对环向能量流、环向应力分量的影响。

Abstract

Based on the method of functions of complex variables， this study investigated the two-dimensional fracture mechanics problem of thermoelectric materials with pentagram holes in the boundary conditions of electrical insulation and thermal accuracy. The analytical expressions of the electric field potential function， temperature field potential function， and elastic field potential function were obtained by adopting conformal mapping. On this basis， the real-form expressions of the circumferential energy flow and circumferential stress components were obtained. Meanwhile， this paper discussed the effects of air thermal conductivity and the size of pentagram holes on the circumferential energy flow and circumferential stress components without the action of external electric fields.

Graphical abstract

关键词

保角映射 / 环向能量流 / 环向应力分量 / 空气热导率

Key words

conformal mapping / circumferential energy flow / circumferential stress component / air thermal conductivity

热电材料是一种可以实现电能和热能相互转换的功能性材料，其组成原材料多样，因此被广泛应用于制冷^［1］、废热再利用^［2］、碳减排^［3］等领域。然而，热电材料虽然具有诸多良好的性能，但在使用过程中由于原料本身的缺点，使得热电材料的力学性能欠佳。如\mathrm{B}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}{\mathrm{e}}_{\mathrm{3}}材料本身的原子排列是层状的，而用它制成的热电材料，在使用过程中由于受到热载荷的冲击和热梯度的影响可能出现滑移的现象，从而产生缺陷。大部分热电材料都具有韧性低、易断裂的缺点，所以热电材料的断裂问题一直是研究热点^［4⁃6］。Zhang等^［7］在电绝缘和热精确边界条件下，给出了含椭圆孔热电材料环向应力和能量流的解析解，并分析了椭圆主次轴的比值和空气热导率对热应力场的影响。Schmid等^［8］对Mg₂Si热电材料中维克斯压痕裂纹的缓慢扩张行为进行了研究，且Zhang、Wang^［9］和Song等^［10］分别推导了含裂纹热电材料二维问题的解析解。Li等^［11］通过分子动力学研究了CoSb₃基方钴矿热电材料的脆性破坏问题。锁娟等^［12］基于复变函数方法给出了含多种共线裂纹热电材料的强度因子表达式。本文拟研究前人未给出的含五角星孔热电材料的二维断裂力学问题，利用复变函数法求得环向能量流、环向应力分量的实形式表达式，并讨论无外加电场时，空气热导率、孔口大小对环向能量流、环向应力分量的影响。

1 热电材料的基本方程

热电材料的平衡方程可表示为^{［13⁃14］}

\left\{\begin{array}{l}\nabla ·{\mathbf{j}}_e=\mathrm{0},\\ \nabla \cdot \mathbf{q}+{\mathbf{j}}_e\cdot \nabla V=\mathrm{0},\end{array}\right.（1）

其中，V表示电势，\nabla表示梯度算子，{\mathbf{j}}_e={\left[j_{ex},j_{ey}\right]}^T表示电流密度，\mathbf{q}={\left[q_x,q_y\right]}^T表示热通量。若温度改变，热电材料内部就会产生电势梯度。由欧姆定律和傅里叶定律可知热电材料的本构方程可表示为^［12］

\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{j}}_e=-\gamma \nabla V-\gamma \epsilon \nabla T,\\ \mathbf{q}=-\gamma \epsilon T\nabla V-\left(k+\gamma {\epsilon }^{\mathrm{2}}T\right)\nabla T,\end{array}\right.（2）

其中，T表示温度，\gamma、k和\epsilon分别是电导率、热导率和塞贝克系数。由于能量靠电子和热传输，因此能量通量{\mathbf{j}}_u={\left[j_{ux},j_{uy}\right]}^T可被表示为^［12］

{\mathbf{j}}_u=\mathbf{q}+{\mathbf{j}}_{e}V,（3）

将方程（2）代入方程（3）中得

\left\{\begin{array}{l}{\mathbf{j}}_e=-\gamma \nabla F,\\ {\mathbf{j}}_u=-\gamma F\nabla F-k\nabla T,\end{array}\right.（4）

其中解析函数F=V+\epsilon T^［9］。

将方程（3）-（4）代入方程（1）得到控制方程

\left\{\begin{array}{l}{\nabla }^{\mathrm{2}}F=\mathrm{0},\\ k{\nabla }^{\mathrm{2}}T+\gamma {\left(\nabla F\right)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\end{array}\right.（5）

对式（5）积分可得解析函数F和温度函数T的复表达式

\left\{\begin{array}{l}F=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[f_{\mathrm{1}}\left(z\right)\right],\\ T=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[g\left(z\right)\right]-\frac{\gamma }{\mathrm{4}k}{f}_{\mathrm{1}}\left(z\right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)},\end{array}\right.（6）

其中z=x+\mathrm{i}y，\mathrm{R}\mathrm{e}代表复函数的实部，f_{\mathrm{1}}\left(z\right)和g\left(z\right)是未知的解析函数。则式（4）可改写为

\left\{\begin{array}{l}{j}_{ex}-\mathrm{i}{j}_{ey}=-\gamma {f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left(z\right),\\ j_{ux}-\mathrm{i}{j}_{uy}=-\frac{\gamma }{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}\left(z\right){f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left(z\right)-k{g}^{\text{'}}\left(z\right)\mathrm{。}\end{array}\right.（7）

对方程（7）积分可得电流密度和能量流的边界条件为

\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1}}\left(z\right)-\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)}=-\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}}{\gamma }\int j_{en}\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ \mathrm{I}\mathrm{m}\left[\frac{\gamma }{\mathrm{4}}{f}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(z\right)+kg\left(z\right)\right]=-\int j_{un}\left(s\right)\mathrm{d}s,\end{array}\right.（8）

其中，s表示弧长，j_{en}和j_{un}表示沿弧s法向的电流密度和能量流。

由静电学原理，应力和位移的复表式为^［15］

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}=\mathrm{4}\mathrm{R}\mathrm{e}\left[{\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right]+\frac{\mathrm{2}\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{1}}\left(z\right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)},\\ {\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx}+\mathrm{2}\mathrm{i}{\sigma }_{xy}=\mathrm{2}\left[\overline{z}{\phi }^{″}\left(z\right)+{\psi }^{\text{'}}\left(z\right)\right]+\frac{\mathrm{2}\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\overline{{f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left(z\right)},\\ \mathrm{2}\mu \left[u_x+\mathrm{i}{u}_y\right]=\kappa \phi \left(z\right)-z\overline{{\phi }^{\text{'}}\left(z\right)}-\overline{\psi \left(z\right)}+\mathrm{2}\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\int g\left(z\right)\mathrm{d}z-\frac{\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)},\end{array}\right.（9）

其中，{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left(z\right)=f_{\mathrm{1}}\left(z\right)，\phi \left(z\right)和\phi \left(z\right)为应力函数，\mu是剪切模量且\kappa和{\alpha }^{\mathrm{*}}定义为

\kappa =\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{3}-\nu }{\mathrm{1}+\nu },\mathrm{平面}\mathrm{应力},\\ \mathrm{3}-\mathrm{4}\nu ,\mathrm{平面}\mathrm{应变},\end{array}\right.

{\alpha }^{\mathrm{*}}=\left\{\begin{array}{l}\alpha ,\mathrm{平面}\mathrm{应力},\\ \left(\mathrm{1}+\nu \right)\alpha ,\mathrm{平面}\mathrm{应变},\end{array}\right.

其中\nu和\alpha分别是泊松比和热膨胀系数，由应力分量的复变函数表示，可以得到弹性体内一点应力状态的表达式

\phi \left(z\right)+z\overline{{\phi }^{\text{'}}\left(z\right)}+\overline{\psi \left(z\right)}=\mathrm{i}\int \left(p_x+\mathrm{i}{p}_y\right)\mathrm{d}s-\frac{\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)}\mathrm{。}（10）

其中p_x和p_y是作用在边界上的外力。

2 含五角星孔热电材料的温度场和弹性场

本文研究的物理模型为含五角星孔热电材料的平面问题。假设热电材料在无穷远处受均匀电流和均匀能量流的共同作用，且当\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}\to \mathrm{\infty }时

j_{ex}=\mathrm{0},j_{ey}=j_{e\mathrm{0}},j_{ux}=\mathrm{0},j_{uy}=j_{u\mathrm{0}}。（11）

引入保角映射^［16］

z=\omega \left(\zeta \right)=R\left[\frac{\mathrm{1}}{\zeta }+{\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^p}{\left(-\mathrm{1}\right)}^k{C}_{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}}^k{C}_{\frac{-\mathrm{2}}{\mathrm{5}}}^{p-k}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\mathrm{5}p}{\zeta }^{\mathrm{5}p-\mathrm{1}}\right]\left(R>\mathrm{0}\right)，（12）

其中R表示五角星孔的大小。此保角映射将带有五角星孔的无限大板映射为\zeta平面上的单位圆，如图1所示。此处取前三项分析，即

z=\omega \left(\zeta \right)=R\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}\right)。（13）

假设孔口边缘不受外力\left(\mathrm{即}{p}_x=p_y=\mathrm{0}\right)且内部充满了空气，由于缺陷内空气的电导率比热电材料的电导率大约低16~18个数量级^［7］，所以可以忽略不计。因此，在孔口边缘处采用电绝缘边界条件。而热电材料的导热系数却仅是空气导热系数的10~100倍^［7］，所以孔内的空气导热效应是不能忽略的。由电绝缘边界条件，结合方程（8）的第一个表达式得

f_{\mathrm{1}}\left(z\right)-\overline{f_{\mathrm{1}}\left(z\right)}=\mathrm{0},（14）

取

f_{\mathrm{1}}\left(z\right)=c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}z+f_{\mathrm{0}}\left(z\right),（15）

将方程（15）代入方程（7）的第一个表达式中并令z\to \mathrm{\infty }，取极限得

c_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{i}\frac{j_{e\mathrm{0}}}{\gamma }。（16）

将方程（13）、方程（15）-（16）代入方程（14）中，并令f_{\mathrm{0}}\left(z\right)=f_{\mathrm{0}}\left[\omega \left(\zeta \right)\right]=f_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)得

f_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)-\overline{f_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)}=-\frac{\mathrm{i}{j}_{e\mathrm{0}}R}{\gamma }\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}+\frac{\mathrm{1}}{\overline{\zeta }}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\overline{\zeta }}^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\overline{\zeta }}^{\mathrm{9}}\right)。（17）

在单位圆周上，令\zeta =\sigma ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }，将其代入方程（17），且等式两边同时乘以\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}\left(\sigma -\zeta \right)}并进行柯西积分得

f_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)=-\frac{\mathrm{i}{j}_{e\mathrm{0}}R}{\gamma }\left(\zeta +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}\right)。（18）

将方程（13）（16）和（18）代入方程（15）中得

f_{\mathrm{1}}\left(z\right)=\frac{\mathrm{i}{j}_{e\mathrm{0}}R}{\gamma }\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }-\zeta \right)。（19）

对方程（19）积分得

f_{\mathrm{2}}\left(z\right)=\frac{\mathrm{i}{j}_{e\mathrm{0}}{R}^{\mathrm{2}}}{\gamma }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{\zeta }^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{200}}{\zeta }^{\mathrm{8}}+\mathrm{l}\mathrm{n}\zeta -\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{25}}{\zeta }^{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{250}}{\zeta }^{\mathrm{10}}\right)。（20）

2.1 孔内温度场

孔内温度场可以表示为

T_h=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[g_h\left(z\right)\right],（21）

其中g_h\left(z\right)是一个解析函数。孔内热通量可表示为

q_{hx}-\mathrm{i}{q}_{hy}=-k_h{g}_h^{\text{'}}\left(z\right),（22）

其中k_h是空气热导率。根据高斯定理，有

\int q_{hn}\left(s\right)\mathrm{d}s=-\mathrm{I}\mathrm{m}\left[k_h{g}_h\left(z\right)\right],（23）

其中q_{hn}表示法向热通量。将函数g_h\left(z\right)用泰勒展开式得

g_h\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{a}_n^h{\zeta }^{-n}，（24）

其中a_n^h是待定复系数。

2.2 热电材料内的温度场

在热电材料内，设温度势函数g\left(z\right)为

g\left(z\right)=C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}{z}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\infty }}z+g_{\mathrm{0}}\left(z\right)，（25）

其中c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}和c_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\infty }}是两个待定复常数，且g_{\mathrm{0}}^{\text{'}}\left(\mathrm{\infty }\right)=\mathrm{0}。将方程（19）（25）代入方程（7）的第二个表达式中，并令z\to \mathrm{\infty }，得

C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}=\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}k\gamma },C_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\infty }}=\frac{\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}}{k}\mathrm{。}（26）

在电绝缘和热精确边界条件下，由方程（6）的第二个表达式和方程（8）的第二个表达式，结合方程（21）和方程（23）可得

\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\frac{\gamma }{\mathrm{4}}{f}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(\sigma \right)+kg\left(\sigma \right)\right]=\mathrm{I}\mathrm{m}\left[k_h{g}_h\left(\sigma \right)\right],（27）

-\frac{\gamma }{\mathrm{4}k}{f}_{\mathrm{1}}\left(\sigma \right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(\sigma \right)}+\mathrm{R}\mathrm{e}\left[g\left(\sigma \right)\right]=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[g_h\left(\sigma \right)\right]。（28）

将方程（13）（19）和方程（25）-（26）代入方程（27）-（28）中并进行柯西积分得

\begin{array}{l}{g}_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)-\overline{g_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{0}\right)}=-\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}k\gamma }\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{900}}{\zeta }^{\mathrm{8}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{375}}{\zeta }^{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{169}}{\mathrm{50}\mathrm{625}}{\zeta }^{\mathrm{18}}-{\zeta }^{\mathrm{2}}\right)-\\ \frac{\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}R}{k}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}+\zeta \right)-\frac{k_h}{k}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\overline{a_n^h}{\zeta }^n,\end{array}（29）

\begin{array}{l}{g}_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)+\overline{g_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{0}\right)}=-\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}k\gamma }\left(\mathrm{3}{\zeta }^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{900}}{\zeta }^{\mathrm{8}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{375}}{\zeta }^{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{169}}{\mathrm{50}\mathrm{625}}{\zeta }^{\mathrm{18}}-\mathrm{4}\right)-\\ \frac{\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}R}{k}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}-\zeta \right)+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\overline{a_n^h}{\zeta }^n\mathrm{。}\end{array}（30）

将方程（29）代入方程（30）中，并令等式左右两端\zeta的相同次数的系数相等，得到

\begin{array}{l}\overline{g_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{0}\right)}=\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}k\gamma },a_{\mathrm{2}}^h=\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\gamma \left(k+k_h\right)},\\ a_{\mathrm{1}}^h=\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}R}{k+k_h},a_n^h=\mathrm{0},\left(n\ge \mathrm{3}\right)\mathrm{。}\end{array}（31）

将方程（31）的第一个表达式代入方程（29）中得

\begin{array}{l}{g}_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)=-\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}k\gamma }\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{900}}{\zeta }^{\mathrm{8}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{375}}{\zeta }^{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{169}}{\mathrm{50}\mathrm{625}}{\zeta }^{\mathrm{18}}-{\zeta }^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\right)-\\ \frac{\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}R}{k}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{225}}{\zeta }^{\mathrm{9}}+\zeta \right)+\frac{k_h}{k}\left(a_{\mathrm{1}}^h\zeta -a_{\mathrm{2}}^h{\zeta }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}\end{array}（32）

利用方程（13）和（32），改写方程（25）得

g\left(z\right)=\frac{j_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}k\gamma }{\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }+\zeta \right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}R}{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }-\zeta \right)+\frac{k_h}{k}\left(a_{\mathrm{1}}^h\zeta -a_{\mathrm{2}}^h{\zeta }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}（33）

2.3 弹性场分析

设方程（9）中的复函数\phi \left(z\right)和\psi \left(z\right)具有如下形式：

\phi \left(z\right)=A\left(\zeta \right)\mathrm{l}\mathrm{n}\zeta +{\phi }_{\mathrm{0}}\left(z\right),（34）

\psi \left(z\right)=B\left(\zeta \right)\mathrm{l}\mathrm{n}\zeta +{\psi }_{\mathrm{0}}\left(z\right)\mathrm{。}（35）

其中A\left(\zeta \right)和B\left(\zeta \right)是待定函数，{\phi }_{\mathrm{0}}\left(z\right)和{\psi }_{\mathrm{0}}\left(z\right)是关于z的解析函数。为方便起见，令

{\phi }_{\mathrm{0}}\left(z\right)={\phi }_{\mathrm{0}}\left[\omega \left(\zeta \right)\right]={\phi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right),{\psi }_{\mathrm{0}}\left(z\right)={\psi }_{\mathrm{0}}\left[\omega \left(\zeta \right)\right]={\psi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)。（36）

将解析函数{\phi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)和{\psi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)展开成泰勒级数

{\phi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\alpha }_k{\zeta }^k,{\psi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\beta }_k{\zeta }^k,（37）

将方程（19）（20）和（35）代入边界条件（9）和方程（10）中，由应力和位移的单值性可知

A\left(\zeta \right)=A_{\mathrm{0}}{R}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{k}_h}{k+k_h}\right),（38）

B\left(\zeta \right)=\overline{A}+\mathrm{2}{R}^{\mathrm{3}}{P}_{\mathrm{0}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\zeta }-\zeta \right),（39）

其中A_{\mathrm{0}}=-\frac{\mathrm{2}\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\mathrm{i}{j}_{u\mathrm{0}}}{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)},P_{\mathrm{0}}=\frac{\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}{j}_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}k\gamma \left(\kappa +\mathrm{1}\right)}。以下为了方便起见，令A\left(\zeta \right)=A，将方程（13）代入方程（10）中且在单位圆周上。令\zeta =\sigma ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }，则改写方程（10）得

\phi \left(\sigma \right)+\frac{\omega \left(\sigma \right)}{\overline{{\omega }^{\text{'}}\left(\sigma \right)}}\overline{{\phi }^{\text{'}}\left(\sigma \right)}+\overline{\psi \left(\sigma \right)}=-\frac{\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{2}}\left(\sigma \right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(\sigma \right)},（40）

对方程（40）两端进行柯西积分得

{\phi }_{\mathrm{0}}\left(\zeta \right)={\alpha }_{\mathrm{1}}\zeta +{\alpha }_{\mathrm{2}}{\zeta }^{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{\zeta }^{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}{\zeta }^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{5}}+{\alpha }_{\mathrm{6}}{\zeta }^{\mathrm{6}}+{\alpha }_{\mathrm{7}}{\zeta }^{\mathrm{7}}+{\alpha }_{\mathrm{8}}{\zeta }^{\mathrm{8}}+{\alpha }_{\mathrm{9}}{\zeta }^{\mathrm{9}}+{\alpha }_{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{10}}，（41）

其中{\alpha }_{\mathrm{1}}-{\alpha }_{\mathrm{10}}代表材料常数。则方程（34）又可写为

\phi \left(z\right)=A\mathrm{l}\mathrm{n}\zeta +{\alpha }_{\mathrm{1}}\zeta +{\alpha }_{\mathrm{2}}{\zeta }^{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{\zeta }^{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}{\zeta }^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}}{\zeta }^{\mathrm{5}}+{\alpha }_{\mathrm{6}}{\zeta }^{\mathrm{6}}+{\alpha }_{\mathrm{7}}{\zeta }^{\mathrm{7}}+{\alpha }_{\mathrm{8}}{\zeta }^{\mathrm{8}}+{\alpha }_{\mathrm{9}}{\zeta }^{\mathrm{9}}+{\alpha }_{\mathrm{10}}{\zeta }^{\mathrm{10}}\mathrm{。}（42）

3 弹性场

将方程（7）的第二个表达式和方程（9）的第一个表达式变换成为曲坐标系下的表达式：

j_{ur}-\mathrm{i}{j}_{u\theta }=\frac{\zeta {\omega }^{\text{'}}\left(\zeta \right)}{\left|\zeta {\omega }^{\text{'}}\left(\zeta \right)\right|}\left[j_{ux}-\mathrm{i}{j}_{uy}\right]=-\frac{\zeta }{\left|\zeta {\omega }^{\text{'}}\left(\zeta \right)\right|}\left[\frac{\gamma }{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}\left(\zeta \right){f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left(\zeta \right)+k{g}^{\text{'}}\left(\zeta \right)\right],（43）

{\sigma }_{rr}+{\sigma }_{\theta \theta }={\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}=\mathrm{4}\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\frac{{\phi }^{\text{'}}\left(\zeta \right)}{{\omega }^{\text{'}}\left(\zeta \right)}\right]+\frac{\mathrm{2}\mu {\alpha }^{\mathrm{*}}\gamma }{k\left(\kappa +\mathrm{1}\right)}{f}_{\mathrm{1}}\left(\zeta \right)\overline{f_{\mathrm{1}}\left(\zeta \right)}。（44）

在单位圆周上，令\zeta =\sigma ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta。将此式代入方程（43）和（44）中，结合方程（13）（19）（33）和（42），得到环向能量流和环向应力分量的实形式表达式：

\begin{array}{l}{j}_{u\theta }=-\frac{\mathrm{50}{j}_{u\mathrm{0}}k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\left(k+k_h\right)\sqrt[]{\mathrm{1}\mathrm{694}-\mathrm{2}\mathrm{280}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta +\mathrm{650}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{10}\theta }}-\\ \frac{\mathrm{50}{j}_{e\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}R{k}_h\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}\theta }{\gamma \left(k+k_h\right)\sqrt[]{\mathrm{1}\mathrm{694}-\mathrm{2}\mathrm{280}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta +\mathrm{650}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{10}\theta }},\end{array}（45）

\begin{array}{l}{\sigma }_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{100}{R}^{\mathrm{2}}{P}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{1}\mathrm{694}-\mathrm{2}\mathrm{280}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta +\mathrm{650}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{10}\theta }\left\{\left[\mathrm{269}+\mathrm{43}\left(\mathrm{64}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{6}}\theta -\mathrm{128}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{4}}\theta +\mathrm{80}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta -\mathrm{16}\right)\right]\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +\right.\\ \left.\left[\mathrm{229}\left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{3}\theta -\mathrm{1}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{3}\theta -\mathrm{89}\right]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{3}\theta +\left[\mathrm{221}-\mathrm{105}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta \right]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta -\mathrm{113}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{7}\theta -\mathrm{163}\right\}+\\ \mathrm{16}{R}^{\mathrm{2}}{P}_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta +\frac{\mathrm{100}\mathrm{i}{A}_{\mathrm{0}}R\left(-\mathrm{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{4}\theta -\mathrm{4}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{6}\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{9}\theta \right)}{\mathrm{1}\mathrm{694}-\mathrm{2}\mathrm{280}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{5}\theta +\mathrm{650}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{10}\theta }\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{k}_h}{k+k_h}\right)\mathrm{。}\end{array}（46）

4 数值分析和讨论

以\mathrm{B}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}{\mathrm{e}}_{\mathrm{3}}为例讨论无外加电场时，孔内空气热导率、孔口大小对环向能量流、环向应力分量的影响，材料参数为k=\mathrm{1.6} W{\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{K}}^{-\mathrm{1}}， \epsilon =\mathrm{2}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}\mathrm{V}{\mathrm{K}}^{-\mathrm{1}}， k_h=\mathrm{0.024} W{\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{K}}^{-\mathrm{1}}^［17］。

在无外加电场且孔口大小一定的条件下，孔口边缘处环向能量流、环向应力分量受空气热导率的影响随\theta的变化曲线如图2-3所示。从图中可以看出，空气热导率对二者产生了较大影响，即孔内温度场不能忽略。

图4呈现了无外加电场作用时，在孔口边缘处，当孔内空气热导率不为零时，环向应力分量受孔口大小的影响随\theta的变化曲线。由图4可知，五角星孔越小，环向应力分量的变化幅度越小。此变化与孔内空气热导率是否为零无关。同时，环向应力分量受空气热导率的影响较大，即由于孔内温度场的影响，在讨论空气热导率对应力场的影响时，要分别建立热绝缘模型和热精确模型进行分析。

5 小结

本文利用复变函数理论和保角映射方法，研究了含五角星孔热电材料在电绝缘和热精确边界条件下的二维断裂力学问题。利用电场势函数、温度场势函数和弹性场势函数的解析式，求得孔口边缘处环向能量流、环向应力分量的实形式表达式。在此基础上讨论了空气热导率、孔口大小对环向能量流和孔边应力的影响。本文的研究方法可以推广到其他含复杂缺陷热电材料的平面弹性问题。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“准晶颗粒增强复合材料细观力学研究”(11962026)