热力学极限视角下亲缘选择量子公共物品博弈的合作行为

Cooperative Behavior in Quantum Public Goods Games with Kin Selection under the Thermodynamic Limit Perspective

摘要

针对量子公共物品博弈中参与人数量趋于无穷大时的合作行为问题，运用热力学极限理论，将1D⁃Ising模型与一般二人博弈模型结合起来，构建亲缘选择下量子公共物品博弈模型，计算该模型的磁化强度并探讨纠缠度和亲缘关系系数对磁化强度的影响。研究表明：纠缠度与磁化强度呈正相关，即纠缠度越大，双方越容易实现合作，当纠缠度大于某一阈值时，磁化强度为正，多数人选择合作策略；当纠缠度属于不同区间范围时，亲缘关系对合作具有促进和抑制作用。

Abstract

Focusing on the cooperative behavior when the number of participants tended to infinity in quantum public goods games， this study integrated the 1D⁃Ising model with a general two-player game model and constructed a quantum public goods game model incorporating kin selection by applying the thermodynamic limit theory. The magnetization of the proposed model was calculated， and the effects of entanglement degree and the coefficient of kinship on magnetization were explored. The results indicated a positive correlation between entanglement degree and magnetization. Specifically， a higher entanglement degree facilitated cooperation between the two parties. When the entanglement degree exceeded a certain threshold， the magnetization became positive， which implied that the majority of participants adopted the cooperative strategy. When the entanglement degree was in different interval ranges， kin selection can either promote or inhibit cooperation.

Graphical abstract

关键词

量子公共物品博弈 / 亲缘选择 / 1D⁃Ising模型 / 热力学极限 / 磁化强度

Key words

quantum public goods game / kin selection / 1D⁃Ising model / thermodynamic limit / magnetization

在人类社会中，人与人之间的合作与竞争是推动整个社会发展的动力。群体中的个体时常要面对个人利益与集体利益、眼前利益与长远利益相冲突的博弈情境（被称为社会困境），如何促进社会困境中的合作行为已成为生物学、心理学、经济学等众多领域研究者所关注的热点话题^［1⁃3］。其中，公共物品博弈被学者广泛研究。公共物品的非排他性^［4］导致合作系统因资源有限而崩溃，形成“公共地悲剧”。Meyer^［5］所创立的量子博弈论为解决这一难题带来了全新视角，他从量子算法的角度考虑博弈论，并揭示出量子策略比经典策略更成功，或者至少和经典策略等同。Liao等^［6］应用连续变量量化方案对公共物品博弈进行量化，发现纠缠在没有利他主义、自愿参与以及惩罚的情况下，更易维持合作的持久性。Sun等^［7］利用量子纠缠和强互惠机制构建了公共物品的重复量子博弈，通过签订强互惠协议，提升了参与人的合作水平，从而在某种程度上克服了合作困境。Li等^［8］将量子策略引入到演化博弈中，研究公共物品博弈中量子策略与经典策略在网络中的演化，并发现无论网络如何，量子策略永远优于经典策略。

目前，公共物品博弈合作行为问题的研究，已经从传统经典博弈论发展到量子博弈论理论分析框架，但未能充分考虑合作机制对个体决策的影响，合作机制的引入为进一步研究公共物品博弈模型的合作演化行为提供了一个新的视角和机制。其中，最著名的就是Nowak^［9］为促进系统内个体间的合作水平，降低背叛行为，达到提高系统稳定性所提出的五大合作机制。亲缘选择机制的研究较为普遍。Krupp^［10］研究发现面部的自我相似性能够增加信任，从而加大对公共物品的贡献，即血缘关系的暗示能够促进群体合作。Rusch^［11］分析研究遗传相关性如何改变范式博弈的激励结构，发现只要存在足够数量的亲属，并从所生产的公共产品中获得足够的利益，合作行为就是最优的。Dijk^［12］表明尽管社区规模大，亲缘关系较低，但公共产品的好处是与亲属共享，即合作投资是由亲属指导的。除此之外，其他可以提高社会合作水平的机制还包括自愿参与机制^［13］、奖惩机制^{［14⁃16］}、声誉机制^{［17⁃18］}以及承诺与互惠机制^{［19⁃20］}等。

综上所述，国内外学者无论是从亲缘选择合作机制角度，还是从量子博弈论的视角，都对公共物品博弈模型的合作行为进行了不同程度的研究，得到一些有重要意义的研究成果，为合作行为机制提供了帮助。但研究人员在刻画参与人的支付函数方面，还没有突破由Von Neumann和Morgestern所建立的传统期望效用范式。也就是说，如果是两个或较少数量参与者博弈时，每个人的结果不仅依赖自己的行为，也受到他人行为的影响，自己的战略选择可能会被部分参与者间的联合破坏。在现实生活中，当参与者足够多时，即使个别参与者选择背叛行为，但为何合作行为还会涌现，仍然是困扰学界的一个问题。为此，很多学者一直在寻求新的解决办法，热力学极限理论作为统计物理中的一个重要概念，为研究大量粒子系统提供了有效的理论框架。该理论在刻画参与者足够多的假设条件下，通过将两个自旋一维伊辛哈密顿量与两人博弈收益有机联系起来的思想方法^［21］，试图利用博弈热力学极限正确预测大多数人采用的纳什均衡策略。此均衡策略对其他参与人个体的影响可以忽略不计。这为研究宏观系统的合作行为提供了有力的数学工具。然而，目前鲜有文献探讨在系统规模趋于无穷大环境下，亲缘选择和量子纠缠如何影响合作行为。因此，本文基于热力学极限理论，结合亲缘选择机制，深入研究量子公共物品演化博弈中合作行为的维持和扩散机制，揭示亲缘选择和量子纠缠效应对合作行为演化机制的影响，为深化大规模系统环境下对合作行为本质的理解、推动交叉学科研究提供新的思路和方法。

1 1D⁃Ising模型与一般二人博弈

1D⁃Ising模型^［22］是一种描述一维线性链上自旋之间相互作用的物质相变随机过程模型，链上的每个点（或称阵点）表征一个自旋，这些自旋存在两种状态（+1或-1），每个自旋仅同它的两个最近邻自旋及外部磁场相互作用，具有N个自旋的1D⁃Ising系统哈密顿量可以写成

H=-J{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\sigma {}_i{}^{}{\sigma }_{i+\mathrm{1}}-h{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_i,（1）

其中J代表自旋间的耦合，h代表外部磁场，N代表自旋个数，\sigma =+\mathrm{1},-\mathrm{1}分别代表自旋向上和向下。相应的配分函数为

Z=\sum _{{\sigma }_{\mathrm{1}}}\cdots \sum _{{\sigma }_N}{\mathrm{e}}^{\beta H}=Tr\left(T^N\right)={{\lambda }_{\mathrm{1}}}^N+{{\lambda }_{\mathrm{2}}}^N={{\lambda }_{\mathrm{1}}}^N\left(\mathrm{1}+{\left({\lambda }_{\mathrm{2}}/{\lambda }_{\mathrm{1}}\right)}^N\right),（2）

其中，T是如下传递矩阵

T=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\beta \left(J+h\right)}& {\mathrm{e}}^{\beta \left(-J\right)}\\ {\mathrm{e}}^{\beta \left(-J\right)}& {\mathrm{e}}^{\beta \left(J-h\right)}\end{array}\right),（3）

不妨规定{\lambda }_{\mathrm{1}}>{\lambda }_{\mathrm{2}}，{\lambda }_{\mathrm{1,2}}={\mathrm{e}}^{\beta J}\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\beta h\right)\pm \sqrt[]{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\beta h\right)+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}\beta J}}\right]是T的两个特征值，\beta =\mathrm{1}/\left(k_{\mathrm{B}}T\right)表示逆温度，k_{\mathrm{B}}是玻尔兹曼常数。

当N\to \mathrm{\infty }时，即在热力学极限下，{\left({\lambda }_{\mathrm{2}}/{\lambda }_{\mathrm{1}}\right)}^N\approx \mathrm{0}，此时配分函数为

Z={{\lambda }_{\mathrm{1}}}^N={\mathrm{e}}^{N\beta J}{\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\beta h\right)\pm \sqrt[]{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\beta h\right)+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}\beta J}}\right]}^N,（4）

由于系统的自由能F=-k_{\mathrm{B}}T\mathrm{l}\mathrm{n}\left(Z\right)，因此平均磁化强度为

m=-\frac{\mathrm{1}}{N}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}h}=\frac{\mathrm{1}}{N}\frac{\mathrm{1}}{\beta }\frac{\mathrm{1}}{Z}\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}h}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\beta h\right)}{\sqrt[]{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left(\beta h\right)+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}\beta J}}}。（5）

若想将1D⁃Ising模型理论引入到经典博弈模型当中，利用1D⁃Ising模型解决博弈模型相关均衡问题，就必须将两者有机结合起来，建立一一对应关系。根据Galam和Walliser^［21］建立的“最大收益与最小能量”博弈Ising化方案，首先考虑N=\mathrm{2}的自旋系统哈密顿量为

H=-J\left({\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}\right)-h\left({\sigma }_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}\right),（6）

自旋1与自旋2的能量分别为

E_{\mathrm{1}}=-J{\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}-h{\sigma }_{\mathrm{1}},E_{\mathrm{2}}=-J{\sigma }_{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}-h{\sigma }_{\mathrm{2}}。（7）

由于Ising模型以最小化能量获得均衡，而博弈论以最大化收益获得均衡，为了映射这两个模型，考虑利用能量的负值-E_i^{［21⁃23］}表示效用函数，一个自旋代表一个参与人，自旋状态代表参与人采取策略，由此可得到自旋系统的能量矩阵

\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \begin{array}{cccc}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \end{array}\end{array}{\sigma }_{\mathrm{2}}=+\mathrm{1}& \end{array}& \end{array}& {\sigma }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ -E=\\ \end{array}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{1}}=+\mathrm{1}\\ {\sigma }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1}\end{array}\left(\begin{array}{cc}J+h,J+h& -J+h,-J-h\\ -J-h,-J+h& J-h,J-h\end{array}\right)\end{array}。（8）

其次，通常二人对称博弈的收益矩阵为

\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & s_{\mathrm{1}}\end{array}& s_{\mathrm{2}}& & \end{array}\\ \begin{array}{c}\\ U=\\ \end{array}\begin{array}{c}{s}_{\mathrm{1}}\\ s_{\mathrm{2}}\end{array}\left(\begin{array}{cc}a,a& b,c\\ c,b& d,d\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}（9）

考虑变换a+\lambda ,b+\mu ,c+\lambda ,d+\mu，纳什均衡保持不变^{［21，23］}。故得到变换后的收益矩阵为

\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}\end{array}{s}_{\mathrm{1}}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \end{array}& \begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{2}}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ U=\\ \end{array}\begin{array}{c}{s}_{\mathrm{1}}\\ s_{\mathrm{2}}\end{array}\left(\begin{array}{cc}a+\lambda ,a+\lambda & b+\mu ,c+\lambda \\ c+\lambda ,b+\mu & d+\mu ,d+\mu \end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}（10）

为了使变换后的收益矩阵与自旋系统的能量矩阵之间形成一一映射^［21］，故令参数\lambda =-\frac{a+c}{\mathrm{2}}，\mu =-\frac{b+d}{\mathrm{2}}，得到

\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}{s}_{\mathrm{1}}& \end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \end{array}& & \end{array}& s_{\mathrm{2}}\end{array}& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ U=\\ \end{array}\begin{array}{c}{s}_{\mathrm{1}}\\ s_{\mathrm{2}}\end{array}\left(\begin{array}{cc}\left(a-c\right)/\mathrm{2},\left(a-c\right)/\mathrm{2}& \left(b-d\right)/\mathrm{2},\left(c-a\right)/\mathrm{2}\\ \left(c-a\right)/\mathrm{2},\left(b-d\right)/\mathrm{2}& \left(d-b\right)/\mathrm{2},\left(d-b\right)/\mathrm{2}\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}（11）

令式（5）和式（8）中每个量对应相等，计算得到

J=\left(a+d-b-c\right)/\mathrm{4},h=\left(a+b-c-d\right)/\mathrm{4},（12）

求解博弈磁化强度为

m=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left\{\beta \left[\left(a+b-c-d\right)/\mathrm{4}\right]\right\}}{\sqrt[]{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left\{\beta \left[\left(a+b-c-d\right)/\mathrm{4}\right]\right\}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}\beta \left[\left(a+d-b-c\right)/\mathrm{4}\right]}}}。（13）

特殊地，若a+d=b+c，则J=\mathrm{0},h=\left(a-c\right)/\mathrm{2}。磁化强度可简化为

m=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left\{\beta \left[\left(a-c\right)/\mathrm{2}\right]\right\}。（14）

2 模型建立

公共物品博弈是一种社会困境博弈，个体可以选择将一定数量的成本投入到公共池当中，也可以选择不付出成本，在公共物品博弈中，合作者（提供者）和背叛者（搭便车者）的收益分别为P_C=P_D-c，P_D=k{n}_{c}c/N。其中c为服务成本，k为“公共物品”的乘法因子，N为群体中的参与人数量，n_c为群体中的合作者数量。在二人公共物品博弈\left(N=\mathrm{2}\right)中，如果双方都选择合作，则各自得到的收益为P_C-c=\mathrm{2}r；如果双方都选择背叛，则各自得到的收益为P_D=\mathrm{0}；如果一方选择合作另一方选择背叛，合作者获得的收益为P_C=kc/\mathrm{2}-c=r-c/\mathrm{2}，背叛者获得的收益为P_D=kc/\mathrm{2}=r+c/\mathrm{2}。在带有惩罚的经典公共物品博弈中，背叛者会受到相应的惩罚p。由此得到博弈的收益矩阵^［24］为

\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}C& \end{array}& \end{array}& \end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& D\end{array}\end{array}

U=\begin{array}{l}C\\ D\end{array}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}r,\mathrm{2}r& r-c/\mathrm{2},r+c/\mathrm{2}-p\\ r+c/\mathrm{2}-p,r-c/\mathrm{2}& -p,-p\end{array}\right)\mathrm{。}（15）

其中r,c,p>\mathrm{0}。当r>c/\mathrm{2}-p时，\left(C,C\right)是纳什均衡；当时，\left(D,D\right)是纳什均衡。由于r>\mathrm{0}，所以c>\mathrm{2}p。

利用Eisert^［25］量化方案对上述经典公共物品博弈进行量子化，假设博弈双方的初始状态为\left|C\right.〉\otimes C〉，通过引进酉算子{\widehat{J}}_{\left(\gamma \right)}进行纠缠，使博弈状态纠缠成初始态\left|{\varphi }_{in}\right.〉={\widehat{J}}_{\left(\gamma \right)}\left|CC\right.〉，其中{\widehat{J}}_{\left(\gamma \right)}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{i\gamma \widehat{D}\otimes \left(\widehat{D}/\mathrm{2}\right)\right\}，\gamma \in \left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]为纠缠度。然后，博弈双方分别将自己的策略动作作用到初始状态\left|{\varphi }_{in}\right.〉，其中博弈双方的策略行为{\widehat{U}}_C、{\widehat{U}}_D属于一个具有2个参数的2×2矩阵的策略集合\widehat{U}\left(\theta ,\varphi \right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{i\phi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta /\mathrm{2}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta /\mathrm{2}\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta /\mathrm{2}& {\mathrm{e}}^{-i\phi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta /\mathrm{2}\end{array}\right)，其中\mathrm{0}\le \theta \le \mathrm{\pi }，\mathrm{0}\le \varphi \le \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}。在博弈双方实施行动后，博弈状态变为{\left|{\varphi }_f\right.〉}^{\mathrm{\text{'}}}=\left({\widehat{U}}_C\otimes \widehat{U}\right)\widehat{J}\left|CC\right.〉，最后再经过解纠缠{\widehat{J}}^{+}得到最终状态\left|{\varphi }_f\right.〉={\widehat{J}}^{+}\left({\widehat{U}}_C\otimes {\widehat{U}}_D\right)\widehat{J}\left|CC\right.〉，其中策略C和策略D的收益分别为

\begin{array}{l}{\mathrm{\$}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{2}r{\left|〈CC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}+\left(r+c/\mathrm{2}-p\right){\left|〈DC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}+\left(r-c/\mathrm{2}\right){\left|〈CD|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}-p{\left|〈CC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\$}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{2}r{\left|〈CC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}+\left(r-c/\mathrm{2}\right){\left|〈DC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}+\left(r+c/\mathrm{2}-p\right){\left|〈CD|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}-p{\left|〈CC|{\varphi }_f〉\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（16）

特殊地，令策略C=\widehat{U}\left(\mathrm{0,0}\right)，策略D=\widehat{U}\left(\mathrm{\pi },\mathrm{0}\right)，量子策略为\widehat{Q}=\widehat{U}\left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)，得到量化后的矩阵为

\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & & \end{array}& C& & \end{array}& & & \end{array}& D& & \end{array}& & \widehat{Q}& \end{array}\\ U=\begin{array}{c}C\\ D\\ \widehat{Q}\end{array}\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{2}r,\mathrm{2}r& r-c/\mathrm{2},r+c/\mathrm{2}-p& {\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ r+c/\mathrm{2}-p,r-c/\mathrm{2}& -p,-p& {\alpha }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{3}}\\ {\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{1}}& {\alpha }_{\mathrm{3}},{\alpha }_{\mathrm{2}}& \mathrm{2}r,\mathrm{2}r\end{array}\right),\end{array}（17）

其中，C=I,D=X,Q=iZ。{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}r\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right),{\alpha }_{\mathrm{2}}=r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right),{\alpha }_{\mathrm{3}}=r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)。当\gamma =\mathrm{0}时，量子策略\widehat{Q}为经典策略C，即经典博弈模型是这个量子博弈模型的一种特殊情况，本文用量子策略替代经典公共物品博弈中的合作策略，于是得到如下量子公共物品博弈收益矩阵

\begin{array}{cccc}\widehat{Q}& & & D\end{array}

U=\begin{array}{l}\widehat{Q}\\ D\end{array}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}r,\mathrm{2}r& {\alpha }_{\mathrm{3}},{\alpha }_{\mathrm{2}}\\ {\alpha }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{3}}& -p,-p\end{array}\right)\mathrm{。}（18）

亲缘选择机制是生物个体选择配偶和亲缘关系较近的个体进行协同合作的演化博弈。本文在建立量子公共物品博弈模型中，将亲缘选择机制引进收益矩阵中。由Smith^［26］提出的亲缘选择和广义适应度的概念可知：在收益矩阵中，个人收益为原来的收益与其亲属收益的a倍之和，其中为亲缘关系系数，从而得到改进后的收益矩阵为\begin{array}{c}\\ \\ U=\\ \end{array}\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\widehat{Q}& \end{array}& \begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}& & & \end{array}& & & \end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}D& \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\widehat{Q}\\ \end{array}\\ \\ D\\ \end{array}& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right),\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)& \begin{array}{l}r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\\ a\left(r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right),\\ r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\\ a\left(r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{l}r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+a\left(r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right),\\ r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+a\left(r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right)\end{array}& -p\left(\mathrm{1}+a\right),-p\left(\mathrm{1}+a\right)\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}

（19）

3 亲缘选择下量子公共物品博弈的热力学极限

对于上述亲缘选择下的量子公共物品博弈，由于

\begin{array}{l}\left\{r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+a\left[r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right]\right\}+\\ \left\{r+\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+a\left[r-\frac{c}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)-p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)\right]\right\}=\\ \left[\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)\right]+\left[-p\left(\mathrm{1}+a\right)\right],\end{array}

所以收益矩阵（19）满足条件b+c=a+d，故计算得

J=\mathrm{0},h=\frac{\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)-c\left(\mathrm{1}-a\right)\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)\right]+\mathrm{2}p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\mathrm{2}ap\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)}{\mathrm{4}},

磁化强度为

m=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left\{\beta \left[\frac{\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)-c\left(\mathrm{1}-a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)+\mathrm{2}p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\mathrm{2}ap\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)}{\mathrm{4}}\right]\right\},（20）

其中，m\in \left[-\mathrm{1,1}\right]。在博弈论中，m代表选择合作策略与背叛策略人数之差。当时，多数人选择合作；当时，多数人选择背叛；当m=\mathrm{0}时，则代表选择两种策略人数均等。故从背叛策略转化为量子策略发生在m=\mathrm{0}处，即

\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)-c\left(\mathrm{1}-a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)+\mathrm{2}p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\mathrm{2}ap\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)=\mathrm{0},

计算得

{\gamma }_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\left(\mathrm{2}r+p\right)\left(\mathrm{1}+a\right)}{\left(c-p\right)\left(\mathrm{1}-a\right)}\mathrm{。}（21）

3.1 纠缠度对磁化强度的影响

\frac{\partial m_g}{\partial \gamma }=\frac{\beta \left(\mathrm{1}-a\right)\left(c-p\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\gamma \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\gamma \right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left\{\beta \left[\frac{\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)-c\left(\mathrm{1}-a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)+\mathrm{2}p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\mathrm{2}ap\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)}{\mathrm{4}}\right]\right\}},（22）

其中，\beta >\mathrm{0,1}-a>\mathrm{0},c>p,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\gamma \right)>\mathrm{0},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\gamma \right)>\mathrm{0}。所以\frac{\partial m_g}{\partial \gamma }>\mathrm{0}，m_g为关于\gamma的增函数，纠缠度与磁化强度呈正相关，即纠缠度越大，双方越容易实现合作，演化系统越稳定（图1）。

从图1可以观察到，对于不同的逆温度，磁化强度都随着纠缠度的增加而增大，说明纠缠度能够促进合作行为的发生。随着纠缠度的增加，磁化强度从负变为正。当r=\mathrm{1},p=\mathrm{1},c=\mathrm{15},a=\mathrm{0.5}时，由（21）可知{\gamma }_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}\right)\approx \mathrm{0.452}。当\gamma >{\gamma }_{\mathrm{0}}时，m>\mathrm{0}，大多数人选择量子策略，即合作。在磁化强度为正的区域，\beta增加或者温度降低，选择量子策略的人数增加。然而，在磁化强度为负的区域，\beta增加的时候，选择量子策略的人数会减少。当\beta \to \mathrm{0}时，总体趋向于对两种策略的选择都没有偏倚。但总体上纠缠度\gamma对合作具有促进作用。

3.2 亲缘选择对磁化强度的影响

亲缘选择对磁化强度的影响可表示为

\frac{\partial m_g}{\partial a}=\frac{\beta \left[\mathrm{2}r+p+\left(c-p\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)\right]}{\mathrm{4}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}\left\{\beta \left[\frac{\mathrm{2}r\left(\mathrm{1}+a\right)-c\left(\mathrm{1}-a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\gamma \right)+\mathrm{2}p\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)+\mathrm{2}ap\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\gamma \right)}{\mathrm{4}}\right]\right\}},（23）

其中，\beta >\mathrm{0},r>\mathrm{0},p>\mathrm{0},c-p>\mathrm{0}。所以，当时，\frac{\partial m_g}{\partial a}>\mathrm{0}，m_g为关于a的增函数，亲缘关系系数与磁化强度呈正相关，即亲缘关系能够促进群体中的合作；当c>p,时，，m_g为关于a的减函数，亲缘关系系数与磁化强度呈负相关，即亲缘关系对合作行为具有抑制作用（图2-3）。

当r=\mathrm{1},p=\mathrm{1},c=\mathrm{7}时，\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{2}r+p}{p-c}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}}。对比图2和图3，当时，磁化强度随着亲缘关系系数a的增加而增大，意味着当时，亲缘关系对磁化强度具有促进作用，能够促进群体中的合作行为；反之，当时，随着亲缘关系系数a的增加，磁化强度越来越小，说明当时，亲缘关系对磁化强度具有抑制作用，能够抑制合作。

4 结论

本文将1D⁃Ising模型与一般二人博弈模型相融合，利用热力学极限理论知识，构建具有亲缘关系性质的量子公共物品模型，通过对该模型磁化强度的计算，分析博弈的策略选择，讨论量子纠缠和亲缘选择如何影响磁化强度。纠缠度越大，双方越容易合作，演化系统越稳定。当\gamma >\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\left(\mathrm{2}r+p\right)\left(\mathrm{1}+a\right)}{\left(c-p\right)\left(\mathrm{1}-a\right)}时，磁化强度表现为正值，意味着多数人倾向于选择合作策略，即合作占主导地位；当时，亲缘关系与磁化强度成正相关，能够促进合作行为；当时，亲缘关系对合作具有抑制作用。

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基金资助

教育部人文社会科学规划资助项目“量子博弈视角下寡头垄断企业均衡策略的复杂性机理及应用研究”(21YJA630116)

辽宁省教育厅基本科研资助项目“高维数据下竞争风险模型的变量选择方法研究”(LJKMZ20221412)