CP守恒的Type Ⅰ/X类型2HDM中强一阶电弱相变的可能性

Possibility of Strong First⁃order Electroweak Phase Transition in CP⁃conserving Type Ⅰ/X 2HDM

摘要

大型强子对撞机上发现的希格斯玻色子完成了标准模型（SM）的最后一块拼图，但仍有许多问题无法在SM的框架下得到完美的解释，如SM预言的电荷⁃宇称（CP）破坏效应不足以产生足够的重子数，因此无法合理解释宇宙中观测到的物质⁃反物质不对称性问题。在CP守恒的双希格斯二重态模型（2HDM）的TypeⅠ/X类型下，选取CP为偶的重希格斯粒子为类SM的希格斯玻色子进行研究，系统分析模型中可能生成强一阶电弱相变的参数区域。在计算中，对希格斯势能进行圈图修正并考虑有限温度场论的效应来计算相变温度，同时还考虑所有相关的理论和最新的实验约束。研究证实，在2HDM类型TypeⅠ/X中，仍存在着大量满足强一阶电弱相变且可被对撞机观测的参数空间。

Abstract

The discovery of the Higgs boson at the large hadron collider （LHC） has led to the completion of the standard model （SM）， but there are still many problems that cannot be perfectly explained within the SM framework. For example， the charge‑parity （CP） violation predicted by SM is insufficient to generate enough baryon number， thereby making it impossible to reasonably explain the observed matter⁃antimatter asymmetry in the universe. Under the Type Ⅰ/X of the CP‑conserving two Higgs doublet model （2HDM）， this paper selected the CP‑even heavy Higgs boson as the SM‑like Higgs boson for research， and systematically analyzed the parameter regions in the model where a strong first⁃order electroweak phase transition may be produced. In the calculation， loop corrections were applied to the Higgs potential， and the effects of finite temperature field theory were considered to calculate the phase transition temperature. Meanwhile， all relevant theories and latest experimental constraints were taken into account. The results confirm that in the 2HDM Type Ⅰ/X， there still exists a large parameter space that satisfies the strong first‑order electroweak phase transition and can be observed by colliders.

Graphical abstract

关键词

双希格斯二重态模型 / 电弱相变 / 对撞机现象学

Key words

two Higgs doublet model （2HDM） / electroweak phase transition / collider phenomenology

在标准模型（standard model， SM）的理论框架中，电弱对称性破缺（electroweak symmetry breaking， EWSB）通过希格斯场的非零真空期望值（vacuum expectation value， VEV）实现了规范对称性从\mathrm{S}\mathrm{U}{\left(\mathrm{2}\right)}_{\mathrm{L}}\times \mathrm{U}{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{Y}}到\mathrm{U}{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{E}\mathrm{M}}的自发破缺^［1］，这一机制为弱规范玻色子提供了质量生成途径。电弱相变（electroweak phase transition， EWPT）作为这一破缺过程在早期宇宙中的动力学实现，其热力学性质直接影响宇宙演化的多个关键环节^［2］。理论计算表明，在现有实验确定的希格斯玻色子（Higgs boson）质量参数范围m_{\mathrm{H}}\approx \mathrm{125} GeV内，标准模型预言的EWPT呈现平滑的跨接型相变特征（crossover），而不满足Sakharov三条件中非平衡要求的一阶相变结构^［3］。这一结论导致标准模型无法解释观测宇宙中重子不对称性（baryon asymmetry of the universe， BAU）的生成机制（\eta =\left(n_b-n_{\overline{b}}\right)/n_{\gamma }\approx \mathrm{6}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{10}}），同时与暗物质质量密度（{\Omega }_{\mathrm{D}\mathrm{M}}{h}^{\mathrm{2}}\approx \mathrm{0.12}）的观测约束存在差异^［4］。上述矛盾表明，标准模型的低能标有效理论，在描述早期宇宙极端条件下的相变动力学时存在根本性局限，从而需要引入超越标准模型（beyond the standard model， BSM）的新物理机制以重构EWPT的临界行为。

双希格斯二重态模型（two Higgs doublet model， 2HDM）是对SM最简单的扩充模型，现有研究表明，2HDM通过引入额外的标量自由度可以增强电弱相变强度，满足重子生成条件^［5］。James等^［6］系统分析了轻标量质量谱和大质量分裂对相变的促进作用，并探讨了不同Yukawa耦合类型对相变强度的影响。该研究发现早期工作多采用Parwani方法处理热质量，其在高阶项处理上存在模糊性，而Arnold-Espinosa方法^［7］通过分离热修正与树级质量，被证实更适合一圈有效势的分析。LHC上Higgs数据与B物理观测对2HDM参数空间形成强约束^［8］；全局信号强度拟合可以进一步限制混合角\alpha与\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta的范围；高阶QCD修正也可以显著优化理论与实验的一致性检验^［9］。

尽管研究确认强相变偏好特定质量谱（m_A\approx m_H或m_H\ll m_A），但相关衰变通道的LHC探测灵敏度仍需量化^［10］。现有研究聚焦于CP守恒情形，而CP破坏相变可能通过附加CP源增强重子不对称^［11］，但此类模型的相变动力学与实验约束尚未系统分析。此外，多级相变（multi-step PT）对宇宙演化的影响未被充分探讨^［12］。

本研究基于Basler等^［13］的工作，系统分析在CP守恒的Type Ⅰ和Type X类型2HDM模型中 强一阶电弱相变的实现条件。基于最新的LHC Higgs耦合测量数据以及电弱精密修正等实验约束，结合理论限制，对参数空间进行了大规模数值扫描，筛选出了合适的参数点范围。判断在CP守恒的2HDM中，是否存在强一阶电弱相变，以解释宇宙中观测到的物质⁃反物质不对称性问题。

1 理论基础

2HDM模型树图势在软破缺Z_{\mathrm{2}}对称性下，二重态的变换为{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}\to {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}，{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}\to -{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}，其表达式为

V_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}=m_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}\right)+\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\left({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\left({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+

{\lambda }_{\mathrm{3}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{4}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}+\frac{{\lambda }_{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}^{†}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]，（1）

质量参数m_{\mathrm{11}}、m_{\mathrm{12}}以及耦合参数{\lambda }_{\mathrm{1}-\mathrm{4}}是该模型的实参数。如果要引入额外的CP破坏源，则需要将m_{\mathrm{12}}和{\lambda }_{\mathrm{5}}设为复数。而本研究仅讨论CP守恒的情况，因此这些参数仍保持为实数。在电弱对称性破缺后，两个希格斯二重态获得实的真空期望值{\overline{w}}_i\in \mathit{ℝ}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})，围绕这些真空期望值，希格斯场可以展开为带电的奇和偶CP态的{\rho }_i和{\eta }_i，以及中性的奇和偶CP态的{\zeta }_i和{\psi }_i(i=\mathrm{1,2})，可表示为

{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}{\rho }_{\mathrm{1}}+i{\eta }_{\mathrm{1}}\\ {\overline{w}}_{\mathrm{1}}+{\zeta }_{\mathrm{1}}+i{\psi }_{\mathrm{1}}\end{array}\right)，（2）

{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}{\rho }_{\mathrm{2}}+i{\eta }_{\mathrm{2}}\\ {\overline{w}}_{\mathrm{2}}+i{\overline{w}}_{\mathrm{3}}+{\zeta }_{\mathrm{2}}+i{\psi }_{\mathrm{2}}\end{array}\right)。（3）

在此框架下，通过适当的规范变换，可将真空期望值的复分量完全限定于第二个希格斯二重态中。将当前零温度真空的真空期望值记为

{\upsilon }_i\equiv {\overline{w}}_i{|}_{T=\mathrm{0}}，（4）

设置

{\upsilon }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}。（5）

而其余两个真空期望值与标准模型的真空期望值之间满足：

{\upsilon }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\upsilon }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\equiv {\upsilon }^{\mathrm{2}}={\left(\mathrm{246.22}\right)}^{\mathrm{2}}。（6）

通过引入角度β

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta \equiv \frac{{\upsilon }_{\mathrm{2}}}{{\upsilon }_{\mathrm{1}}}，（7）

由此可得

{\upsilon }_{\mathrm{1}}=\upsilon \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta ,{\upsilon }_{\mathrm{2}}=\upsilon \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta。（8）

通过以上式（1）—（8），可以将相关物理量用\upsilon和\beta来表示，以便后续计算。在本次研究中，通过对以下这些参数的扫描来探索模型的参数空间，检验模型与理论和实验约束的兼容性：

\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e},{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}},{\lambda }_{\mathrm{3}},{\lambda }_{\mathrm{4}},{\lambda }_{\mathrm{5}},m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}},\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta。（9）

模型中电弱对称性\mathrm{S}\mathrm{U}{\left(\mathrm{2}\right)}_{\mathrm{L}}\times \mathrm{U}{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{Y}}会自发破缺为\mathrm{U}{\left(\mathrm{1}\right)}_{\mathrm{E}\mathrm{M}}，其原因是标量质量矩阵m_{ij}^{\mathrm{2}}出现负特征值，这使得至少一个希格斯双态产生真空期望值。对称性破缺后，\mathrm{S}\mathrm{U}{\left(\mathrm{2}\right)}_{\mathrm{L}}双态{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}和{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}的八个自由度会重新表示为具有确定物理性质的状态。这一过程中会出现戈德斯通玻色子{\mathrm{G}}^{\pm }和{\mathrm{G}}^{\mathrm{0}}，它们会被{\mathrm{W}}^{\pm }和 \mathrm{Z}规范玻色子吸收并赋予这些规范玻色子质量。最终剩余的物理希格斯态共有五个，分别为三个中性 希格斯态（其中两个CP偶数态\mathrm{h}和\mathrm{H}，m_{\mathrm{h}}\le m_{\mathrm{H}}；一个CP奇数态A）以及一对带电希格斯玻色子{\mathrm{H}}^{\pm }。

为了对角化CP偶数态的质量矩阵，可以引入混合角\alpha，将原始的双态表示为特定形式：

\left(\begin{array}{c}\mathrm{H}\\ \mathrm{h}\end{array}\right)=R\left(\alpha \right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_{\mathrm{1}}\\ {\zeta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right)， R\left(\alpha \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right)。（10）

这一旋转对角化了中性CP偶态的质量矩阵，使得H和h成为Higgs玻色子，其质量分别为m_{\mathrm{H}}和m_{\mathrm{h}}：

m_{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}=m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\frac{{\upsilon }_{\mathrm{2}}}{{\upsilon }_{\mathrm{1}}}-\frac{{\upsilon }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{1}}-\frac{{\upsilon }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left({\lambda }_{\mathrm{3}}+{\lambda }_{\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{5}}\right)，（11）

m_{\mathrm{H}}^{\mathrm{2}}=m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\frac{{\upsilon }_{\mathrm{1}}}{{\upsilon }_{\mathrm{2}}}-\frac{{\upsilon }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}-\frac{{\upsilon }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left({\lambda }_{\mathrm{3}}+{\lambda }_{\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{5}}\right)，（12）

混合角\alpha决定了两个场之间的耦合强度。

赝标量粒子与带电希格斯粒子质量可以写为

m_{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}=\frac{m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }-\frac{{\upsilon }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{5}}-{\lambda }_{\mathrm{6}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta +{\lambda }_{\mathrm{7}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta \right)，（13）

m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}^{\mathrm{2}}=m_{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}+\frac{{\upsilon }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left({\lambda }_{\mathrm{5}}-{\lambda }_{\mathrm{4}}\right)。（14）

所以在2HDM中，参数空间也可以包括希格斯玻色子质量、混合角和软破缺参数^［14］。规范不变性要求希格斯玻色子与规范玻色子的耦合完全由不变量\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta -\alpha \right)和\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\beta -\alpha \right)决定。选取该模型的一组独立参数，并通过零温度下势能最小化的条件来确定其取值：

m_{\mathrm{h}},m_{\mathrm{H}},m_{\mathrm{A}},m_{{\mathrm{H}}^{\pm }},m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}},\alpha ,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta ,\upsilon。（15）

为避免树图味改变中性流（FCNCs），需引入Z_{\mathrm{2}}对称性约束Yukawa耦合结构。根据不同费米子与希格斯二重态{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}和{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}的耦合方式，2HDM可分为以下四种类型，具体见表1。

表格第一列展示了四种2HDM模型，中间列指出了各模型中不同费米子扇区（u、d、e）与希格斯二重态的耦合情况。本研究重点集中于Type Ⅰ和Type X类型。在Type Ⅰ模型中，所有费米子（u、d、e）都与{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}耦合；Type X模型中，上型夸克与下型夸克与{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}耦合，轻子与{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}耦合。最后几列给出了q_{\mathrm{L}}（左手夸克二重态）、u_{\mathrm{R}}（右手上夸克）、d_{\mathrm{R}}（右手下夸克）、l_{\mathrm{L}}（左手轻子）、e_{\mathrm{R}}（右手轻子）以及{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}和{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}在Z_{\mathrm{2}}对称性下的荷。通过这一表格，可以对比不同模型在费米子与希格斯二重态耦合方式以及{\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}荷分配上的差异，理解不同模型的性质。

在研究电弱相变时，需计算包含一圈修正的有效势V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}，其由树图势V_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}、Coleman-Weinberg（CW）贡献V_{\mathrm{C}\mathrm{W}}和热修正V_{\mathrm{T}}三部分组成^［13］，即：

V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=V_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}+V_{\mathrm{C}\mathrm{W}}+V_{\mathrm{T}}+V_{\mathrm{C}\mathrm{T}}，（16）

其中树图势V_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}由式（1）给出，在最小减除\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}方案下，V_{\mathrm{C}\mathrm{W}}表达式为

V_{\mathrm{C}\mathrm{W}}\left(\left\{\omega \right\}\right)={\sum }_i\frac{n_i}{\mathrm{64}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}\left(\left\{\omega \right\}\right)\left[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{m_i^{\mathrm{2}}\left(\left\{\omega \right\}\right)}{{\mu }^{\mathrm{2}}}\right)-c_i\right]。（17）

其中求和涵盖所有玻色子与费米子，m_i^{\mathrm{2}}是粒子i的质量矩阵平方的本征值，\mu =\upsilon为重整化尺度（完整的公式可见文献［13］）。热修正势V_T包含Daisy重求和：

V_T={\sum }_k{n}_k\frac{T^{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{J}_{\pm }^{\left(k\right)}。（18）

其中在高温展开中一致性地采用单圈水平的热质量修正J_{\pm }^{\left(k\right)}：

J_{\pm }^{\left(k\right)}=\left\{\begin{array}{cc}{J}_{-}\left(\frac{m_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\right)-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{6}}\left(\frac{{\overline{m}}_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{3}}}-\frac{m_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{3}}}\right),& k=W_{\mathrm{L}},Z_{\mathrm{L}},{\gamma }_{\mathrm{L}},\mathrm{h},\mathrm{H},\mathrm{A},{\mathrm{H}}^{\pm },{\mathrm{G}}^{\mathrm{0}},{\mathrm{G}}^{\pm }\\ J_{-}\left(\frac{m_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\right),& k=W_{\mathrm{T}},Z_{\mathrm{T}}\\ J_{+}\left(\frac{m_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\right),& k=f\mathrm{。}\end{array}\right.（19）

\mathrm{其中}{\overline{m}}_k^{\mathrm{2}}=m_k^{\mathrm{2}}+{\mathrm{Ⅱ}}_k\left(T\right)为热质量修正，J_{+}（J_{-}）是热积分函数定义为

J_{\pm }\left(\frac{m_k^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\right)=\mp {\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}}\mathrm{d}{x}^{}{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left[\mathrm{1}\pm {\mathrm{e}}^{-\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+m_k^{\mathrm{2}}/T^{\mathrm{2}}}}\right]。（20）

上述为Arnold-Espinosa方法^［15］，通过高温展开在一圈近似下实现了热质量的自洽计算。式（16）中的V_{\mathrm{C}\mathrm{T}}是一圈势能的抵消项。

SM难以产生足够重子数，主要受限于电偶极矩（EDM）测量的严格约束。为此，文献［16］在2HDM中提出了多步电弱相变方案：首先在强一级相变阶段，借助足够CP破坏产生重子数；随后通过抑制电弱sphaleron过程，避免重子数被消除。这样即使最终电弱真空保持CP守恒，仍可保留所需重子数的不对称性。选择在第一步相变产生重子数的原因是后续相变中由于两相sphaleron过程都被抑制，难以产生足够不对称性。此外，多步相变会产生多峰引力波信号：每次一级相变都会发射特征引力波谱，多次相变叠加将形成多峰结构。这种独特信号可能被LISA等未来空间干涉仪探测到^［17］。在某些情况下，需要考虑电弱真空附近的相变。此时高温展开条件不再成立，导致高温展开方法失效。因此，Arnold-Espinosa方法不适用于多步电弱相变的计算。

2 研究方法

2.1 有效势最小化的数值分析法

强一阶电弱相变的判定需满足的临界条件为，真空期望值（{\upsilon }_{\mathrm{c}}）与临界温度（T_{\mathrm{c}}）之间的比值大于1，即

{\xi }_{\mathrm{c}}\equiv \frac{{\upsilon }_{}}{T_{\mathrm{c}}}\mathrm{c}\ge \mathrm{1}，（21）

在给定温度T下的\upsilon值可通过以下方式得到

\upsilon \left(T\right)=\sqrt[]{{\overline{\omega }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\overline{\omega }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\overline{\omega }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}，（22）

{\overline{\omega }}_i表示在非零温度下，使圈图修正的有效势达到最小的场构型。临界温度T_{\mathrm{c}}被定义为该势具有两个简并极小值时的温度。为确定T_{\mathrm{c}}，需在给定温度T下，对有效势（式16）进行数值最小化处理。在一阶电弱相变中，真空期望值在T=T_{\mathrm{c}}时从\upsilon ={\upsilon }_{\mathrm{c}}跃变为当T>T_{\mathrm{c}}时\upsilon =\mathrm{0}。

2.2 参数扫描条件和约束条件

本研究采用2HDMC^［18］对2HDM参数空间进行广泛扫描，逐级筛选出符合要求的参数点。参数点需要满足的稳定性条件和微扰幺正性条件为

{\lambda }_{\mathrm{1,2}}>\mathrm{0},{\lambda }_{\mathrm{3}}>-\sqrt[]{{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}},{\lambda }_{\mathrm{3}}+{\lambda }_{\mathrm{4}}-\left|{\lambda }_{\mathrm{5}}\right|>-\sqrt[]{{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}}，（23）

微扰性和幺正性应该满足以下条件：

，

，

，

，

，

（24）

电弱精确约束参数S，T需要满足条件：

S=\mathrm{0.04}\pm \mathrm{0.08},T=\mathrm{0.08}\pm \mathrm{0.07}\mathrm{。}（25）

本研究针对两种模型类型（Type Ⅰ/X）分别设定了参数的扫描范围（表2）。\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta -\alpha \right)在理论允许的区域为

\left(-\mathrm{0.25}\right)\le \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta -\alpha \right)\le \left(-\mathrm{0.05}\right)\mathrm{。}（26）

在所有的扫描中，CP为偶的重希格斯玻色子的质量已固定为

m_{\mathrm{H}}=\mathrm{125.09} GeV。（27）

参数m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}受树图和全局最小值条件的约束，必须为正，TypeⅠ类型中将其范围限制为

\mathrm{0}\le m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{20}\mathrm{000}，（28）

在Type X中，m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}范围设置过大会导致有效参数点很少，其范围被限制为

\mathrm{0}\le m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}\mathrm{000}。（29）

为避免与SM希格斯玻色子的信号发生混淆，对额外标量粒子的质量施加以下约束条件：中性希格斯玻色子质量参数输入范围为30~1 000 GeV，带电希格斯质量参数输入范围为65~1 000 GeV。在本研究中，虽对\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta和m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}设定了上限，但数值分析表明，符合强一阶相变的参数点主要集中在\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta低值区域，使得该上限未对相变强度分析构成实质性约束。这些选择已经排除了部分被\mathrm{B}\to {\mathrm{X}}_{\mathrm{s}}\mathrm{\gamma }实验数据排除的参数区域。

在扫描过程中，为找到可行的参数点，在由输入参数所确定的2HDM参数空间中开展扫描工作。该研究通过蒙特卡罗方法对参数空间进行系统性扫描，随机生成参数点，并在每次迭代中计算相关物理量。为验证参数点与实验数据的一致性，研究借助HiggsBounds程序^［19］，整合LEP、Tevatron及LHC的希格斯玻色子搜索数据，在95%置信水平下剔除被实验排除的参数区域；其次通过HiggsSignals^［20］程序计算{\chi }^{\mathrm{2}}，评估模型预测结果与125 GeV希格斯粒子观测特性的统计兼容性，确保类SM希格斯耦合结构。经过几重筛选后的可行参数集被导入BSMPT^［21］框架，利用其数值算法执行电弱相变的数值模拟与计算关键物理量：临界温度T_{\mathrm{c}}、临界真空期望值{\upsilon }_{\mathrm{c}}和{\xi }_{\mathrm{c}}。

3 结果分析

3.1 2HDM-Type Ⅰ模型中的强一阶电弱相变

在TypeⅠ型2HDM模型中，质量较大的CP为偶态希格斯粒子视为类SM希格斯粒子（\mathrm{H}\equiv {\mathrm{h}}_{\mathrm{125}}时）的撒点图，如图1所示。图中灰色点满足所有理论和实验限制；彩色点在此基础上还满足强一阶电弱相变{\xi }_c\ge \mathrm{1}的条件。{\xi }_c值对应右侧颜色条，不同颜色体现其数值差异，黄色对应较大的{\xi }_c值（接近2.4），表示电弱相变强度较强。

从图1（a）（b）可知，m_{\mathrm{h}}\lesssim \mathrm{60}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}区域中，满足约束条件和{\xi }_c\ge \mathrm{1}的点极少出现，这是因为\mathrm{H}\equiv {\mathrm{h}}_{\mathrm{125}}\to \mathrm{h}\mathrm{h}衰变会影响{\mathrm{h}}_{\mathrm{125}}总宽度，导致其衰变为标准模型末态的分支比与大型强子对撞机（LHC）数据不符。此外，{\xi }_c\ge \mathrm{1}的条件将赝标量粒子的质量限制在\mathrm{260}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}\lesssim m_{\mathrm{A}}\lesssim \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}的范围内，将带电粒子的质量限制在\mathrm{280}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}\lesssim m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\lesssim \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}，仅有少数异常值除外，且当m_{\mathrm{A}}\approx {\mathrm{m}}_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\approx \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}时能达到最强的电弱相变。

图1（c）展示出全部参数点经过所有约束条件以及强一阶电弱相变要求后的{\mathrm{H}}^{\pm }与A的质量分布。强一阶电弱相变将带电希格斯玻色子的质量区域限制在\mathrm{280}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}\lesssim m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\lesssim \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}。由于m_{\mathrm{H}}质量较轻，需要限制m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}取值，以及{\lambda }_{\mathrm{2}}过大会导致m_{\mathrm{H}}偏离实验值，因此无法成为驱动相变的主导参数。

强一阶电弱相变要求较大的四次耦合。较大的四次耦合会增强势能中的非线性项，从而促进相变过程中真空期望值的急剧跳跃^［19］。但过高的{\lambda }_{\mathrm{4}}和{\lambda }_{\mathrm{5}}会导致A和{\mathrm{H}}^{\pm }的质量远高于弱电能标（例如超过500 GeV）。此时，高能标下的希格斯自相互作用会抑制势能的结构变化，导致相变能垒的减弱，最终降低相变强度。因此在保持\mathrm{H}\equiv {\mathrm{h}}_{\mathrm{125}}的前提下，{\lambda }_{\mathrm{4}}和{\lambda }_{\mathrm{5}}的取值需在以下两方面权衡：一方面，较大的{\lambda }_{\mathrm{4}}和{\lambda }_{\mathrm{5}}能增强相变强度，避免A和{\mathrm{H}}^{\pm }质量过高而导致质量分裂过大，从而削弱相变强度；另一方面，若过度增大四次耦合以提高m_{\mathrm{A}}和m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}，H场的VEV贡献可能反而抑制相变强度。因此，需要权衡两者的影响，使得当m_{\mathrm{A}}接近480 GeV时，{\xi }_c达到最大值。

Type Ⅰ型模型中的各参数之间的分布如图2所示。由图2（a）可知，全部参数点主要集中于m_{\mathrm{h}}>60 GeV区域。当60 GeV时，随着h的质量增大，通过约束的点变多，满足强一阶电弱相变条件的参数点集中在\mathrm{1}\mathrm{000}\le m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}\mathrm{750}。由图2（b）可知，点数在\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta -\alpha \right)范围内分布较为均匀，多集中在5区域，彩色点左下角略密集，表明\left(-\mathrm{0.25}\right)\le \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta -\alpha \right)\le \left(-\mathrm{0.05}\right)范围是较符合强一阶电弱相变条件的。

2HDM中Type Ⅰ与Type X模型经不同约束筛选后有效参数点数量对比如图3所示。由图3可知，在Type X类型中，经过电弱精确量S、T、U限制后，参数点相较Type Ⅰ会明显减少。这源于Type X类型中夸克和轻子耦合至不同双态，导致非类SM粒子的质量简并度与Type Ⅰ不同，改变了环形修正对S、T、U的贡献，进而使得后续满足强一阶电弱相变的参数量减少。

3.2 2HDM-Type X模型中的强一阶电弱相变

Type X型模型中的各希格斯玻色子之间的质量分布如图4所示。由图4（a）（b）可知，在Type X模型中，强一阶电弱相变条件将赝标量粒子的质量限制在\mathrm{380}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}\lesssim m_{\mathrm{A}}\lesssim \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}范围，带电粒子的质量限制在\mathrm{380}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}\lesssim m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\lesssim \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}（仅有少数异常值除外），并且在m_{\mathrm{A}}\approx m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\approx \mathrm{480}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}时，可实现最强电弱相变。这与上面Type Ⅰ类型的结果没有太大区别。图4（c）展示出全部参数点经过所有约束条件以及强一阶电弱相变要求后的{\mathrm{H}}^{\pm }与A的质量分布。强电弱相变在质量较低的区域是没有剩余点的。

Type X型模型中的各参数之间的质量分布如图5所示。相比图2、图5中能清楚看到，Type X满足{\xi }_c\ge \mathrm{1}的参数点集中在\mathrm{1}\mathrm{000}\le m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}\mathrm{500}。强相变需求通过增强三线性耦合，进一步限定了m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}的最优区间。这一现象表明，在2HDM中实现与现有数据兼容且支持强电弱相变的参数空间极具选择性，而\mathrm{1}\mathrm{000}\le m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}\mathrm{500}是多重约束下的必然结果。在TypeⅠ和Type X模型中，较低的\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta值易出现强一阶电弱相变。原因在于，B物理观测如\mathrm{B}\to {\mathrm{X}}_{\mathrm{s}}\mathrm{\gamma }对m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}施加了严格限制，低\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta既能满足这些质量限制，又能使Yukawa耦合与实验数据兼容。此外，电弱精密测试要求非类标准模型玻色子质量相近，低\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta有助于减少质量分裂，从而满足这些参数的限制。

4 小结

本研究在CP守恒的2HDM下，系统探究了强一阶电弱相变特性。采用Arnold-Espinosa方法构建有限温度下的一圈修正有效势，并纳入了理论自洽性条件（势能有界性、幺正性等）与最新的实验约束（LHC希格斯数据、电弱精密测量等）。研究表明，对于\mathrm{H}\equiv {\mathrm{h}}_{\mathrm{125}}的Type Ⅰ型2HDM中，重标量间的大质量分裂有利于强一阶相变。当m_{\mathrm{A}}\approx m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\approx \mathrm{280}~\mathrm{480} GeV且与m_{\mathrm{h}}\approx \mathrm{60} GeV形成显著分裂时，{\xi }_c\ge \mathrm{1}的参数点分布密集。在Type X型模型中也有类似结论，m_{\mathrm{A}}\approx m_{{\mathrm{H}}^{\pm }}\approx \mathrm{400}~\mathrm{500} GeV与m_{\mathrm{h}}\approx \mathrm{60} GeV形成显著分裂，此时满足强一阶电弱相变的参数点较多。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“LHC时代带电希格斯粒子的综合研究”(12275143)