基于前景理论⁃后悔理论的犹豫模糊多属性决策方法

A Hesitant Fuzzy Multi⁃attribute Decision⁃making Method Based on Prospect Theory⁃regret Theory

摘要

针对属性权重未知且属性值为犹豫模糊数的多属性决策问题，首先，采用犹豫模糊熵来确定权重；然后，基于前景理论和犹豫模糊欧几里得距离构建前景价值矩阵，以各方案前景价值的正负理想点作为参考点，利用后悔理论计算出后悔⁃欣喜值并进行排序，由此提出了一种基于前景理论⁃后悔理论的犹豫模糊多属性决策方法；最后，通过实例验证了该方法的有效性和可行性。

Abstract

This study aims to address multi⁃attribute decision⁃making problems where attribute weights were unknown and attribute values were hesitant fuzzy numbers. First， hesitant fuzzy entropy was employed to determine the weights. Then， a prospect value matrix was constructed based on prospect theory and the hesitant fuzzy Euclidean distance. With the positive and negative ideal points of the prospect value of each scheme as reference points， the regret theory was applied to calculate the regret⁃rejoice values， which were then ranked. Thus， a hesitant fuzzy multi⁃attribute decision⁃making method was proposed based on prospect theory⁃egret theory. Finally， an example was used to verify the effectiveness and feasibility of the proposed method.

Graphical abstract

关键词

犹豫模糊集 / 多属性决策 / 前景理论 / 犹豫模糊熵 / 后悔理论

Key words

hesitant fuzzy set / multi⁃attribute decision⁃making / prospect theory / hesitant fuzzy entropy / regret theory

随着社会的迅速发展，决策问题的复杂性与日俱增，我们面临着诸多充满不确定性和模糊性的挑战。Zadeh^［1］提出的模糊集理论在处理模糊信息时存在一定的局限性。Torra^［2］提出犹豫模糊集理论能够更好地描述决策者的犹豫和不确定性，然而仅仅依靠犹豫模糊集进行决策，可能无法充分考虑决策者在面对风险和不确定性时的心理行为，为此研究者们提出了一些将犹豫模糊集与前景理论^［3］、后悔理论^［4⁃5］相结合的多属性决策方法。如文献［6⁃7］针对权重未知，应用熵权法确定权重，将前景理论和TOPSIS相结合，求解犹豫模糊多指标决策问题；文献［8］针对权重未知，构建权重优化模型确定权重，在犹豫模糊环境下将前景理论与VIKOR结合，解决了修建高速公路时路线选择的多属性决策问题；文献［9］针对权重未知，用最大极差法确定权重，在犹豫模糊环境下，将后悔理论与TODIM结合，用于解决物流平台服务质量评估多属性决策问题；文献［10］针对权重未知，用相关系数法确定权重，在概率犹豫模糊环境下应用后悔理论选出面试的候选人。前景理论描述了决策者在决策时的心理行为和状态，后悔理论刻画了决策者后悔或者欣喜的心理行为特点。为了能够更加真实地反映决策者的心理行为，本文将前景理论、后悔理论和犹豫模糊数三者相结合，研究了犹豫模糊多属性决策问题。首先利用犹豫模糊熵确定权重，然后以各方案前景价值的正负理想点为参考点，计算每个方案的后悔⁃欣喜值并对其排序，提出一种基于前景理论⁃后悔理论的犹豫模糊多属性决策方法，最后通过实例分析证明了所提出的方法是有效可行的。

1 基础知识

1.1 犹豫模糊集理论

定义1^［2］ 设非空集合X是给定的论域，称H=\left\{〈x,h_H\left(x\right)〉x\in X\right\}为X上的犹豫模糊集，其中h_H\left(x\right)是由区间\left[\mathrm{0,1}\right]上若干个不同的数组成的集合，代表X属于集合H的一些可能隶属度；h=h_H\left(x\right)=\left\{\gamma \left|\gamma \in \right.h_H\left(x\right)\right\}=H\left\{{\gamma }^{\mathrm{1}},{\gamma }^{\mathrm{2}},\dots ,{\gamma }^l\right\}为一个犹豫模糊数，{\gamma }^{\lambda }\in \left[\mathrm{0,1}\right],\lambda =\mathrm{1,2},\dots ,l；犹豫模糊数h的补为h^c=H\left\{\mathrm{1}-{\gamma }^{\mathrm{1}},\mathrm{1}-{\gamma }^{\mathrm{2}},\dots ,\mathrm{1}-{\gamma }^l\right\}，l表示犹豫模糊数h中元素的个数。

定义2^［13］ 两个犹豫模糊数分别表示为h_{\mathrm{1}}=H\left\{{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\lambda }\left|\lambda =\mathrm{1,2},\dots ,l_{\mathrm{1}}\right.\right\}和h_{\mathrm{2}}=H\left\{{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\lambda }\left|\lambda =\mathrm{1,2},\dots ,l_{\mathrm{2}}\right.\right\}，假定其中元素以递增的顺序排列且个数相等，即l_{\mathrm{1}}=l_{\mathrm{2}}=l且{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\lambda }和{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\lambda }分别为犹豫模糊数h_{\mathrm{1}}和h_{\mathrm{2}}中第\lambda小的值，则有h_{\mathrm{1}}\le h_{\mathrm{2}}当且仅当{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\lambda }\le {\gamma }_{\mathrm{2}}^{\lambda },\lambda =\mathrm{1,2},\dots ,l。

定义3^［13］ 对于任意一个定义在x\in X上的犹豫模糊数h的方差函数为

S\left(h\right)=\frac{\mathrm{1}}{l}\sqrt[]{\sum _{r^i,r^j\in h}{\left(r^i-r^j\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}（1）

定义4^［12］ 对于任意一个犹豫模糊数h，h的犹豫模糊熵为

\begin{array}{l}E\left(h\right)=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}}{lT}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^l}\left(\left(\left(\mathrm{1}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}\right)\right.\right.+\\ \left.\left(\mathrm{1}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i-\mathrm{1}\right)}\right)\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i-\mathrm{1}\right)}\right)\right)\right)/\mathrm{2}-\left(\mathrm{2}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i+\mathrm{1}\right)}\right)\right)/\mathrm{2}\times \\ \left.\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i+\mathrm{1}\right)}\right)\right)/\mathrm{2}\right),\end{array}（2）

式中：h^{\sigma \left(i\right)}为第i大的元素，并且q>\mathrm{0};T=\left(\mathrm{1}+q\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q\right)-\left(\mathrm{2}+q\right)\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}+q\right)-\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}\right),q=\mathrm{2}\mathrm{。}

定义5^［13］ 两个犹豫模糊数h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}的距离测度用犹豫模糊Hamming距离测度和犹豫模糊距离 Euclidean进行表示，分别为

d_{{}_H}\left(h_{\mathrm{1}},h_{{}_{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =\mathrm{1}}^l}\left|{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\lambda }-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\lambda }\right|，（3）

d_E\left(h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\right)=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =\mathrm{1}}^l}{\left({\gamma }_{\mathrm{1}}^{\lambda }-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\lambda }\right)}^{\mathrm{2}}}。（4）

1.2 前景理论

“前景理论”是由Tverskry和Kahneman^［3］提出，它主要描述和预测人们在面临风险决策过程中的行为。综合前景值V由价值函数v和决策权重函数\pi共同决定：

V\left(f\right)=v\left(\mathrm{\Delta }x\right)\cdot \pi \left(p\right)。（5）

价值函数v反映了决策者根据实际收益或损失所产生的主观感受的价值，价值函数图像是一条S型曲线，在收益域上是凹函数，在损失域上是凸函数^［3］，如图1所示。价值函数v\left(\mathrm{\Delta }x\right)的表达式为

（6）

式中：\mathrm{\Delta }x是x偏离某一参考点x_{\mathrm{0}}的大小，当\mathrm{\Delta }x\ge \mathrm{0}表明存在正向收益；反之，当时，表明了损失的发生；\alpha和\beta表述决策者对于预期收益与潜在损失的敏感程度，\alpha >\mathrm{0}，，\lambda则反映相对收益而言，决策者对损失更加敏感，\lambda >\mathrm{1}。相关参数设置为^［3］\lambda =\mathrm{2.25}，\alpha =\beta =\mathrm{0.88}。

概率权重函数与客观概率有关，其特点为对小概率过度重视，对大概率重视不足，中间概率接近线性，如图2所示。

收益和损失的决策权重函数\pi表示为

\left\{\begin{array}{l}\pi {\left(p\right)}^{+}=\frac{{\left(p\right)}^{\theta }}{{\left[{\left(p\right)}^{\theta }+{\left(\mathrm{1}-p\right)}^{\theta }\right]}^{\mathrm{1}/\theta }},\mathrm{收益}\mathrm{状态};\\ \pi {\left(p\right)}^{-}=\frac{{\left(p\right)}^{\delta }}{{\left[{\left(p\right)}^{\delta }+{\left(\mathrm{1}-p\right)}^{\delta }\right]}^{\mathrm{1}/\delta }},\mathrm{损失}\mathrm{状态}\mathrm{。}\end{array}\right.（7）

式中：p为指标概率，\theta和\delta表示决策者的收益偏好程度和风险规避程度。相关参数设置为^［3］\theta =\mathrm{0.61}，\delta =\mathrm{0.69}。

1.3 后悔理论

犹豫后悔理论主要是考虑在犹豫模糊环境下，决策者因做出的选择没有得到理想结果而产生后悔情绪，或者因放弃其他选择而产生欣喜（庆幸没选择更差的）情绪。后悔理论使用正负理想点法，结合Hamming距离函数计算欣喜值R_{ij}和后悔值G_{ij}，具体表现形式为^［11］

R_{ij}=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\vartheta \left|\frac{V_{ij}-V_{ij}^{-}}{V_{ij}^{+}-V_{ij}^{-}}\right|\right)，（8）

G_{ij}=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\vartheta \left|\frac{V_{ij}-V_{ij}^{+}}{V_{ij}^{+}-V_{ij}^{-}}\right|\right)。（9）

欣喜⁃后悔值为

Z_i={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(R_{ij}+G_{ij}\right)。（10）

式中：V_{ij}^{+}为最大前景值，也称正理想点；V_{ij}^{-}为最小前景值，也称负理想点；\vartheta为规避系数，规避系数越小，后悔程度越高，相关参数设置为^［11］\vartheta =\mathrm{0.3}。

2 基于前景⁃后悔理论的犹豫模糊多属性决策方法

2.1 问题描述

假定一个由m个方案、n个评价属性组成的犹豫模糊多属性决策问题，设X=\left\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,\right.\left.x_m\right\}为方案集，C=\left\{c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},\dots ,c_n\right\}为属性集，属性权重W={\left(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\dots ,w_n\right)}^T，w_j\in \left[\mathrm{0,1}\right]，{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{w}_j=\mathrm{1}。D={\left(h_{ij}\right)}_{m\times n}为犹豫模糊决策矩阵，h_{ij}\left(i=\mathrm{1,2},\dots ,m;j=\mathrm{1,2},\dots ,n\right)是一个犹豫模糊数，h_{ij}=H\left\{r_{ij}^{\mathrm{1}},r_{ij}^{\mathrm{2}},\dots ,r_{ij}^{l_{ij}}\right\}，l_{ij}是犹豫模糊数中元素的个数。

2.2 权重计算

信息熵用于衡量随机变量的不确定性，其值越高不确定性越大。将熵概念引入模糊集理论，便产生了模糊熵。熵权法是一种客观赋权法，它以各个指标的信息熵为基础，通过对各个指标的信息熵进行加权。信息熵较低时，其权重较大，反之，则较小。

（1）由文献［12］计算各个属性的犹豫模糊熵E_j：

\begin{array}{c}{E}_j=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}}{lT}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^l}\left(\left(\left(\mathrm{1}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}\right)+\left(\mathrm{1}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i-\mathrm{1}\right)}\right)\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i-\mathrm{1}\right)}\right)\right)\right)/\mathrm{2}-\right.\right.\\ \left.\left(\mathrm{2}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i+\mathrm{1}\right)}\right)\right)/\mathrm{2}\times \left.\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}+q{h}^{\sigma \left(i\right)}+q\left(\mathrm{1}-h^{\sigma \left(l-i+\mathrm{1}\right)}\right)\right)/\mathrm{2}\right)\right)\mathrm{。}\end{array}（11）

式中：h^{\sigma \left(i\right)}为第i大的元素，且q>\mathrm{0}；j=\mathrm{1,2},\dots ,n；T=\left(\mathrm{1}+q\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+q\right)-\left(\mathrm{2}+q\right)\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}+q\right)-\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}\right),取q=\mathrm{2}。

（2）根据信息熵原理，熵值愈小，评价属性的重要性愈大；相反，熵值愈大，评价属性的重要性愈小。因此，第j个评价属性的熵权为

W_j=\frac{\mathrm{1}-E_j}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(\mathrm{1}-E_{{}_j}\right)},j=\mathrm{1,2},\dots ,n。（12）

（3）由于属性权重往往受到决策者不同偏好的影响，用主观的修正权重系数{\mu }_j\left(j=\mathrm{1,2},\dots ,\right.n）校正。

W_j^{\mathrm{*}}=\frac{{\mu }_j{w}_j}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\mu }_j{w}_j},j=\mathrm{1,2},\dots ,n\mathrm{。}（13）

2.3 算法步骤

Step1： 应用熵权法，先根据式（2）求出犹豫模糊熵，再由式（11）~（13）确定属性权重W^{\mathrm{*}}。

Step2： 根据式（14）对犹豫模糊决策矩阵进行归一化处理，得到归一化犹豫模糊决策矩阵\overline{D}=({\overline{h}}_{ij}{)}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}，

\left\{\begin{array}{l}{\overline{h}}_{ij}=h_{ij},h_{ij}\mathrm{为收}\mathrm{益型};\\ {\overline{h}}_{ij}=H\left\{\mathrm{1}-r_{ij}^{\mathrm{1}},\mathrm{1}-r_{ij}^{\mathrm{2}},\dots ,\mathrm{1}-r_{ij}^{l_{ij}}\right\},h_{ij}\mathrm{为成}\mathrm{本型}\mathrm{。}\end{array}\right.（14）

Step3： 将属性权重W^{\mathrm{*}}右乘归一化犹豫模糊决策矩阵得到加权归一化犹豫模糊决策矩阵

\tilde{D}={\left({\tilde{h}}_{ij}\right)}_{m\times n}。

Step4： 确定综合前景矩阵：

（1）根据加权归一化犹豫模糊决策矩阵\tilde{D}={\left({\tilde{h}}_{ij}\right)}_{m\times n}按列寻找中位数{\tilde{h}}_{i{j}^c}\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5};\right.j^c=\left.\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right)为决策参考点，由式（15）确定前景价值函数，

。（15）

（2）由式（7）计算犹豫模糊环境下的收益和损失决策权重函数。

（3）由式（16）确定综合前景值，进而将多属性模糊评价矩阵转化为多属性综合前景矩阵，记作V{\left({\tilde{h}}_{ij}\right)}_{m\times n}，

。（16）

Step5： 由式（8）-（10）计算各方案的欣喜⁃后悔值Z_i。

Step6： 根据欣喜⁃后悔值Z_i的大小对所有的方案进行排序，值越大，说明方案越优。

3 实证分析

3.1 算例计算

创新力在企业发展中起着举足轻重的作用，一家风险投资公司打算对一家计算机生产企业进行投资，现有5家创新型计算机生产企业\left\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right\}，为了能够选出最优的创新型计算机生产企业，该风险投资企业从创新的角度出发给出了四个不同的评价属性\left\{c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}},c_{\mathrm{4}}\right\}，c_{\mathrm{1}}和c_{\mathrm{4}}分别表示技术创新成本和技术创新风险，属于成本性属性；c_{\mathrm{2}}和c_{\mathrm{3}}分别表示创新带来的经济效益和创新带来的社会效益，属于收益性属性。属性权重w=\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}},w_{\mathrm{4}}\right\}未知，且满足{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{w}_j=\mathrm{1}，w_j>\mathrm{0}，决策者的属性偏好系数满足\left\{{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}},{\mu }_{\mathrm{3}},{\mu }_{\mathrm{4}}\right\}=\left\{\mathrm{0.35,0.35,0.15,0.15}\right\}，基于上述四个评价属性，评价结果以犹豫模糊决策矩阵形式给出，见表1^［14］。

Step1： 基于犹豫模糊熵的权重确定方法，根据式（2）可得犹豫模糊熵矩阵，见表2。

根据式（11）可得E_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.955}\mathrm{98}，E_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.841}\mathrm{48}，E_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.867}\mathrm{44}，E_{\mathrm{4}}=\mathrm{0.798}\mathrm{54}，最后根据式（12）（13）求得属性权重w^{\mathrm{*}}=\left(\mathrm{0.127}\mathrm{3,0.458}\mathrm{6,0.164}\mathrm{3,0.249}\mathrm{8}\right)。

Step2： 根据式（14）对犹豫模糊决策矩阵进行归一化处理，见表3。

Step3： 将属性权重w^{\mathrm{*}}=\left(\mathrm{0.127}\mathrm{3,0.458}\mathrm{6,0.164}\mathrm{3,0.249}\mathrm{8}\right)右乘归一化犹豫模糊决策矩阵\overline{D},得到加权归一化犹豫模糊决策矩阵\tilde{D}。

\tilde{D}=\left[\begin{array}{l}H\{\mathrm{0.050}\mathrm{92,0.063}\mathrm{65,0.089}\mathrm{11}\}\\ H\{\mathrm{0.050}\mathrm{92,0.063}\mathrm{65,0.076}\mathrm{38}\}\\ H\{\mathrm{0.050}\mathrm{92,0.050}\mathrm{92,0.050}\mathrm{92}\}\\ H\{\mathrm{0.038}\mathrm{19,0.050}\mathrm{92,0.076}\mathrm{38}\}\\ H\{\mathrm{0.076}\mathrm{38,0.089}\mathrm{11,0.101}\mathrm{84}\}\end{array}\right.\to\begin{array}{l}H\{\mathrm{0.321}\mathrm{02,0.321}\mathrm{02,0.321}\mathrm{02}\}\\ H\{\mathrm{0.321}\mathrm{02,0.366}\mathrm{88,0.412}\mathrm{74}\}\\ H\{\mathrm{0.275}\mathrm{16,0.275}\mathrm{16,0.412}\mathrm{74}\}\\ H\{\mathrm{0.183}\mathrm{44,0.229}\mathrm{30,0.275}\mathrm{16}\}\\ H\{\mathrm{0.137}\mathrm{58,0.183}\mathrm{44,0.229}\mathrm{30}\}\end{array}\to

\begin{array}{l}H\{\mathrm{0.073}\mathrm{94,0.082}\mathrm{15,0.098}\mathrm{58}\}\\ H\{\mathrm{0.073}\mathrm{93,0.082}\mathrm{15,0.098}\mathrm{58}\}\\ H\{\mathrm{0.073}\mathrm{94,0.090}\mathrm{37,0.098}\mathrm{58}\}\\ H\{\mathrm{0.147}\mathrm{87,0.147}\mathrm{87,0.147}\mathrm{87}\}\\ H\{\mathrm{0.065}\mathrm{72,0.065}\mathrm{72,0.082}\mathrm{15}\}\end{array}\to \left.\begin{array}{l}H\{\mathrm{0.199}\mathrm{84,0.212}\mathrm{33,0.224}\mathrm{92}\}\\ H\{\mathrm{0.149}\mathrm{88,0.149}\mathrm{88,0.174}\mathrm{86}\}\\ H\{\mathrm{0.149}\mathrm{88,0.174}\mathrm{86,0.199}\mathrm{84}\}\\ H\{\mathrm{0.037}\mathrm{47,0.062}\mathrm{45,0.074}\mathrm{94}\}\\ H\{\mathrm{0.099}\mathrm{90,0.112}\mathrm{24,0.174}\mathrm{86}\}\end{array}\right]。

Step4： 确定综合前景矩阵。

根据加权归一化犹豫模糊决策矩阵\tilde{D}按列取中位数{\tilde{h}}_{i{j}^c}\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5};j^c=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right)为决策参考点：

\begin{array}{l}{\tilde{h}}_{i{j}^c}=\left\{H\right.\left\{\mathrm{0.050}\mathrm{92,0.063}\mathrm{65,0.076}\mathrm{38}\right\},\\ H\left\{\mathrm{0.275}\mathrm{16,0.275}\mathrm{16,0.321}\mathrm{01}\right\},\\ H\left\{\mathrm{0.073}\mathrm{94,0.090}\mathrm{37,0.098}\mathrm{58}\right\},\\ H\left\{\left.\mathrm{0.149}\mathrm{88,0.149}\mathrm{88,0.174}\mathrm{86}\right\}\right\}\mathrm{。}\end{array}

由式（15）确定前景价值矩阵，见表4。

由式（7）得出决策权重函数值为：

\pi {\left(w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{+}=\mathrm{0.209}\mathrm{6}， \pi {\left(w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{-}=\mathrm{0.196}\mathrm{6}， \pi {\left(w_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right)}^{+}=\mathrm{0.396}\mathrm{6}， \pi {\left(w_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right)}^{+}=\mathrm{0.428}\mathrm{4}，

\pi {\left(w_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}\right)}^{+}=\mathrm{0.237}\mathrm{1}， \pi {\left(w_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}\right)}^{-}=\mathrm{0.228}\mathrm{8}， \pi {\left(w_{\mathrm{4}}^{\mathrm{*}}\right)}^{+}=\mathrm{0.290}\mathrm{6}， \pi {\left(w_{\mathrm{4}}^{\mathrm{*}}\right)}^{-}=\mathrm{0.293}\mathrm{4}。

由式（16）确定综合前景矩阵，见表5。

Step5： 由式（8）-（10）计算各方案的欣喜⁃后悔值Z_{\mathrm{i}}。

由式（8）（9）得欣喜值R_{\mathrm{i}\mathrm{j}}和G_{\mathrm{i}\mathrm{j}}分别为

\begin{array}{l}{R}_{ij}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0.195}\mathrm{9}& \mathrm{0.233}\mathrm{0}& \mathrm{0.083}\mathrm{3}& \mathrm{0.259}\mathrm{2}\\ \mathrm{0.162}\mathrm{0}& \mathrm{0.259}\mathrm{2}& \mathrm{0.118}\mathrm{9}& \mathrm{0.212}\mathrm{3}\\ \mathrm{0.000}\mathrm{0}& \mathrm{0.243}\mathrm{1}& \mathrm{0.141}\mathrm{8}& \mathrm{0.232}\mathrm{4}\\ \mathrm{0.056}\mathrm{9}& \mathrm{0.080}\mathrm{6}& \mathrm{0.259}\mathrm{2}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}\\ \mathrm{0.259}\mathrm{2}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}& \mathrm{0.132}\mathrm{2}\end{array}\right],\\ G_{ij}=\left[\begin{array}{cccc}-\mathrm{0.085}\mathrm{3}& -\mathrm{0.035}\mathrm{3}& -\mathrm{0.237}\mathrm{3}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}\\ -\mathrm{0.130}\mathrm{9}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}& -\mathrm{0.189}\mathrm{1}& -\mathrm{0.063}\mathrm{2}\\ -\mathrm{0.349}\mathrm{9}& -\mathrm{0.021}\mathrm{7}& -\mathrm{0.149}\mathrm{8}& -\mathrm{0.036}\mathrm{1}\\ -\mathrm{0.272}\mathrm{8}& -\mathrm{0.241}\mathrm{1}& \mathrm{0.000}\mathrm{0}& -\mathrm{0.349}\mathrm{9}\\ \mathrm{0.000}\mathrm{0}& -\mathrm{0.349}\mathrm{9}& -\mathrm{0.349}\mathrm{9}& -\mathrm{0.171}\mathrm{4}\end{array}\right]\mathrm{。}\end{array}

由式（10）得各方案的欣喜⁃后悔值Z_{\mathrm{i}}，见表6。

Step6： 根据欣喜⁃后悔值Z_i的大小对所有的方案进行排序如下：

Z_{\mathrm{1}}>Z_{\mathrm{2}}>Z_{\mathrm{3}}>Z_{\mathrm{4}}>Z_{\mathrm{5}}

由排序结果可知，第1家创新型电脑制造企业为最优方案。

3.2 算例分析

为了研究方法合理性和有效性，分别使用文献［6］和文献［15］两种方法对算例进行求解排序，与本文排序结果进行对比，见表7。

由上表可知本文的排序结果与文献［6］的方法所得排序结果一致，与文献［15］的方法所得排序结果区别在于第4家公司和第5家公司的排序不一致，主要原因是本文使用了熵权法客观的确定权重，并且使用后悔理论刻画复杂的决策心理，能够描述决策者面对多个模糊选项时的犹豫、后悔情绪，更加真实地反映决策情况，使排序结果更加科学、客观。

4 结论

本文针对权重未知的犹豫模糊多属性决策问题，提出了一种基于前景⁃后悔理论的犹豫模糊多属性决策方法。该方法突破了传统决策理论仅基于理性假设的局限，充分考虑了决策者在面对模糊信息时的心理行为因素，如对收益和损失的感知、后悔和欣喜情绪的变化等，使决策模型更贴近实际决策过程。算例分析也表明方法可行有效。

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基金资助

陕西省自然科学基础研究计划资助项目“致密油气勘探地震波阻抗反演的贝叶斯深度学习方法”(2025JC⁃YBMS⁃277)