基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型及算法研究

Poisson Denoising Model and Algorithm Based on Schatten⁃p Norm Low⁃rank Regularization

摘要

针对传统低秩正则泊松去噪模型存在的低秩性约束不足、计算代价大等问题，提出一种基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型。首先，对噪声图像采用重叠分块策略进行分割，并对所得图像块进行聚类处理，利用聚类后相似图像块的低秩性，使用非凸的Schatten-p范数作为正则项，以更精确地约束相似块矩阵的低秩结构；然后，将图像块进行矩阵分解，以减少数据存储量，避免奇异值分解，提高计算效率；最后，由于提出模型的非凸非光滑性，利用近端交替线性极小化算法（PALM）进行求解，具有收敛性保证。实验结果表明，所提出的泊松去噪模型在峰值信噪比（PSNR）指标上平均提升1.1 dB，结构相似性（SSIM）指标上提升6.1%，去噪性能显著优于对比算法。

Abstract

To address the problems of insufficient low-rank constraints and high computational cost in traditional low⁃rank regularization Poisson denoising model， this paper proposed a Poisson denoising model based on Schatten⁃p norm low⁃rank regularization. Firstly， the noise image was segmented by adopting an overlapping blocking strategy， and clustering processing was conducted on the obtained image blocks. Meanwhile， the low‑rank properties of similar image blocks after clustering were leveraged， and the non‑convex Schatten⁃p norm was adopted as the regularization term to more accurately constrain the low⁃rank structure of similar block matrices. Secondly， matrix factorization was performed on the image blocks to reduce data storage， avoid singular value decomposition， and improve computational efficiency. Finally， due to the non‑convex and non‑smooth properties of the proposed model， the proximal alternating linearized minimization （PALM） algorithm was adopted for solution， which provided the convergent guarantee. Experimental results show that the proposed Poisson denoising model achieves an average improvement of 1.1 dB in the peak signal⁃to⁃noise ratio （PSNR） and 6.1% in the structural similarity index （SSIM）， and its denoising performance is significantly superior to that of comparative algorithms.

Graphical abstract

关键词

泊松噪声 / Schatten-p范数 / 低秩近似 / 近端交替线性极小化

Key words

Poisson noise / Schatten‑p norm / low‑rank approximation / proximal alternating linearized minimization （PALM）

在医学CT^［1］，天文望远镜^［2］，荧光共聚焦显微镜^［3］以及光通信等弱光成像领域中，光感受器接收光子数量较少，观测信号的随机性较为显著，这种噪声的统计特性与信号强度密切相关，并且遵循泊松分布，故称为泊松噪声。泊松噪声的非加和非乘特性，对传统基于高斯噪声假设的图像恢复方法提出了严峻挑战，因此研究泊松去噪算法具有重要价值。

经典泊松去噪方法分为两类：一是变换方法，通过方差稳定变换（如Anscombe变换^［4］，广义Anscombe变换^［5］和Haar-Fisz变换^［6］）将泊松噪声转换为近似高斯噪声，使用高斯去噪器处理后逆变换得到去噪图像，但在高噪声水平下易丢失图像细节和结构；二是直接方法，直接利用泊松统计特性恢复图像，主要包括局部方法和非局部方法。局部方法计算简单却易破坏全局结构；非局部方法依托全局信息，去噪效果更优。如Salmon等^［7］提出非局部主成分分析法（NLPCA），后又在文献［8］中引入L1范数正则化提出非局部稀疏主成分分析法（NLSPCA），Zha等^［9］提出基于非局部结构化稀疏正则化的高光谱图像去噪算法（NLSSR），文献［10］提出基于混合聚类和低秩正则化的泊松去噪方法（HCLR），为每个集群引入自适应低秩约束，但其用核范数凸近似秩函数，易平滑图像细节，影响去噪效果。

近年来研究者提出很多秩函数的非凸近似函数，如Schatten-p范数（0<p<1）^［11］、加权核范数^［12］、截断核范数^［13］等，文献［14］证明非凸目标函数的所有局部极小值都是全局最优解，能够更紧致地逼近秩函数。TRNM^［15］算法将加权核范数和截断核范数进行融合，文献［16］提出基于非凸Schatten-p范数的RPCA方法，在低信噪比下重构误差小且秩估计准确。但上述方法涉及奇异值分解（SVD），在处理高维矩阵时存在计算效率瓶颈。为此，研究者提出基于矩阵分解的低秩逼近方法，显著降低计算复杂度和内存消耗。Chen等^［17］提出了非凸低秩矩阵逼近模型，将退化的高光谱图像分解为低秩项和稀疏项，指出基于矩阵分解的方法比依赖SVD的方法至少快6倍，且内存占用更低。本文提出了基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型，主要创新点和贡献有：（1）利用Schatten-p范数作为秩函数的非凸近似，更精确地约束相似块矩阵的低秩结构，避免核范数对奇异值的均匀收缩；（2）采用Schatten-p范数的矩阵分解策略，降低计算复杂度；（3）使用PALM算法对模型进行求解，具有收敛性保证。

1 模型提出及求解算法

1.1 整体流程

整体流程分四步：重叠分块，Bregman K-means聚类，簇内去噪，融合重建，具体流程图如图1所示。首先，使用重叠分块策略将噪声图像分割为大小相同的重叠图像块；其次，采用Bregman K-means聚类方法对图像块进行聚类，将同簇内的每个图像块展开成行向量，并按行排列，构建相似图像块矩阵；随后，根据相似块矩阵的低秩性，使用提出的去噪模型进行簇内去噪；最后，根据分块前的位置坐标将去噪后的图像块进行加权融合重建，对于重叠部分的每个像素取其平均值，最终得到去噪后的重建图像。

1.2 构建相似图像块矩阵

1.2.1 重叠分块

直接对整幅图像进行全局去噪，往往会忽略图像的局部特征和结构信息，导致去噪效果不理想。利用图像的自相似性和局部结构特性，将图像分割成块，有助于更好地捕捉到图像的局部特征，同时降低计算复杂度。对于一幅尺寸为M\times N的图像，将其分割成大小为n\times n的重叠图像块，重叠部分长和宽的大小均为n-\mathrm{1}，可获得(M-n+\mathrm{1})\times (N-n+\mathrm{1})个图像块。

图像块大小的选择与去噪效果密切相关，为了获取达到最佳去噪效果的分割宽度，本文采用控制变量法，在其他参数保持不变的条件下，通过改变图像分割宽度的取值来评估其对去噪效果的影响，从而获得最优的分割宽度。

1.2.2 Bregman K-means聚类

使用间隔统计量方法（Gap Statistic）确定最佳簇数，其定义为

G\mathrm{a}\mathrm{p}(i)=E[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_i]-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_i。（1）

其中，D_i={\sum }_{p=\mathrm{1}}^q\sum d\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}({\mathit{v}}^T,c_p{)}^{\mathrm{2}}，{\mathit{v}}^T是大小为n\times n的图像块按行排列的\mathrm{1}\times n^{\mathrm{2}}行向量，c_p为第i个分组的聚类中心，E[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_i]是\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_i的期望，将Gap Statistic取最大值所对应的聚类数作为最佳簇数。

Bregman K-means聚类是基于Bregman散度来度量数据点f与聚类中心f_C之间的距离，Bregman散度的定义为

d(f,f_C)=D_P(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(f),\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(f_C))=\sum _j{f}_C^j-f^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(f_C^j)。（2）

在重叠分块后，将大小为n\times n的相似图像块展开成\mathrm{1}\times n^{\mathrm{2}}的行向量，然后使用Gap Statistic确定最佳簇数，再根据Bregman散度进行聚类，主要步骤如下：

（1）使用Gap Statistic确定最佳聚类数目k，并随机初始化k个聚类中心；

（2）根据Bregman散度确定每个数据点与每个聚类中心的距离，并将其分配到与其距离最小的聚类中心；

（3）对于分配给每个聚类中心的图像块，计算其均值并将其作为新的聚类中心；

（4）重复迭代，当达到最大迭代次数或聚类中心不再显著变化时停止。

Bregman K-means聚类的完整流程如图2所示。在聚类过程结束后，将属于同一簇的每个行向量按行排列，得到相似图像块矩阵，其行数为当前簇包含的图像块数量，列数为图像块的大小。

1.3 提出的模型

假设Y_i，i=\mathrm{1,2},\dots ,N是通过图像采集设备获得的观测像素值，每个Y_i都是一个独立的随机泊松变量，其均值X_i是待估计的潜在强度值，其离散概率为

P(Y_i|X_i)=\frac{{X_i}^{Y_i}{\mathrm{e}}^{-X_i}}{Y_i!}。（3）

Y_i的期望值和方差都等于X_i，因此从Y_i中恢复真实强度X_i本质上是一个泊松去噪问题。泊松噪声的强度取决于信号强度，这使得去噪过程变得非常困难。

通过最大化泊松分布的对数似然函数，可以有效估计每个像素的真实值。由于噪声图像中的所有像素都是独立同分布的，则有

\underset{X}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(X):=\underset{X}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{X}_{i,j}-Y_{i,j}{\left[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(X)\right]}_{i,j}s.t.X\ge \mathrm{0}。（4）

其中，Y_{i,j}\in R^{M\times N}是第i个图像块的第j个像素，X_{i,j}\in R^{M\times N}是对应的清晰图像块。

由于问题中带有非负约束，使得问题求解复杂化，因此令X={\mathrm{e}}^{\widehat{X}}，则有

\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(\widehat{X}):=\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\mathrm{e}}^{{\widehat{X}}_{i,j}}-Y_{i,j}{\widehat{X}}_{i,j}。（5）

该问题是一个不适定问题，需要先验或者正则项。由于聚类后的每个集群包含不同数量的图像块，这暗示了其具有不同的内容和结构，为了表征聚类后每类图像块的高度相关性，因此为每个集群引入了自适应低秩约束正则项

\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(\widehat{X}):=\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\mathrm{e}}^{{\widehat{X}}_{i,j}}-Y_{i,j}{\widehat{X}}_{i,j}s.t.R_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}}(\widehat{X})\le r。（6）

求解秩最小化问题是一个NP-Hard问题，HCLR用核范数作为秩函数的凸松弛，对模型进行改进，使用非凸的Schatten-p范数作为正则化项：

\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(\widehat{X}):=\underset{\widehat{X}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\mathrm{e}}^{{\widehat{X}}_{i,j}}-Y_{i,j}{\widehat{X}}_{i,j}+\lambda {‖\widehat{X}‖}_{S_p}^p。（7）

其中，\lambda是正则化参数，用于平衡数据项和正则项。

直接处理涉及Schatten-p范数的问题会面临计算复杂度高和非凸性等挑战，为此，可通过矩阵分解的形式，令\widehat{X}=UV，将原低秩优化问题转化为对因子矩阵U和V的约束优化。在文献［18］中，揭示了其分解形式，不仅降低了计算复杂度，还能保持问题的低秩特性。

定理1{‖\widehat{X}‖}_{S_p}^p=\underset{X=U{V}^{\mathrm{{\rm T}}}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{p}{p_{\mathrm{1}}}{‖U‖}_{\mathrm{2},p_{\mathrm{1}}}^{p_{\mathrm{1}}}+\frac{p}{p_{\mathrm{2}}}{‖V‖}_{\mathrm{2},p_{\mathrm{2}}}^{p_{\mathrm{2}}}。（8）

其中，U\in M\times l，V\in l\times N（l\ll \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(M,N)），U和V可以看作是系数矩阵和基矩阵，且参数约束为\frac{\mathrm{1}}{p}=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}（）。

原来\widehat{X}需要储存M\times N个元素，通过矩阵分解，仅需要储存M\times l+l\times N个元素，存储空间大幅减少，计算复杂度也显著降低。当p=\mathrm{1}时，Schatten-1范数即为核范数。当p越趋近于0时，Schatten-p范数越接近秩函数。为了在低秩近似和凸优化之间取得平衡，研究选取p=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}。总的来说，与核范数相比，Schatten-p范数对秩函数的逼近能力更强，可以更精确地刻画数据的低秩结构。

综上，提出的基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型为

\underset{U,V}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(UV):=\underset{U,V}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\mathrm{e}}^{{(UV)}_{i,j}}-Y_{i,j}{(UV)}_{i,j}+\frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{3}}{‖U‖}_{\mathrm{2,1}}+\frac{\lambda }{\mathrm{3}}{‖V‖}_F^{\mathrm{2}}。（9）

求解模型（9）的困难在于目标函数的非凸非光滑性，本文提出的模型符合文献［19］所给出的一般模型的框架，且目标函数满足该文献中收敛性定理的条件，从而具有收敛性保证。

1.4 求解算法

定义f(U,V)=〈{\mathrm{e}}^{UV}|\mathrm{1}〉-〈UV|Y〉，求解（9）式最小化的标准方法是通过坐标下降法，通过迭代方案生成序列：

U_{t+\mathrm{1}}\in \underset{U}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(U,V_t)=\underset{U}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(U,V_t)+\frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{3}}{‖U‖}_{\mathrm{2,1}}，（10）

V_{t+\mathrm{1}}\in \underset{V}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}L(U_{t+\mathrm{1}},V)=\underset{V}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(U_{t+\mathrm{1}},V)+\frac{\lambda }{\mathrm{3}}{‖V‖}_F^{\mathrm{2}}。（11）

用泰勒公式二阶近似来逼近数据项，其中Hessian矩阵分别用单位矩阵{\alpha }_{t}I和{\beta }_{t}I({\alpha }_t,{\beta }_t>\mathrm{0})来近似，则有

f(U,V_t)=f(U_t,V_t)+(U-U_t{)}^{\mathrm{{\rm T}}}\nabla f(U_t,V_t)+\frac{{\alpha }_t}{\mathrm{2}}{‖U-U_t‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}，（12）

f(U_{t+\mathrm{1}},V)=f(U_{t+\mathrm{1}},V_t)+(U-U_t{)}^{\mathrm{{\rm T}}}\nabla f(U_{t+\mathrm{1}},V_t)+\frac{{\beta }_t}{\mathrm{2}}{‖V-V_t‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}。（13）

使用文献［20］提出的SPIRAL方法，对（10）式每一项同除以{\alpha }_t，（11）式每一项同除以{\beta }_t，整理可得系数矩阵U_{t+\mathrm{1},:}和基矩阵V_{t+\mathrm{1},:}有以下更新规则：

U_{t+\mathrm{1},:}=\underset{U}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖U_{t,:}-{\gamma }_t‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{3}{\alpha }_t}{‖U‖}_{\mathrm{2,1}}s.t.{\gamma }_t=U_{t,:}-\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }_t}{\nabla }_{U}f(U_{t,:},V_t)，（14）

V_{t+\mathrm{1},:}=\underset{V}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖V_{t,:}-{\eta }_t‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\lambda }{\mathrm{3}{\beta }_t}{‖V‖}_F^{\mathrm{2}}s.t.{\eta }_t=V_{t,:}-\frac{\mathrm{1}}{{\beta }_t}{\nabla }_{U}f(U_{t+\mathrm{1}},V_{t,:})。（15）

（1） 求解系数矩阵

定理2^［21］ 令函数G(X)={‖X‖}_{\mathrm{2},q}^q，则G(X)的近端

\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{x}}_G(X)=\underset{Z}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖X-Z‖}_F^{\mathrm{2}}+G(Z)。（16）

有闭式解\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{x}}_G(X)=XW。其中W是一个对角矩阵，对角元素为W_{ii}=\frac{{\omega }_i}{{‖X_{.i}‖}_{\mathrm{2}}}，且{\varpi }_i=\underset{\alpha }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({‖X_{.i}‖}_{\mathrm{2}}{-\alpha )}^{\mathrm{2}}+g(\alpha )，方程g(\alpha )={\left|\alpha \right|}^q。

定理2给出了求解（14）式的闭式解，将其用于本文模型，并表示为软阈值的形式，则U的每一行可以表示为

U_{t+\mathrm{1},i,:}=\frac{{\gamma }_t\cdot {\eta }_{\mathrm{S}\mathrm{T}}({‖{\gamma }_t‖}_{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{3}{\alpha }_t})}{{‖{\gamma }_t‖}_{\mathrm{2}}}。（17）

其中，{\eta }_{\mathrm{S}\mathrm{T}}是软阈值函数{\eta }_{\mathrm{S}\mathrm{T}}(x,\tau )=sign(x)\cdot {(|x|-\tau )}_{+}。

（2） 求解基矩阵

由于（15）式是一个严格凸函数，定义g(V)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖V_{t,:}-{\eta }_t‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\lambda }{\mathrm{3}{\beta }_t}{‖V‖}_F^{\mathrm{2}}，其梯度为

{\nabla }_{V}g(V)=V_{t,:}-{\eta }_t+\frac{\mathrm{2}\lambda }{\mathrm{3}{\beta }_t}{V}_{t,:}。（18）

令梯度等于零，则V的每一列可表示为

V_{t+\mathrm{1},:,j}=\frac{\mathrm{3}{\beta }_t}{\mathrm{3}{\beta }_t+\mathrm{2}\lambda }{\eta }_t。（19）

2 实验结果分析

为了验证基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型及算法的去噪效果和可行性，选取了与HCLR论文中相同的自然图像作为测试数据（图略），并分别添加峰值为0.1、0.5、2的泊松噪声来生成噪声图像，与均值算法^［22］、haarTIApprox算法、NLSPCA算法和HCLR算法的去噪效果进行比较。

2.1 评价指标

采用峰值信噪比（PSNR）和结构相似性（SSIM）作为定量评价指标，PSNR和SSIM值越大，重建的图像越接近于真实图像，去噪效果越好。其定义分别如下：

P_{\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}}=\mathrm{10}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{225}}^{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{1}}{MN}{\sum }_i{\sum }_j(X_{ij}-X_{ij}^{\mathrm{\text{'}}}{)}^{\mathrm{2}}}，（20）

S_{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{M}}=\frac{(\mathrm{2}{\mu }_X{\mu }_{X^{\mathrm{\text{'}}}}+c_{\mathrm{1}})(\mathrm{2}{\sigma }_{X{X}^{\mathrm{\text{'}}}}+c_{\mathrm{2}})}{({\mu }_X^{\mathrm{2}}+{\mu }_{X^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{1}})({\sigma }_X^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{2}})}。（21）

其中，X^{\mathrm{\text{'}}}为原始无噪图像，X为去噪后图像，M和N为图像大小，i,j为图像像素下标，{\mu }_X,{\mu }_{X^{\mathrm{\text{'}}}}为图像X,X^{\mathrm{\text{'}}}的均值，{\sigma }_X,{\sigma }_{X^{\mathrm{\text{'}}}}为方差，{\sigma }_{X{X}^{\mathrm{\text{'}}}}为协方差。

在算法实现过程中，首先确定了固定参数，见表1。其中，图像大小、初始秩、迭代次数、停止参数参照NLPCA算法设置，正则化参数采用网格搜索法确定最优值。

对于分割宽度和聚类数，通过实验调试，其参数见表2。

2.2 算法收敛性

图3展示了所提模型的目标函数值随迭代次数的收敛曲线，其中横轴表示迭代次数，纵轴为对应的目标函数值。由图3可观察到两个明显的收敛特征：（1）随着迭代次数的增加，目标函数值逐渐减少并趋于稳定；（2）当迭代次数达到5次时，目标函数值变化幅度趋于平缓。

2.3 去噪结果

2.3.1 客观评价

不同去噪算法在测试图像上的PSNR和SSIM定量比较结果见表3。从表3可看出，本文所提出的模型在PSNR和SSIM指标上均表现出色，去噪效果良好。首先，在最具挑战性的高噪声水平（peak=0.1）下，本文的算法展示出显著优势，对于Ridges图像，其PSNR值相比HCLR算法提升了4.57 dB，SSIM值从0.420提升至0.510，这种优势在Flag图像中也同样显著。随着噪声水平降低，所有算法的性能均有所提升，但本文算法在多数测试图像上显著优于对比算法。当peak=2时，Ridges图像的PSNR值比HCLR高出1.48 dB，SSIM值从0.805提升至0.823；在Swoosh图像上，PSNR值高出1.73 dB，SSIM值从0.929提升至0.942。

2.3.2 主观评价

Ridges图像在peak=0.1和2时的各算法去噪结果如图4所示，Flag图像在peak=0.1和2时的各算法去噪结果如图5所示。从去噪结果来看，均值去噪算法虽然能平滑噪声但会导致图像模糊，Ridges的边缘清晰度下降，Flag的条纹出现模糊。NLSPCA算法在低噪声下效果与均值去噪算法接近， 但边缘保留更好，在高噪声下虽能有效降噪但Ridges的细小脊线有损失，Flag纹理存在过平滑现象。HCLR在两种噪声水平下效果更好，但在局部区域仍有少量噪声残留。相比之下，本文算法在视觉上呈现最清晰的效果，Ridges脊线保持连贯且无断裂，Flag条纹噪声去除彻底且纹理对比度更高，未出现其他算法存在的过平滑或细节丢失问题。

图6展示了Swoosh图像和House图像在peak=0.5噪声水平下的去噪效果对比。从图6可见，本文算法的视觉效果更好，不仅消除了噪声干扰，还保留了图像的细节特征，充分体现了其在中等噪声水平下的去噪能力。

3 结论

本文对HCLR算法进行改进，提出了基于Schatten-p范数低秩正则的泊松去噪模型，用非凸的Schatten-p范数代替秩函数，提高了HCLR算法的去噪效果。在自然图像上添加泊松噪声并进行仿真去噪的实验结果表明，本文算法可获得更高的峰值信噪比和结构相似性，同时保留更多的细节信息，在噪声强度较高时也有更好的表现。然而当前模型需要手动调节参数，后续研究可将其展开成网络结构以实现参数自动学习。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“面向视觉注意选择的复杂场景层次化语义理解建模研究”(62171361)

国家自然科学基金青年资助项目“面向智能汽车的行人过街意图微观行为表征机制研究”(52302505)