基于毕达哥拉斯模糊熵的自适应粒子群算法

Adaptive Particle Swarm Optimization Algorithm Based on Pythagorean Fuzzy Entropy

摘要

为更好地平衡粒子群算法的全局搜索和局部搜索能力，提高算法的搜索效率和精度，提出基于毕达哥拉斯模糊熵的自适应粒子群优化算法。该算法基于毕达哥拉斯模糊集理论，构造毕达哥拉斯模糊熵函数，迭代过程中根据不同阶段粒子的聚集程度动态调整惯性权重系数，结合自适应全局最优粒子学习策略更新粒子位置信息，从而避免算法早熟收敛和陷入局部最优。在9个测试函数上进行仿真实验的结果表明，与其他粒子群算法相比，该算法提高了求解精度和寻优效率，并具有更好的收敛能力。

Abstract

To better balance the global and local search capabilities of the particle swarm optimization （PSO） algorithm， and improve its search efficiency and accuracy， this paper proposed an adaptive PSO algorithm based on Pythagorean fuzzy entropy. Based on the Pythagorean fuzzy set theory， the algorithm constructed a Pythagorean fuzzy entropy function. During the iteration， the inertia weight coefficient was dynamically adjusted according to the aggregation degree of particles at different stages， and the particle position information was updated by combining an adaptive global optimal particle learning strategy， thereby preventing the algorithm from premature convergence and falling into the local optimum. Simulation experimental results on nine test functions show that compared with other PSO algorithms， the proposed algorithm improves the solution accuracy and optimization efficiency， and exhibits better convergence performance.

Graphical abstract

关键词

毕达哥拉斯模糊熵 / 惯性权重 / 粒子群算法

Key words

Pythagorean fuzzy entropy / inertia weight / particle swarm optimization （PSO） algorithm

粒子群算法（particle swarm optimization， PSO）是一种基于群体智能的全局优化算法，由Kennedy和Eberhart^［1］于1995年提出，其灵感来源于鸟群或鱼群在觅食过程中通过个体协作与信息共享实现高效搜索的行为，已在工程设计、神经网络训练和机器人路径规划等许多领域得到广泛应用^［2⁃6］，但也存在不足之处。如：算法性能对参数设置较敏感，搜索过程中易陷入局部最优，种群多样性衰减导致的早熟收敛，迭代后期易出现停滞现象使算法的搜索精度不高等问题。这些局限性促进了改进研究，文献［7］设计了一种基于种群进化离散度参数与Sigmoid函数的非线性惯性权重因子的粒子群优化算法，提升了算法的寻优能力。文献［8］采用基于Logistic混沌呈非线性变化的惯性权重，提出一种改进粒子速度和位置更新公式的粒子群优化算法，加快算法的收敛速度、平衡算法的全局和局部搜索能力、提高收敛精度。文献［9⁃10］研究了基于直觉模糊熵的扰动机制，实现惯性权重的动态调节，提升了算法性能。文献［11］利用非线性的惯性权重更新方式，在粒子群算法中引入蜣螂优化中的滚球、繁殖、觅食和偷窃行为，提出了基于蜣螂优化算法的粒子群算法。文献［12］将蜂鸟飞行模式引入粒子群算法中，提出了改进粒子群优化算法。文献［13］基于分层拓扑结构的搜索方法，提出了一种基于精英引导的社会学习粒子群优化算法，加强了整个种群演化信息的引导作用，有效提高了算法收敛精度与搜索结果的稳健程度。这些研究成果从理论上深化了对粒子群算法运行机制的认知，拓展了算法的实际应用，为粒子群算法的持续深入研究提供了重要的理论支撑和实践指导。

为了更好地平衡粒子群算法的全局搜索和局部搜索能力，提高算法的搜索效率和精度，受上述文献启发，本文利用具有更好表达能力、更广表示范围以及更强数据处理能力的毕达哥拉斯模糊集（Pythagorean fuzzy set， PFS）理论，提出一种基于毕达哥拉斯模糊熵（Pythagorean fuzzy entropy， PFE）的自适应粒子群优化算法。算法通过构建毕达哥拉斯模糊熵函数，引入熵值计算惯性权重，实现参数的自适应调控。该机制可以有效调整种群进化速度，促进差异化进化，提升种群多样性与分布均匀性，从而提升全局搜索能力与局部精细搜索性能，改善粒子群算法的优化效果，提高搜索效率。

1 基本粒子群算法

在PSO中，每个潜在解被抽象为一个“粒子”，所有粒子在解空间中飞行，通过跟踪个体历史最优位置和群体历史最优位置动态调整自身速度和位置，最终收敛至全局最优解。设一个D维解空间，第i个粒子的位置和速度分别为

X_i=(x_{i\mathrm{1}},x_{i\mathrm{2}},\cdots ,x_{iD})， V_i=(v_{i\mathrm{1}},v_{i\mathrm{2}},\cdots ,v_{iD})。

第i个粒子历史最好位置为P_i^{}=(p_{i\mathrm{1}}^{},p_{i\mathrm{2}}^{},\cdots ,p_{iD}^{})，群体所有粒子的历史最好位置用p_g表示。第i个粒子速度和位置的更新公式如下^［14］：

v_{id}^{}=\omega v_{id}^{}+c_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{1}}(p_{{}_{id}^{}}^{}-x_{id}^{})+c_{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}(p_{gd}-x_{id}^{})，（1）

x_{id}^{}=x_{id}^{}+v_{id}^{}。（2）

2 毕达哥拉斯模糊熵的自适应粒子群算法

2.1 构建毕达哥拉斯模糊熵（PFE）

毕达哥拉斯模糊集是一种新型模糊集^{［15⁃16］}，与直觉模糊集相比，其对隶属度和非隶属度的限制相对宽松，从而拓展了使用范围，更适用于一些复杂的数据处理和分析场景。毕达哥拉斯模糊熵作为对 毕达哥拉斯模糊集不确定性的度量，可以更充分、更灵活、更准确地处理不确定信息，其良好的数学性质为它在理论研究和实际应用中的进一步发展提供了有力支持，使得基于毕达哥拉斯模糊熵的模型和方法更加可靠和有效。

本小节将构造基于毕达哥拉斯模糊熵的自适应函数，以更好地刻画每个粒子运行时所携带的信息，进而提高算法的精度。在本文提出的算法中，将构造的毕达哥拉斯模糊熵值作为扰动因子，动态改变惯性权重，提高种群多样性和分布均匀性的概率以实现精细搜索。

为构建毕达哥拉斯模糊熵，设第i个粒子和每代历史最优粒子p_g的距离为L_{gi}=\left|X_i-p_g\right|^［17］，（i=\mathrm{1,2},\dots ,n），以历史最优粒子位置为中心p_g的半径为R_i（R_i=K\times \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(L_{gi}),K\in r_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}[\mathrm{0,0.5}]）的区域称为作用域。在作用域内的粒子称为聚集粒子，在作用域外的粒子称为孤点粒子。令T_i表示粒子计数器，T_x表示全局计数器，在第t代，若，称该粒子是聚集粒子，此时T_i加1，若L_{gi}>R_i，则该粒子是孤点粒子，T_x加1^［9］。

令{\mu }_{ki}^t表示在第t代中，粒子属于历史最优位置的程度，{\pi }_{ki}^t表示犹豫度，{\gamma }_{ki}^t表示粒子不属于历史最优粒子位置的程度^［9］，分别计算如下：

{\mu }_{ki}^t=T_{ki}/n,{\pi }_{ki}^t=T_x/n,{\gamma }_{ki}^t=\sqrt[]{\mathrm{1}-({\mu }_{ki}^t{)}^{\mathrm{2}}-({\pi }_{ki}^t{)}^{\mathrm{2}}}。（3）

定义1 （毕达哥拉斯模糊熵）在第t代中，定义种群的毕达哥拉斯模糊熵（PFE）为

E^t=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{\mathrm{1}-({{\mu }_{ki}^t}^{\mathrm{2}}-{{\gamma }_{ki}^t}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_{ki}^t}{\mathrm{2}-({{\mu }_{ki}^t}^{\mathrm{2}}-{{\gamma }_{ki}^t}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+{\pi }_{ki}^t}，（4）

其中，\mathrm{0}\le E^t\le \mathrm{1}，n为种群规模。以下证明上述定义的毕达哥拉斯模糊种群熵（4）满足以下公理化条件。

定义2 设X是一个非空论域，称是集合上的模糊集(FS)，其中{\mu }_A:x\to [\mathrm{0,1}]表示模糊集A的隶属度函数，{\mu }_A表示x关于A的隶属度。X上的模糊集的全体记作FS(X)。称函数E：PFS(x)\to [\mathrm{0,1}]为毕达哥拉斯模糊熵（PFE(x)），并满足以下4个性质：

性质1E(A)=\mathrm{0}当且仅当E(A)是分明集；

性质2E(A)=\mathrm{1}当且仅当\forall x_i\in X，{\pi }_A(x_i)=\mathrm{1}；

性质3E(A)随着|{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)|的值增大而减小；

性质4 若A^c=({\gamma }_A(x_i),{\mu }_A(x_i))，则E(A)=E(A^c)。

定理1 设X=\left\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n\right\}是非空论域，有A=({\mu }_A(x_i),{\gamma }_A(x_i))是论域X上的毕达哥拉斯模糊集，毕达哥拉斯模糊熵计算公式为

E(A)=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{\mathrm{1}-({\mu }_A{(x)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A{(x)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_A(x)}{\mathrm{2}-({\mu }_A{(x)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A{(x)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+{\pi }_A(x)}。（5）

证明 对性质1，E(A)=\mathrm{0}\iff对于\forall x_i\in X，有\mathrm{1}-({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)=\mathrm{0}。即{\left({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)，可知|{\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}|=\mathrm{1}。

当{\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}时，由毕达哥拉斯模糊集的性质{\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}，可知{\mu }_A(x_i)=\mathrm{1},{\gamma }_A(x_i)=\mathrm{0}且{\pi }_A(x_i)=\mathrm{0}，可知隶属度为1。

当{\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}时，同理可得{\mu }_A(x_i)=\mathrm{0},{\gamma }_A(x_i)=\mathrm{1}且{\pi }_A(x_i)=\mathrm{0}，可知非隶属度也为1，即A为分明集。

对性质2，E(A)=\mathrm{1}\iff\mathrm{1}-{\left({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)=\mathrm{2}-{\left({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\pi }_A(x_i)

\iff\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)={\pi }_A(x_i)+\mathrm{1}\iff {\pi }_A(x_i)=\mathrm{1}，则{\mu }_A(x_i)={\gamma }_A(x_i)=\mathrm{0}。即E(A)=\mathrm{1}当且仅当\forall x_i\in X，{\pi }_A(x_i)=\mathrm{1}。

对性质3，当|{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)|的值增大时，由\frac{\mathrm{1}-({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)}{\mathrm{2}-({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+{\pi }_A(x_i)}，对|{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)|求偏导得，\frac{\mathrm{1}-({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\pi }_A(x_i)}{\mathrm{2}-({\mu }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_A(x_i{)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+{\pi }_A(x_i)}是关于|{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)|的减函数，所以E(A)随着|{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)|的值增大而减小。

对性质4，因为{\pi }_A(x_i)={\pi }_{A^c}(x_i)，且{\left({\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)\right)}^{\mathrm{2}}={\left({\gamma }_A^{\mathrm{2}}(x_i)-{\mu }_A^{\mathrm{2}}(x_i)\right)}^{\mathrm{2}}，可得E(A)=E(A^c)。

综上可知，本文定义的毕达哥拉斯模糊熵（5）式满足公理化条件。

2.2 基于PFE惯性权重

众所周知，惯性权重是粒子群算法运行中的重要参数，通过合理调整惯性权重，可以使粒子群算法在全局搜索和局部搜索之间取得良好的平衡，提高算法的搜索效率和精度。基于毕达哥拉斯模糊熵（1）的惯性权重定义为

\omega =\left({\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left({\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\times \frac{i}{I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)\times \left(\mathrm{0.5}+E^t\right)，（6）

其中，{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为惯性权重初始值与最终值，i为当前迭代次数，I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大迭代次数，为当前种群的毕达哥拉斯模糊熵值，这里取{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=0.9，{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0.4。

根据毕达哥拉斯模糊熵值的计算方式，可知该熵值能够反映算法运行中粒子的聚合程度。在算法初期，粒子的分散程度较高，种群多样性高，熵值较大，较大的惯性权重有利于粒子在搜索空间中进行大范围的全局搜索，使粒子能够以较大的速度飞行，快速遍历整个搜索空间，探索更多未知的区域，避免粒子陷入局部最优，有机会找到全局最优解；在算法的迭代进程中，粒子群向潜在最优区域迁移，使种群空间分布的集中趋势增强，个体差异性降低。依据信息熵理论，群体多样性的衰减表现为熵值的持续下降，根据式（6），惯性权重将逐步减小，引导粒子在局部区域进行精细化搜索，加速了算法的收敛。本文基于毕达哥拉斯模糊熵值构建动态自适应调节机制，结合算法迭代与熵值变化，对惯性权重进行优化调控，从而实现算法在全局搜索广度与局部搜索深度之间的动态平衡，提升算法的优化性能与鲁棒性。

2.3 毕达哥拉斯模糊熵的自适应粒子群算法（PFEAPSO算法）

根据基本粒子群算法，结合上述定义的新的惯性权重，设置公式（6）及自适应全局最优粒子学习策略的位置更新方法^［9］，设计了基于毕达哥拉斯模糊熵的自适应粒子群算法。该算法利用自适应的参数设置动态平衡局部开发与全局探索的关系，增强了算法全局最优解搜索效能，提升了复杂优化问题的求解精度。PFEAPSO算法伪代码描述见表1。

3 数值实验

3.1 测试函数及参数设置

为验证所提出算法的性能，本文选取9个典型测试函数对算法进行仿真实验。测试函数如下：函数f_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{2}}是单峰函数，函数f_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{7}}是多峰函数，函数f_{\mathrm{8}}\mathrm{、}{f}_{\mathrm{9}}是复合函数。选取基本粒子群算法（PSO）、基于直觉模糊熵的混合粒子群优化算法（IFEHPSO）^［9］、只结合PFE的PSO（PFEPSO）和只有AGOP的PSO（AGOP⁃PSO）作为衍生算法进行对比实验。实验环境为AMD64@2.1GHz CPU，内存为8 GB，在Matlab2016b下完成。算法参数统一设置为：种群规模为30，解空间维数为30，学习因子c_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}，相同实验环境下，每组实验重复运行30次，最大迭代次数为200次，测试函数的参数见表2。

（1） Sphere函数：f_{\mathrm{1}}(x)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}{x_i}^{\mathrm{2}}；

（2） Rosenbrock函数：f_{\mathrm{2}}(x)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{D-\mathrm{1}}}\left(\mathrm{100}(x_{i+\mathrm{1}}-x_i^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+(x_i{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}\right)；

（3） Table函数：f_{\mathrm{3}}(x)={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}\cdot x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^D}{x}_i^{\mathrm{2}}；

（4） Ackley函数：f_{\mathrm{4}}(x)=\mathrm{e}+\mathrm{20}-\mathrm{20}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\sqrt[\mathrm{0.2}]{\frac{\mathrm{1}}{D}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}{x}_i^{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{\mathrm{1}}{D}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}cos(\mathrm{2}\mathrm{\pi }{x}_i)\right)；

（5） Griewank函数：f_{\mathrm{5}}(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4000}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}{x}_i^{\mathrm{2}}-{\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^D}cos\left(\frac{x_i}{\sqrt[]{i}}\right)+\mathrm{1}；

（6） Rastrigin函数：f_{\mathrm{6}}(x)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}\left(x_i^{\mathrm{2}}-\mathrm{10}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }{x}_i)+\mathrm{10}\right)；

（7） Shaffer F6函数：f_{\mathrm{7}}(x)=\mathrm{0.5}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\left(\sqrt[]{x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{0.5}}{{\left(\mathrm{1}+\mathrm{0.001}(x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\right)}^{\mathrm{2}}}；

（8） Rotated Ackley函数：f_{\mathrm{8}}(x)=\mathrm{e}+\mathrm{20}-\mathrm{20}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{D}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}{z}_i^{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{\mathrm{1}}{D}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}cos(\mathrm{2}\mathrm{\pi }{z}_i)\right),\mathbf{z}=\mathbf{X}\times \mathbf{M}，其中\mathbf{M}是与问题维度匹配的正交矩阵；

（9） Rotated Rastrigin函数：f_{\mathrm{9}}(x)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^D}\left(z_i^{\mathrm{2}}-\mathrm{10}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }{z}_i)+\mathrm{10}\right),\mathbf{z}=\mathbf{X}\times \mathbf{M}，其中\mathbf{M}是与问题维度匹配的正交矩阵。

3.2 实验结果与比较

下面给出5种算法在9个测试函数上的均值和标准差，各算法分别运行30次，取最优值的平均值（Mean）和标准差（Std）进行比较，其中平均值评价算法的收敛精度，标准差评价算法的稳定性。实验结果见表3，本文算法（PFEAPSO）的实验结果在表3中以加粗呈现。

由表3可知，针对单峰函数f_{\mathrm{1}}，各算法均能获得较理想的优化结果，但PFEAPSO算法在精度与稳定性方面更具优势，标准差较小，表现出更强的鲁棒性。特别是对于结构复杂的单峰函数f_{\mathrm{2}}，PFEAPSO依然保持了较高的求解精度和一致性。而且在多峰函数f_{\mathrm{4}}测试中，PFEAPSO明显优于其他对比算法，其结果在精度和稳定性上提升了若干数量级，展现出优异的全局寻优能力。对于复合函数f_{\mathrm{8}}，PFEAPSO能够稳定逼近最优解，而其他算法在准确性和稳定性方面均表现不足。尽管在个别复合函数上，该算法在结果波动性方面略有不足，但其最终解的精度依然领先。综上，PFEAPSO算法在不同类型测试函数上的表现均优于对比算法，说明引入毕达哥拉斯模糊熵惯性扰动机制后的PFEAPSO算法具有更好的收敛精度和稳定性。

为更好地展现本文算法的收敛性能，9个测试函数在5种算法下的适应度曲线如图1所示，其中横坐标是迭代次数，纵坐标是以10为底取对数的结果。由图1可知， PFEAPSO在处理单峰函数f_{\mathrm{1}}、f_{\mathrm{2}}时，能够在较少迭代次数内快速逼近高精度解，展现出明显的早期收敛优势；对于多峰函数f_{\mathrm{3}}、f_{\mathrm{5}}、f_{\mathrm{6}}，后期收敛过程平稳且目标值持续优化，反映出算法较强的全局搜索能力与稳定收敛特性；在复合函数测试中，PFEAPSO虽在初期表现与其他算法相近，但后期表现出更优的解质量。可见，该算法在平衡收敛速度与优化精度方面具有显著优势，是一种性能均衡且可靠的优化策略。

4 结论

为提升粒子群优化（PSO）算法的群体分布特性与全局搜索能力，本文提出了一种基于毕达哥拉斯模糊熵（Pythagorean fuzzy entropy， PFE）的自适应粒子群优化算法（PFEAPSO）。该方法基于毕达哥拉斯模糊熵函数，构建了新的具有自适应性质的惯性权重，有效增强种群的多样性与分布均匀性，同时提高了局部搜索的精细性与全局寻优能力。数值实验结果表明，该算法在求解单峰函数、多峰函数及复杂组合函数等不同类型的优化问题中，均表现出优异的求解精度与收敛速度，且在稳定性与鲁棒性方面具有显著优势。为粒子群算法在实际工程问题中，特别是在高维优化、多目标优化以及动态优化等复杂场景中的应用提供了新的方案。

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[18] 下转第 644 页）

基金资助

陕西省自然科学基础研究计划资助项目“大数据中心环境下密文数据的更新与共享机制研究”(2022JZ-38)