具有表面效应的Kirchhoff薄立方准晶纳米板中刚性线夹杂的分析

Analysis of Rigid Line Inclusion in Kirchhoff Thin Cubic Quasicrystal Nanoplate with Surface Effect

摘要

在表面效应作用下，对Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板中刚性线夹杂物的力学行为进行分析。基于Gurtin⁃Murdoch表面弹性理论，将给定位移的刚性线夹杂物问题转化为相应的混合边值问题。采用声子场挠度分量w_{\mathrm{1}}和相位子场挠度分量w_{\mathrm{2}}分别表示声子场位移与相位子场位移，通过Fourier变换，将原问题转化为对偶积分方程，并给出了具有板外刚性转动的线夹杂问题的精确解，获得了任意位置处的挠度，弯矩及有效剪力等完整弹性场。数值分析结果表明，刚性线夹杂尖端附近区域的弯矩，应力及剪力场均呈明显的奇异性。同时具体探讨了声子场挠度分量和相位子场挠度分量对表面效应的影响机制。

Abstract

This study analyzed the mechanical behavior of a rigid line inclusion in a Kirchhoff cubic quasicrystal （QC） nanoplate under the surface effect. Based on the Gurtin-Murdoch surface elasticity theory， the problem of a rigid line inclusion with a given displacement was transformed into a corresponding mixed boundary value problem. Using the deflection component w1 of the phonon field and the deflection component w2 of the phason field to represent the phonon field displacement and phason field displacement， respectively， the original problem was converted into dual integral equations via Fourier transform. An exact solution was provided for the problem of a line inclusion with rigid rotation outside the plate， and the complete elastic fields such as deflection， bending moment， and effective shear force at arbitrary locations were obtained. Numerical analysis results indicated that the bending moment， stress， and shear force fields exhibited significant singularity near the tips of the rigid line inclusion. Furthermore， the study discussed the influence mechanisms of deflection components of the phonon field and the phason field on the surface effect.

Graphical abstract

关键词

立方准晶 / Kirchhoff纳米薄板 / 刚性线夹杂 / 表面效应 / Fourier变换 / 对偶积分方程

Key words

cubic quasicrystal / Kirchhoff nanoplate / rigid line inclusion / surface effect / Fourier transform / dual integral equations

准晶（QC）是一类具有准周期性平移对称性和非晶体学旋转对称性的新型固体材料，由Shechtman^［1］于Mn-Al金属合金中首次发现。研究证实，目前已有超过100种不同的金属合金可以形成准晶相。Hargittai^［2］对晶体与准晶之间的结构差异作了深入阐述，并叙述准周期材料的发现和认可过程。在过去四十多年间，研究者广泛研究一维（1D），二维（2D）和三维（3D）结构的准晶，这些结构的准晶均表现出高度的结构特征与复杂性，且已在实验和理论领域获得深入探索^［3］。由于特殊的原子结构与独特的物理性质，准晶材料得到了广泛关注^［4］。作为新型固体材料，准晶具有摩擦系数低，黏附性差，耐磨性能优异以及孔隙率低等一系列优良特性^［5-6］。

基于连续介质力学的基本运动规律，研究人员尝试建立了准晶（QC）的弹性理论^［7-8］。在现象学理论的基础上，准晶材料的物理基础涉及两类激发态：声子与相位子^［9］。Gurtin与Murdoch^［10］建立了严密的非线性表面弹性理论框架，用于描述表面弹性对尺寸相关现象的影响。基于G⁃M理论^［11-12］，对考虑表面效应的Kirchhoff与Mindlin模型进行了与尺寸相关的静力与动力特性分析。此外，基于Huang与Yu^［13］的分析工作，通过扩展G⁃M理论，研究了具有表面效应的纳米结构在靠近表面的压电与介电条件下电力场不连续的性质。随后，G‑M理论与H‑Y理论在纳米结构的静动态响应分析领域获得了广泛应用，例如具有表面效应的纳米梁、纳米薄膜与纳米薄板的弯曲、屈曲、振动与波传播特性等问题的研究^{［14⁃17］}。Feng等^［18］提出了具有表面效应的三维（3D）立方准晶纳米薄板的波传播特性精确解。虽然研究人员提出了多种模型来描述QC纳米结构的静态和动态响应，包括纳米板的弯曲特性^［18］以及准晶纳米板的自由与强迫振动等问题，但对具有表面效应的QC纳米结构中波的传播行为的研究仍不充分^{［19，20］}。准晶材料作为微纳米涂层时，其基体在扭转变形过程中，刚性线状夹杂缺陷引发的显著应力集中是导致涂层失效的关键因素，该研究结果为涂层失效机理分析提供了重要参考。本研究融合了准晶物理、表面科学与断裂力学的前沿理论，旨在推动纳米力学与凝聚态物理的交叉融合，为开发基于准晶特异性能的下一代纳米器件（如拓扑绝缘体、超低摩擦涂层）提供理论支撑。

本文对含贯穿厚度的刚性线夹杂Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板的弹性场问题进行研究。基于包含表面弹性经典弹性理论，求解了由刚性线夹杂引起的弹性场奇异性问题。采用声子场挠度分量w_{\mathrm{1}}和相位子场挠度分量w_{\mathrm{2}}分别描述声子场和相位子场的位移，并给出了包含体弹性与表面弹性基本控制方程。建立了刚性线夹杂问题数学模型以及相应的边值问题，并给出了Kirchhoff型立方（QC）纳米薄板弹性场的精确解。具体分析了声子场与相位子场弯矩，应力分量和剪切力等弹性场量在刚性线夹杂尖端附近的奇异性特征，探讨了奇异区域的影响范围。此外，还分析了声子场与相位子场挠度分量对纳米薄板表面效应的影响规律。

1 问题描述

1.1 基本方程

本节给出了考虑表面效应的均匀各向同性弹性Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板的基本方程。立方准晶体材料的体弹性与表面弹性本构方程可表示为如下形式^{［10，14，20］}：

{\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{\epsilon }_{kl}+R_{ijkl}{w}_{kl},H_{ij}=R_{klij}{\epsilon }_{kl}+K_{ijkl}{w}_{kl},{\sigma }_{ij}^s=C_{ijkl}^s{\epsilon }_{kl}^s+R_{ijkl}^s{w}_{kl}^s,H_{ij}^s=R_{klij}^s{\epsilon }_{kl}^s+K_{ijkl}^s{w}_{kl}^s,（1）

其中，{\sigma }_{ij},H_{ij}分别为声子场与相位子场的体应力；{\epsilon }_{ij},w_{ij}分别表示声子场与相位子场的体应变； C_{ijkl},K_{ijkl},R_{ijkl}分别为声子场弹性常数，相位子场弹性常数以及声子⁃相位子耦合弹性常数。式中重复出现的指标表示从x到z的求和。带有上标s的变量表示材料表面上的物理量。上述声子场与相位子场的应变可通过如下梯度关系定义：

{\epsilon }_{ij}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(u_{i,j}+u_{j,i}),\hspace{1em}{\omega }_{ij}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(w_{i,j}+w_{j,i}),（2）

其中，u_i,w_i分别为声子场与相位子场的位移分量，下标内逗号表示对空间坐标求偏导数。在表面位置处，体位移分量与表面位移分量相同，即：u_i=u_i^s,w_i=w_i^s,z=\pm h/\mathrm{2}。这是由于体材料与表面材料之间界面处不存在滑移与分离现象。在接下来的分析中，本文仅考虑由应变引起的表面应力，而忽略残余表面张力影响。

对于考虑表面效应的Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板，其在直角坐标系下的平衡方程可表示为

\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{xx}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{xy}}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{yy}}{\partial y^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{xx}^{\text{'}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{xy}^{\text{'}}}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{M}_{yy}^{\text{'}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},\\ M_{\alpha \beta }={\displaystyle \underset{-h/\mathrm{2}}{\overset{h/\mathrm{2}}{\int }}}z{\sigma }_{\alpha \beta }dz+\frac{h}{\mathrm{2}}\left({\sigma }_{\alpha \beta }^{s+}-{\sigma }_{\alpha \beta }^{s-}\right),M_{\alpha \beta }^{\text{'}}={\int }_{-h/\mathrm{2}}^{h/\mathrm{2}}z{H}_{\alpha \beta }\mathrm{d}z+\frac{h}{\mathrm{2}}\left(H_{\alpha \beta }^{s+}-H_{\alpha \beta }^{s-}\right),\end{array}（3）

其中，M_{\alpha \beta }表示声子场的弯矩，M_{\alpha \beta }^{\text{'}}表示相位子场的弯矩^［21］。

基于准晶物理理论，准晶（QC）中存在两种低能激发模式，即声子场位移矢量\mathbf{u}与相位子场位移矢量\mathbf{w}\mathrm{。}位移矢量\mathbf{u}位于平行空间E_{\parallel }^{\mathrm{3}}中，而位移矢量\mathbf{w}位于垂直空间E_{\perp }^{\mathrm{3}}中。因此，准晶的整体位移场可表示为\mathbf{u}\oplus \mathbf{w}。在立方准晶中同时存在声子场与相位子场两种场，准晶板的挠度自然由这两个场共同决定，即准晶的整体挠度为声子场挠度分量与相位子场挠度分量的耦合结果。这里用w_{\mathrm{1}}表示声子场挠度分量，用w_{\mathrm{2}}表示相位子场挠度分量，从而准晶整体挠度可写为w_{\mathrm{1}}\oplus w_{\mathrm{2}}\mathrm{。}此外，本文采用Kirchhoff薄板假设，即忽略中性面上的伸缩变形后，Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板的位移分量u_i和w_i(k=\mathrm{1,2})可由挠度w_k表示为

u_x=-z\frac{\partial w_{\mathrm{1}}}{\partial x},u_y=-z\frac{\partial w_{\mathrm{1}}}{\partial y},w_x=-z\frac{\partial w_{\mathrm{2}}}{\partial x},w_y=-z\frac{\partial w_{\mathrm{2}}}{\partial y},（4）

其中，符号\oplus表示直和运算，u_x与u_y为声子场的位移分量，w_x与w_y为相位子场的位移分量。

将式（4）代入体材料的本构方程（1）后，体材料和表面材料的本构方程可表示为

\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ H_{xx}\\ H_{yy}\\ {\sigma }_{xy}\\ H_{xy}\end{array}\right\}=-z\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{\mathrm{11}}& C_{\mathrm{12}}& R_{\mathrm{11}}& R_{\mathrm{12}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{12}}& C_{\mathrm{11}}& R_{\mathrm{12}}& R_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ R_{\mathrm{11}}& R_{\mathrm{12}}& K_{\mathrm{11}}& K_{\mathrm{12}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ R_{\mathrm{12}}& R_{\mathrm{11}}& K_{\mathrm{12}}& K_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}{C}_{\mathrm{44}}& \mathrm{2}{R}_{\mathrm{44}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}{R}_{\mathrm{44}}& \mathrm{2}{K}_{\mathrm{44}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1},xx}\\ w_{\mathrm{1},yy}\\ w_{\mathrm{2},xx}\\ w_{\mathrm{2},yy}\\ w_{\mathrm{1},xy}\\ w_{\mathrm{2},xy}\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}^{s\pm }\\ {\sigma }_{yy}^{s\pm }\\ H_{xx}^{s\pm }\\ H_{yy}^{s\pm }\\ {\sigma }_{xy}^{s\pm }\\ H_{xy}^{s\pm }\end{array}\right\}=\pm \frac{h}{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{\mathrm{11}}^s& C_{\mathrm{12}}^s& R_{\mathrm{11}}^s& R_{\mathrm{12}}^s& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{12}}^s& C_{\mathrm{11}}^s& R_{\mathrm{12}}^s& R_{\mathrm{11}}^s& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ R_{\mathrm{11}}^s& R_{\mathrm{12}}^s& K_{\mathrm{11}}^s& K_{\mathrm{12}}^s& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ R_{\mathrm{12}}^s& R_{\mathrm{11}}^s& K_{\mathrm{12}}^s& K_{\mathrm{11}}^s& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}{C}_{\mathrm{44}}^s& \mathrm{2}{R}_{\mathrm{44}}^s\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}{R}_{\mathrm{44}}^s& \mathrm{2}{K}_{\mathrm{44}}^s\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1},xx}\\ w_{\mathrm{1},yy}\\ w_{\mathrm{2},xx}\\ w_{\mathrm{2},yy}\\ w_{\mathrm{1},xy}\\ w_{\mathrm{2},xy}\end{array}\right\}\mathrm{。}（5）

根据上述表达式，将式（3）中声子场的弯矩M_{\alpha \beta }与相位子场的弯矩M_{\alpha \beta }^{\text{'}}的定义相结合，可得

\left\{\begin{array}{c}{M}_{xx}\\ M_{yy}\\ M_{x{x}^{\text{'}}}\\ M_{y{y}^{\text{'}}}\\ M_{xy}\\ M_{x{y}^{\text{'}}}\end{array}\right\}=-\left[\begin{array}{cccccc}{D}_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{2}}& D_{\mathrm{3}}& D_{\mathrm{4}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{2}}& D_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{4}}& D_{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{7}}& D_{\mathrm{8}}& D_{\mathrm{9}}& D_{\mathrm{10}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{8}}& D_{\mathrm{7}}& D_{\mathrm{10}}& D_{\mathrm{9}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& D_{\mathrm{5}}& D_{\mathrm{6}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& D_{\mathrm{11}}& D_{\mathrm{12}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1},xx}\\ w_{\mathrm{1},yy}\\ w_{\mathrm{2},xx}\\ w_{\mathrm{2},yy}\\ w_{\mathrm{1},xy}\\ w_{\mathrm{2},xy}\end{array}\right\}\mathrm{。}（6）

Q_{\alpha }(x,y)=-{\partial }_{\alpha }\left[{\nabla }^{\mathrm{2}}(D_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{3}}{w}_{\mathrm{2}})\right],Q_{\alpha }^{\text{'}}(x,y)=-{\partial }_{\alpha }\left[{\nabla }^{\mathrm{2}}(D_{\mathrm{3}}{w}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{9}}{w}_{\mathrm{2}})\right],（7）

其中，Q_{\alpha }(\alpha =x,y)表示声子场的剪切力，Q_{\alpha }^{\text{'}}(\alpha =x,y)表示相位子场的剪切力； {\nabla }^{\mathrm{2}}={\partial }^{\mathrm{2}}/\partial x^{\mathrm{2}}+{\partial }^{\mathrm{2}}/\partial y^{\mathrm{2}}表示Laplace算子，D_i(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{12})为有效弯曲刚度系数，具体形式的推导参考文献［21］。将式（6）代入式（3）中，可得到关于声子场挠度w_{\mathrm{1}}和相位子场挠度w_{\mathrm{2}}的四阶偏微分控制方程如下：

{\nabla }^{\mathrm{2}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\left(D_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{3}}{w}_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0},{\nabla }^{\mathrm{2}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\left(D_{\mathrm{3}}{w}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{9}}{w}_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0},（8）

其中，横向挠度分量w_{\mathrm{1}}和w_{\mathrm{2}}由下一节所给出的边界条件确定。

上述关于立方准晶（QC）纳米薄板静态弯曲问题的控制方程是基于包含表面弹性Kirchhoff板理论建立的。若不考虑相位子场，且相位子场弹性常数与声子⁃相位子耦合常数满足R_{\mathrm{11}}=R_{\mathrm{11}}^s=K_{\mathrm{11}}=K_{\mathrm{11}}^s=\mathrm{0},则有D_{\mathrm{3}}=D_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},此时，控制方程可退化为文献［21］的结果。

1.2 边界条件

本文的问题如图1所示，一块均匀弹性的Kirchhoff型立方准晶（QC）纳米薄板中包含一根长度为\mathrm{2}a、穿透薄板厚度方向的刚性线夹杂。假设该刚性夹杂在外载荷作用下发生板外刚性转动。选择一个直角坐标系，其原点位于夹杂中心，x轴沿夹杂长度方向设置于未变形状态下。因此，刚性线夹杂位于区域：|z|\le h/\mathrm{2},其中h为该Kirchhoff型立方准晶纳米薄板的厚度。考虑到薄板厚度为微米甚至纳米量级，其表面材料与体材料性能存在显著差异，因此薄板整体的力学响应同时受到表面材料与体材料的影响。本文重点研究表面效应对立方准晶纳米薄板奇异弹性场的影响。假设外载荷作用下，刚性线夹杂发生一定角度刚性转动。当刚性线夹杂受到外力作用时，其位移或挠度为预设形式，具体如下：

（9）

其中，θ₁和θ₂为常数。该立方准晶（QC）纳米薄板具有足够的刚度，因此刚性线夹杂处满足\frac{\partial w_{\mathrm{1}}}{\partial y}=\mathrm{0},\frac{\partial w_{\mathrm{2}}}{\partial y}=\mathrm{0}\mathrm{。}本文旨在基于上述刚性线夹杂的边界条件，求解考虑表面弹性的立方准晶纳米薄板中的弹性场分布。

为求解上述边值问题，需要补充物理量在y=\mathrm{0}处（除刚性线夹杂区域外）的连续性条件。类似于经典Kirchhoff薄板理论中对扭矩的处理方式，为了考虑扭矩影响，需引入声子场的有效剪力V_x(x,y),V_y(x,y)以及相位子场的有效剪力V_x^{\text{'}}(x,y),V_y^{\text{'}}(x,y)。其表达式为

V_x(x,y)=Q_x+\frac{\partial M_{xy}}{\partial y},V_y(x,y)=Q_y+\frac{\partial M_{yx}}{\partial x},

V_x^{\text{'}}(x,y)=Q_x^{\text{'}}+\frac{\partial M_{xy}^{\text{'}}}{\partial y},V_y^{\text{'}}(x,y)=Q_y^{\text{'}}+\frac{\partial M_{yx}^{\text{'}}}{\partial x}\mathrm{。}（10）

因此，在刚性线夹杂之外的区域，即|x|>a,y=\mathrm{0}上，连续性条件要求：

\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}^{+}(x,\mathrm{0})=w_{\mathrm{1}}^{-}(x,\mathrm{0}),w_{\mathrm{2}}^{+}(x,\mathrm{0})=w_{\mathrm{2}}^{-}(x,\mathrm{0}),\\ \frac{\partial w_{\mathrm{1}}^{+}(x,\mathrm{0})}{\partial y}=\frac{\partial w_{\mathrm{1}}^{-}(x,\mathrm{0})}{\partial y},\frac{\partial w_{\mathrm{2}}^{+}(x,\mathrm{0})}{\partial y}=\frac{\partial w_{\mathrm{2}}^{-}(x,\mathrm{0})}{\partial y},\\ M_{yy}^{+}(x,\mathrm{0})=M_{yy}^{-}(x,\mathrm{0}),M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})=M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}-}(x,\mathrm{0}),\\ V_y^{+}(x,\mathrm{0})=V_y^{-}(x,\mathrm{0}),V_y^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})=V_y^{\mathrm{\text{'}}-}(x,\mathrm{0}),\end{array}\right.|x|>a\mathrm{。}（11）

此外，为求解该问题，还需在无穷远处补充正则性条件，即所有场变量在无穷远处趋于零。因此，控制方程（8），结合边界条件（9）与（11），构成了一个混合型边值问题。此前尚未有研究分析与表面弹性相关的刚性线夹杂问题，尽管已有学者对具有厚度贯穿刚性线夹杂的宏观薄板问题进行了研究。

2 问题解决

为确定包含厚度贯穿刚性线夹杂并考虑表面弹性的立方准晶（QC）纳米薄板中的弹性场，特别是在刚性线夹杂前端区域，本文采用积分变换技术进行求解。利用Fourier变换可以方便地发现，控制方程（8）仅当挠度函数在y>\mathrm{0}或区域满足下列积分表达式时才可自动满足：

\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}^{+}(x,y)\\ w_{\mathrm{2}}^{+}(x,y)\end{array}\right\}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left\{\begin{array}{c}{A}^{+}+y\xi B^{+}\\ A_{\mathrm{1}}^{+}+y\xi B_{\mathrm{1}}^{+}\end{array}\right\}{e}^{-\xi y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi x)\mathrm{d}\xi ,y>\mathrm{0},

（12）

其中，A^{\pm }，B^{\pm }，A_{\mathrm{1}}^{\pm }和B_{\mathrm{1}}^{\pm }为关于\xi的八个未知函数。上述积分表达式（12）的详细推导见文献［21］。

将上述挠度表达式（12）代入弯矩/扭矩表达式（6）中，可得：

\left\{\begin{array}{c}{M}_{xx}^{+}(x,y)\\ M_{yy}^{+}(x,y)\\ M_{xx}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\\ M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\end{array}\right\}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left\{\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{1}}(\xi )+P_{\mathrm{2}}(\xi )\\ P_{\mathrm{3}}(\xi )+P_{\mathrm{4}}(\xi )\\ P_{\mathrm{7}}(\xi )+P_{\mathrm{8}}(\xi )\\ P_{\mathrm{9}}(\xi )+P_{\mathrm{10}}(\xi )\end{array}\right\}{\xi }^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\xi y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi x)\mathrm{d}\xi ,（13）

当y>\mathrm{0}或时，弯曲/扭转矩系数P_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{24})的具体表达式见文献［21］，其中P_i(\xi )是关于\xi的未知函数。

此外，基于上述弯曲/扭转矩表达式，可进一步得到有效剪力（见式（10））的积分表达式：

\left\{\begin{array}{c}{V}_x^{+}(x,y)\\ V_x^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\end{array}\right\}=-\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }\left\{\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{1}}(\xi )+T_{\mathrm{2}}(\xi )\\ T_{\mathrm{5}}(\xi )+T_{\mathrm{6}}(\xi )\end{array}\right\}{\xi }^{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{-\xi y}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\xi x)\mathrm{d}\xi ,（14）

对于y>\mathrm{0}或的情况，有效剪切力的系数T_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{24})在文献［21］中给出，其中T_i(\xi )为关于\xi的未知函数。

由于边界条件（公式（9）和（11）），可以推得整个y=\mathrm{0}边界线上横向挠度与转角均为连续函数。未知函数A^{\pm }、B^{\pm }、A_{\mathrm{1}}^{\pm }和B_{\mathrm{2}}^{\pm }应满足如下条件： A^{+}=A^{-},A^{+}+A^{-}=B^{+}-B^{+},A_{\mathrm{1}}^{+}=A_{\mathrm{1}}^{-},A_{\mathrm{1}}^{+}+A_{\mathrm{1}}^{-}=B_{\mathrm{1}}^{+}-B_{\mathrm{1}}^{+}。

为便于推导，本文引入定义在刚性线夹杂上的四个未知跳跃函数g(x),h(x),g_{\mathrm{1}}(x)和h_{\mathrm{1}}(x)，其定义如下：

（15）

由于仅考虑在无穷远处消失的夹杂诱导弹性场，则所有场变量在无穷远处趋于零。借助刚性线夹杂区域上的边界条件（9），以及在无夹杂区域上满足连续性条件的边界条件（11），可以建立相应的对偶积分方程，该对偶积分方程两边分别对变量x进行两次积分，最终可得：

\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left\{\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{21}}(\xi )+T_{\mathrm{22}}(\xi )\\ T_{\mathrm{23}}(\xi )+T_{\mathrm{24}}(\xi )\end{array}\right\}\xi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi x)\mathrm{d}\xi =\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right\},|x|>a,\left\{\begin{array}{c}g(x)=\mathrm{0},\hspace{1em}h(x)=\mathrm{0},\\ g_{\mathrm{1}}(x)=\mathrm{0},\hspace{1em}{h}_{\mathrm{1}}(x)=\mathrm{0},\end{array}\right.|x|>a\mathrm{。}（16）

对式（16）应用Fourier正弦变换，之后将其代入以上未知函数条件，所得未知函数A^{\pm }、B^{\pm }、A_{\mathrm{1}}^{\pm }与B_{\mathrm{1}}^{\pm }表示为函数g(x)、h(x)、g_{\mathrm{1}}(x)和h_{\mathrm{1}}(x)的形式，具体如下：

A^{\pm }=\frac{\mathrm{1}}{-\mathrm{4}\xi U_{\mathrm{27}}(\xi )}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^a\left[D_{\mathrm{9}}h(t)-D_{\mathrm{3}}{h}_{\mathrm{1}}(t)\right]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t,

A_{\mathrm{1}}^{\pm }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\xi U_{\mathrm{27}}(\xi )}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^a\left[D_{\mathrm{3}}h(t)-D_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{1}}(t)\right]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t\mathrm{。}（17）

B^{\pm }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{U}_{\mathrm{27}}(\xi )}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^a\left\{\frac{\mathrm{1}}{{\xi }^{\mathrm{2}}}\left[D_{\mathrm{9}}g(t)-D_{\mathrm{3}}{g}_{\mathrm{1}}(t)\right]\mp \frac{\mathrm{1}}{\xi }\left[D_{\mathrm{9}}h(t)-D_{\mathrm{3}}{h}_{\mathrm{1}}(t)\right]\right\}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t,（18）

B_{\mathrm{1}}^{\pm }=\frac{\mathrm{1}}{-\mathrm{4}{U}_{\mathrm{27}}(\xi )}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^a\left\{\frac{\mathrm{1}}{{\xi }^{\mathrm{2}}}\left[D_{\mathrm{3}}g(t)-D_{\mathrm{1}}{g}_{\mathrm{1}}(t)\right]\mp \frac{\mathrm{1}}{\xi }\left[D_{\mathrm{3}}h(t)-D_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{1}}(t)\right]\right\}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t\mathrm{。}（19）

将上述表达式结合式（16），可得：该结果表明，在穿过刚性线夹杂处，弯矩是连续的。相比之下，有效剪力V_y与V_y^{\text{'}}在刚性线夹杂两侧取值不同。为进一步分析该现象，结合式，求解出A^{\pm }、B^{\pm }、A_{\mathrm{1}}^{\pm }和B_{\mathrm{1}}^{\pm }.并将其代入其余边界条件，利用已知的积分结果{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{1}}{\xi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi x)\mathrm{d}\xi =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left|\frac{t+x}{t-x}\right|,将区间[\mathrm{0},a]拓展为对称区间[-a,a]后，借助弱奇异积分方程的解析解方法，可直接求得精确解

\left\{\begin{array}{c}h(x)\\ h_{\mathrm{1}}(x)\end{array}\right\}=\frac{\mathrm{4}x}{\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}}\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{25}}(\xi )\\ U_{\mathrm{26}}(\xi )\end{array}\right\}\mathrm{。}（20）

根据上述函数h(x)与h_{\mathrm{1}}(x)，可进一步通过如下积分公式给出A^{\pm }，B^{\pm }，A_{\mathrm{1}}^{\pm }及B_{\mathrm{2}}^{\pm }的具体表达式：

{\int }_{\mathrm{0}}^a\left\{\begin{array}{c}h(t)\\ h_{\mathrm{1}}(t)\end{array}\right\}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t=\mathrm{4}\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{25}}(\xi )\\ U_{\mathrm{26}}(\xi )\end{array}\right\}{\int }_{\mathrm{0}}^a\frac{t}{\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}-t^{\mathrm{2}}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\xi t)\mathrm{d}t=\mathrm{2}a\mathrm{\pi }\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{25}}(\xi )\\ U_{\mathrm{26}}(\xi )\end{array}\right\}{J}_{\mathrm{1}}(\xi a),（21）

其中，J_{\mathrm{1}}(x)为一阶贝塞尔函数。当未知函数A^{\pm }，B^{\pm }，A_{\mathrm{1}}^{\pm }与B_{\mathrm{2}}^{\pm }被确定后，即得贯穿厚度的刚性线夹杂作用下薄立方准晶纳米板中的完整弹性场。由薄立方准晶纳米板的对称性，下文仅分析y>\mathrm{0}半空间内弹性场分布。

利用贝塞尔函数J_{\mathrm{1}}(\xi a)相关积分公式，横向挠度w_{\mathrm{1}}^{+}(x,y)和w_{\mathrm{2}}^{+}(x,y)可表示如下：

\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}^{+}(x,y)\\ w_{\mathrm{2}}^{+}(x,y)\end{array}\right\}=a\left(\mathrm{I}\mathrm{m}{f}_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}})+y\mathrm{I}\mathrm{m}{f}_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{1}})\right)\left\{\begin{array}{c}{\theta }_{\mathrm{1}}\\ {\theta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right\},（22）

且由f_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}})=\frac{i{z}_{\mathrm{1}}-i\sqrt[]{z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}}{a},f_{\mathrm{2}}(z_{\mathrm{1}})=\frac{\mathrm{1}}{a}-\frac{z_{\mathrm{1}}}{a\sqrt[]{z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}},其中复变函数z_{\mathrm{1}}=x+iy，类似地，y>\mathrm{0}半空间中的弯矩/扭矩及有效剪力可表示为

\left\{\begin{array}{c}{M}_{xx}^{+}(x,y)\\ M_{xx}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\\ M_{yy}^{+}(x,y)\\ M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{U}_{\mathrm{1}}(\xi )& U_{\mathrm{2}}(\xi )\\ U_{\mathrm{3}}(\xi )& U_{\mathrm{4}}(\xi )\\ U_{\mathrm{1}}(\xi )& -U_{\mathrm{2}}(\xi )\\ U_{\mathrm{1}}(\xi )& -U_{\mathrm{2}}(\xi )\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\mathrm{I}\mathrm{m}{f}_{\mathrm{3}}(z_{\mathrm{1}})\\ \mathrm{I}\mathrm{m}{f}_{\mathrm{4}}(z_{\mathrm{1}})\end{array}\right\},（23）

\left\{\begin{array}{c}{V}_x^{+}(x,y)\\ V_x^{\mathrm{\text{'}}+}(x,y)\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{U}_{\mathrm{5}}(\xi )& U_{\mathrm{6}}(\xi )\\ U_{\mathrm{7}}(\xi )& U_{\mathrm{8}}(\xi )\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\mathrm{R}\mathrm{e}{f}_{\mathrm{4}}(z_{\mathrm{1}})\\ \mathrm{R}\mathrm{e}{f}_{\mathrm{5}}(z_{\mathrm{1}})\end{array}\right\},（24）

其中，\mathrm{R}\mathrm{e}与\mathrm{I}\mathrm{m}分别表示复函数的实部与虚部。双重积分方程中的系数U_i(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{27})在参考文献［21］中给出，其中U_i(\xi )为关于\xi的未知函数。在上表面z=h/\mathrm{2}处的总应力相较于不考虑表面弹性时更大。这意味着，要使刚性线夹杂发生相同的挠曲，所需的载荷更大。简言之，考虑表面弹性效应时，薄立方准晶纳米板中由刚性线夹杂引起的变形将更加困难。

3 奇异性系数讨论

上述尽管推导出了完整的弹性场，但研究重点更集中于刚性线夹杂沿线的弹性场，特别是在夹杂端点附近，即y=\mathrm{0}或z_{\mathrm{1}}=x处。因此，刚性线夹杂沿线的横向挠度表达如下：

\left\{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}^{+}(x,\mathrm{0})\\ w_{\mathrm{2}}^{+}(x,\mathrm{0})\end{array}\right\}=\left(x-\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}\right)\left\{\begin{array}{c}{\theta }_{\mathrm{1}}\\ {\theta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right\},|x|>a\mathrm{。}（25）

为验证所得解的正确性，可以看到在刚性线性夹杂内的应力状态。在该区域内，解w_{\mathrm{1}}^{+}(x,\mathrm{0})={\theta }_{\mathrm{1}}x与w_{\mathrm{2}}^{+}(x,\mathrm{0})={\theta }_{\mathrm{2}}x满足所给边界条件，与预设一致，符合理论预期。需要特别指出的是，表达式\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}应被理解为复函数\sqrt[]{z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}的一个分支： 当x>a时取正值，当时取负值，即\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}=\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}(x>a)，以及。因此，挠度函数w_{\mathrm{1}}^{+}(x,\mathrm{0})和w_{\mathrm{2}}^{+}(x,\mathrm{0})关于变量x均为奇函数。对于其他物理量，例如弯矩、扭矩及y=\mathrm{0}处的等效剪切力，其解析表达式如下：

\left\{\begin{array}{c}{M}_{yy}^{+}(x,\mathrm{0})\\ M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})\\ V_y^{+}(x,\mathrm{0})\\ V_y^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})\end{array}\right\}=\frac{a}{(x^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}}\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{1}}(\xi )\\ U_{\mathrm{3}}(\xi )\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right\},|x|>a,\left\{\begin{array}{c}{M}_{xy}^{+}(x,\mathrm{0})\\ M_{xy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right\}\mathrm{。}（26）

应当指出，弯矩M_{yy}和M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}}在刚性线夹杂前端存在r^{-\mathrm{3}/\mathrm{2}}型奇异性，其中r表示距刚性线夹杂端点的距离。扭矩M_{xy}与M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}}在y=\mathrm{0}处为零，这与问题的对称性一致。与此同时，有效剪力V_y与V_y^{\mathrm{\text{'}}}在刚性线夹杂后方表现出r^{-\mathrm{5}/\mathrm{2}}型奇异性。此外，弯矩M_{yy}^{+}(x,\mathrm{0})与M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})以及有效剪力V_y^{+}(x,\mathrm{0})和V_y^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})均为关于x的奇函数。

本文将弯矩和剪力的奇异性系数分别定义为

\left\{\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{1}}\\ K_{\mathrm{2}}\end{array}\right\}=\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left[\mathrm{2}(x-a)\right]}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}\left\{\begin{array}{l}{M}_{yy}^{+}(x,\mathrm{0})\\ M_{yy}^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{3}}^{-}\\ K_{\mathrm{4}}^{-}\end{array}\right\}=\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left[\mathrm{2}(a-x)\right]}^{\mathrm{5}/\mathrm{2}}\left\{\begin{array}{l}{V}_y^{+}(x,\mathrm{0})\\ V_y^{\mathrm{\text{'}}+}(x,\mathrm{0})\end{array}\right\}\mathrm{。}（27）

需要指出的是，上标“-”表示极限取自x\to a^{-}。在下文中虽未明确标出，但应始终予以注意。将弯矩表达式与等效剪力（公式（26））代入上述极限（公式（27））中，在忽略表面弹性效应的情况下，将其奇异性系数简化为：

\left\{\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{1}}^c\\ K_{\mathrm{2}}^c\end{array}\right\}=\frac{h^{\mathrm{3}}}{\mathrm{24}\sqrt[]{a}}\left\{\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{11}}(\xi )\\ U_{\mathrm{13}}(\xi )\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{3}}^c\\ K_{\mathrm{4}}^c\end{array}\right\}=\frac{h^{\mathrm{3}}\sqrt[]{a}}{\mathrm{2}}\left\{\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{23}}(\xi )\\ U_{\mathrm{24}}(\xi )\end{array}\right\}\mathrm{。}（28）

为进一步展示体材料与表面材料参数对刚性线夹杂引起的奇异弹性场的影响，本文将进行数值计算分析。据报道，表面弹性常数可通过多种方法获得，例如： 嵌入式原子模拟方法、经验原子间势函数、从头算密度泛函理论、第一性原理方法、分子动力学方法等。为了揭示具有不同表面弹性常数的纳米板的力学响应行为，本文选取两种不同的立方准晶材料作为代表，其具体材料常数见表1。由于实验限制，空间点群为43 m的立方准晶材料常数尚无法完全获得。根据准晶弹性理论，可采用表1所列数据作为材料常数。

为比较表面弹性与否时，考虑薄立方准晶（QC）纳米板弯矩与有效剪力奇异性系数的差异，本文计算其在是否考虑表面弹性情况下的比值： k_{\mathrm{1}}=K_{\mathrm{1}}/K_{\mathrm{1}}^c,k_{\mathrm{2}}=K_{\mathrm{2}}/K_{\mathrm{2}}^c,k_{\mathrm{3}}=K_{\mathrm{3}}/K_{\mathrm{3}}^c,k_{\mathrm{4}}=K_{\mathrm{4}}/K_{\mathrm{4}}^c。其中，k_{\mathrm{1}}，k_{\mathrm{2}}，k_{\mathrm{3}}和k_{\mathrm{4}}分别对应于未考虑表面弹性效应时薄立方准晶纳米板的弯矩与等效剪力的奇异性系数。因此推出：弯矩与有效剪力的奇异系数明显依赖于体材料与表面材料属性。对于所选的两种材料，无量纲奇异系数k_i(i=\mathrm{1,2})和k_i(i=\mathrm{3,4})随纳米板厚度h的变化如图2所示。需要注意的是，当忽略表面弹性时，上述无量纲奇异系数皆为1。从图2可见，k_i(i=\mathrm{1,2})和k_i(i=\mathrm{3,4})随着纳米板厚度h的减小而单调递增，且该趋势在QC1与QC2两种材料中均有体现。因此，以上述比值推出(C_{\mathrm{11}}^s+C_{\mathrm{12}}^s),(R_{\mathrm{11}}^s+R_{\mathrm{12}}^s),或更准确地说，(C_{\mathrm{11}}^s+C_{\mathrm{12}}^s)+(R_{\mathrm{11}}^s+R_{\mathrm{12}}^s),(R_{\mathrm{11}}^s+R_{\mathrm{12}}^s)+(K_{\mathrm{11}}^s+K_{\mathrm{12}}^s)在调控奇异系数k_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})的变化中起到了关键作用。特别地，当h降至微纳米级或更小量级时，其影响更显著。这使得对具有正表面弹性常数(C_{\mathrm{11}}^s+C_{\mathrm{12}}^s),(R_{\mathrm{11}}^s+R_{\mathrm{12}}^s)的立方准晶纳米板，为在刚性线夹杂上实现转角\theta x挠度，需要施加更大的弯矩或有效剪力。也就是说，当考虑表面弹性效应时，该类纳米板的刚度增强。因此，可认为表面弹性系数的存在使立方准晶纳米板强度增强。

为了展示在y=\mathrm{0}处弯矩M_{yy}，M_{yy}^{\text{'}}的分布差异，本文绘制了其无量纲形式M_yya/θC₁₁h³，M_{yy}^{\text{'}}a/\theta C_{\mathrm{11}}{h}^{\mathrm{3}},V_y{a}^{\mathrm{2}}/\theta C_{\mathrm{11}}{h}^{\mathrm{3}},V_y^{\text{'}}{a}^{\mathrm{2}}/\theta C_{\mathrm{11}}{h}^{\mathrm{3}}随x变化的曲线图，所用模型为厚度h=\mathrm{31}\AA的QC2纳米板，结果如图3所示。由图3可见，弯矩在刚性线夹杂端附近均表现出显著的奇异性行为。此外，由式（27）可知，相关物理量的奇异阶数分别为1.5和2.5。对于QC2纳米板，本文绘制了声子场与相位场中弯/扭矩的等值线分布，如图4所示。显然，这些等值线满足对称性要求，并且在刚性线夹杂端点附近表现出强烈的奇异性特征。

4 结论

本文对包含贯穿厚度刚性线性夹杂并考虑表面弹性的立方准晶纳米板进行了弹性静力分析。基于经典Kirchhoff薄板理论及Gurtin-Murdoch表面弹性理论，推导了立方准晶纳米板在静力弯曲下的控制方程。对于具有规定位移的刚性线性夹杂，本文明确求解了其在纳米板任意位置上所诱导产生的全场弹性响应，将声子场下的奇异弹性场推广到声子场和相位子场的耦合场下。

根据上述分析，得到结论：声子场与相位子场中的弯矩，体应力（包括表面应力）分量以及剪切力在刚性线性夹杂尖端附近均表现出奇异性。其中声子场奇异性影响范围大于相位子场。文中所获得的尖端弯矩奇异系数与等效剪切力系数，可作为结构质量检验的评价标准；声子场挠度分量w_{\mathrm{1}}对纳米板的表面效应影响显著，而相位子场挠度分量w_{\mathrm{2}}的影响则相对较弱；在考虑表面效应前提下，弯矩与等效剪切力相较于忽略声子场与相位子场时均显著增大，声子场的贡献尤为突出；立方准晶纳米板的力学性能增强或退化，主要取决于表面弹性系数(C_{\mathrm{11}}^s+C_{\mathrm{12}}^s)与(R_{\mathrm{11}}^s+R_{\mathrm{12}}^s)的组合关系。特别是当两个正的表面弹性常数同时存在时，将显著提高纳米板的抗弯强度；纳米板越薄，其对表面弹性的敏感性越强。在存在具有刚性旋转位移的刚性线性夹杂情况下，材料参数显著影响纳米板所受的弯矩、扭矩、剪切力等，但对横向挠度影响较小。

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基金资助

内蒙古自治区一流学科资助项目“考虑表面效应和挠曲电效应下微尺度梁和板的断裂力学问题研究”(YLXKZX-NSD-013)

内蒙古自治区人才发展专项资助项目“基于分数阶热弹性理论在准晶断裂力学中的应用研究”(5909002123)