广义非线性薛定谔方程的六阶紧致差分算法

Sixth-order Compact Difference Algorithm for Generalized Nonlinear Schrödinger Equations

摘要

高阶广义非线性薛定谔方程是研究非线性光纤通信及海洋内孤立波问题的重要模型方程，这类方程初边值问题的解析解较难获得。为提高计算精度，提出一种高阶紧致差分格式求解该非线性方程初边值问题，采用六阶紧致差分格式近似空间导数、半个时间网格点处的中心差分格式近似时间导数，并利用逆差分算子性质及瑞利商不等式等证明该格式的收敛性。数值实例验证了该格式在离散L_{\mathrm{\infty }}范数下的收敛阶为O\left({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{6}}\right)，且离散质量误差和离散广义能量误差至少达到O\left({\mathrm{10}}^{-\mathrm{9}}\right)量级。

Abstract

High-order generalized nonlinear Schrödinger equations are important model equations for studying nonlinear optical fiber communication and solitary wave problems in the ocean， and analytical solutions to the initial-boundary value problems of such equations are often difficult to obtain. A high-order compact difference scheme was proposed to solve the initial-boundary value problems of the nonlinear equations and thus enhance computational accuracy. Meanwhile， a sixth-order compact difference scheme was adopted to approximate spatial derivatives， and a central differencing scheme at half time grid nodes was utilized to approximate time derivatives. Additionally， the convergence of the scheme was proved by applying the properties of inverse difference operators and Rayleigh quotient inequalities. Numerical examples verified that the degree of convergence of the scheme under the discrete L∞ norm was O（τ²+h⁶）， and the discrete mass error and discrete generalized energy error reached an order of magnitude of at least O10^-9.

Graphical abstract

关键词

非线性 / 薛定谔方程 / 紧致差分格式 / 收敛性 / 六阶精度

Key words

nonlinearity / Schrödinger equation / compact difference scheme / convergence / sixth-order accuracy

薛定谔方程是物理学中极具影响力的经典方程，为诸多物理现象的研究奠定了重要基础。1968年，Zakharov^［1］在包络波稳定性的研究中，推导出非线性薛定谔（NLS）方程

\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial t}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{{\partial }^{\mathrm{2}}x}+{\beta }_{\mathrm{1}}|u{|}^{\mathrm{2}}u=\mathrm{0}。（1）

文献［2⁃6］在文献［1］的基础上，推出了不同形式的薛定谔方程。2010-2015年，学者^［7⁃9］分别推导出2层及3层海洋分层模式下的NLS方程及广义非线性薛定谔（gNLS）方程，gNLS方程更符合深海内波的传播规律，因此使用gNLS方程对深海内波进行数值模拟研究具有重要意义。

目前求解NLS方程的数值方法^{［10⁃16］}主要包括物理信息神经网络（PINN）方法、Fourier方法、多辛方法及（紧致）有限差分法等。近年来，紧致有限差分方法在波浪、湍流及海洋内孤立波的高保真模拟中引起了广泛关注^{［17⁃20］}。

本文考虑gNLS方程

\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=\left(\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{{\partial }^{\mathrm{2}}x}-{\alpha }_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}u}{{\partial }^{\mathrm{3}}x}\right)+\left(\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}|u{|}^{\mathrm{2}}u-{\beta }_{\mathrm{2}}\frac{\partial }{\partial x}\left(|u{|}^{\mathrm{2}}u\right)-{\beta }_{\mathrm{3}}u\frac{\partial }{\partial x}\left(|u{|}^{\mathrm{2}}\right)\right),x\in (a,b),t\in (\mathrm{0},T],\\ u(a,t)=u(b,t),u_x(a,t)=u_x(b,t)=\mathrm{0},t\in (\mathrm{0},T],u(x,\mathrm{0})=u_{\mathrm{0}}(x),x\in [a,b]\end{array}（2）

的初边值问题，其中{\alpha }_{\mathrm{1}}和{\alpha }_{\mathrm{2}}为高阶频散项系数，{\beta }_{\mathrm{1}}、{\beta }_{\mathrm{2}}和{\beta }_{\mathrm{3}}为非线性项系数，且均与流体密度及海水深度等水文参数有关。

如果没有特殊说明，本文取x\in [a,b],t\in [\mathrm{0},T],空间步长h=\left(b-a\right)/J,时间步长\tau =T/N,其中J和N为任意正整数，用平行直线族x=x_j=jh(j=\mathrm{0,1},\dots ,J),t=t_n=n\tau (n=\mathrm{0,1},\dots ,N)对x-t平面作矩形网格剖分，并用u_j^n表示u(x,t)在网格点(x_j,t_n)处的近似值，用U_j^n表示u(x,t)在网格点\left(x_j,t_n\right)处的精确解。

1 记号和引理

参照文献［12］，定义记号{\delta }_t,{\delta }_x,A_t,{\delta }_x^{\mathrm{1}},{\delta }_x^{\mathrm{2}},{\mathit{P}}_x,{\mathit{Q}}_x,{\mathit{S}}_x，{\delta }_t{u}_j^n=\frac{u_j^{n+\mathrm{1}}-u_j^n}{\tau },{\delta }_x{u}_j^n=\frac{u_{j+\mathrm{1}}^n-u_j^n}{\mathrm{\hslash }},A_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\frac{u_j^{n+\mathrm{1}}+u_j^n}{\mathrm{2}},{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_j^n=\frac{u_{j+\mathrm{2}}^n+\mathrm{28}{u}_{j+\mathrm{1}}^n-\mathrm{28}{u}_{j-\mathrm{1}}^n-u_{j-\mathrm{2}}^n}{\mathrm{36}h},{\delta }_x^{\mathrm{2}}{u}_j^n=\frac{\mathrm{3}{u}_{j+\mathrm{2}}^n+\mathrm{48}{u}_{j+\mathrm{1}}^n-\mathrm{102}{u}_j^n+\mathrm{48}{u}_{j-\mathrm{1}}^n+\mathrm{3}{u}_{j-\mathrm{2}}^n}{\mathrm{44}{h}^{\mathrm{2}}},参照文献［21］，定义矩阵向量形式，{\mathit{u}}_x={\mathit{D}}_{\mathrm{1}}\mathit{u},{\mathit{u}}_{xx}={\mathit{D}}_{\mathrm{2}}\mathit{u},{\mathit{D}}_{\mathrm{3}}={\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{\mathit{D}}_{\mathrm{2}},{\mathit{u}}_{xxx}={\mathit{D}}_{\mathrm{3}}\mathit{u}，P_x{u}_j^n=\frac{u_{j+\mathrm{1}}^n+\mathrm{3}{u}_j^n+u_{j-\mathrm{1}}^n}{\mathrm{3}},Q_x{u}_j^n=\frac{\mathrm{2}{u}_{j+\mathrm{1}}^n+\mathrm{11}{u}_j^n+\mathrm{2}{u}_{j-\mathrm{1}}^n}{\mathrm{11}},S_x{u}_j^n=\frac{\mathrm{7}{u}_{j+\mathrm{1}}^n+\mathrm{16}{u}_j^n+\mathrm{7}{u}_{j-\mathrm{1}}^n}{\mathrm{16}}。

下面给出一些定义和引理。Z_h表示在离散网格点上定义函数的集合，I_h=\left\{x_{\mathrm{0}},x_{\mathrm{1}},\cdots ,x_J\right\}，H_E^{\mathrm{1}}表示在I_h上定义且满足u_{\mathrm{0}}=u_{\mathrm{1}}=u_{J-\mathrm{1}}=u_J的网格函数构成的集合。

定义1^［22］ 对于任意的两个网格函数f^n,g^n\in Z_h，定义如下的离散内积和范数：

(f^n,g^n)=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{f}_j^n{g}_j^n,||f^n||=\sqrt[]{(f^n,f^n)},||f^n|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{\mathrm{1}\le j\le J-\mathrm{1}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|f_j^n|\mathrm{。}

定义2^［23］ 设V是数域F上的一个向量空间，如果对于V中任意向量\xi ,\eta ,\zeta ,有F中的一个确定的记作(\xi ,\eta )的数与它们对应，并满足\left(\xi ,\eta \right)=\left(\eta ,\xi \right)，\left(\xi +\eta ,\zeta \right)=\left(\xi ,\tau \right)+\left(\eta ,\zeta \right)，\left(a\xi ,\eta \right)=a\left(\xi ,\eta \right),其中，\xi ,\eta ,\zeta是V中任意向量，a是F中的任意数，称(\xi ,\eta )为V的一个内积，V为关于这个内积的一个内积空间。

定理1^［22］ 若U_{\mathrm{0}}\in H_E^{\mathrm{1}}\left[a,b\right]，M为常数，则方程（2）的精确解U满足‖U‖\le M,‖U_x‖\le M,{‖U‖}_{\mathrm{\infty }}\le M\mathrm{。}

定理2^［22］ 若u_{\mathrm{0}}\in H_E^{\mathrm{1}}\left[a,b\right]，M为常数，则格式（5）确定的数值解u^n满足‖u^n‖\le M,‖{\delta }_x{u}^n‖\le M，{‖u^n‖}_{\mathrm{\infty }}\le M\mathrm{。}

引理1^［24］\mathit{A}是Hermitian矩阵，令矩阵的特征值按递增顺序排列：{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\lambda }_{\mathrm{1}}\le {\lambda }_{\mathrm{2}}\le \cdots \le {\lambda }_n={\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，则有\underset{x\ne \mathrm{0}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{x^{\mathrm{T}}Ax}{x^{\mathrm{T}}x}=\underset{x^{\mathrm{T}}x=\mathrm{1}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{x^{\mathrm{T}}Ax}{x^{\mathrm{T}}x}={\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}。

引理2^［22］ 若对于任意的两个网格函数u^n\in Z_h，有\left(P_x^{-\mathrm{1}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}^n,u^n\right)=-\left(u^n,P_x^{-\mathrm{1}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}^n\right),特别地， \left(P_x^{-\mathrm{1}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}^n,u^n\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}

若{\mathit{P}}_x和{\mathit{Q}}_x是具有相同阶的循环矩阵，则有：（1）{\mathit{P}}_x和{\mathit{Q}}_x可交换，即{\mathit{P}}_x{\mathit{Q}}_x={\mathit{Q}}_x{\mathit{P}}_x,且矩阵{\mathit{P}}_x{\mathit{Q}}_x也是一个循环矩阵；（2）如果{\mathit{P}}_x^{-\mathrm{1}}存在，则{\mathit{P}}_x^{-\mathrm{1}}也是循环矩阵。

引理3^［22］ 对于任意的网格函数u^n\in Z_h，存在两个正常数C_{\mathrm{1}}和C_{\mathrm{2}}，使得{‖u^n‖}_{\mathrm{\infty }}\le C_{\mathrm{1}}‖u^n‖+C_{\mathrm{2}}‖{\delta }_x{u}^n‖\mathrm{。}

引理4 对于任意网格函数u^n\in Z_h，有{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{P}}_x{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j,{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{S}}_x{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j,{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{Q}}_x{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j,相似地，{{\mathit{P}}_x}^{-\mathrm{1}}\mathrm{、}{{\mathit{S}}_x}^{-\mathrm{1}}\mathrm{、}{{\mathit{Q}}_x}^{-\mathrm{1}}也有{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{P}}_x^{-\mathrm{1}}{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j,{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{S}}_x^{-\mathrm{1}}{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j,{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\mathit{Q}}_x^{-\mathrm{1}}{u}_j={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{u}_j\mathrm{。}

引理5^［25］ 记{\mathrm{\Omega }}_{h\tau }=\left\{\left(x_j,t_n\right)\left|\mathrm{0}\le j\le J,\mathrm{0}\le n\le N\right.\right\},设u=\left\{u_j^n\left|\mathrm{0}\le j\le J,\mathrm{0}\le n\le N\right.\right\}为{\mathrm{\Omega }}_{h\tau }上的网格函数，则v=\left\{u_j^n\left|\mathrm{0}\le j\le J\right.\right\}为{\mathrm{\Omega }}_h上的网格函数，w=\left\{u_j^n\left|\mathrm{0}\le n\le N\right.\right\}为{\mathrm{\Omega }}_{\tau }上的网格函数，记{\mathrm{𝒰}}_h=\left\{u\left|u=\left(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},\cdots ,u_J\right)\mathrm{为}{\mathrm{\Omega }}_h\mathrm{上的}\mathrm{网格}\mathrm{函数}\right.\right\},\stackrel{°}{{\mathrm{𝒰}}_h}=\left\{u\left|u\in {\mathrm{𝒰}}_h,u_{\mathrm{0}}=u_J=\mathrm{0}\right.\right\}\mathrm{。}规定|u{|}_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\left({\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}},|u{|}_{\mathrm{2}}=\sqrt[]{h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left({\delta }_x^{\mathrm{2}}{u}_j\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}设u\in {\mathrm{𝒰}}_h，则|u{|}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{4}}{h^{\mathrm{2}}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}

2 差分格式构造

2.1 格式构造

构造方程（2）的时间二阶、空间六阶收敛精度的紧致差分格式，首先对方程（2）在网格\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)处进行离散：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_t\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}v\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\alpha }_{\mathrm{2}}{v}_x\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}u\right)\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}\left({\left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}u\right)}_x\right)\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\beta }_{\mathrm{3}}\left(u{\left({\left|u\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x\right)\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},\end{array}\\ v\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=u_{xx}\left(x_j,t_{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}\end{array}\right.（3）

对方程组（3）在时间方向用隐中点格式离散，空间方向用六阶紧致差分离散，得差分方程为

\begin{array}{l}{\delta }_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\alpha }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{3}}{A}_t{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}\left(A_t{\left|U_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left(A_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\beta }_{\mathrm{3}}\left(A_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j+r_j^n=\mathrm{0},\end{array}（4）

其中r_j^n是截断误差，再用数值解u_j^n近似代替精确解U_j^n，得

\begin{array}{l}{\delta }_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\alpha }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{3}}{A}_t{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}\left(A_t{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left(A_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\beta }_{\mathrm{3}}\left(A_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（5）

2.2 方程的守恒律

方程满足的能量守恒律和质量守恒律推导如下。

定理3 记质量

M(t)={\int }_a^b{\left|u(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x,（6）

则有M(t)=M(\mathrm{0}),\mathrm{0}\le t\le T\mathrm{。}

证明 先对方程（2）进行整理，得

\begin{array}{l}\mathrm{i}{u}_t\left(x,t\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}{u}_{xx}\left(x,t\right)+\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}{u}_{xxx}\left(x,t\right)+{\beta }_{\mathrm{1}}{\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}{\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)\right)}_x+\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}u\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x=\mathrm{0},\end{array}（7）

对式（7）取共轭为

\begin{array}{l}-\mathrm{i}{\overline{u}}_t\left(x,t\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}{\overline{u}}_{xx}\left(x,t\right)-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}{\overline{u}}_{xxx}\left(x,t\right)+{\beta }_{\mathrm{1}}{\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\overline{u}\left(x,t\right)-\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}{\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\overline{u}\left(x,t\right)\right)}_x-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}\overline{u}\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x=\mathrm{0},\end{array}（8）

式（7）乘以\overline{u}\left(x,t\right)减去式（8）乘以u\left(x,t\right)，并在\left[a,b\right]上对x进行积分，有

\begin{array}{l}\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial t}\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}{\int }_a^b\left(u_{xx}\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right)-{\overline{u}}_{xx}\left(x,t\right)u\left(x,t\right)\right)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}{\int }_a^b\left(u_{xxx}\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right)+{\overline{u}}_{xxx}\left(x,t\right)u\left(x,t\right)\right)\mathrm{d}x+\\ {\beta }_{\mathrm{1}}{\int }_a^b\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right)-{\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right)\right)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}{\int }_a^b\left({\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)\right)}_x\overline{u}\left(x,t\right)+u\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\overline{u}\left(x,t\right)\right)}_x\right)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}{\int }_a^b\left(u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x+u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x\right)\mathrm{d}x=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（9）

易证，方程（9）的第二项I_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},第三项I_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},第四项I_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}\mathrm{。}

令\rho ={\left|u\right|}^{\mathrm{2}},则方程（9）的第五项、第六项为

I_{\mathrm{5}}=\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}{\int }_a^b\left({\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}u\left(x,t\right)\right)}_x\overline{u}\left(x,t\right)+u\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\overline{u}\left(x,t\right)\right)}_x\right)\mathrm{d}x=\mathrm{0}\mathrm{。}（10）

I_{\mathrm{6}}=\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}{\int }_a^b\left(u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x+u\left(x,t\right)\overline{u}\left(x,t\right){\left({\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x\right)\mathrm{d}x=\mathrm{0}\mathrm{。}（11）

将方程（9）各项整理可得\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[{\int }_a^b{\left|u\left(x,t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right]=\mathrm{0},因而，

M\left(t\right)=M\left(\mathrm{0}\right),t\in \left[\mathrm{0},T\right]\mathrm{。}（12）

定理4 记广义能量

\begin{array}{l}E(t)={\int }_a^b\left(\left({\alpha }_{\mathrm{1}}{{\left|u\left(x,t\right)\right|}_x}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{u}_{xx}\left(x,t\right){\overline{u}}_x\left(x,t\right)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}|u\left(x,t\right){|}^{\mathrm{4}}+\right.\right.\\ \left.{\beta }_{\mathrm{2}}|u\left(x,t\right){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}\overline{u}\left(x,t\right)u_x\left(x,t\right)\right)\right)\mathrm{d}x,\end{array}（13）

则有E(t)=E(\mathrm{0}),\mathrm{0}\le t\le T\mathrm{。}

证明 在方程（7）两端同乘以{\overline{u}}_t，在\left[a,b\right]上对x进行积分，得

\begin{array}{l}\mathrm{i}{\int }_a^b{\left|u_t(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+{\alpha }_{\mathrm{1}}{\int }_a^b{u}_{xx}(x,t){\overline{u}}_t(x,t)\mathrm{d}x+\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}{\int }_a^b{u}_{xxx}(x,t){\overline{u}}_t(x,t)\mathrm{d}x+\\ {\beta }_{\mathrm{1}}{\int }_a^b{\left|u(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}u(x,t){\overline{u}}_t(x,t)\mathrm{d}x+\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}{\int }_a^b{\left({\left|u(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}u(x,t)\right)}_x{\overline{u}}_t(x,t)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}{\int }_a^{b}u(x,t){\left({\left|u(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_x{\overline{u}}_t(x,t)\mathrm{d}x=\mathrm{0},\end{array}（14）

方程（14）取实部得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[{\int }_a^b\left({\alpha }_{\mathrm{1}}{\left|u_x(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{u}_{xx}(x,t){\overline{u}}_x(x,t)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}|u(x,t){|}^{\mathrm{4}}+\right.\right.\\ \left.\left.{\beta }_{\mathrm{2}}|u(x,t){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}\overline{u}(x,t)u_x(x,t)\right)\right)\mathrm{d}x\right]=\mathrm{0},\end{array}（15）

因而，E\left(t\right)=E\left(\mathrm{0}\right),t\in \left[\mathrm{0},T\right]\mathrm{。}

记

\begin{array}{l}{M}^n=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}},\hspace{1em}\\ E^n={\alpha }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right|}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left(\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{u}_j^n{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_j^n\right)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{4}}+{\beta }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\overline{u}}_j^k{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{u}_j^n\right)\right)\mathrm{。}\end{array}

定理5 设\left\{u_j^k\left|\mathrm{0}\le j\le J,\mathrm{0}\le n\le N\right.\right\}是差分格式（5）的解，则有

M^n=M^{\mathrm{0}},E^n=E^{\mathrm{0}}\mathrm{。}（16）

证明 整理方程（5）得

\begin{array}{l}\mathrm{i}{\delta }_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{3}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left(u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}\left(u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0},\end{array}（17）

式（17）取共轭为

\begin{array}{l}-\mathrm{i}{\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{3}}{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left({\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}\left({\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\left({\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0},\end{array}（18）

式（17）乘以h\left({\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)减去式（18）乘以h\left(u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)，并对j从1到J-1求和，得

\mathrm{R}\mathrm{e}\left(h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\frac{{\left|u_j^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}-{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}}}{\tau },

由{\overline{u}}_{\mathrm{0}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},{\overline{u}}_J^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},u_{\mathrm{0}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},u_J^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}，定义1、2和引理4可得，除第一项外，其余项均为0。因而

h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}},

即式（16）成立。

在方程（17）两边同乘以\left(-h{\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right),并对j从1到J-1求和，得

\begin{array}{l}\mathrm{i}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|{\delta }_t{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{k+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x^{\mathrm{3}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\\ {\beta }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left(\left({\delta }_x^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{3}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left(\left(u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\left({\delta }_x^{\mathrm{1}}{\left|u_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},\end{array}（19）

注意到{\delta }_t{\overline{u}}_{\mathrm{0}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},{\delta }_t{\overline{u}}_J^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},{\delta }_t{u}_{\mathrm{0}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},{\delta }_t{u}_J^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},可得

{\alpha }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=-{\alpha }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\left({\delta }_x{\delta }_t{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right),

{\alpha }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x^{\mathrm{3}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\delta }_t{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\delta }_x^{\mathrm{2}}{u}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{\overline{u}}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

在（19）式两边取实部可得

\begin{array}{l}{\alpha }_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)-{\alpha }_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left(\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\delta }_x^{\mathrm{2}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_j^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{4}}-{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{4}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right)-{\left|u_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right)\right)=\\ {\alpha }_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|{\delta }_x{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right|}^{\mathrm{2}}\right)-{\alpha }_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left(\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\delta }_x^{\mathrm{2}}{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n{\delta }_x^{\mathrm{1}}{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{4}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{\tau }h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\overline{u}}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n{\delta }_x^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right)\right)\mathrm{。}\end{array}

即式（16）成立。

3 先验估计与收敛性分析

对差分方程（5）进行误差估计和收敛性分析，根据Taylor级数展开可知，差分方程（5）截断误差为r_j^n=O\left({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{6}}\right)\mathrm{。}

定理6 设初始条件u^{\mathrm{0}}\in H_E^{\mathrm{1}}\left[a,b\right]，则差分方程（5）的数值解u^n以\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}收敛至方程（2）初边值问题的精确解U^n，且收敛阶为O\left({\tau }^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{6}}\right)。

证明 如前所述，有

\begin{array}{l}{\delta }_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\alpha }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{3}}{A}_t{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j-\mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}\left(A_t{\left|U_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left(A_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}{\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j+{\beta }_{\mathrm{3}}\left(A_t{U}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j+r_j^n=\mathrm{0},\end{array}（20）

令e_j^n=u_j^n-U_j^n,由式（20）减去式（5），并与\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}作内积，得

\begin{array}{l}\left(r_j^n,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\left({\delta }_t{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{1}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{3}}{A}_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-\\ \mathrm{i}{\beta }_{\mathrm{1}}\left(\left(\left(A_t{\left|e_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)\left(A_t{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\right),\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+{\beta }_{\mathrm{2}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|e^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\\ {\beta }_{\mathrm{3}}\left(\left(A_t{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|e^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}\end{array}（21）

接下来先对式（21）等号右侧的各项逐一讨论，由定义2可知

\left({\delta }_t{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\left(\frac{e_j^{n+\mathrm{1}}-e_j^n}{\tau },e_j^{n+\mathrm{1}}+e_j^n\right)=\frac{\mathrm{1}}{\tau }\left(||e^{n+\mathrm{1}}|{|}^{\mathrm{2}}-||e^n|{|}^{\mathrm{2}}\right)。（22）

令矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}的最小特征值为M_{\mathrm{2}}，根据引理1可知

{\alpha }_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{2}}\left({‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\right)\le {\alpha }_{\mathrm{1}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}（23）

矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{1}},{\mathit{D}}_{\mathrm{3}}是反对称矩阵，由定义2和引理2可知

{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\mathit{D}}_{\mathrm{3}}\left(A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right),\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},{\beta }_{\mathrm{2}}\left(({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}\left(A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right),\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},{\beta }_{\mathrm{3}}\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}\left(A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right),\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},（24）

{\beta }_{\mathrm{2}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-{\beta }_{\mathrm{2}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0},（25）

{\beta }_{\mathrm{3}}\left(\left(A_t{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-{\beta }_{\mathrm{3}}\left(\left(A_t{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right){\left({\mathit{D}}_{\mathrm{1}}{A}_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}（26）

由定理1和定理2可知

{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left(A_t{\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left(A_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}{U}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)={\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left(A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j{\left(A_t\left|u^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|+A_t\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|\right)}_j{\left(A_t{u}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)-{\beta }_{\mathrm{1}}\left({\left(A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j{\left(A_t{\left|U^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\le \mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖A_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}‖}^{\mathrm{2}}={\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}（27）

根据引理1和引理2，式（21）的左侧满足不等式

\left(r_{\mathrm{j}}^n,\mathrm{2}{e}_{\mathrm{j}}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\le {‖r^n‖}^{\mathrm{2}}+{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+{‖e^n‖}^{\mathrm{2}},（28）

结合式（22）-（28），可得

\left(r_j^n,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\tau }\left({‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}\left({\left({\mathit{D}}_{\mathrm{2}}{A}_t{e}^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}_j,\mathrm{2}{e}_j^{n+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}。（29）

由式（28）和式（29）可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\tau }\left({‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\right)+{\alpha }_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{2}}\left({‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {‖r^n‖}^{\mathrm{2}}+{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+{‖e^n‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（30）

对式（30）中的n从0到N-1求和，则有

\begin{array}{l}\left(\mathrm{1}+\tau {\alpha }_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\tau {\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}\right){‖e^N‖}^{\mathrm{2}}\le \\ \left(\mathrm{1}+\tau {\alpha }_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\tau {\beta }_{\mathrm{1}}{M}^{\mathrm{2}}\right){‖e^{\mathrm{0}}‖}^{\mathrm{2}}+\tau {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖r^n‖}^{\mathrm{2}}+\tau {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\tau {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖e^n‖}^{\mathrm{2}},\end{array}（31）

因为{‖e^{\mathrm{0}}‖}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},得

\tau {\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖r^n‖}^{\mathrm{2}}\le n\tau \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{‖r^n‖}^{\mathrm{2}}\le T\cdot O{\left(h^{\mathrm{6}}+{\tau }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}。（32）

所以，式（31）等价于

\left(\mathrm{1}+\epsilon M_{\mathrm{2}}\right){‖e^N‖}^{\mathrm{2}}\le n\tau \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{‖r^n‖}^{\mathrm{2}}+\tau {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖e^{n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\tau {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{‖e^n‖}^{\mathrm{2}},（33）

当取适当小的\tau，由离散的GronWall不等式和引理5可得

{‖e^n‖}_{\mathrm{\infty }}\le O\left(h^{\mathrm{6}}+{\tau }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}（34）

4 数值实例

研究表明^{［15，26］}，保留微分方程部分守恒量的数值方法，其时间步长精度优于完全不保留守恒量的方法。本文利用守恒量，包括质量守恒量和能量守恒量，通过数值实例验证差分格式的可行性及有效性。

定义3 离散广义能量函数、离散质量函数分别为

\begin{array}{l}{E}^n={\alpha }_{\mathrm{1}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\left|{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{u}_{j+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^n\right|}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}\left(\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{u}_j^n{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_j^n\right)\right)-\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{4}}+{\beta }_{\mathrm{2}}h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}\left({\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{i}{\overline{u}}_j^n{\delta }_{{}_x}^{\mathrm{1}}{u}_j^n\right)\right),\\ M^n=h{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{J-\mathrm{1}}}{\left|u_j^n\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

在t=n\tau处的广义能量误差和质量误差分别为R_{\epsilon }(t)=\left|E^n-E^{\mathrm{0}}\right|和M_{\epsilon }(t)=\left|M^n-M^{\mathrm{0}}\right|\mathrm{。}

空间方向上与时间方向上的收敛阶分别定义为

\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_h=\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\frac{h_{\mathrm{1}}}{h_{\mathrm{2}}}}\frac{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\left(h_{\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\left(h_{\mathrm{2}}\right)},\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_t=\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\frac{{\tau }_{\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{2}}}}\frac{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\left({\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\left({\tau }_{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{。}

算例1 考虑用gNLS方程（2）的初边值问题模拟单孤立波。选择系数{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\beta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2},{\beta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\beta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，此时gNLS方程（2）退化为NLS方程（1）。NLS方程有孤子解^［15］

u(x,t)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x-\mathrm{4}t){\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\mathrm{i}x-\mathrm{3}\mathrm{i}t\right)},（35）

边界条件为u\left(-\mathrm{20},t\right)=u\left(\mathrm{20},t\right)。

空间误差阶如表1所示，时间误差阶如表2所示。从表1-2中可见，数值结果在时间上具有二阶精度，在空间上具有六阶精度，与理论分析一致，说明了格式的有效性。

取时间长度T=1，空间步长h=1/10，时间步长\tau =\mathrm{1}/\mathrm{1}\mathrm{000},单孤立波随时间的演化过程如图1所示。由图1可见，对于求解方程（1），六阶紧致差分算法的质量误差和广义能量误差至少达到了O（10^-9）。

算例2 考虑用gNLS方程模拟海洋内波问题。模拟区域尺度为20 km，半波宽l=1 400 m， 上下水体密度分别为{\rho }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{022.8}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，{\rho }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\mathrm{026.9}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}。固定初始振幅{\eta }_{\mathrm{0}}为10 m，上层流体厚度为90 m，总水深H分别取500 m、700 m及1 000 m，取初始条件\eta ={\eta }_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\left(x/l\right)，时间取

T=60 s。

不同水深情况下的方程系数根据文献［9］所列的公式分别计算。由不同总水深内波传播演变平面图（图2）可见，固定初始振幅为10 m，水深超过1 000 m，用gNLS模型传播NLS方程初始波时，内波在深水传播的过程中半波宽度不断展宽，振幅减小，伴随尾部抬升，这是由啁啾效应所导致的。

质量误差和能量误差结果如图3和图4所示，由图3和图4可见，质量误差和广义能量误差的量级至少达到O\left({\mathrm{10}}^{-\mathrm{12}}\right)。

5 结论

本文主要利用紧致差分格式研究gNLS方程，数值格式保持质量和广义能量守恒律，数值解在时间上达到二阶、在空间上达到六阶收敛精度。

（1）通过模拟NLS方程数值解发现，经过长时间传播演化，波形保持不变，该结果表明算法具有

有效性；随着高阶非线性项增强，波的陡化加剧，gNLS方程在描述深水内孤立波传播问题时具有优势。

（2）算法的质量误差和广义能量误差至少达到O（10^-9）。模拟结果显示紧致差分方法在保持质量和能量守恒方面表现良好，这有利于对相应物理问题和物理现象的准确理解。且已有研究表明，保留微分方程部分守恒量的数值方法，其时间步长精度优于完全不保留守恒量的方法。

目前对海洋内孤立波的研究方法主要包括遥感探测方法、现场实测资料分析方法及数值模拟方法等。海洋现场观测受价格昂贵、数据易丢失等诸多因素影响；实验室水槽模拟难以实现深海及长距离内孤立波传播的实验。数值模拟研究对辅助遥感探测、现场实测资料分析及水槽模拟等方法有重要作用。gNLS方程可以在一定程度上描述内波在海洋中的某些传播现象，该研究具有一定价值和实际意义。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“全海深内孤立波统一表征及其在深⁃浅过渡区遥感方法反演应用研究”(62161045)

内蒙古师范大学数学一流拔尖培育学科建设资助项目“哈密顿保结构算法在海洋内波问题中的应用研究”(2024YLKY19)

内蒙古师范大学学校专项基金资助项目“非线性海洋内波方程的数值方法研究”(KJJYZX2026098)