时滞混沌神经网络的采样数据同步控制

Sampled Data Synchronization Control of Time-delay Chaotic Neural Networks

摘要

针对时滞混沌神经网络的采样数据同步控制问题，提出一种新的双边闭环李雅普诺夫⁃克拉索夫斯基泛函。通过引入新的区间[t-{\eta }_k,t_k-{\tau }_c]来充分捕获从e(t-{\eta }_k)到e(t_k-{\tau }_c)的采样信息。此外，利用自由矩阵不等式方法设计采样数据控制器，获得驱动⁃响应系统混沌同步的充分条件，表示为线性矩阵不等式形式。最后，通过仿真例子验证所提同步准则的有效性及优越性。

Abstract

A novel two-sided closed-loop Lyapunov-Krasovskii functional was proposed to solve the sampled data synchronization control problem of time-delay chaotic neural networks. A new interval [t-{\eta }_k,t_k-{\tau }_c] was introduced to fully capture the sampled information ranging from e(t-{\eta }_k) to e(t_k-{\tau }_c). Furthermore， the free-matrix inequality approach was adopted to design the sampled data controller， and sufficient conditions for chaotic synchronization of drive-response systems were derived， which were expressed in the form of linear matrix inequalities. Finally， numerical simulation examples were carried out to verify the effectiveness and superiority of the proposed synchronization criteria.

Graphical abstract

关键词

神经网络 / 时滞 / 采样数据控制 / 同步

Key words

neural network / time delay / sampled data control / synchronization

神经网络是一种模拟人脑结构与功能机制的计算模型，由大量相互连接的神经元构成，能够执行模式识别、分类等复杂任务。神经元间有限的信号传输时间会引入时滞，这种时滞可能导致神经网络性能下降，甚至引起系统失稳。目前，神经网络已广泛应用于各个领域。在图像识别领域^［1］，深度学习算法^［2］实现了精准的图像分类和高效的目标检测。在自然语言处理方面^［3］，神经网络促进了机器翻译与文本生成等技术的发展。此外，神经网络还在搜索排序^［4］、推荐系统^［5］、语音识别^［6］等应用中发挥着重要作用。

自Pecora与Carroll^［7］提出驱动-响应系统概念以来，混沌及复杂动态系统中的同步问题^［8］得到了广泛研究，包括有限时间同步^［9］、固定时间同步^［10］、滞后同步^［11］以及指数同步^［12］等多种类型。对于复杂动态网络^［13］中混沌系统的同步问题，学者提出了脉冲控制^［14］、混沌控制^［15］与采样数据控制^［16］等多种方法。近几十年来，采样数据控制方法受到广泛关注。该方法在提升控制精度与系统鲁棒性的同时，还能提高控制器的效率和适用性。此外，采样数据控制仅依赖连续信号的离散采样值，可有效降低系统的信息传输负荷。因此，神经网络同步控制中的最大允许采样间隔仍是同步控制研究中的关键问题。除神经元固有传输时滞外，采样单元与控制器之间的信号交互，也会引入通信时滞。目前，同时考虑传输延迟与通信延迟的神经网络同步问题已得到深入研究^{［17⁃21］}。大量神经网络同步研究基于采样数据控制与李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函方法。文献［17］基于Jensen不等式和扩展Wirtinger不等式，构建了一种不连续李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函；文献［18-19］则通过引入自由矩阵，构建了基于锯齿状输入延迟采样特性的时变不连续李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函。基于上述泛函，研究者提出了保守性更低的同步准则，但这些方法仍存在一定局限。文献［18-19］未充分考虑传输时滞与通信时滞之间的关系，以及采样周期与神经元时滞之间的联系，导致所提出的同步判据仍具有较强的保守性。随后，文献［20］引入了一种新的环路型泛函；文献［21］则提出一种增强的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，该泛函由增强的混合时滞部分和双侧环路型时间平方部分构成。这两类方法均得到了保守性较低的 同步判据。然而，若在环路型泛函中引入新的采样区间，则可获得保守性更低的结果。本文在文献［17-21］的基础上，基于Lyapunov稳定性理论，讨论时滞混沌神经网络的采样数据同步控制问题，以线性矩阵不等式的形式给出采样数据控制器的设计方法。

本文采用以下记号：{\mathbb{R}}^n和{\mathbb{R}}^{n\times m}分别表示n维欧几里得空间和所有n\times m实矩阵的集合，{\mathit{P}}^{\mathrm{T}}和{\mathit{P}}^{-\mathrm{1}}分别表示矩阵\mathit{P}的转置矩阵和逆矩阵，表示矩阵\mathit{P}是正定（负定）矩阵，I和\mathrm{0}分别代表单位矩阵和零矩阵，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{\dots \right\}表示块对角矩阵，\parallel \cdot \parallel表示{\mathbb{R}}^n空间中的欧几里得范数，\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{X\right\}=X+X^{\mathrm{T}}，\mathrm{*}表示对称矩阵中的对称项。

1 问题描述

如下时滞神经网络作为驱动系统：

\dot{x}(t)=-\mathit{C}x(t)+\mathit{A}f\left(x(t)\right)+\mathit{B}f\left(x\left(t-d\left(t\right)\right)\right)+\mathrm{𝒥}(t),（1）

其中x(t)={\left[{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(t),{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}(t), \dots ,{x_n}^{\mathrm{T}}(t)\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^n为神经元状态向量；\mathrm{𝒥}(t)=\left[{J_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(t),\right.{J_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}(t), \dots ,{\left.{J_n}^{\mathrm{T}}(t)\right]}^{\mathrm{T}}\in{\mathbb{R}}^n表示外部输入；\mathit{C}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}} ,\dots ,c_n\right\}为对角矩阵，其参数满足c_i>\mathrm{0} (i=\mathrm{1},\mathrm{2} ,\dots ,n)；\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}与\mathit{B}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}为连接权重矩阵； f(x(t))={\left[{f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(x_{\mathrm{1}}(t)),{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}(x_{\mathrm{2}}(t)),\dots ,{f_n}^{\mathrm{T}}(x_n(t))\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^n为神经元激活函数，且第i个激活函数f_i(\cdot )满足

l_i^{-}\le \frac{f_i\left(\alpha \right)-f_i\left(\beta \right)}{\alpha -\beta }\le l_i^{+},\alpha \ne \beta ,i=\mathrm{1,2}, \dots ,n,（2）

其中， f_i(\mathrm{0})=\mathrm{0};\alpha , \beta \in \mathbb{R}；l_i^{-}和l_i^{+}为实常数。离散时滞d(t)满足

\mathrm{0}\le d(t)\le d, \dot{d}(t)\le \mu ,

其中d与\mu为正常数。

相应的响应系统构建为

\dot{z}(t)=-\mathit{C}z(t)+\mathit{A}f\left(z(t)\right)+\mathit{B}f\left(z\left(t-d\left(t\right)\right)\right)+\mathrm{𝒥}(t)+u(t),（3）

其中z(t)={\left[{z_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}}(t),{z_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}(t), \dots ,{z_n}^{\mathrm{T}}(t)\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^n为神经元状态向量，u(t)\in {\mathbb{R}}^n为控制输入。

误差状态定义为e(t)=z(t)-x(t)。本文设计如下具有通信延迟的采样数据控制器：

（4）

其中\mathit{K}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}为控制器增益矩阵；{\tau }_c\ge \mathrm{0}表示通信延迟；t_k(k=\mathrm{1,2},\dots )代表零阶保持器的采样时刻，且满足

假设h_k=t_{k+\mathrm{1}}-t_k为第k个采样周期，且满足

h_k=t_{k+\mathrm{1}}-t_k\le h_M,（5）

其中h_M表示h_k的上界。类似地，令{\eta }_k=h_k+{\tau }_c，则有{\eta }_k\in ({\tau }_c,\eta ]，其中\eta =h_M+{\tau }_c表示{\eta }_k的上界。

根据误差状态的定义及采样数据控制器（4），可推导出如下同步误差系统：

（6）

其中\varphi \left(e(t)\right)=f(z(t))-f(x(t))。由式（2）可知，函数{\varphi }_i(\cdot )满足

{\left[{\varphi }_i(e_i(t))-l_i^{-}{e}_i(t)\right]}^{\mathrm{T}}\left[l_i^{+}{e}_i(t)-{\varphi }_i(e_i(t))\right]\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1},\mathrm{2}, \dots ,n。（7）

为建立主要结果，现引入以下引理。

引理1^［22］ 对于任意正定矩阵\mathit{R}>\mathrm{0}及可微函数x:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n，下述不等式恒成立：

(b-a){\int }_a^{b}x{(s)}^{\mathrm{T}}\mathit{R}x(s)\mathrm{d}s\ge {\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\mathit{R}{\omega }_{\mathrm{1}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\mathit{R}{\omega }_{\mathrm{2}},

其中

{\omega }_{\mathrm{1}}={\int }_a^{b}x(s)\mathrm{d}s,{\omega }_{\mathrm{2}}={\int }_a^{b}x(s)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{2}}{{(b-a)}^{\mathrm{2}}}{\int }_a^b{\int }_s^{b}x(u)\mathrm{d}u\mathrm{d}s\mathrm{。}

引理2^［21］ 对于正定矩阵\mathit{R}>\mathrm{0}，任意矩阵{\mathit{T}}_i(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3})，具有适当维度的任意向量\xi，以及可微且可积的函数x:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n，下述不等式成立：

-{\int }_a^b\dot{x}{(s)}^{\mathrm{T}}\mathit{R}\dot{x}(s)\mathrm{d}s\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\left\{\frac{b-a}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\xi }^{\mathrm{T}}{\mathit{T}}_i{\mathit{R}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i^{\mathrm{T}}\xi +\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\xi }^{\mathrm{T}}{\mathit{T}}_{\mathit{i}}{\varpi }_i\right\}\right\},

其中，

\begin{array}{l}{\varpi }_{\mathrm{1}}=x(b)-x(a),{\varpi }_{\mathrm{2}}=x(b)+x(a)-\frac{\mathrm{2}}{b-a}{\int }_a^{b}x(s)\mathrm{d}s,\\ {\varpi }_{\mathrm{3}}=x(b)-x(a)+\frac{\mathrm{6}}{b-a}{\int }_a^{b}x(s)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{12}}{{(b-a)}^{\mathrm{2}}}{\int }_a^b{\int }_s^{b}x(u)\mathrm{d}u\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}

2 主要结果

为了获得保守性小的同步准则，本文设计采样数据控制策略（4），实现驱动系统（1）与响应系统（3）的同步。为简洁起见，定义如下向量与矩阵。

\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{1}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_c}{\int }_{t-{\tau }_c}^{t}e\left(s\right)\mathrm{d}s,v_{\mathrm{2}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_c^{\mathrm{2}}}{\int }_{t-{\tau }_c}^t{\int }_s^{t}e\left(u\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}s, v_{\mathrm{3}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{d}{\int }_{t-d}^{t}e\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ v_{\mathrm{4}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{d^{\mathrm{2}}}{\int }_{t-d}^t{\int }_s^{t}e\left(u\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}s,v_{\mathrm{5}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{t-t_k}{\int }_{t_k}^{t}e\left(s\right)\mathrm{d}s,v_{\mathrm{6}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{t_{k+\mathrm{1}}-t}{\int }_t^{t_{k+\mathrm{1}}}e\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ v_{\mathrm{7}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{t-t_k}{\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t-{\tau }_c}e\left(s\right)\mathrm{d}s,v_{\mathrm{8}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{t_{k+\mathrm{1}}-t}{\int }_{t-{\tau }_c}^{t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c}e\left(s\right)\mathrm{d}s, v_{\mathrm{9}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_c}{\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t_k}e\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ v_{\mathrm{10}}\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{t_{k+\mathrm{1}}-t}{\int }_{t-{\eta }_k}^{t_k-{\tau }_c}e\left(s\right)\mathrm{d}s, \\ {\xi }_{\mathrm{1}}\left(t\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right),e^{\mathrm{T}}\left(t-d\right),{\tau }_c{v}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\left(t\right), d{v}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),{\tau }_c^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\left(t\right), d^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\xi }_{\mathrm{2}}\left(t\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right),{\varphi }^{\mathrm{T}}\left(e\left(t\right)\right),{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}},{\xi }_{\mathrm{3}}\left(t,s\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(s\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right),e^{\mathrm{T}}\left(t\right),{\int }_s^t{e}^{\mathrm{T}}\left(\theta \right)\mathrm{d}\theta \right]}^{\mathrm{T}},\\ {\xi }_{\mathrm{4}}\left(t\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\xi }_{\mathrm{5}}\left(t\right)=\left[\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right)\right),\left(t-t_k\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right)\right), \right.\\ \left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right)\right),\left(t-t_k\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c\right)\right),\\ {\left. \left(t-t_k\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t-{\eta }_k\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right)\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\xi }_{\mathrm{6}}\left(t\right)=\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right)\right., \\ {\left. e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-{\eta }_k\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right)\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\xi }_{\mathrm{7}}\left(t_k\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right),e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c\right)\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\xi }_{\mathrm{8}}\left(t\right)={\left[v_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}\left(t\right), v_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}, \end{array}

\begin{array}{l} \xi \left(t\right)=\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right),e^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right),e^{\mathrm{T}}\left(t-d\right),e^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-{\eta }_k\right),e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_k-{\tau }_c\right),e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right), \right. \\ e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c\right),{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-{\tau }_c\right),{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-d\right),{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-{\eta }_k\right),{\varphi }^{\mathrm{T}}\left(e\left(t\right)\right),\\ {\left. {\varphi }^{\mathrm{T}}\left(\mathrm{e}\left(t-d\left(t\right)\right)\right),v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}\left(t\right),v_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\mathit{L}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{l_{\mathrm{1}}^{-},l_{\mathrm{2}}^{-},\cdots ,l_n^{-}\right\},{\mathit{L}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{l_{\mathrm{1}}^{+},l_{\mathrm{2}}^{+},\cdots ,l_n^{+}\right\},\\ e_i=\left[{\mathrm{0}}_{n\times (i-\mathrm{1})n},I_n,{\mathrm{0}}_{n\times (\mathrm{26}-i)n}\right],i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\dots ,\mathrm{26}\mathrm{。}\end{array}

定理1 对于给定的正常数{\rho }_{\mathrm{1}}和{\rho }_{\mathrm{2}}，若存在正定对称矩阵\mathit{P}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}，对称矩阵{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}，任意矩阵{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{T}}_i\left(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{18}\right)\mathrm{、}\mathit{\Gamma }\mathrm{、}\mathit{G}\mathrm{、}\mathit{L}以及对角矩阵{\mathit{\Lambda }}_j=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\lambda }_{j\mathrm{1}},{\lambda }_{j\mathrm{2}},\dots ,{\lambda }_{jn}\right\}\ge \mathrm{0}\left(j=\mathrm{1,2}\right)\mathrm{、}{\mathit{\Delta }}_k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\delta }_{k\mathrm{1}},{\delta }_{k\mathrm{2}},\dots ,{\delta }_{kn}\right\}\ge \mathrm{0}\left(k=\mathrm{1,2}\right)，使得如下线性矩阵不等式成立：

{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},（8）

{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},（9）

{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},（10）

（11）

，（12）

其中

\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}{\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{8}}+{\theta }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{10}}+\left({\theta }_{\mathrm{26}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{1}}+{\theta }_{\mathrm{27}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{2}}\right)e_{\mathrm{10}}+{\theta }_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\theta }_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right.+\\ {\theta }_{\mathrm{24}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}}\mathit{G}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{25}}+\left.{\theta }_{\mathrm{26}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{27}}+{\theta }_{\mathrm{28}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{29}}+{\tau }_c\mathit{\Gamma }\left(e_{\mathrm{17}}-e_{\mathrm{21}}\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{18}}}{\mathit{T}}_i{F}_i\right\}+{\theta }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{3}}- \\ (\mathrm{1}-\mu ){\theta }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{4}}+{\theta }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}({\mathit{X}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}){\theta }_{\mathrm{5}}-{\theta }_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{6}}-{\theta }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{9}}+{\theta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{11}}-{\theta }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{12}}+\\ {\tau }_c^{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}\right)+d^{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{1}}\right)+\eta e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+h_M{e}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{10}}-\\ {\tau }_c^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{17}}-\mathrm{3}{\tau }_c^{\mathrm{2}}{\left(e_{\mathrm{17}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{18}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{17}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{18}}\right)-d^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{19}}-\mathrm{3}{d}^{\mathrm{2}}{\left(e_{\mathrm{19}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{20}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}\left(e_{\mathrm{19}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{20}}\right),\\ {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right)+{\theta }_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{16}}+{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{23}}+\mathit{\Gamma }\left(e_{\mathrm{23}}-e_{\mathrm{25}}\right)\right\}-{\theta }_{\mathrm{20}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{20}}-{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{21}}+\\ e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{11}}+e_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{14}},\\ {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{3}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right)+{\theta }_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{16}}+{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{22}}\right\}+{\theta }_{\mathrm{20}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{20}}+{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{21}}+e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{11}}, \\ {\mathrm{𝒯}}_{\mathrm{1}}=\left[{\mathit{T}}_{\mathrm{1}},{\mathit{T}}_{\mathrm{2}},{\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\right], {\mathrm{𝒯}}_{\mathrm{2}}=\left[{\mathit{T}}_{\mathrm{4}},{\mathit{T}}_{\mathrm{5}},{\mathit{T}}_{\mathrm{6}},{\mathit{T}}_{\mathrm{7}}\right], {\mathrm{𝒯}}_{\mathrm{3}}=\left[{\mathit{T}}_{\mathrm{8}},{\mathit{T}}_{\mathrm{9}},{\mathit{T}}_{\mathrm{10}},{\mathit{T}}_{\mathrm{11}},{\mathit{T}}_{\mathrm{12}},{\mathit{T}}_{\mathrm{13}}\right],\\ {\mathrm{𝒯}}_{\mathrm{4}}=\left[{\tau }_c{\mathit{T}}_{\mathrm{14}},{\tau }_c{\mathit{T}}_{\mathrm{15}},{\tau }_c{\mathit{T}}_{\mathrm{16}},\sqrt[]{{\tau }_c}{\mathit{T}}_{\mathrm{17}},\sqrt[]{{\tau }_c}{\mathit{T}}_{\mathrm{18}}\right],\\ {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\mathit{R}}_{\mathrm{3}},\mathrm{3}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}},\mathrm{5}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\right\}, {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}},\mathrm{3}\left({\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\right),{\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}},\mathrm{3}\left({\mathit{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right)\right\}, \\ {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{3}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\mathit{S}}_{\mathrm{3}},\mathrm{3}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}},{\mathit{S}}_{\mathrm{4}},\mathrm{3}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}},\left({\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right),\mathrm{3}\left({\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right)\right\}, {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{4}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\mathit{R}}_{\mathrm{1}},\mathrm{3}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}},\mathrm{5}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}},{\mathit{M}}_{\mathrm{1}},\mathrm{3}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\right\},\\ {\theta }_{\mathrm{1}}={\left[e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}-\left(\mathrm{1}-\dot{d}\left(t\right)\right)e_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c{e}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tau }_c{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}},d{e}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-d{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, \end{array}\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{2}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}},d{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}},d^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{3}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\theta }_{\mathrm{4}}={\left[e_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, {\theta }_{\mathrm{5}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{6}}={\left[e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{7}}={\left[\mathrm{0},\mathrm{0},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, {\theta }_{\mathrm{8}}={\left[{\tau }_c{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c{e}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tau }_c^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{9}}={\left[e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},d{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{10}}={\left[d{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},d{e}_{\mathrm{1}}^T,d^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, {\theta }_{\mathrm{11}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{12}}={\left[e_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{13}}={\left[e_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{14}}={\left[e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{15}}={\left[\mathrm{0},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{16}}={\left[e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\theta }_{\mathrm{17}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{18}}={\left[\mathrm{0},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{19}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{20}}={\left[e_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ \end{array}

\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{21}}={\left[e_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{22}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{23}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{24}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{22}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{23}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\theta }_{\mathrm{23}}={\left[\mathrm{0},e_{\mathrm{22}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},e_{\mathrm{24}}^{\mathrm{T}}-e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, {\theta }_{\mathrm{24}}={\left[e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{25}}={\left[e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}},e_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}, \\ {\theta }_{\mathrm{26}}=e_{\mathrm{15}}-{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}, {\theta }_{\mathrm{27}}={\mathit{L}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{15}},{\theta }_{\mathrm{28}}=e_{\mathrm{16}}-{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{4}}, {\theta }_{\mathrm{29}}={\mathit{L}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{4}}-e_{\mathrm{16}}, \\ F_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{3}}, F_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{1}}+e_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{19}},F_{\mathrm{3}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{3}}+\mathrm{6}{e}_{\mathrm{19}}-\mathrm{12}{e}_{\mathrm{20}}, \\ F_{\mathrm{4}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{6}},F_{\mathrm{5}}=e_{\mathrm{1}}+e_{\mathrm{6}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{21}},F_{\mathrm{6}}=e_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{7}},F_{\mathrm{7}}=e_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{7}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{23}}, \\ F_{\mathrm{8}}=e_{\mathrm{8}}-e_{\mathrm{1}},F_{\mathrm{9}}=e_{\mathrm{8}}+e_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{22}},F_{\mathrm{10}}=e_{\mathrm{9}}-e_{\mathrm{2}},F_{\mathrm{11}}=e_{\mathrm{9}}+e_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{24}}, \\ F_{\mathrm{12}}=e_{\mathrm{7}}-e_{\mathrm{5}},F_{\mathrm{13}}=e_{\mathrm{7}}+e_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{26}},F_{\mathrm{14}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{2}},F_{\mathrm{15}}=e_{\mathrm{1}}+e_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{17}},\\ F_{\mathrm{16}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{e}_{\mathrm{17}}-\mathrm{12}{e}_{\mathrm{18}}, F_{\mathrm{17}}=e_{\mathrm{6}}-e_{\mathrm{7}},F_{\mathrm{18}}=e_{\mathrm{6}}+e_{\mathrm{7}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{25}}, \\ {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}}=\left[\mathrm{1},{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}}\right],{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}}=\left[-\mathit{I},-\mathit{C},\mathit{A},\mathit{B},\mathit{K}\right]\mathrm{。}\end{array}

则驱动系统（1）与响应系统（3）实现采样数据同步。此外，相应的采样数据控制器（4）的增益矩阵为

\mathit{K}={\mathit{G}}^{-\mathrm{1}}\mathit{L}。

证明 针对同步误差系统（6），构建如下双边闭环李雅普诺夫⁃克拉索夫斯基泛函：

（13）

其中

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{1}}(t)={\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\mathit{P}{\xi }_{\mathrm{1}}\left(t\right),\\ V_{\mathrm{2}}(t)={\int }_{t-d(t)}^t{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s+{\int }_{t-{\tau }_c}^t{\xi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}\left(t,s\right){\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{3}}\left(t,s\right)\mathrm{d}s+\\ {\int }_{t-d}^t{\xi }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}\left(t,s\right){\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{3}}\left(t,s\right)\mathrm{d}s+{\int }_{t-{\eta }_k}^t{\xi }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\xi }_{\mathrm{4}}\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ V_{\mathrm{3}}(t)={\tau }_c{\int }_{t-{\tau }_c}^t{\int }_{\theta }^t\left[{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{R}}_{\mathrm{1}}\dot{e}\left(s\right)+e^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{R}}_{\mathrm{2}}e\left(s\right)\right]\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta +d{\int }_{t-d}^t{\int }_{\theta }^t\left[{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\dot{e}\left(s\right)+e^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{R}}_{\mathrm{4}}e\left(s\right)\right]\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta ,\\ V_{\mathrm{4}}(t)={\int }_{-\eta }^{\mathrm{0}}{\int }_{t+\theta }^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta +{\int }_{-\eta }^{-{\tau }_c}{\int }_{t+\theta }^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta ,\\ V_{\mathrm{5}}(t)=\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{e_i(t)}{\lambda }_{\mathrm{1}i}\left({\varphi }_i\left(s\right)-l_i^{-}s\right)\mathrm{d}s+\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{e_i(t)}{\lambda }_{\mathrm{2}i}\left(l_i^{+}s-{\varphi }_i\left(s\right)\right)\mathrm{d}s,\\ V_{\mathrm{6}}(t)=\mathrm{2}{\xi }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}(t)\left[{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{6}}\left(t\right)+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{7}}\left(t_k\right)\right],\\ V_{\mathrm{7}}(t)=\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(t-t_k\right){\xi }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\left(t_k\right){\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{7}}\left(t_k\right),\\ V_{\mathrm{8}}(t)=\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(t-t_k\right){{\xi }_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{T}}\left(t\right){\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\xi }_{\mathrm{8}}\left(t\right),\end{array}

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{9}}(t)=\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right){\int }_{t_k}^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{S}}_{\mathrm{1}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s+\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right){\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{S}}_{\mathrm{2}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s,\\ V_{\mathrm{10}}(t)=-\left(t-t_k\right){\int }_t^{t_{k+\mathrm{1}}}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{S}}_{\mathrm{3}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s-\left(t-t_k\right){\int }_{t-{\tau }_c}^{t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{S}}_{\mathrm{4}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s-\left(t-t_k\right){\int }_{t-{\eta }_k}^{t_k-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right){\mathit{S}}_{\mathrm{5}}\dot{e}\left(s\right)\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}

基于所考虑的李雅普诺夫⁃克拉索夫斯基泛函（13），注意到其满足闭环泛函条件V_i(t_k)=\underset{t\to t_{k+\mathrm{1}}^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{V}_i(t)=V_i(t_{k+\mathrm{1}})=\mathrm{0},(i=\mathrm{6,7},\mathrm{8,9},\mathrm{10})。因此，该李雅普诺夫⁃克拉索夫斯基泛函 V(t)称为双边闭环李雅普诺夫泛函。

计算V(t)的导数，可得：

\begin{array}{l}{\dot{V}}_{\mathrm{1}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}{\theta }_{\mathrm{2}}\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{2}}(t)\le {\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{{\theta }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{3}}-\left(\mathrm{1}-\mu \right){\theta }_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{4}}+{\theta }_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{X}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}\right){\theta }_{\mathrm{5}}-{\theta }_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{6}}+\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{8}}-\right.\\ {\theta }_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{9}}+\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{10}} +\left.{\theta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{11}}-{\theta }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{12}}\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{3}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{{\tau }_c^{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}\right)+d^{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{1}}\right)\right\}\xi (t)+{\psi }_{\mathrm{1}}(t)+{\psi }_{\mathrm{2}}(t)+{\psi }_{\mathrm{3}}(t)+{\psi }_{\mathrm{4}}(t),\end{array}

\begin{array}{l}{\dot{V}}_{\mathrm{4}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\eta e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+h_M{e}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{10}}\right\}\xi (t)+{\psi }_{\mathrm{5}}(t)+{\psi }_{\mathrm{6}}(t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{5}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\left(e_{\mathrm{15}}-{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+{\left({\mathit{L}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{15}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{10}}\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{6}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right)+\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left[{\theta }_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right)+{\theta }_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{16}}\right]\right.+\\ \left.\left(t-t_k\right)\left[{\theta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{19}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right)+{\theta }_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{16}}\right]\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{7}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\left[\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)-\left(t-t_k\right)\right]{\theta }_{\mathrm{20}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{20}}\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{8}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left\{\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{22}}\right\}+{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{21}}\right\}+\left(t-t_k\right)\left\{\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{23}}\right\}-{\theta }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\theta }_{\mathrm{21}}\right\}\right\}\xi (t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{9}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{11}}\right)\right\}\xi (t)+{\psi }_{\mathrm{7}}(t)+{\psi }_{\mathrm{8}}(t),\\ {\dot{V}}_{\mathrm{10}}(t)={\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\left(t-t_k\right)\left(e_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{10}}+e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{11}}+e_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{14}}\right)\right\}\xi (t)+{\psi }_{\mathrm{9}}(t)+{\psi }_{\mathrm{10}}(t)+{\psi }_{\mathrm{11}}(t),\end{array}

其中

\begin{array}{l}{\psi }_{\mathrm{1}}(t)=-{\tau }_c{\int }_{t-{\tau }_c}^t{e}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{R}}_{\mathrm{2}}e(s)\mathrm{d}s, {\psi }_{\mathrm{2}}(t)=-d{\int }_{t-d}^t{e}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{R}}_{\mathrm{4}}e(s)\mathrm{d}s,{\psi }_{\mathrm{3}}(t)=-{\tau }_c{\int }_{t-{\tau }_c}^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{R}}_{\mathrm{1}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s, \\ {\psi }_{\mathrm{4}}(t)=-d{\int }_{t-d}^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s,{\psi }_{\mathrm{5}}(t)=-{\int }_{t-\eta }^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s, {\psi }_{\mathrm{6}}(t)=-{\int }_{t-\eta }^{t-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s,\\ {\psi }_{\mathrm{7}}(t)=-{\int }_{t_k}^t{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{S}}_{\mathrm{1}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s,{\psi }_{\mathrm{8}}(t)=-{\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{S}}_{\mathrm{2}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s, {\psi }_{\mathrm{9}}(t)=-{\int }_t^{t_{k+\mathrm{1}}}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{S}}_{\mathrm{3}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s,\\ {\psi }_{\mathrm{10}}(t)=-{\int }_{t-{\tau }_c}^{t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{S}}_{\mathrm{4}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s, {\psi }_{\mathrm{11}}(t)=-{\int }_{t-h_k}^{t_k}{\dot{e}}^{\mathrm{T}}(s){\mathit{S}}_{\mathrm{5}}\dot{e}(s)\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}

利用引理1，推出以下不等式：

{\psi }_{\mathrm{1}}(t)\le -{\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{{\tau }_c^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{17}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{17}}-\mathrm{3}{\tau }_c^{\mathrm{2}}{\left(e_{\mathrm{17}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{18}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}\left(e_{\mathrm{17}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{18}}\right)\right\}\xi (t),（14）

{\psi }_{\mathrm{2}}(t)\le {\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{-d^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{19}}-\mathrm{3}{d}^{\mathrm{2}}{\left(e_{\mathrm{19}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{20}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}\left(e_{\mathrm{19}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{20}}\right)\right\}\xi (t)\mathrm{。}（15）

类似地，利用引理2，推出以下不等式：

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{3}}^{\mathrm{11}}}{\psi }_i⩽{\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{d^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i^{\mathrm{T}}+(t-t_k){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{3}+i}{\left({\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{3}+i}^{\mathrm{T}}\right.+\\ (t-t_k){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5}+i}{\left({\mathit{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5}+i}^{\mathrm{T}} +\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{7}+i}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{7}+i}^{\mathrm{T}} +\end{array}

\begin{array}{l} {}^{}\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{9}+i}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{9}+i}^{\mathrm{T}}+\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{11}+i}{\left({\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{11}+i}^{\mathrm{T}}+ \\ {\tau }_c^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}^{\mathrm{T}}+{\tau }_c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}^{\mathrm{T}}+\left.\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{18}}}{\mathit{T}}_i{F}_i\right\}\right\}\xi (t)\mathrm{。}\end{array}（16）

对于给定的标量{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}}及任意适当维数的矩阵\mathit{G}，由式（6）可得

\mathrm{2}{\xi }^{\mathrm{T}}(t){\theta }_{\mathrm{24}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}}\mathit{G}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{25}}\xi (t)=\mathrm{0}\mathrm{。}（17）

类似地，对于任意适当维数的矩阵\mathit{\Gamma }，由向量\xi (t)各分量间的关系可推导出

\mathrm{2}{\xi }^{\mathrm{T}}(t)\mathit{\Gamma }\left[{\tau }_c\left(e_{\mathrm{17}}-e_{\mathrm{21}}\right)+\left(t-t_k\right)\left(e_{\mathrm{23}}-e_{\mathrm{25}}\right)\right]\xi (t)=\mathrm{0}\mathrm{。}（18）

此外，对于任意正定对角矩阵{\mathit{\Delta }}_k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\delta }_{k\mathrm{1}},{\delta }_{k\mathrm{2}},\dots ,{\delta }_{kn}\right\}(k=\mathrm{1},\mathrm{2})，由式（7）可得

\mathrm{2}{\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{{\theta }_{\mathrm{26}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{27}}+{\theta }_{\mathrm{28}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{29}}\right\}\xi (t)\ge \mathrm{0}\mathrm{。}（19）

联立式（14）—（19），推导出如下不等式：

\dot{V}(t)\le {\xi }^{\mathrm{T}}(t)\left\{\frac{t-t_k}{h_k}\left[{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}+h_k{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}}+{\mathrm{\Xi }}_{\mathrm{1}}\right]+\frac{t_{k+\mathrm{1}}-t}{h_k}\left[{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}+h_k{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{3}}+{\mathrm{\Xi }}_{\mathrm{2}}\right]\right\}\xi (t),（20）

其中，

\begin{array}{l}{\mathrm{\Xi }}_{\mathrm{1}}=d^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i^{\mathrm{T}}+h_k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{3}+i}{\left({\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{3}+i}^{\mathrm{T}}+\\ h_k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5}+i}{\left({\mathit{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5}+i}^{\mathrm{T}} +{\tau }_c^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}^{\mathrm{T}}+{\tau }_c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}^{\mathrm{T}},\\ {\mathrm{\Xi }}_{\mathrm{2}}=d^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_i^{\mathrm{T}}+h_k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{7}+i}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{7}+i}^{\mathrm{T}}+\\ h_k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{11}+i}{\left({\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{11}+i}^{\mathrm{T}}+\\ h_k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{9}+i}{\mathit{S}}_{\mathrm{4}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{9}+i}^{\mathrm{T}}+{\tau }_c^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{13}+i}^{\mathrm{T}}+{\tau }_c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}i-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{16}+i}^{\mathrm{T}}\mathrm{。}\end{array}

根据Schur补引理，线性矩阵不等式（11）和（12）的负定性可保证对所有h_k\in [\mathrm{0},h_M]均有{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}+成立，这意味着。同时，若存在充分小的标量\epsilon >\mathrm{0}，则有

（21）

下面证明李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函（13）的正定性。由于V_i\left(t\right)\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5}\right)是连续泛函并且矩阵\mathit{P}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}是正定矩阵，对角矩阵{\mathit{\Lambda }}_j=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\lambda }_{j\mathrm{1}}, \right.{\lambda }_{j\mathrm{2}},\dots ,\left.{\lambda }_{j\mathrm{n}}\right\}\ge \mathrm{0}(j=\mathrm{1},\mathrm{2})。因此有

\underset{t\to t_k^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{V}_i\left(t\right)=V_i\left(t_k\right)>\mathrm{0},i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5}\mathrm{。}（22）

另外，V_i\left(t\right)\left(i=\mathrm{6,7},\mathrm{8,9},\mathrm{10}\right)满足双边闭环泛函的条件，即：

\underset{t\to t_k^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{V}_i\left(t\right)=\underset{t\to t_k^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{V}_i\left(t\right)=V_i\left(t_k\right)=\mathrm{0},i=\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{8},\mathrm{9},\mathrm{10}\mathrm{。}（23）

由式（22）和（23），有

V\left(t_k\right)>\mathrm{0}\mathrm{。}（24）

当\xi (t)\ne \mathrm{0}时，联立式（21）和（24），得

（25）

因此，V(t)是正定的。

由此可知，同步误差系统（6）是全局渐近稳定的，即驱动系统（1）与响应系统（3）实现了全局渐近同步。

注1 本文构建了一种新的双边闭环李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函（13），该泛函包含积分状态信息{\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t-{\tau }_c}e(s)\mathrm{d}s, {\int }_{t_k}^{t}e(s)\mathrm{d}s, {\int }_{t-{\tau }_c}^{t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c}e(s)\mathrm{d}s, {\int }_t^{t_{k+\mathrm{1}}}e(s)\mathrm{d}s, {\int }_{t_k-{\tau }_c}^{t_k}e(s)\mathrm{d}s。该泛函充分利用了从e\left(t_k-{\tau }_c\right)到e\left(t_k\right)，e\left(t_k-{\tau }_c\right)到e\left(t-{\tau }_c\right)，e\left(t_k\right)到e\left(t\right)，e\left(t-{\tau }_c\right)到e\left(t_{k+\mathrm{1}}-{\tau }_c\right)，e\left(t\right)到e\left(t_{k+\mathrm{1}}\right)的区间状态信息，并结合了所提出的通信延迟{\tau }_c，因此，定理1中提出的双边闭环李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函（13）对降低结果的保守性具有更明显的作用。

注2 在定理1中采用了带有通信延迟的采样数据控制器。当通信延迟{\tau }_c=\mathrm{0}时，则控制器（4）将退化为

（26）

该控制器即为典型的采样数据控制器。为简洁起见，定义如下向量与矩阵。

\begin{array}{l}{\tilde{\xi }}_{\mathrm{1}}\left(t\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-d\right), {\int }_{t-d}^t{e}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\mathrm{d}s, {\int }_{t-d}^t{\int }_s^t{e}^{\mathrm{T}}\left(u\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}s\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\xi }}_{\mathrm{2}}\left(s\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(s\right), {\varphi }^{\mathrm{T}}\left(e\left(s\right)\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\xi }}_{\mathrm{3}}\left(t,s\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(s\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right), e^{\mathrm{T}}\left(t\right), {\int }_s^t{e}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\xi }}_{\mathrm{4}}\left(s\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(s\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\right]}^{\mathrm{T}},\end{array}

\begin{array}{l}{\tilde{\xi }}_{\mathrm{5}}\left(t\right)={\left[\left(t_{k+\mathrm{1}}-t\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right)\right), \left(t-t_k\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right)\right), \left(t-t_k\right)\left(e^{\mathrm{T}}\left(t-h_k\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right)\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\xi }}_{\mathrm{6}}(t)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-h_k\right)-e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\xi }}_{\mathrm{7}}\left(t_k\right)={\left[e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right)\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\xi }}_{\mathrm{8}}\left(t\right)={\left[\frac{\mathrm{1}}{t-t_k}{\int }_{t_k}^t{e}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\mathrm{d}s, \frac{\mathrm{1}}{t_{k+\mathrm{1}}-t}{\int }_t^{t_{k+\mathrm{1}}}{e}^{\mathrm{T}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right]}^{\mathrm{T}},\\ \tilde{\xi }\left(t\right)=\left[e^{\mathrm{T}}\left(t\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-d\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), e^{\mathrm{T}}\left(t-h_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_k\right), e^{\mathrm{T}}\left(t_{k+\mathrm{1}}\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-d\right),\right.\\ {\left. {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right), {\dot{e}}^{\mathrm{T}}\left(t-h_k\right), {\varphi }^{\mathrm{T}}\left(e\left(t\right)\right), {\varphi }^{\mathrm{T}}\left(e^{\mathrm{T}}\left(t-d\left(t\right)\right)\right), v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}(t), v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}(t), v_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}(t), v_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}(t)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{e}}_i=\left[{\mathrm{0}}_{n\times (i-\mathrm{1})n}, I_n, {\mathrm{0}}_{n\times (\mathrm{16}-i)n}\right],i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}, \dots ,\mathrm{16}\mathrm{。}\end{array}

由此获得如下推论。

推论1 对于给定常数{\rho }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}和{\rho }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，若存在正定对称矩阵\mathit{P}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}，对称矩阵{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}，任意矩阵{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{T}}_i(i=\mathrm{1},\mathrm{2}, \dots ,\mathrm{8})\mathrm{、}\mathit{G}\mathrm{、}\mathit{L}以及对角矩阵{\mathit{\Lambda }}_j=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\lambda }_{j\mathrm{1}},\right.{\lambda }_{j\mathrm{2}},\dots ,\left.{\lambda }_{j\mathrm{n}}\right\}\ge \mathrm{0}\left(j=\mathrm{1},\mathrm{2}\right)\mathrm{、}{\mathit{\Delta }}_k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{{\delta }_{k\mathrm{1}},\right.{\delta }_{k\mathrm{2}},\dots ,\left.{\delta }_{kn}\right\}\ge \mathrm{0}\left(k=\mathrm{1},\mathrm{2}\right)，使得式（10）及以下线性矩阵不等式成立：

{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},（27）

（28）

。（29）

其中，{\mathrm{𝒯}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}}和{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}}在定理1中已定义，

\begin{array}{l}{\tilde{\mathrm{\Phi }}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\tilde{\theta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{2}}+\left({\tilde{\theta }}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{1}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{23}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_{\mathrm{2}}\right){\tilde{e}}_{\mathrm{6}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{8}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{17}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}\right)\right.+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}}\mathit{G}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{23}}+\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{24}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{25}}+\left.{\tilde{\theta }}_{\mathrm{26}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Delta }}_{\mathrm{2}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{27}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}{\mathit{T}}_i{\tilde{F}}_i\right\}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{3}}-(\mathrm{1}-\mu ){\tilde{\theta }}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{4}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{5}}-{\tilde{\theta }}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{3}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{6}}+\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{9}}-{\tilde{\theta }}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{10}}+d^{\mathrm{2}}\left({\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{4}}{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}\right)+h_M{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{M}}_{\mathrm{1}}+{\mathit{M}}_{\mathrm{2}}\right){\tilde{e}}_{\mathrm{7}}-d^{\mathrm{2}}{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}-\\ \mathrm{3}{d}^{\mathrm{2}}{\left({\tilde{e}}_{\mathrm{13}}-\mathrm{2}{\tilde{e}}_{\mathrm{14}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{3}}\left({\tilde{e}}_{\mathrm{13}}-\mathrm{2}{\tilde{e}}_{\mathrm{14}}\right),\\ {\tilde{\mathrm{\Phi }}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\tilde{\theta }}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{17}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}\right)+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{14}}\right.\left.+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}^T{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{21}}\right\}-{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}-{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{3}}{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{5}}{\tilde{e}}_{\mathrm{10}},\\ {\tilde{\mathrm{\Phi }}}_{\mathrm{3}}=\mathrm{H}\mathrm{e}\left\{{\tilde{\theta }}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}}\left({\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{17}}+{\mathit{Q}}_{\mathrm{2}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}\right)+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{1}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{14}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{20}}\right\}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{3}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}+{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\mathrm{4}}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}{\tilde{e}}_{\mathrm{7}},\\ {\widetilde{\mathrm{𝒯}}}_{\mathrm{2}}=\left[{\mathit{T}}_{\mathrm{4}},{\mathit{T}}_{\mathrm{5}}\right],{\widetilde{\mathrm{𝒯}}}_{\mathrm{3}}=\left[{\mathit{T}}_{\mathrm{6}},{\mathit{T}}_{\mathrm{7}},{\mathit{T}}_{\mathrm{8}}\right],\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{1}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}-\left(\mathrm{1}-\dot{d}\left(t\right)\right){\tilde{e}}_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},d{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-d{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{2}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},d{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}},d^{\mathrm{2}}{\tilde{e}}_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{3}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{4}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{5}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{6}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{8}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},d{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{7}}={\left[\mathrm{0},\mathrm{0},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{8}}={\left[d{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}},d{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},d{\tilde{e}}_{\mathrm{14}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{9}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{10}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{11}}=\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\right],\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{12}}=\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},\mathrm{0}\right],{\tilde{\theta }}_{\mathrm{13}}={\left[\mathrm{0},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{14}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{10}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{15}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0},\mathrm{0}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{16}}={\left[\mathrm{0},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{17}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\widehat{e}}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{18}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{19}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{15}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{20}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}},\mathrm{0}\right]}^T,{\tilde{\theta }}_{\mathrm{21}}={\left[\mathrm{0},{\tilde{e}}_{\mathrm{16}}^{\mathrm{T}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\end{array}

\begin{array}{l}{\tilde{\theta }}_{\mathrm{22}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{23}}={\left[{\tilde{e}}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{9}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{T}},{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\tilde{\theta }}_{\mathrm{24}}={\tilde{e}}_{\mathrm{11}}-{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}{\tilde{e}}_{\mathrm{1}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{25}}={\mathit{L}}_{\mathrm{2}}{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{11}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{26}}={\tilde{e}}_{\mathrm{12}}-{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}{\tilde{e}}_{\mathrm{1}},{\tilde{\theta }}_{\mathrm{27}}={\mathit{L}}_{\mathrm{2}}{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{12}},\\ {\tilde{F}}_{\mathrm{1}}={\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{2}},{\tilde{F}}_{\mathrm{2}}={\tilde{e}}_{\mathrm{1}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\tilde{e}}_{\mathrm{13}},{\tilde{F}}_{\mathrm{3}}={\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{\tilde{e}}_{\mathrm{13}}-\mathrm{12}{\tilde{e}}_{\mathrm{14}},\\ {\tilde{F}}_{\mathrm{4}}={\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{5}},{\tilde{F}}_{\mathrm{5}}={\tilde{e}}_{\mathrm{1}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{\tilde{e}}_{\mathrm{15}},{\tilde{F}}_{\mathrm{6}}={\tilde{e}}_{\mathrm{6}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{1}},\\ {\tilde{F}}_{\mathrm{7}}={\tilde{e}}_{\mathrm{6}}+{\tilde{e}}_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{\tilde{e}}_{\mathrm{16}},{\tilde{F}}_{\mathrm{8}}={\tilde{e}}_{\mathrm{5}}-{\tilde{e}}_{\mathrm{4}}\mathrm{。}\end{array}

则驱动系统（1）与响应系统（3）实现采样数据同步。此外，相应的采样数据控制器（26）的增益矩阵为\mathit{K}={\mathit{G}}^{-\mathrm{1}}\mathit{L}。

3 仿真例子

本文通过数值算例验证所提方法的有效性与优越性。考虑具有如下参数的驱动系统（1）与响应系统（3）：

\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0.5}\end{array}\right],\mathit{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1.8}& -\mathrm{0.15}\\ -\mathrm{5.2}& \mathrm{1.5}\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{1.7}& -\mathrm{0.12}\\ -\mathrm{0.26}& -\mathrm{2.5}\end{array}\right],\mathrm{𝒥}(t)=\mathrm{0},

激活函数为f_i\left(x_i\left(t\right)\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x_i\left(t\right)\right)(i=\mathrm{1},\mathrm{2})，由式（2）可得矩阵{\mathit{L}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{\mathrm{0},\mathrm{0}\right\}和{\mathit{L}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left\{\mathrm{1},\mathrm{1}\right\}。设时滞函数d(t)=\frac{e^t}{e^t+\mathrm{1}}，得时滞上界d=\mathrm{1},\mu =\mathrm{0.25}。

假设初始条件为x(s)={\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{0.2}& -\mathrm{0.3}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}, z(s)={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{0.3}& \mathrm{0.6}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}, s\in [-\mathrm{1},\mathrm{0}]。图1与图2分别展示了驱动系统（1）与响应系统（3）的混沌行为。

令参数{\rho }_{\mathrm{1}}={\rho }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.24}，求解定理1中的线性矩阵不等式（8）—（12），表1总结了不同通信时滞{\tau }_c所对应的最大采样间隔h_M。由表1可以看出，与文献［18-21， 23-25］相比，定理1所获得的最大采样间隔更大，这验证了本文的理论结果更具有低保守性。

根据表1，选取通信延迟{\tau }_c=\mathrm{0.01}，采样间隔h_M=\mathrm{0.363}\mathrm{6}，计算出采样数据控制器（4）的增益矩阵为

\mathit{K}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{3.176}\mathrm{9}& \mathrm{0.171}\mathrm{8}\\ \mathrm{1.188}\mathrm{0}& -\mathrm{4.835}\mathrm{6}\end{array}\right]\mathrm{。}

图3与图4分别给出了同步误差系统（6）的状态轨迹与控制输入u(t)的轨迹。由图3可见，在采样数据控制器（4）的作用下，驱动系统（1）与响应系统（3）实现了同步。

4 结论

本文研究了时滞神经网络的采样数据同步控制问题。通过引入包含混合时滞与高效采样模式信息的双边闭环函数，构建了新的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，该泛函充分利用了采样数据与系统的信息。本文以线性矩阵不等式形式给出了误差系统渐近稳定的充分条件，并设计了相应的采样数据控制器。仿真结果表明，从最大允许采样间隔的角度来看，所提方法能够获得保守性更低的同步结果，表明其性能更优越。

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“反应扩散神经网络的混沌同步控制及其应用研究”(2023LHMS01005)