面向虚拟编组的城市轨道交通运行优化调度方法

Urban Rail Transit Scheduling Optimization Method for Virtual Coupling Trains

摘要

伴随着我国城市化进程持续快速发展，既有的城市轨道交通列车运行控制系统下运力资源的调控能力已经趋于饱和。为了满足不断增长的乘客出行需求，以列车虚拟编组为代表的新技术成为发展方向。为了解决虚拟编组下列车的运行调度问题，提出面向虚拟编组的城市轨道交通运行优化调度方法，建立列车运行和客流变化模型，描述列车运行和乘客人数的动态变化；构建列车时刻表和编组策略的协同优化模型，以实现列车利用率、列车停站时间和乘客等待时间之间的平衡为目标求解优化策略，并根据最优解生成列车调度和编组方案；最后选取北京地铁亦庄线为线路仿真对象，结果表明该模型可以显著提高列车利用率，减少乘客候车时间，具备良好的应用前景。

Abstract

As the urbanization process continuously and rapidly develops in China, the capacity of existing train control systems has reached the system limit. To meet the increasing travel demand of the urban population, new technologies such as virtual coupling have become the development direction. To address the scheduling issues of virtual coupling trains, this paper proposed a scheduling optimization method for urban rail transit under virtual coupling formations. It established models for train operations and passenger flow changes and described the dynamic variations in train movement and passenger numbers. The paper introduced a collaborative optimization model for train timetables and formation strategies. By solving the optimization model, the paper obtained the train scheduling and virtual coupling formation plans to achieve a balance between train utilization, dwell times, and passenger waiting times. The simulation results based on Beijing Yizhuang Metro indicate that the proposed method can significantly improve train utilization and reduce passenger waiting times, which demonstrates future promising applications.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 列车控制系统 / 虚拟编组 / 列车调度 / 协同优化

Key words

Metro Rail Transit / Train Control System / Virtual Coupling / Train Scheduling / Cooperative Optimization

0　引言

城市轨道交通具有运能大、速度快的特点，作为解决城市交通问题的最佳方案之一，在疏解城市交通压力方面发挥了显著的作用^[1-2]。随着信息技术的发展，目前基于无线通信的列车控制系统(CBTC)得到了广泛应用。该系统通过无线通信实现了车地双向通信，大幅度提高列车区间通过能力^[3]。然而CBTC系统的性能已趋于饱和，而且现有CBTC系统受限于地面设备的布置，且列车运行方式不够灵活，无法有效应对潮汐客流，在一些特殊时间段内，城市轨道交通的运行仍存在潜在的安全隐患^[4]。例如，当车站客流过大时，站台空间内异常拥挤的人流对列车的正常运营带来严重的安全风险^[5]。现有的解决方案主要是限制进入站台的乘客数量、减缓乘客进站速度以及采取临时疏导措施，无法从根本上解决大客流量时段下乘客高度聚集的问题。

目前，基于虚拟编组的列车运行控制方式受到了越来越多的关注。与传统编组方法相比，虚拟编组的列车之间不再使用机械挂钩相连接，而是采用车-车无线通信技术的虚拟连挂方式，将多辆列车虚拟连挂运行。虚拟编组控制方式下，列车的运行调度方式将发生相应的改变，即根据乘客需求^[6]，求出站点停留时间、连续站点间运行时间以及列车间距和编组状态的最优解。适当的列车调度指挥能提高列车运行效率^[7]，并在客流高峰期尽可能地减少乘客的候车时间。列车调度问题作为轨道交通列车运行控制系统中的一个重要问题，既有文献已进行了深入研究。Wong等^[8]针对非周期时刻表的调度同步问题提出了一个混合整数规划优化模型，该模型最小化所有乘客的换乘等待时间，并根据客流的变化对列车的停留时间进行了相应的调整；该模型更加灵活且更加符合乘客的需求，同时也提高了城市轨道交通通行效率。Sun等^[9]提出了一种基于乘客需求的列车停留时间模型的地铁线路列车调度优化方法，在车头时距方程、乘客人数方程和列车停留时间方程的约束下，建立列车调度优化模型；在综合考虑乘客候车时间和列车利用率的情况下，得出最优调度方案。Yin等^[10]提出了线性规划模型，并将列车调度优化模型^[9]中的非线性问题转化为线性问题。Zhang等^[11］通过卡尔曼滤波方法校正采集的列车数据，利用运动学定理和最小二乘法进行滤波，获得高质量的列车运行数据，并引入列车误点数、列车跳停方式等概念^[12-14]来优化列车调度方案。

既有研究已经提出虚拟编组技术框架^[15-17]，然而对于虚拟编组下运行调度的技术细节还缺乏深入探讨。基于此，提出一种时刻表和编组策略的协同优化方法，以实现列车利用率和乘客等待时间之间的平衡，对列车运行调度进行优化，从而提高城市轨道交通运行效率，节约运行成本。以北京地铁亦庄线为研究对象，对所提出的列车运行调度方法进行分析，验证所提出优化调度方法的有效性。

1　列车运行与调度模型的建立

首先，建立列车运行过程的模型，用于描述车头时距和乘客人数的动态变化。然后采用二进制变量描述列车虚拟编组。基于现有条件，提出如下假设：①假设虚拟编组所使用的列车数最多为3列；②假设虚拟编组所使用的列车是默认情况下来自车站的列车；③假设该计划完成后列车将自动返回车站。

1.1　列车运行模型

列车运行图如图1所示，其描述了列车运行过程中相关参数的变化，O_{n，s}表示列车n在车站s-\mathrm{1}和车站s之间的运行时间，s；d_{n，s}表示当列车到达车站s时，列车n和列车n-\mathrm{1}的车间距，s；t_{n，s}表示列车n在s站的停留时间，s。假设列车在相邻2个车站之间的运行时间不变，则列车间距的动态变化可以表示为

d_{n，s+\mathrm{1}}=d_{n，s}+t_{n，s}-t_{n-\mathrm{1}，s}⑴

列车运行过程中，车上的乘客人数的动态变化可以表示为

p_{n，s}=p_{n，s-\mathrm{1}}+p{i}_{n，s}-p{n}_{n，s}⑵

式中：p_{n，s}表示n次列车离开s站时列车上的乘客人数，人；p{i}_{n，s}表示从s站进入n次列车的乘客人数，人；p{n}_{n，s}表示n次列车留在s站的乘客人数，人。

根据参考文献[18]，p{n}_{n，s}与n次列车到达s站时的乘客人数成正比，可以表示为

p{n}_{n，s}=r_{n，s}{p}_{n，s-\mathrm{1}}⑶

式中：r_{n，s}表示n次列车上从s站出发的乘客人数的比例，其值可根据历史乘客数据进行估计。

当n次列车离开s站时，进入站台的列车数量与在该站等待的人数呈负相关，该站等待人数的动态方程表示为

p{w}_{n，s}=p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s}-p{i}_{n，s}⑷

式中：p{w}_{n，s}表示在s站等待的乘客人数，人；a_{n，s}表示n-\mathrm{1}次列车到达后、n次列车到达s站前的乘客到达率；d_{n，s}{a}_{n，s}表示n次列车到达s站前进入站台的乘客人数，人。

特别是处于客流高峰时段，列车无法运载所有在站台等待的乘客，故在站台等待的人数p{w}_{n，s}通常大于0。

从s站进入n次列车的乘客数量与列车到达s站前在站台上等待的乘客人数和列车的剩余容量相关。其中站台上的等候人数为原有等候人数与后进入站台的乘客人数之和，即p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s}，而n次列车的剩余容量是列车的最大容量C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}与处于虚拟编组中的所有列车的乘客容纳量(\mathrm{1}-r_{n，s})p_{n，s-\mathrm{1}}的差。{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}是列车的虚拟编组指数。在s站进入n次列车的乘客人数表示为

p{i}_{n，s}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s}, \left[\mathrm{1}+{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right]\left[C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left[\mathrm{1}-r_{n，s}\right]p_{n，s-\mathrm{1}}\right]\right\}⑸

具体来说，从s站进入n次列车的乘客人数是列车到达s站之前在站台上等待的乘客人数和列车的剩余容量中的最小值。

根据公式⑴至公式⑸，列车上的乘客人数和站台上的等待人数可分别表示为

p{w}_{n，s}=p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s}-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s},\left[\mathrm{1}+{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right]\left[C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left[\mathrm{1}-r_{n，s}\right]p_{n，s-\mathrm{1}}\right]\right\}⑹

p_{n，s}=\left(\mathrm{1}-r_{n，s}\right)p_{n，s-\mathrm{1}}+\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{p{w}_{n-\mathrm{1}，s}+d_{n，s}{a}_{n，s},\left[\mathrm{1}+{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right]\left[C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left[\mathrm{1}-r_{n，s}\right]p_{n，s-\mathrm{1}}\right]\right\}⑺

特殊情况下p_{n，\mathrm{0}}=\mathrm{0}且p{w}_{\mathrm{0}，s}=\mathrm{0}。

公式⑴、公式⑵分别给出了列车车头时距和乘客人数的动态变化方程，公式⑶、公式⑷、公式⑸描述了列车上下车人数的变化。其中p{w}_{n，s}，p_{n，s}，r_{n，s}和a_{n，s}是系统的状态变量，d_{\mathrm{1}，s}和t_{n，s}是决策变量，并且d_{\mathrm{1}，s}和t_{n,s}由协同优化模型的优化结果决定。

1.2　基于虚拟编组的列车控制

基于虚拟编组的列车运行示意图如图2所示。图2中的线路上共有\mathrm{2}S个车站，起点站为\mathrm{1}号站，终点站为S号站。该线路上的列车根据实际需求，可自行解编或重联。假设列车在车站内进行虚拟重联，前车到站后等待后车进站，在站内进行重联后以虚拟编组状态发车。若线路客流较小，虚拟编组列车可通过前车加速、后车减速的形式在站间解编，切换为快慢车运行方式。到达终点站后，列车可以通过道岔转入上行线路运行，最终返回\mathrm{2}S号站。当到达\mathrm{2}S号站时，列车将面临虚拟编组或者返回站台。对于已编组的列车，需要决定是否解编或以当前编组状态继续执行下一个服务。如果目前处于客流高峰时段，单组列车将会在站台进行重联，即与下一列车形成虚拟编组。虚拟编组列车继续从\mathrm{1}号站出发，直到返回\mathrm{2}S号站。

如果n次列车在另一列n^{\mathrm{\text{'}}}次列车之后执行服务，那么n次列车和n^{\mathrm{\text{'}}}次列车之间的编组状态可以用{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\left(n^{\mathrm{\text{'}}}>n\right)来表示

{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}\mathrm{列车}\mathrm{n}\mathrm{和}{n}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{不在}\mathrm{虚拟}\mathrm{编组}\mathrm{内}\\ \mathrm{1}\mathrm{列车}\mathrm{n}\mathrm{和}{n}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{在虚}\mathrm{拟编}\mathrm{组内}\end{array}\right.⑻

n^{\mathrm{\text{'}}}次列车的到达时间和n次列车的发车时间符合以下限制条件。

\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}}，\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n，\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n，s}\right]\le O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{turn}+N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)⑼

\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}}，\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n，\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n，s}\right]\ge O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{turn}-N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)⑽

式中：O_{n，s}表示n次列车从s-\mathrm{1}站到s站的运行时间，s；\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}}，\mathrm{1}}表示n^{\mathrm{\text{'}}}次列车到达\mathrm{1}站的时间，s；\sum _n{d}_{n，\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n，s}表示当{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}为\mathrm{1}时，n次列车执行服务后的发车时间，s；\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}},\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n,s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n,s}\right]表示n^{\mathrm{\text{'}}}次列车的运转时间，s，且O_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{turn}和O_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{turn}表示运转时间的上下界。

假设列车总数量固定为M，且线路上的初始列车数量为N_{train}，则虚拟编组所使用的列车数量必须满足可用列车数量，其定义为

N_{train}+\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}>n}\left({\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}+\mathrm{1}\right){\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\le M⑾

式中：二进制变量{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}表示当n^{\mathrm{\text{'}}}次列车进入线路且n次列车处于虚拟编组状态时，n^{\mathrm{\text{'}}}次列车的出发时间是否合理。

{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}的定义为

{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}\sum _n{d}_{n,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n,s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n,s}+t_{in}\le \sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}},\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}\mathrm{其他}\end{array}\right.⑿

式中：t_{in}表示n次列车进站所需要的时间，s。

公式⑿方程左侧表示n次列车在线路上运行1个周期所花费的时间，右侧表示n次列车的合理发车时间。如果方程满足条件，则列车的发车时间是合理的，即{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}=\mathrm{1}，否则{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}=\mathrm{0}。

2　模型优化及求解方法

2.1　优化模型

模型的优化目标侧重于列车利用率和乘客出行体验2个方面。首先，为了提高列车运行过程中的车厢的满载率，需要对列车编组指标进行最大化可表示为

⒀

式中：K₁为列车的编组指标。

其次，客流量会因高峰时段的乘客人数变化而发生很大波动。因此，优化目标需保证在不同乘客到达率下，减少乘客的旅行时间，包括乘车时间和候车时间，可表示为

K_{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}⒁

K_{\mathrm{3}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^M}{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{a}_{n，s}{d}_{n，s}⒂

式中：K₂为乘客的乘车时间；K₃为乘客的候车时间。

综上所述，列车时刻表的优化模型可以表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}K={\gamma }_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{K}_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{K}_{\mathrm{3}}⒃

式中：{\gamma }_{\mathrm{1}}，{\gamma }_{\mathrm{2}}和{\gamma }_{\mathrm{3}}为权重系数，且{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}。

约束条件可表示为

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{d}_{n,s+\mathrm{1}}=d_{n,s}+t_{n,s}-t_{n-\mathrm{1},s}\\ p{w}_{n,s}=p{w}_{n-\mathrm{1},s}+d_{n,s}{a}_{n,s}-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{p{w}_{n-\mathrm{1},s}+d_{n,s}{a}_{n,s},\left[\mathrm{1}+{\delta }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}\right]\left[C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left[\mathrm{1}-r_{n,s}\right]p_{n,s-\mathrm{1}}\right]\right\}\\ p_{n,s}=\left(\mathrm{1}-r_{n,s}\right)p_{n,s-\mathrm{1}}+\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{p{w}_{n-\mathrm{1},s}+d_{n,s}{a}_{n,s},\left[\mathrm{1}+{\delta }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}\right]\left[C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left[\mathrm{1}-r_{n,s}\right]p_{n,s-\mathrm{1}}\right]\right\}\\ \sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}},\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n,s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n,s}\right]\le O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{turn}+N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)\\ \sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}},\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n,s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n,s}\right]\ge O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{turn}-N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)\\ N_{train}+\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}>n}\left({\delta }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}+\mathrm{1}\right){\phi }_{n,n^{\mathrm{\text{'}}}}\le M\\ \mathrm{0}\le p{w}_{n,s}\le p{w}_{n,s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ t_{n,s}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le t_{n,s}\le t_{n,s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ d_{n,s}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le d_{n,s}\le d_{n,s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right.⒄

2.2　模型转换和求解

协同优化模型包含整数变量、连续变量和二元变量。该模型的目标函数是线性的，约束条件中包含非线性约束，需要将约束条件中的非线性公式转化为线性约束再利用商业求解器进行求解。要将进入列车的乘客人数p{i}_{n，s}、列车上原有的乘客人数p{w}_{n，s}和站台上等待的乘客人数p_{n，s}等非线性约束条件转化为线性约束条件，需要遵循以下3个性质。

（1）连续变量f\left(x\right)\le \mathrm{0}等价于逻辑变量k=\mathrm{1}，需要遵循以下约束条件。

\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left(\mathrm{1}-k\right)\\ f\left(x\right)\ge \mathrm{0.01}+\left(f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-\mathrm{0.01}\right)k\end{array}\right.⒅

其中f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{=}_{x\in R^n}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f\left(x\right)，f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{=}_{x\in R^n}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f\left(x\right)。

（2）设辅助变量y=kf\left(x\right)，遵循以下约束条件。

\left\{\begin{array}{l}y\le k{f}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ y\ge k{f}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ y\le f\left(x\right)-\left(\mathrm{1}-k\right)f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ y\ge f\left(x\right)-\left(\mathrm{1}-k\right)f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right.⒆

（3）设辅助逻辑变量k_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}，遵循以下约束条件。

\left\{\begin{array}{l}-k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{0}\\ -k_{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{0}\\ k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}-k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{1}\end{array}\right.⒇

基于以上线性化方法对原优化模型进行转化后的协同优化模型为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}K={\gamma }_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{K}_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{K}_{\mathrm{3}}

约束条件为

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left(\mathrm{1}-k\right)\\ f\left(x\right)\ge \mathrm{0.01}+\left(f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-\mathrm{0.01}\right)k\\ y\le k{f}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ y\ge k{f}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ y\le f\left(x\right)-\left(\mathrm{1}-k\right)f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ y\ge f\left(x\right)-\left(\mathrm{1}-k\right)f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ -k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{0}\\ -k_{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{0}\\ k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}-k_{\mathrm{3}}\le \mathrm{1}\\ d_{n，s+\mathrm{1}}=d_{n，s}+t_{n，s}-t_{n-\mathrm{1}，s}\\ f=\left[C_{max}-\left[\mathrm{1}-r_{n，s}\right]p_{n，s-\mathrm{1}}-p{w}_{n-\mathrm{1}，s}-d_{n，s}{a}_{n，s}\right]\\ p{w}_{n，s}=-y\\ p_{n，s}=C_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-f+y\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}}，\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n，\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n，s}\right]\le O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{turn}+N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)\\ \sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}}{d}_{n^{\mathrm{\text{'}}}，\mathrm{1}}-\left[\sum _n{d}_{n，\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S}}{t}_{n，s}+{\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}S-\mathrm{1}}}{O}_{n，s}\right]\ge O_{\mathrm{1} \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{turn}-N\left(\mathrm{1}-{\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)\\ k_{\mathrm{1}}={\delta }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\\ k_{\mathrm{2}}={\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\\ N_{train}+\sum _{n^{\mathrm{\text{'}}}>n}\left(k_{\mathrm{3}}+{\phi }_{n，n^{\mathrm{\text{'}}}}\right)\le M\\ \mathrm{0}\le p{w}_{n，s}\le p{w}_{n，s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ t_{n，s}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le t_{n，s}\le t_{n，s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ d_{n，s}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le d_{n，s}\le d_{n，s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right.

由公式 和公式 可以得出，目标函数和约束条件均为线性，设计模型求解流程如图3所示。

3　数值仿真

以北京地铁亦庄线为研究对象，通过数值实验证明上述优化模型的有效性。北京地铁亦庄线是一条有14个车站的通勤线路，从宋家庄到次渠为上行方向，从次渠到宋家庄为下行方向。研究时间为6：00—8：30的高峰时间，共有16列在运列车。以列车编组指标最大化、列车停站时间及乘客候车时间最小化为优化目标，建立优化模型公式⒃和线性约束条件公式22，利用规划求解器工具箱求解，进而完成对北京地铁亦庄线虚拟编组运行的优化。模型参数表如表1所示。

列车停站时间表如图4所示，为进行虚拟编组后，16列列车在各站台停留的时间。从图4中可以看出，列车运行到4号、13号站台时停留时间开始增加，在5号、13号和14号站台的停留时间达到顶峰，是因为以上站点紧邻人口密集的居民区，虚拟编组后在早高峰时段承运了更多的乘客流量。虽然早高峰时段各列车的停留时间仍然较长，但与固定的停留时间相比，一定程度上提高了城市轨道交通列车的运行效率，减少了乘客的等待时间。

列车行车时刻表如图5所示。结合图4和图5进行分析，可以发现列车在4号站台停留的时间开始增加，其对应时刻为7：00左右，此时列车在上行线路上停留了更长时间，客流也更密集。如果不进行虚拟编组，就会因站台上等待的乘客和列车上承载的乘客数量过多而产生潜在的安全隐患。经过虚拟编组优化后，列车1与列车13进行虚拟编组来执行列车13服务，列车2和列车14进行虚拟编组来执行列车14服务，以此来增加列车的承载能力，在减少高峰期乘客的候车时间的同时，也减少了站台滞留乘客的数量。

列车到达前，站台上乘客候车时间表如图6所示，通过求解优化模型公式⒃中乘客候车时间K_{\mathrm{3}}得到。在列车运行和往返过程中，乘客的候车时间不断变化，但均相对较短。可以看出，相对调整前，虚拟编组已极大地节省了乘客的候车时间。

虚拟编组后的列车间距如图7所示。从图7中可以看出经过虚拟编组优化后，16列在运列车彼此间的追踪间隔会根据客流的动态变化而调整，从而有效地缓解高峰时期客流压力，并在客流低峰期节约运力。在传统的列车调度方案中，列车发车间隔时间及列车间距是根据历史客运量确定的一个固定值。虚拟编组前的列车间距固定为390 s，虚拟编组后的相邻列车间距最小为180 s，平均间距为347 s，其列车运行效率提高了11.03%。

由以上分析可以发现，与传统的列车调度方案相比，虚拟编组后的列车可以有效地应对潮汐客流。通过虚拟编组可以有效地提高列车的运行效率、减少乘客的候车时间，且通过制备非平衡的列车调度表可以实现运营方和乘客利益的协同优化。

4　结束语

面向虚拟编组的城市轨道交通运行优化调度方法，在充分考虑车头时距和乘客人数动态变化情况下，构建列车运行控制模型，采用协同优化模型获取列车停留时间、乘客候车时间、列车利用率3类指标，能有效反映高峰时段客流时空分布特征，提出的基于虚拟编组的列车优化调度方法可以合理地解决列车运行和停留时间的安排问题。数值仿真实验中，协同优化模型与不均衡列车优化调度方法适用于北京亦庄线通勤线路，模拟运行结果表明，该模型能合理地安排停留时间、协调运力，进而提高列车利用率，减少乘客候车时间。

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基金资助

北京市自然科学基金项目(L201006)