高速铁路网络协同发展对城市群空间重构的分形研究

Fractal Study on Spatial Reconstruction of Urban Agglomerations under the Coordinated Development of High Speed Railway Networks

摘要

高速铁路的建设发展，带动了城市群的协同发展与空间格局转变。为探索高速铁路网络协同发展对城市群空间结构的影响，基于分形理论，运用盒子维数和长度-半径维数描述高速铁路网络的覆盖均匀度与复杂程度，将豪斯多夫维数与齐夫定律相结合分析城市群规模序列结构，通过关联维数和集聚维数分析城市群空间结构相关性和集聚性。以高速铁路网络发展较为完善的5个城市群为例，比较分析高速铁路开通前后其空间结构的演变。结果表明，高速铁路网络覆盖均匀度不高，部分地区通达性良好，高速铁路建成后，辽中南等城市群的可达性明显得到改善，城市之间联络更加紧密，高速铁路的经济效应促进了城市群协同发展；关中平原等城市群呈现出集聚分布的趋势，因此应加强以高速铁路为基础、城际铁路为辅的快速交通系统建设。

Abstract

The construction and development of high speed railways have driven the coordinated development and spatial pattern transformation of urban agglomerations. To explore the impact of the coordinated development of high speed railway networks on the spatial structure of urban agglomerations, based on fractal theory, this paper utilized the box dimension and length-radius dimension to describe the coverage uniformity and complexity of high speed railway networks. The Hausdorff dimension was combined with Zipf's law to analyze the size sequence structure of urban agglomerations. The correlation dimension and aggregation dimension were used to analyze the spatial structure relevance and aggregation of urban agglomerations. Taking five urban agglomerations with well-developed high speed railway networks as examples, this paper compared and analyzed the evolution of their spatial structure before and after the introduction of high speed railways. The results show that the coverage uniformity of the high speed railway network is not high, and some areas have good accessibility. After the completion of the high speed railway, the accessibility of urban agglomerations such as the Liaozhongnan city group has been significantly improved, and the connections between cities have become closer. The economic effects of high speed railways have promoted the coordinated development of urban agglomerations. Urban agglomerations such as the Guanzhong plain city group show a trend towards agglomeration distribution. Therefore, it is necessary to strengthen the construction of a rapid transportation system based on high speed railways and supplemented by intercity railways.

Graphical abstract

关键词

分形理论 / 高速铁路 / 协同发展 / 城市群 / 空间结构

Key words

Fractal Theory / High Speed Railway / Coordinated Development / Urban Agglomeration / Spatial Structure

0　引言

高速铁路发展推动了城市群协同发展，并对沿线城市群空间结构产生了深远影响。我国城市群协同发展虽成果显著，但仍存在人口、产业等资源分配不均衡的问题。高速铁路促进人口流动、商业互通、文化传播，有助于城市群协同发展。同时，高速铁路压缩城市间交通时间与空间距离，促进经济轴带形成，使空间格局更合理、资源更均衡，从而实现城市群一体化发展^[1]。

有关高速铁路的研究主要集中在经济效应^[2]、可达性^[3]、区域旅游空间等城市空间格局方面^[4-6]。我国已构建全球最大高速铁路网络，其空间分布特性逐渐成为研究热点^[7]。随着《中长期铁路网规划》的提出、实施与调整，高速铁路网络空间分布特征将会变得更复杂，影响城市群空间结构。鉴于此，有必要对高速铁路网络进行合理化研究和规划。

分形几何概念^[8]可以描述复杂的、非线性的、不规律的事物与现象，被广泛应用于地理、建筑形态、道路结构等空间现象研究^[9-10]。分形理论认为城市群发展受到内部自然规律和外部人为建设影响，会受到自相似性分形能力驱使，运用分形理论规划城市群等级结构能够优化区域城市化进程。分形维数能够有效描述城市群空间结构的分形特征和发展态势，刻画城市群集中程度与交通系统建设完善程度^[11]。研究发现铁路网络呈现树枝状分形结构^[12]，分形理论能够较合理解释不同区域铁路网络的空间差异^[13-14]。然而，分形理论对高速铁路网络形态的研究确有不足。此外，有研究指出用时间距离代替空间距离研究城市群空间结构的分形特征更合理^[15]。

借助分形理论，采用盒子维数描述高速铁路网络覆盖均匀度，采用长度-半径维数从多半径、多方向角度反映高速铁路网络复杂程度，综合评价网络规模和结构特征，研究高速铁路网络规模和经济协同发展。结合齐夫定律和豪斯多夫维数理论，测算城市群等级规模结构。采用有无高速铁路城市群的指标探讨不同形态的高速铁路网络是否对城市群空间重构产生影响，利用关联维数和聚集维数，分析高速铁路开通前后城市群的空间凝聚力、空间相关性和城市群空间结构的变化，最后探讨高速铁路网络协同发展对城市群空间结构的影响，以期为推动城市群协同发展和高速铁路网络规划建设提供参考。

1　研究方法与数据来源

1.1　高速铁路网络通达性

1.1.1　盒子维数

用边长l的正方形覆盖被测物体，所需最少正方形数为N_l，二者关系为

N_l\propto l^{D_{\mathrm{盒}}}⑴

式中：D_{\mathrm{盒}}为盒子维数，描述高速铁路网络覆盖均匀度^[16]。

D_{\mathrm{盒}}越大，高速铁路网络串过的正方形边数越多，相似程度越高，高速铁路网络覆盖均匀度越高。当D_{\mathrm{盒}}=\mathrm{2}时，具有完全自相似性。D_{\mathrm{盒}}可转化为

D_{\mathrm{盒}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}{N}_l}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{1}}{l}\right)}=-\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}{N}_l}{\mathrm{l}\mathrm{n}l}⑵

1.1.2　长度-半径维数

设某一区域有高速铁路网络分布，以枢纽中心为圆心，取半径r画圆，形成等宽同心圆环带，并等分为n个扇形，则有以下关系为

L_{i，r}=\delta r^{D_{i，r}}⑶

式中：L_{i，r}为研究半径为r时第i个扇形内高速铁路网络总长度，km；\delta为系数；D_{i，r}为长度-半径维数^[17]。当时，高速铁路网络复杂度从枢纽中心向周边地区递减；当D_{i，r}=\mathrm{2}时，高速铁路网络复杂度从枢纽中心到周边地区几乎一致；当D_{i，r}>\mathrm{2}时，高速铁路网络复杂度从枢纽中心向周边地区递增。

D_{i，r}可以转化为

D_{i，r}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{L_{i，r}}{\delta }\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}r}⑷

1.1.3　高速铁路规模与经济协同发展

将基于分形理论创建的运输系统规模与经济之间的模型^[18]，运用至高速铁路规模与经济协调性。两者关系为

y_t=a{L_t}^b⑸

式中：L_t为高速铁路线路长度，km；y_t为GDP，万元；a为系数；b为广义分形维数。当b=\mathrm{1}时，表明高速铁路线路长度与GDP变化一致；当b>\mathrm{1}时，表明GDP比高速铁路线路长度的增长速率大；当时，表明GDP比高速铁路线路长度的增长速率小。

公式⑸可以转化为

\mathrm{l}\mathrm{n}{y}_t=\mathrm{l}\mathrm{n}a+b\mathrm{l}\mathrm{n}{L}_t⑹

1.2　城市群规模序列结构

城市系统的等级规模结构具有分形特征，确定城市系统等级规模结构最基本的方法是豪斯多夫维数。在既往研究中，通常将豪斯多夫维数与齐夫定律相结合^[15]，为便于收集数据和计算，一般情况下选择城市人口作为指标。齐夫定律的公式为

P\left(k\right)=P\left(\mathrm{1}\right)k^{-q}⑺

式中：k为城市序列；P\left(k\right)为城市人口，万人；P\left(\mathrm{1}\right)为主要城市人口，万人；q为齐夫维数，研究证明D_{\mathrm{豪}}=\mathrm{1}/q，D_{\mathrm{豪}}为豪斯多夫维数，即规模-序列分维数。若D_{\mathrm{豪}}>\mathrm{1}，说明城市人口分布均匀，中等城市数量较多，城市规模分布集中；若，表明城市人口分布不均，初级城市处于明显的垄断地位，城市规模分布分散；D_{\mathrm{豪}}=\mathrm{1}为理想情况，此处不做讨论。

公式⑺可以转化为

\mathrm{l}\mathrm{n}P\left(k\right)=\mathrm{l}\mathrm{n}P\left(\mathrm{1}\right)-q\mathrm{l}\mathrm{n}k⑻

1.3　城市群空间结构

1.3.1　旅途时间距离

旅途时间距离的计算以铁路为主，公路为辅^[15]。航空更适用于远距离旅途，因此不作考虑，求解公式为

t_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{\alpha \times \beta }⑼

t_{\mathrm{2}}=\sqrt[\mathrm{3}]{\alpha \times \beta \times \gamma }⑽

式中：t_{\mathrm{1}}为无高速铁路情况下的旅途时间距离，min；t_{\mathrm{2}}为有高速铁路情况下的旅途时间距离，min；\alpha，\beta，\gamma分别为公路、普通铁路和高速铁路的旅途时间，min。

当2个城市有直达铁路时，铁路旅途时间取上下行最短旅途时间的平均值。当2个城市没有直达交通方式时，采用最近的中转节点旅途时间加上中转节点到目的地旅途时间。

1.3.2　关联维数

关联维数可以模拟城市群中重要节点之间的关联特征，具体形式为

C\left(r\right)=\frac{\mathrm{1}}{N^{\mathrm{2}}}{\displaystyle \sum _i^N}{\displaystyle \sum _j^N}H\left(r-d_{ij}\right)i\ne j⑾

H\left(r-d_{ij}\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1}{d}_{ij}\le r\\ \mathrm{0}{d}_{ij}>r\end{array}\right.⑿

式中：C\left(r\right)为中心城市半径r的圆周范围内存在城市的概率；N为城市群中的城市数；H为越阶函数；d_{ij}为节点城市之间的距离。当d_{ij}表示欧氏距离时，km，关联维数D_{\mathrm{关}}表示城市系统的空间分布情况；当d_{ij}表示时间距离时，min，关联维数D_{\mathrm{关}}表示城市群内部交通网络的通达性，一般有D_{\mathrm{关}}\in [\mathrm{0,2}]。D_{\mathrm{关}}值越小，城市空间分布越集中，城市间相关性越强；D_{\mathrm{关}}值越大，城市空间分布越分散，城市间相关性越弱；D_{\mathrm{关}}趋于0，城市空间分布高度集中于中心城市；D_{\mathrm{关}}趋于2，城市空间分布均匀。

若满足C\left(r\right)和r之间的关系，系统的分形特征为

\mathrm{l}\mathrm{n}C\left(r\right)=A+D_{\mathrm{关}}\mathrm{l}\mathrm{n}r⒀

1.3.3　集聚维数

假设在城市群中其他城市以某种自相似的性质分布在中心城市附近，且城市群在每个方向下的集聚变化情况均匀，半径r的圆周范围内城市数目S与半径r的关系为

S\propto r^{D_{\mathrm{集}}}⒁

r可转化为平均半径为

R_s\equiv 〈{\left(\frac{\mathrm{1}}{S}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^s}{r}_i^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}〉⒂

式中：R_s为平均半径，km；r_i为城市i与中心城市之间的距离，km；〈〉为求平均值；D_{\mathrm{集}}为集聚维数。当D_{\mathrm{集}}>\mathrm{2}，反映城市群的分布像漏斗一样离散分布，密度从外围向市中心递减；当，反映城市群的分布为从中心城市向外呈现逐渐减少的趋势，城市群分布为集中状态；当D_{\mathrm{集}}=\mathrm{2}，则说明城市群分布均匀。

公式⒁可以转化为

D_{\mathrm{集}}=-\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}S}{\mathrm{l}\mathrm{n}{R}_s}⒃

1.4　数据来源

选择2011—2020年作为研究时限。各地区的生产总值和常住人口来自于统计年鉴。旅途时间来源于铁路12306平台与高德地图。研究的高速铁路网络以我国主骨架高速铁路网络为基础(运营速度250 km/h以上)，城际铁路线路(运营速度为200~249 km/h)和动力集中型动车组线路(运营速度低于200 km/h)为补充。高速铁路网络数据来源于开放街道地图与动车组列车运营线网图。

2　实例分析

2.1　高速铁路网络通达性分析

2.1.1　高速铁路网络覆盖均匀度计算分析

运用公式⑵计算全国高速铁路网络覆盖均匀度。用边长l分别为5 km，10 km，…，50 km的正方形切割高速铁路网络，统计对应的N_l值，盒子维数测算过程如表1所示。用最小二乘法拟合［lnl，lnN_l］双对数序列，拟合直线斜率即盒子维数为1.125 2，拟合优度R²=0.999 7。

由结果可知高速铁路网络具有明显分形性质，但该维数仅为1.125 2，距离D_{\mathrm{盒}}=2的完全自相似性情况相差甚远。部分地区由于地形地貌、交通需求等特殊原因不适合建设高速铁路，测算时正方形内没有高速铁路网络通过，还需要运用长度-半径维数进一步研究。

2.1.2　高速铁路网络复杂度计算分析

运用公式⑷通过多半径、多方向的思想^[17]，测算高速铁路网络复杂度。以目前高速铁路网络发展较完善的郑州为中心画圆，半径r分别为100 km，300 km，…，1 900 km，按东、南、西、北、东北、东南、西北、西南方向做扇形，高速铁路网络半径、方向划分图如图1所示。统计不同半径内高速铁路网络的长度L_{i，r}，并拟合[\mathrm{l}\mathrm{n}r，\mathrm{l}\mathrm{n}{L}_{i，r}]双对数序列，选择无标度区，计算长度-半径维数，长度-半径维数测算结果如表2所示。

由表2可知，长度-半径维数大多处在[1，2]之间，仅有少数大于2，说明全国高速铁路网络具有明显的分形性质。不同方向、不同半径下高速铁路网络复杂度有所不同。随着研究半径增加，各方向长度-半径维数逐渐减小，说明高速铁路网络复杂度逐渐降低。r为900 km时，各方向分形维数大于1，分形性质较为显著。r为1 500 km时，各方向分形维数虽大于1，但分形性质有所减小。r为1 900 km时，分形性质明显减弱，一些方向分形维数甚至小于1，造成这种现象的原因为该方向下高速铁路网络覆盖度不高；该研究半径下部分方向超出国界线；在交通需求少或地形地貌复杂地区几乎不存在高速铁路网络。

在同一研究半径下，不同方向下各个城市的发展情况不同，高速铁路网络分布不同，长度-半径维数则不同。r为900 km时，东北和东南方向的长度-半径维数大于2，其次是东方向，说明这3个方向对应区域(即东南沿海地区)的高速铁路网络复杂度比其他方向更高。这无疑对东南沿海地区的城市交通负担能力提出了更高要求，此类地区普遍面临干线过饱和、城市间联通不够的交通困境。应加速高速铁路干线建设，突破行政界限壁垒，增强城市群协同发展和区域综合竞争力。

2.1.3　高速铁路网络规模与经济发展协同计算分析

运用公式⑹计算2011—2020年的\mathrm{l}\mathrm{n}{y}_t和\mathrm{l}\mathrm{n}{L}_t值，\mathrm{l}\mathrm{n}{y}_t和\mathrm{l}\mathrm{n}{L}_t拟合情况如图2所示。

图2a拟合情况看到明显分段，因而采用分段拟合提高拟合优度，如图2b所示，将第5个点作为分界点，可以看出拟合优度大大提升，前后两段分形维数分别为3.494和1.366，前半段分形维数大于后半段。这种分段现象主要是因为随着高速铁路网络建设越来越完善，弱化了对经济的向前诱发趋势及向后波及趋势，亦即弱化了高速铁路网络建成对各行业发展和经济发展的带动作用。即便高速铁路网络尚未建设完善，也推动了经济发展，但当其达到一定程度时，对经济刺激作用显现出“登门槛效应”。当高速铁路网络建设达到一定程度时，将更加弱化其对GDP的影响。

2.2　城市群规模序列结构分析

选取高速铁路网络建设较为完善的关中平原城市群、中原城市群、武汉城市圈、山东半岛城市群、辽中南城市群为例，利用公式⑻对2011—2020年5个城市群的常住人口数进行双对数线性回归拟合，并总结出各城市群的规模-序列分维数变化趋势如图3所示。

从图3看出，关中平原、中原、山东半岛、辽中南城市群的规模-序列分维数10年间不断变化，且始终大于1，呈现典型的等级规模空间结构，而且关中平原、中原、辽中南城市群的分维数趋于理想值1。大西高速铁路(大同南—西安北)太原—西安段建成运营2年后，即2016年，关中平原城市群的分维数显著下降，2017年宝兰高速铁路(宝鸡南—兰州西)、西成高速铁路(西安北—成都东)开通，关中平原城市群的分维数持续下降且趋于1。山东半岛城市群分维数与理想值1差距较大，其中心城市凝聚力较小；2019年山东半岛城市群分维数出现陡增是由于，日兰高速铁路(日照—兰考)日曲段(日照西—曲阜东)建成运营，该路段是我国“八纵八横”高速铁路网的重要联络线。线路东端通过日照西站连接青岛至盐城铁路，西端通过曲阜东站连接京沪高速铁路(北京南—上海虹桥)，使得山东省内形成高速铁路环形客运通道，且将革命老区和贫困地区接入全国高速铁路网，极大便利了山东省周边城市人民出行。武汉城市圈的分维数呈现逐渐减小的趋势，但小于理想值1，表明各城市人口差异大，城市分布分散，呈现“首位度”的空间结构，武汉市的中心地位较强。应加强中小城市间高速铁路通道建设，促进资源流向中等城市，培育区域二级中心城市分担中心城市职责。

规模-序列分维数平均数可以阐明规模序列结构变化的总趋势，10年间平均数逐渐减小，大于1但趋于1，说明高速铁路开通后城市群整体空间结构趋于分散化，初级城市的人口增长率大于中小城市，空间结构的分形特征逐渐减弱，也意味着高速铁路网络的叠加改变了原有交通网络的分形特征。

2.3　城市群空间结构分析

2.3.1　相关性分析

为比较有无高速铁路条件下5个城市群空间结构相关性的变化，使用公式⑼和公式⑽计算高速铁路开通前后各城市群内部旅途时间距离，以关中平原城市群为例，关中平原城市群的旅途时间距离矩阵如表3所示，其中上、下三角矩阵分别对应高速铁路开通前、后旅途时间距离。

由表3可知，高速铁路开通后城市间旅途时间距离明显减少。计算时补全上、下矩阵，运用公式⒀测算关联维数，5个城市群lnC(r)和lnr拟合情况如图4所示。

由图4可知，高速铁路开通后5个城市群的关联维数分别由0.82，0.942 2，0.913 6，0.995 9，0.675，变为0.657 8，0.678，0.732 7，0.902 3，0.234 2，关联维数均变小，意味着城市群内部空间结构分布较以往更为集中，高速铁路网络通达性提高，中心城市与周边城市的关联性提高，表明在高速铁路建成后城市群空间结构的相关性分形特征有所改变。

2.3.2　集聚性分析

为比较有无高速铁路条件下5个城市群空间结构集聚性的变化，运用公式⒃测算集聚维数，5个城市群lnR_S 和lnS拟合情况如图5所示。

由图5可知，高速铁路开通后关中平原城市群、中原城市群、武汉城市圈的集聚维数分别由1.533 9，0.665，0.526，变小为1.472 2，0.426 8，0.447，表明这3个城市群中心城市的辐射能力增强，沿中心城市的空间分布密度逐渐减小，集聚程度逐渐增大；山东半岛城市群、辽中南城市群的集聚维数分别由0.873 2、0.670 8，增大为1.047 3、0.889 3，表明这2个城市群沿中心城市的空间分布密度逐渐增大。应以辽中南和山东半岛城市群为参照调整经济结构和空间布局，加快建设以有高速铁路城市为基础的城际铁路网，提升中心城市与周边城市联络密度，例如加强西安与陕北地区的高速铁路通道建设。

3　结束语

通过高速铁路网络协同发展对城市群空间重构的分形研究，得出高速铁路网络整体覆盖均匀度不高，不同方向复杂程度也有所不同，并非所有城市群空间结构都符合等级规模类型。高速铁路的开通提高了城市群内部关联度，高速铁路网络通达性得到提高，但部分城市群的集聚程度不均匀。城市群应承担起协同发展责任，优化规划布局，向西北腹地转移交通压力，构建完善的网络，提升运输通勤效率和服务质量，解决经济发展不均衡问题，实现城市群间协同发展和共同富裕。促进有高速铁路城市与无高速铁路城市间优秀产业交流合作，加快形成以高速铁路为纽带的城市群新格局。未来，还可以研究分形维数在区域上呈现的差异性与城市群空间格局演变之间的互动关系。

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基金资助

国家社会科学基金一般项目(15BJY037)

国家社会科学基金青年项目(14CJY052)

甘肃省教育厅“双一流”科研重点项目(GSSYLXM-04)

甘肃省哲学社会科学规划项目(2021YB058)

甘肃高等学校产业支撑计划项目(2021CYZC-60)

甘肃省重点研发计划项目(21YF5GA052)