基于鲁棒软时间窗和箱种代用的铁路集装箱空箱调运优化

Optimization of Railway Empty Container Allocation Based on Robust Soft Time Window and Container Type Substitution

摘要

传统的空箱调运问题多是研究箱种之间的彼此独立性，而忽略实际运输中箱种代用的情况，针对这一普遍现象，同时考虑需求站对集装箱空箱到达有时间窗约束，以及运输走行时间不确定性会对时间窗产生影响，建立了鲁棒软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型。首先，依据走行时间不确定性特点，建立鲁棒软时间窗模型；其次，通过等价变换和对偶变换，将鲁棒软时间窗模型转换为线性规划模型，简化了模型；最后，将集装箱调运模型转换为一般的整数线性规划模型，使模型更易于求解。研究结果表明，将箱种代用引入模型，有效地配置了空箱调运，提高了运输效率，降低了运输成本；对不确定走行时间p的个数进行灵敏度分析，结果表明箱种代用和不代用情况下p都存在一个较小的上界。

Abstract

The study of traditional empty container allocation deals with more the independence between the types of containers, while ignoring the container type substitution in the actual transportation. In response to this common practice, considering time window constraints of the demand stations on empty container arrival, the impact of uncertain transportation time on the time window, the empty container allocation model under robust soft time window and container type substitution was established. Firstly, robust soft time window model was established by reference to travel time uncertainty. Secondly, the robust soft time window model was transformed into a linear programming model through equivalent transformation and dual transformation, which has simplified the model. Finally, the container allocation model was transformed into a general integer linear programming model to make the model easier to solve. The research results show that the introduction of container substitution into the model effectively configures the empty container transportation, ensuring more efficient transportation at lower transportation cost. The sensitivity analysis of the number of uncertain travel time p shows that there is a small upper bound for p in the case of container substitution and non-substitution.

Graphical abstract

关键词

空箱调运 / 箱种代用 / 鲁棒软时间窗 / 整数线性规划 / 不确定走行时间

Key words

Empty Container Allocation / Container Type Substitution / Robust Soft Time Window / Integer Linear Programming / Uncertain Transportation Time

0　引言

集装箱运输已经成为全球运输的重要组成部分，并在“一带一路”倡议下获得新的潜力，其发展将影响集装箱运输从海上到铁路路线的重大转变^[1]。鉴于区域之间的贸易不均衡以及我国区域经济的不平衡，造成了集装箱办理站空箱数量分布不均衡，进而产生了大量的空箱调运，2021年《中国统计年鉴》数据显示国家铁路集装箱平均运距长达1 017 km。因此，科学合理的空箱调运方案对于降低成本，提高运输效率具有重要的现实意义。

随着集装箱运输快速发展，很多学者对集装箱空箱调运成本控制方面进行了大量的研究。Shintani等^[2]提出了一个最小成本多商品网络流问题模型，研究了集装箱组合使用可以节省相当一部分集装箱运输成本。Moon等^[3]和Wang等^[4]研究了可折叠集装箱和标准集装箱的空箱调运成本问题，构建模型对比研究表明可折叠集装箱的经济可行性。Tang等^[5]考虑集装箱共享下对空箱调运和租赁优化，以降低运营成本为目标，提出集装箱共享策略。孙家庆等^[6]以调运总成本最低为目标，建立了不确定需求随机机会约束模型，解决共享模式下的集装箱空箱调运问题。段刚等^[7-8]以增加铁路运输利润、提高运输利用率和减少运输成本为目标，建立了不同的铁路集装箱空箱调运数学模型，并通过算例验证了模型的可行性。

不确定性是空箱调运产生的根本原因，尤其是海运中涉及到的不确定性更多，影响更大。很多学者研究了不确定性条件下的空箱调运问题。Lee等^[9]在需求不确定性条件下研究可折叠集装箱的空箱调运问题，提出了一种鲁棒优化的方法，该方法在可折叠集装箱海上运输中具有显著的成本节约效果。Long等^[10]为了让空箱调运的预期操作成本最小化，将不确定性纳入运营模型，建立了一个包含随机需求、随机供给、随机船舶载重能力和随机船舶空间容量的两阶段随机规划模型。石红国等^[11]考虑集装箱供给与需求的不确定性，构建了基于运输成本和到达时间约束的集装箱空箱随机机会模型。算例表明，与供需确定的情况相比节省了运输费用，提高了运达时刻满意度。

上述文献从不同角度对集装箱调运问题进行了有益的研究，但也存在一些不足和局限：一是建立的集装箱空箱调运模型主要针对单一箱种调运问题，很少考虑集装箱箱种代用的情况，仅有的考虑集装箱代用问题的研究中考虑的情况也比较简单，如张高鹏等^[12]分析了箱种代用对空箱调运的影响，但没考虑运输过程中存在的不确定因素；二是针对不确定性条件下空箱调运问题的研究，大多数集中在海运领域，铁路集装箱空箱调运问题少有研究。基于此，在已有文献研究的基础上，根据铁路空箱调运的实际问题，研究不确定性条件下铁路集装箱空箱调运和箱种代用问题。

1　时间窗的鲁棒优化

1.1　铁路集装箱空箱调运问题描述

一方面，由于区域经济发展水平和产业结构的不同，导致集装箱的流动不平衡；另一方面，客户运输货物类型不同，铁路运输企业经常使用不同类型的集装箱。在实际空箱调运过程中，集装箱箱种代用可以避免一些因空箱数量不足或空箱长距离输送，或在时间上不能充分满足客户需求引起运输成本的增加等。铁路集装箱运输网络如图1所示，铁路集装箱运输网络系统中A1，A2，A3，A4为集装箱办理站，某时间段内，A1站急需U₁类型集装箱，需要从其他站调运，此时，只有A4站有多余U₁类型集装箱，A2站有多余U₂类型的集装箱，从A4站调运U₁时间不能满足客户要求且总成本较高，如果从A2站调运U₂代用U₁ (前提是U₂能够代用U₁)，这样就能够满足客户时间需求且成本较低。

另外，走行时间的不确定性也是铁路集装箱运输中的一个重要问题。在实际运输中，走行时间可能受到各种因素的影响，如天气、交通状况等。在走行时间变化范围已知情况下，鲁棒优化假设所有不确定的走行时间都按照最坏情况发生。然而，这种假设过于保守，因为现实中很少出现所有走行时间都是不确定的情况，即使走行时间都不确定，也不一定都按最坏情况发生。

基于以上问题，研究不同尺寸集装箱之间的代用关系，以实现在实际运输中的集装箱箱种代用；同时，考虑走行时间的不确定性，在调运模型中引入鲁棒优化方法，采用Bertsimas^[13]的模型中的思想，将全部走行时间分为确定的和不确定的2类，鲁棒优化方法只对不确定的时间采用，这样就改善了鲁棒优化过于保守的不足。

1.2　基于软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型

参数设置具体如下。S为空箱供应站集合；D为空箱需求站集合；U为空箱类型集合；E为有向边集合，E=S\times D，即(i，j)\in E，i\in S，j\in D；u，v为空箱类型，u，v\in U。a_i^{u\nu }为空箱供应站i含有的空箱u，v类型的数量，箱；b_j^{uv}为空箱需求站j需要的空箱u，v类型的数量，箱；a_j^{uv}为空箱代用系数，如果需求站j需要的v类型空箱能够被供应站u类型空箱代用，则a_j^{uv}=1，否则a_j^{uv}=0，显然，当u=v时，a_j^{uv}=1；{\beta }_j^{uv}为当代用系数a_j^{uv}=1时的代用费用，元；c_{ij}^{uv}为i站到j站u，v类型单位空箱运输成本，元；[e_j^{uv}，l_j^{uv}]为j站空箱需求的时间窗；t_i^{uv}为i站空箱的出发时间；t_{ij}^{uv}为i站到j站的走行时间，h；{\eta }_j^{uv}为空箱早于时间窗到达j站产生的积压费用，元；{\phi }_j^{uv}为空箱晚于时间窗到达j站产生的损失费用，元；x_{ij}^{uv}为i站向j站调运u，v类型的空箱数，箱，当u≠v时，u类空箱代用v类空箱的策略。

基于软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型具体如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}\left(c_{ij}^{uv}+{\beta }_j^{uv}\right)x_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}\left({\eta }_j^{uv}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{e_j^{uv}-\left(t_i^{uv}+t_{{}_{ij}}^{uv}\right)，\mathrm{0}\right\}+{\phi }_j^{vu}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{t_i^{uv}+t_{{}_{ij}}^{uv}-l_j^{uv}，\mathrm{0}\right\}\right)\right\}⑴

s.t. \left\{\begin{array}{l}\sum _{i\in S}{x}_{ij}^{uv}\le M\cdot {\alpha }_j^{uv}\\ \sum _{j\in D}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}\le a_i^{uv}\\ \sum _{i\in S}\sum _{u\in U}{x}_{ij}^{uv}\ge b_j^{uv}\\ x_{ij}^{uv}\le r_{ij}\\ x_{ij}^{uv}\ge \mathrm{0}\mathrm{且为}\mathrm{整数}\end{array}\right. ⑵

式中：M为i站u类型空箱的数量，箱；r_{ij}为运输路径(i，j)换算为集装箱的通过能力，箱；e_j^{uv}为需求站j能够接受的集装箱最早到达时间；l_j^{uv}为需求站j能够接受的集装箱最晚到达时间。

公式⑴为目标函数，表示空箱调运过程中所消耗的总费用最少，其中\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}(c_{ij}^{uv}+{\beta }_j^{uv})x_{ij}^{uv}为空箱调运和箱种代用成本，\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}({\eta }_j^{uv}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{e_j^{uv}-\right.(t_i^{uv}+t_{{}_{ij}}^{uv})，\left.\mathrm{0}\right\}+{\phi }_j^{uv}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{t_i^{uv}+t_{ij}^{uv}-l_j^{uv}，\mathrm{0})\right.为早到库存成本和晚到惩罚成本；公式⑵中依次为空箱代用约束、空箱供应约束、空箱需求约束、路线通行能力约束、变量声明。

1.3　鲁棒软时间窗模型

令|E|=r，则在所有r个走行时间中，不确定的至多有p(\mathrm{0}\le p\le r)个。

{\omega }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}和{\omega }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}为不确定走行时间情况下空箱的最早到达时间早于时间窗的时间和空箱的最晚到达时间晚于时间窗的时间，其表达式如下。

{\omega }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{e_j^{uv}-\left(t_i^{uv}+t_{ij}^{-}\right),\mathrm{0}\right\}⑶

{\omega }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{t_i^{uv}+t_{ij}^{+}-l_j^{uv},\mathrm{0}\right\}⑷

{\omega }^{\mathrm{3}}{}_{ij}^{uv}和{\omega }^{\mathrm{4}}{}_{ij}^{uv}为确定走行时间情况下空箱的最早到达时间早于时间窗的时间和空箱的最晚到达时间晚于时间窗的时间，其表达式如下。

{\omega }^{\mathrm{3}}{}_{ij}^{uv}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{e_j^{uv}-\left(t_i^{uv}+t_{ij}^m\right),\mathrm{0}\right\}⑸

{\omega }^{\mathrm{4}}{}_{ij}^{uv}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{t_i^{uv}+t_{ij}^m-l_j^{uv},\mathrm{0}\right\}⑹

式中：[t_{ij}^{-},t_{ij}^{+}]为走行时间t_{ij}^{uv}的变化范围，即t_{ij}^{uv}\in [t_{ij}^{-},t_{ij}^{+}]；t_{ij}^m为走行时间的期望值，h。

{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}为不确定走行时间情况下空箱的单位早到和单位晚到成本的最大值，{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}为确定走行时间情况下空箱的单位早到或单位晚到成本，其表达式如下。

{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\eta }_j^{uv}{\omega }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv},{\phi }_j^{uv}{\omega }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}\right\}⑺

{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}={\eta }_j^{uv}{\omega }^{\mathrm{3}}{}_{ij}^{uv}+{\phi }_j^{uv}{\omega }^{\mathrm{4}}{}_{ij}^{uv}⑻

得到鲁棒软时间窗模型为

\underset{\left\{N|N\subset E，\left|N\right|=P\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}｛\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}｝⑼

式中：y_{ij}^{uv}表示空箱调运数量，箱。

公式⑼中，\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}表示集合N中早到成本与晚到成本之和，\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}表示集合E/N中早到成本与晚到成本之和。公式⑼模型中可行解和最优解的性质依据段刚等^[14]的研究，该模型是非线性组合优化模型。

2　铁路集装箱空箱调运模型及等价转换

2.1　基于鲁棒软时间窗和箱种代用的铁路集装箱空箱调运模型

把公式⑴中的早到与晚到成本用公式⑼替换得到如下软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}\left(c_{ij}^{uv}+{\beta }_j^{uv}\right)x_{ij}^{uv}+\underset{\left\{N|N\subset E,\left|N\right|=P\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}\right\}\right\}⑽

s.t. \left\{\begin{array}{c}{y}_{ij}^{uv}\ge x_{ij}^{uv}\\ \begin{array}{l}\sum _{i\in S}{x}_{ij}^{uv}\le M\cdot {\alpha }_j^{uv}\\ \sum _{j\in D}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}\le a_i^{uv}\\ \sum _{i\in S}\sum _{u\in U}{x}_{ij}^{uv}\ge b_j^{uv}\\ x_{ij}^{uv}\le r_{ij}\\ x_{ij}^{uv}\ge \mathrm{0}\mathrm{且为}\mathrm{整数}\end{array}\end{array}\right. ⑾

公式⑽为目标函数，第一项表示空箱调运和箱种代用成本，第二项表示软时间窗成本的最大值；公式⑾是对变量y_{ij}^{uv}的限制。

2.2　鲁棒软时间窗模型的等价转化

令鲁棒软时间窗为R\left(y_{ij}^{uv}，p\right)，其表达式为

R\left(y_{ij}^{uv}，p\right)=\underset{\left\{N|N\subset E,\left|N\right|=P\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}｛\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{y}_{ij}^{uv}｝⑿

给定软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型的任意可行解x^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}，其鲁棒软时间窗R\left(y_{ij}^{uv}，p\right)等价于下面线性规划的目标函数，其表达式为

R\left(x^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}，p\right)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}｛\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{x}^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}{z}_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{x}^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}\left(\mathrm{1}-z_{ij}^{uv}\right)｝⒀

s.t. \left\{\begin{array}{c}\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{z}_{ij}^{uv}\le p\\ \mathrm{0}\le z_{ij}^{uv}\le \mathrm{1}\end{array}\right. ⒁

显然，线性规划公式⒀至⒁的最优解中有p个变量z_{ij}^{uv}取值为1，其余的变量z_{ij}^{uv}取值都为0。这等价于找到了1个有p个元素的子集N在集合E中，使得\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}{x}^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{x}^{\mathrm{*}}{}_{ij}^{uv}达到最大。

依据段刚等^[14]的研究，上述线性规划公式⒀至⒁的对偶问题，可表达为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}｛\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{w}_{ij}^{uv}+pq｝⒂

s.t. \left\{\begin{array}{c}q+w_{ij}^{uv}\ge \left({\delta }^{\mathrm{1}}{}_{ij}^{uv}-{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}\right)x_{ij}^{uv}\\ w_{ij}^{uv}\ge \mathrm{0}\\ q\ge \mathrm{0}\end{array}\right. ⒃

式中：q，w_{ij}^{uv}为公式⒁对应的对偶变量。

2.3　基于软时间窗和箱种代用的铁路集装箱空箱调运模型的等价形式

根据上述鲁棒软时间窗模型的等价转换，可将软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型转换为等价的整数线性规划形式。

软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型等价于公式⒄的整数线性规划模型，约束条件为公式⑵和公式⒃，其证明过程参考段刚等^[14]的研究。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}\left(c_{ij}^{uv}+{\beta }_j^{uv}\right)\right.x_{ij}^{uv}+\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{x}_{ij}^{uv}+\left.\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{w}_{ij}^{uv}+pq\right\}⒄

由此，将软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运整数规划模型转换为一般的整数线性规划模型，转换后的模型与原始模型相比，只是多了1个变量q，且除了非负限制，没有增加其他的约束条件，但将软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型目标中的非线性鲁棒软时间窗模型转换为线性函数，更易于求解。

3　算例分析

为了验证模型的有效性，经过调研和参考刘妍妍^[15]的算例，选取6个空箱供应站为A_i =｛兰州东、乌鲁木齐北、呼和浩特、哈尔滨东、王家营西、西宁西｝；4个空箱需求站为B_i =｛西安、合肥北、长沙东、太原西｝。集装箱有20 ft和40 ft 2种类型，分别用U₁和U₂表示，在U₁不足情况下考虑用U₂代用。算例求解中考虑集装箱代用和不代用的2种情况。某计划时间段内空箱供应站信息如表1所示，空箱需求站信息如表2所示，供应站与需求站之间的运营里程如表3所示，根据货车运行速度，取集装箱班列的运行速度区间为80~100 km/h，由供应站和需求站之间的运营里程和运行速度，计算得到供应站和需求站间走行时间范围如表4所示，空箱调运成本如表5所示，空箱代用费用如表6所示。

取p=8，利用求解软件计算，得到箱种代用情况下集装箱空箱调运方案的最优解为x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{24}，x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{10}，x_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{12}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{32}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{32}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{4}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{25}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{12}，x_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{40}，x_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{35}，x_{\mathrm{53}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{61}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{13}，x_{\mathrm{61}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{5}。

走行时间不确定情况下w_{ij}^{uv}的最优解为w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{10}，w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{38}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{2.5}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{27.5}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{15}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{0}，w_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{540}，w_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{290}。

同等条件下p=8，利用求解软件计算，得到箱种不代用情况下集装箱空箱调运方案的最优解为x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{17}，x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{10}，x_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{12}，x_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{14}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{2}，x_{\mathrm{21}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{19}，x_{\mathrm{32}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{11}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{30}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{12}，x_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{40}，x_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{35}，x_{\mathrm{53}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{5}，x_{\mathrm{61}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{13}。

走行时间不确定情况下w_{ij}^{uv}的最优解为w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{60}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{2.5}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{27.5}，w_{\mathrm{21}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{225}，w_{\mathrm{32}}^{\mathrm{22}}=\mathrm{94}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{30}，w_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{540}，w_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}=\mathrm{290}。

分别令f_{\mathrm{1}}=\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}{c}_{ij}^{uv}，f_{\mathrm{2}}=\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{x}_{ij}^{uv}{\beta }_j^{uv}，f_{\mathrm{3}}=\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{\delta }^{\mathrm{2}}{}_{ij}^{uv}{x}_{ij}^{uv}，f_{\mathrm{4}}=\sum _{i\in S}\sum _{j\in D}\sum _{u\in U}\sum _{v\in U}{w}_{ij}^{uv}，f_{\mathrm{5}}=pq。

箱种代用和不代用情况下的最优解中每一部分的成本如表7所示。

箱种代用情况下空箱调运方案最优解中，共有17个x_{ij}^{uv}大于零，即发生了17次调运。由于p=8，有8个w_{ij}^{uv}取值为正，说明这8个w_{ij}^{uv}对应的走行时间是不确定的，它们与其余的9个确定的走行时间使得鲁棒软时间窗达到最大。

在调运的过程中有3次U₂代用U₁的情况，分别是兰州东站到西安站，代用了7箱；呼和浩特站到太原西站，代用了7箱；西宁西站到西安站，代用了5箱。在这3次代用的情况中，都是在走行时间确定的情况下代用的，代用方案为x_{\mathrm{11}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{34}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{7}，x_{\mathrm{61}}^{\mathrm{21}}=\mathrm{5}；代用费用为20 508元。

最优解中，在不确定的走行时间中有2个空箱调运到达时间早于时间窗，分别为w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{22}}；有6个空箱调运到达时间晚于时间窗，分别为w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}。在确定的走行时间中，有4个到达时间早于时间窗，对应w_{\mathrm{11}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{11}}^{\mathrm{21}}，w_{\mathrm{11}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{21}}；没有晚于时间窗的到达，其中5个到达时间在时间窗内。

箱种不代用情况下空箱调运方案最优解中，发生了14次调运。由于p=8，说明有8个w_{ij}^{uv}对应的走行时间是不确定的，它们与其余的6个确定的走行时间使得鲁棒软时间窗达到最大。

最优解中，在不确定的走行时间中有1个空箱调运到达时间早于时间窗，为w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{11}}；有7个空箱调运到达时间晚于时间窗，分别为w_{\mathrm{12}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{13}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{21}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{32}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{42}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{53}}^{\mathrm{11}}；在确定的走行时间中，有3个到达时间早于时间窗，对应w_{\mathrm{11}}^{\mathrm{11}}，w_{\mathrm{11}}^{\mathrm{22}}，w_{\mathrm{34}}^{\mathrm{22}}；没有时间晚于时间窗的到达，3个到达时间在时间窗内。

不确定走行时间的数量p，是否会对成本产生影响，取不同的p值做灵敏度分析，考察它的变化对最优解的影响。

总成本F值与p值关系如图2所示。当p=0时，所有走行时间都是确定的，此时总成本最小，箱种代用情况下总成本F为323 818.5元，箱种不代用情况下总成本F为353 886.5元。由图2可以看出，箱种代用下的总费用小于箱种不代用情况，显然，箱种代用可以降低运输总费用，节约运输成本。随着p值的不断增大，总成本F也随着增加，但增加的幅度随着p值的增大而减小。在箱种代用情况下，当p=14时，总成本为325 454元，此时总成本不再增加，所以p的上界是14，换言之，只有14个不确定走行时间会影响最优解，使总成本达到最大；箱种不代用情况下，当p=12时，总成本达到最大，为355 785元，所以p的上界是12。显然，在一定范围内增加不确定走行时间的数值p，会增加总成本F。

成本f 1，f 2，f 3，f 4，f 5和q与p值的关系如图3所示，给出了箱种代用和不代用情况下目标中的每个部分与p的关系，可以看出：箱种代用情况下，调运成本f₁ 和代用成本f₂ 的值不同，所以p值会影响调运方案；箱种不代用情况下，p值没有影响调运方案，调运成本f₁ 值保持不变，f₂ =0，说明f₂ 的值仅仅与是否发生代用产生的费用有关；f₄ 是p的增函数；f₅ 与p不存在单调关系；q是p的减函数。当箱种代用情况下p=14时和箱种不代用情况下p=11时，之后p值增大所有值都不再变化，此时，q达到最小值0，f₅ 值为0。

4　结束语

空箱调运是因为集装箱供需的不平衡引起的，我国地区资源分布以及经济发展的不均衡，使得铁路集装箱分布不平衡，从而产生了大量的集装箱空箱调运，增加了运输成本，造成了运输资源浪费，因此，合理而高效的空箱调运方案对降低运输成本，增加运输利润具有十分重要的理论和实际意义。在传统集装箱空箱调运问题的基础上，将箱种代用引入规划，考虑集装箱供给和需求的不确定性，构建基于鲁棒软时间窗和箱种代用的集装箱空箱调运模型，算例分析得到不确定走行时间对最优解是有影响的，在一定范围内增加不确定走行时间的数值，会增加成本。事实上，不考虑箱种代用情况下模型的最优解就是箱种代用情况下的一个可行解，这就说明箱种代用的引入能够为空箱调运提供一个更优的方案。

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基金资助

国家自然科学基金项目(72062023)

国家社会科学基金项目(21XMZ063)

内蒙古自然科学基金项目(2019MS07026)

内蒙古自然科学基金项目(2022QN07003)

重庆市教委科学技术研究项目(KJQN202303425)