基于虚拟编组技术的单线重载铁路通过能力计算方法研究

Calculation Method for the Capacity of Single-Track Heavy-haul Railway Line Based on Virtual-coupling Technology

摘要

针对我国现阶段单线重载铁路能力紧张问题，提出应用虚拟编组技术从运输组织层面提升运输能力。对虚拟编组技术基本概念进行介绍，细致分析了虚拟编组技术下列车追踪运行的全过程，将其分为4种状态，并分别给出各状态下追踪间隔计算方法。通过分析虚拟编组技术应用下单线重载线路列车在站作业及会让方式，给出区间运行图周期计算通式，构建虚拟编组下单线重载铁路最小运行图周期计算模型，并将其改写为混合整数线性规划模型。模型结构简单，且规模随区间数多项式有界，可直接采用商业优化软件求解。选取1条实际运营线路进行案例分析，计算结果显示，虚拟编组技术下其通过能力可提升55%，表明计算模型有效可靠，且虚拟编组技术的应用对单线重载铁路能力提升显著。

Abstract

In view of the shortage of single-track heavy-haul railway capacity in China, virtual-coupling was proposed to improve the capacity from the perspective of transportation organization. The basic concept of virtual-coupling was introduced, under which the entire process of train tracking operation was analyzed in detail. The process was divided into four states, with the calculation method of tracking intervals in each state was provided. By analyzing the operation and meeting mode of single-track heavy-haul trains at stations under the application of virtual-coupling technology, the general formula for calculating the train working diagram cycle in sections was given, and the calculation model of minimum train working diagram cycle of single-track heavy-haul railway under virtual-coupling constructed, which was rewritten as a mixed integer linear programming model. The model is simply structured, with the scale bounded by the section number polynomial, which can be solved directly by commercial optimization software. One real line was selected for case analysis, and the calculation results show that the capacity under virtual-coupling can be increased by 55%, suggesting that the calculation model is effective and reliable, and the application of virtual-coupling technology significantly improves the capacity of single-track heavy-haul railway line.

Graphical abstract

关键词

重载铁路 / 能力计算 / 虚拟编组 / 单线铁路 / 整数规划

Key words

Heavy-haul Railway / Capacity Calculation / Virtual-coupling / Single-track Line / Integer Programming

0　引言

重载铁路作为煤炭等重要能源的主要运输方式，始终为我国发展战略规划中的重要部分。随着我国经济技术水平的提升以及西煤东运等相关国家战略的持续推进，运输需求不断提高，我国重载铁路在运用方面逐渐显现出一定问题，现有设施及技术下，运能已挖掘到极致，但仍存在部分区段或咽喉区等能力不足；同时，由于地形、环境等因素的影响，一些重要通道仍存在单线区段，极易形成路网瓶颈，对整体运输能力造成较大影响。因此，对重载铁路能力问题的研究仍十分必要。

考虑我国铁路运输特点，现阶段国内对单线铁路及重载铁路能力的计算问题已有一些研究。青藏铁路格拉段为我国较具代表性的单线铁路，文献[1-2]对格拉段的能力计算、能力特性均进行了研究，并给出了能力提升的方法及相应的提升效率。郑亚晶等^[3]针对单线铁路建立了混合整数非线性规划模型，求解最小运行图周期，进一步求解行车能力。

重载铁路方面，文献[4-5]对大秦铁路能力计算的特殊性进行分析，研究了天窗开设方式对能力的影响程度，并给出相应的维修方案推荐。除此之外，部分学者对能力的其他影响因素进行了研究。高小媛^[6]研究了车站布局对重载铁路能力的影响。杨建兵等^[7]研究了天窗施工完毕后，由于慢行延时造成的能力损失。董世鑫等^[8]较为细致地分析了移动闭塞下不同场景重载铁路的车流特性及对线路能力的影响。

近年来，欧洲铁路部门提出虚拟编组技术，可实现对铁路线路既有能力的大幅度提升。Quaglietta等^[9-10]对基于虚拟编组的列控方式下列车运行的基本原理、所需设备条件作出介绍，提出列车运行全过程中的5种运行状态，构建了虚拟编组下的列车跟驰模型。Di Meo等^[11]研究了虚拟编组技术下考虑信息传输延迟的列车安全追踪模型。Pan等^[12]对出发、到达等多场景下虚拟编组列车追踪间隔的构成作出具体分析。同时，我国也逐步开启对虚拟编组技术的研究。文献[13-15]对基于虚拟编组技术的列控系统的基本控车原理及实施关键技术作出较为系统的介绍；陈永明等^[16]在介绍基于虚拟编组的列控系统的基础上，研究了其在重载铁路的应用，分析了需攻克的技术难题及现阶段应用情况。

综上，我国重载铁路能力较为紧张，亟需进行相关设备及运输组织技术的革新。而虚拟编组技术的发展，能够在运输组织层面大幅度提升线路能力。因此，对基于虚拟编组技术的单线重载铁路能力计算问题进行研究，分析虚拟编组技术下列车运行过程，结合其运输组织特点给出该模式下单线铁路能力计算通式，探究能力的提升效率，并选取实际案例对模型的可行性、有效性进行验证。

1　虚拟编组下列车追踪过程分析

分析虚拟编组下列车追踪运行过程是进行能力计算的基础，首先需理解虚拟编组的概念及该技术下列车运行原则，之后划分该技术下列车运行状态，并针对不同场景下列车追踪过程做出具体分析，如此即可理清虚拟编组下列车区间及在站追踪运行的全过程。

1.1　虚拟编组概念

虚拟编组技术，即通过车-车无线通信，实现前后车运行状态信息的实时互通，从而控制后车追踪，前后车整体协同运行，以极大缩小追踪间隔。该技术最早于欧洲提出，多个相关项目如Roll2Rail、Shift2Rail等，均对该项技术进行了较为细致的研究。相较于传统的固定闭塞、移动闭塞等方式，虚拟编组技术下后车追踪点已越过前车实时位置，为前车紧急制动后的车尾位置，极大地压缩了追踪间隔，从而实现能力的大幅提升。不同闭塞方式示意图如图1所示。

虚拟编组技术下，由于取消闭塞分区，更多依赖于车载设备进行信息传输，故列车运行状态相较传统的固定闭塞及移动闭塞更为灵活、多样，其运行追踪过程更为复杂。为更准确地计算虚拟编组下通过能力，需首先较为细致地明确列车运行追踪过程。

1.2　虚拟编组下列车运行状态

虚拟编组技术下，列车追踪间隔极大缩小，区间内组织虚拟编组的车队运行，以此提高线路通过能力。考虑虚拟编组概念及该技术下列车运行原则，将虚拟编组下列车运行状态总体上分为单车运行、组队协同、追赶编组及分离解编4种。

（1）单车运行，即列车未进行虚拟编组且暂未有进行编组趋势的状态，保留在线路原闭塞方式下运行，相关列控及信号控制设备，以及运行监控管理方式等均未发生变化。该状态更多出现于列车进站后，进入不同股道分别进行车站技术作业时，此时列车进站、走行、作业等过程保持在线路原闭塞制式下进行。除此之外，某些情况下因故障或计划调整等因素，也可能存在未进行虚拟编组的单列车在区间运行的情况。

（2）组队协同，即列车进行虚拟编组后，已较为稳定，保持安全追踪间隔以相同的速度形成车队运行。虚拟编组下，为更大程度地改善能力，列车在区间内大多均以该状态运行。

（3）追赶编组，即列车在单车运行状态下，通过追赶，编组耦合，逐渐形成车队，向组队协同状态转变的过程。该状态出现于列车在站作业完成，依次出站驶入区间正线后，准备进行组队时，或因部分原因列车在区间正线未按组队协同状态运行，而当前计划或相关设施设备条件满足要求，准备重新进行组队协同等情况。

（4）分离解编，即列车由组队协同状态，通过减速等方式脱离车队，向单车运行转变的过程，可分为有计划地主动分离和无计划地被动分离。有计划地主动分离出现于如车队即将进站，需提前解编以进入不同股道进行作业等情况；无计划地被动分离则更多发生于如线路条件变化，列车性能短时间内无法适应继续保持协同运行，而短暂出现分离，或车队内列车突发故障，为保证安全进行分离解编。

因此，对于一般情况而言，当列车存在在站作业时，需经历组队协同—分离解编—单车运行—追赶编组—组队协同的系列过程，而对于不同的列车作业要求、运行要求或设施设备条件及突发情况等，在了解虚拟编组下列车运行的各类状态后，即可根据具体情况做出相应调整。

1.3　区间追踪过程

列车在区间运行时大部分情况下均为虚拟编组下的组队协同状态，前后车保持动态安全追踪距离，后车追踪点为前车进行紧急制动后的车尾位置。虚拟编组下列车区间追踪示意图如图2所示。

因此，虚拟编组下组队协同状态的列车追踪距离可表示为

L_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}}=L_{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{B}}+L_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}}+L_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{y}}-L_{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{A}}⑴

式中：L_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}}为组队协同状态下列车追踪间隔，m；L_{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{B}}为后车制动距离，m；L_{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{A}}为前车制动距离，m；L_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}}为列车静态安全距离，m；L_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{y}}为前后车通信延迟造成的走行距离，m。

组队协同状态下追踪间隔时间即为

I=\frac{\mathrm{3.6}{L}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}}}{v_{\mathrm{B}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}⑵

式中：I为组队协同状态下追踪间隔时间，s；v_{\mathrm{B}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为后车区间运行最大速度，km/h。

1.4　进、出站追踪过程

列车在站时通常为追赶编组或分离解编状态。在存在车站作业的前提下，车队进站时，在前车到达进站信号机前，后车应已脱离车队、完成解编，前车驶出出清点后，后车进站，列车依次完成进站走行，停至相应的到发线上进行作业。因此，列车进站应经历分离解编及进站走行2个过程。

分离解编状态下，后车需减速直至与前车保持单车运行下的安全间隔，此时后车追踪点为实时状态下前车尾部位置。列车进站追踪示意图如图3所示。

则此时追踪间隔时间为

I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{3.6}(L_{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{B}}+L_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}})}{v_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}⑶

式中：I_{\mathrm{d}}为分离解编状态下列车追踪时间，s；v_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为进站限制最大速度，km/h。即当需进站停车时，进站前列车追踪间隔时间应为I_{\mathrm{d}}。

而对于进站走行过程，后车必须在前车完全越过出清点后才可开始进站作业，因此，对于虚拟编组的车队而言，其单列车进站走行总时间可表示为

t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{3.6}(L_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}+L_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}})}{v_{\mathrm{e}}}⑷

式中：t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}为单列车进站走行总时间，s；L_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}为进站走行距离，m，即进站信号机至出清点距离；L_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为列车长度，m；v_{\mathrm{e}}为进站平均速度，km/h。

列车出站时，同样需依次驶入区间正线并在区间重新进行编组，此时考虑到道岔限速原因，通常情况下为后车通过加速追赶前车，因此出站追踪会经历出站走行和追赶编组2个过程，列车出站追踪示意图如图4所示。

出站走行过程与进站情况类似，故单列车出站走行总时间可表示为

t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{3.6}(L_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}+L_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}})}{v_{\mathrm{d}}}⑸

式中：t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}为单列车出站走行总时间，s；L_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}为出站走行距离，m；v_{\mathrm{d}}为出站平均速度，km/h。

对虚拟编组车队，为保证安全，应以I为发车间隔进行发车，而当列车全部驶入正线后，需调整列车间隔距离及运行速度等以完成新的编组，此时需经历追赶编组过程。该过程中，由于实际列车间隔大于组队协同下的列车间隔且后车速度低于前车，后车需经历先加速至区间最大允许速度以进行追赶，后减速至前车相同速度继续追赶，同时完成组队。因此，列车追赶编组的总时间可表示为

I_{\mathrm{c}}={\displaystyle \underset{v_B/\mathrm{3.6}}{\overset{v_{Bmax}/\mathrm{3.6}}{\int }}}\frac{M_{\mathrm{t}}}{F-R}dv+{\displaystyle \underset{v_{Bmax}/\mathrm{3.6}}{\overset{v_A/\mathrm{3.6}}{\int }}}\frac{M_{\mathrm{t}}}{-B-R}dv⑹

式中：I_{\mathrm{c}}为追赶编组状态下列车追踪时间，s；M_{\mathrm{t}}为列车质量，kg；F为总牵引力，N；R为运行总阻力，N；B为后车常用制动力，N；v_{\mathrm{B}}为后车出站时速度，km/h；v_{\mathrm{A}}为前车区间运行速度，km/h。

2　虚拟编组下单线重载铁路通过能力计算

2.1　问题描述

考虑到对于重载铁路，相较于双线情况，单线情况下运输组织条件更为苛刻，能力更为紧张，对提升整体运能的需求更为迫切。故重点针对单线重载铁路，在已了解虚拟编组技术下列车运行追踪过程后，假设满足一切技术及设施设备需求，参考既有相关文献^[17-18]，通过研究虚拟编组技术下列车运行图周期的要素构成及运行图铺画方式，得出单线重载铁路运行图理论最大能力的计算方法，分析整体运能的提升效率。假设列车在站及区间均为理想运行状态，考虑作业时间、作业能力、股道数量等相关约束，对列车在站作业及会让方式进行优化，计算运行图最小周期时间，进一步得出理论最大能力。

2.2　基本假设

考虑所研究问题的合理性及可行性，对模型做出以下假设。

（1）假设线路具备开行虚拟编组列车的相关技术条件，包括基于虚拟编组技术的列控系统及配套的设施设备。

（2）为计算理论最大通过能力，假设列车在区间内运行平稳后始终保持虚拟编组状态且均以最大允许速度运行。

（3）考虑车组平衡，假设列车成对开行。

2.3　车站间隔时间分析

针对单线重载铁路，重点讨论虚拟编组下列车不同时到达间隔时间{\tau }_{\mathrm{不}}及会车间隔时间{\tau }_{\mathrm{会}}的含义及表示。

不同时到达间隔时间{\tau }_{\mathrm{不}}为由某一方向的列车到达车站停稳时起，至相对方向列车到达或通过该站时止的最小间隔时间，包括第一列车到达车站后，车站办理必要作业所需要的时间，及对向列车通过进站距离所需要的时间，其计算方法表示如下。

{\tau }_{\mathrm{不}}=t_{\mathrm{进站}}+t_{\mathrm{作业}}=\mathrm{3.6}\times \frac{L_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}+L_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{v_{\mathrm{e}}}+t_{\mathrm{作业}}⑺

式中：t_{\mathrm{进站}}为对向列车通过进站距离所需要的时间，s；t_{\mathrm{作业}}^{}为先到列车完全进入股道后，办理后续对向列车通过作业的时间，s；L_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}为后续对向列车站外运行距离，m。

对于虚拟编组列车，对向车队通过该站的时间为t_{\mathrm{进站}}+(n-\mathrm{1})I；而t_{\mathrm{作业}}^{}应为编队中最后一列车完全进入股道后，办理后续对向车队通过作业的时间，考虑虚拟编组技术应用后相关设备条件的更新，该项时间与现有情况相差无异，故虚拟编组下列车不同时到达时间可表示为

{\tau }_{\mathrm{不}}^{\mathrm{虚拟}}=\mathrm{3.6}\times \frac{L_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}+L_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{v_{\mathrm{e}}}+(n-\mathrm{1})I+t_{\mathrm{作业}}^{}={\tau }_{\mathrm{不}}+(n-\mathrm{1})I⑻

其额外增加的车队进站停站时间，则由(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}表示。

会车间隔时间{\tau }_{\mathrm{会}}为自列车通过或到达车站时起，至该站向原区间发出另一对向列车时止的最小间隔时间，包括前行列车完全进入车站股道后办理后续列车出发作业时间。同理，对于虚拟编组列车，应为编队最后一列车完全进入股道后办理后续列车出发作业的时间，与现有情况相差无异，即{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}={\tau }_{\mathrm{会}}。而后续车队依次出站所额外增加的时间，由(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}表示。

2.4　列车在站会让方式分析

为方便描述，以2列车虚拟编组为例，对列车在站进行技术作业及会让作业的各类情况进行详细分析。根据列车在站是否有技术作业及所在站类型，可分为4种类型共8种情况。

（1）上下行列车在站无技术作业会让示意图如图5所示。

（2）上行或下行列车在站有技术作业会让示意图如图6所示。

（3）上下行列车在站均有技术作业会让示意图如图7所示。

（4）区段端点站会让示意图如图8所示。

其中，t{z}_{}^{\mathrm{上}}，t{z}_{}^{\mathrm{下}}分别为上、下行列车在站技术作业时间，s；\lambda为当存在技术作业时，上下行列车到达车站的时间间隔，s。

2.5　区间运行线铺画方式及规律总结

对于任一区间，其运行线铺画均可由2.4节所提到的8种列车在站会让方式中的任意2种组合而成，区间运行线铺画方式示意图如图9所示。且可发现任一区间（i，i+1）的运行图周期T_{i,i+\mathrm{1}}所包含要素固定，即包含上下行列车区间纯运行时间、i站包含在区间运行图周期内向下的车站作业时间、i+1站包含在区间运行图周期内向上的车站作业时间、上下行虚拟编组列车的区间追踪时间、区间运行图周期内包含的追踪状态调整时间及区间内的列车起、停车附加时分。

故区间（i，i+1）的运行图周期T_{i,i+\mathrm{1}}可由以下通式表示。

\begin{array}{l}{T}_{i,i+\mathrm{1}}=t_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}+t_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}+{\tau }_i^{\mathrm{下}}+{\tau }_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}+\\ I_{\mathrm{a}\mathrm{d},i}^{\mathrm{下}}+I_{\mathrm{a}\mathrm{d},i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}+{\theta }_i^{\mathrm{下}}+{\theta }_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\end{array}⑼

式中：t_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}，t_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}为上、下行列车区间纯运行时间，s；{\tau }_i^{\mathrm{下}}，{\tau }_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}分别为周期时间中包含的i站、i+1站的车站间隔时间，s；n为虚拟编组的列车数量，列；I_{\mathrm{a}\mathrm{d},i}^{\mathrm{下}}，I_{\mathrm{a}\mathrm{d},i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}分别为周期时间中包含的i站、i+1站的追踪间隔时间，s；{\theta }_i^{\mathrm{下}}，{\theta }_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}分别为周期时间中包含的i站、i+1站的列车起、停车附加时分，s。

整理2.4节所提到的8种列车在站会让方式，发现其具有一定的规律。此处引入0-1变量x_i表示上、下行列车在i站的会让方式，x_i=\mathrm{0}表示在i站上行列车会让下行列车，x_i=\mathrm{1}表示在i站下行列车会让上行列车；0-1变量z_i^{\mathrm{上}}，z_i^{\mathrm{下}}表示i站上下行列车的作业情况，z_i^{\mathrm{上}}，z_i^{\mathrm{下}}取值为1或0分别表示i站上、下行列车有或无技术作业；同时令m为所研究区段所包含总站数，M为所研究区段所包含的站点集合；{\mathrm{d}}_i，{\mathrm{a}}_i分别表示i站的起、停车附加时分。则区间运行图周期通式中的各部分可表示如下。

\begin{array}{c}{\tau }_i^{\mathrm{下}}=\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{l}{x}_i\cdot [{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}]+(\mathrm{1}-x_i)\cdot [{\tau }_{\mathrm{不}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}]\\ {\lambda }_i\\ t{z}_i^{\mathrm{下}}-\mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot I-{\lambda }_i\\ t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\cdot {\lambda }_i-x_i\cdot \mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}})\\ {\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}\end{array}\right.& \begin{array}{l}i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{0},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i=\mathrm{1}\end{array}\end{array}\\ {\tau }_i^{\mathrm{上}}=\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{l}(\mathrm{1}-x_i)\cdot [{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}]+x_i\cdot [{\tau }_{\mathrm{不}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}]\\ t{z}_i^{\mathrm{上}}-\mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot I-I_{\mathrm{d}}-{\lambda }_i\\ {\lambda }_i\\ t{z}_i^{\mathrm{上}}-(\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\cdot {\lambda }_i-(\mathrm{1}-x_i)\cdot \mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}})\\ {\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}\end{array}\right.& \begin{array}{l}i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{0},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i=m\end{array}\end{array}\end{array}⑽

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{a}\mathrm{d},i}^{\mathrm{下}}=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}I+I_{\mathrm{d}}\\ x_{i}I+(\mathrm{1}-x_i)I_{\mathrm{d}}\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{ccc}i=\mathrm{1}& \mathrm{或}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{其他}\end{array}\end{array}\right.\\ I_{\mathrm{a}\mathrm{d},i}^{\mathrm{上}}=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}I+I_{\mathrm{d}}\\ (\mathrm{1}-x_i)I+x_i{I}_{\mathrm{d}}\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{ccc}i=m& \mathrm{或}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{其他}\end{array}\end{array}\right.\end{array}⑾

\begin{array}{l}{\theta }_i^{\mathrm{下}}=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}n{d}_i+n{a}_i\\ x_{i}n{d}_i+(\mathrm{1}-x_i)n{a}_i\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{ccc}i=\mathrm{1}& \mathrm{或}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{其他}\end{array}\end{array}\right.\\ {\theta }_i^{\mathrm{上}}=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}n{d}_i+n{a}_i\\ (\mathrm{1}-x_i)n{d}_i+x_{i}n{a}_i\end{array}& \begin{array}{l}\begin{array}{ccc}i=m& \mathrm{或}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{其他}\end{array}\end{array}\right.\end{array}⑿

2.6　约束条件

考虑列车运行、作业组织的相关规定及设备条件约束，模型从以下3方面设置约束条件。

（1）车站间隔时间约束。当存在技术作业时，上下行列车到站间隔{\lambda }_i需至少满足基本车站会让作业的时间要求，且考虑到现场实际作业，{\lambda }_i应为整数，即满足以下条件。

\begin{array}{c}{\lambda }_i\ge {\tau }_{\mathrm{不}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}\\ {\lambda }_i\le \left\{\begin{array}{l}{x}_{i}t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-x_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}-\mathrm{2}(n-\mathrm{1})I-{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}-(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}{z}_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}& \begin{array}{cc}\mathrm{或}& z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}\\ x_{i}t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-x_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}-(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_{\mathrm{e}\mathrm{n}})-{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}\begin{array}{cc}& z_i^{\mathrm{上}}=z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1}\end{array}\end{array}\right.\\ {\lambda }_i\in Z^{+}\forall i\in M\end{array}⒀

（2）到发线数量约束。对于单线铁路，可进行虚拟编组的列车数受各站到发线数量限制。对于上下行列车在站均有作业的站点，应保证上下行停车总数不大于该站到发线数量；对于在站仅会让或仅一方向列车存在技术作业的站点，应保证单一方向虚拟编组列车数不大于该站到发线数量。

\begin{array}{c}n\le \left\{\begin{array}{l}\frac{l_i}{\mathrm{2}}\forall i\in M,\begin{array}{cc}{z}_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}& \end{array}\\ l_i\forall i\in M,\begin{array}{cc}\mathrm{其他}& \end{array}\end{array}\right.\\ n\in Z^{+}\end{array}⒁

式中：l_i为i站到发线数量。

（3）会让方式约束。结合实际运营情况，考虑在站作业安排的合理性，不应存在下行无技术作业列车会让上行有技术作业列车及上行无技术作业列车会让下行有技术作业列车的情况，即存在以下约束。

\begin{array}{c}\begin{array}{cc}(\mathrm{1}-x_i)z_i^{\mathrm{下}}(\mathrm{1}-z_i^{\mathrm{上}})=\mathrm{0}& \forall i\in M\end{array}\\ \begin{array}{cc}{x}_i(\mathrm{1}-z_i^{\mathrm{下}})z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}& \forall i\in M\end{array}\end{array}⒂

2.7　虚拟编组下单线重载铁路最小限制区间运行图周期计算模型

根据单线铁路线路通过能力计算原理，计算线路理论最大能力等价于计算最小限制区间运行图周期，因此结合2.5节对区间运行图周期的分析，可将虚拟编组下单线重载铁路的能力计算问题构建为最小限制区间运行图周期计算模型。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\underset{i,i+\mathrm{1}\in M}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{T_{i,i+\mathrm{1}}\right\}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{公式}\mathrm{⑺}—\mathrm{公式}\mathrm{⒀}\\ \begin{array}{cc}{x}_i\in \{\mathrm{0,1}\}& \forall i\in \end{array}M\\ z_i^{\mathrm{下}},z_i^{\mathrm{上}}\begin{array}{cc}\in \{\mathrm{0,1}\}& \forall i\in \end{array}M\end{array}⒃

不难看出，模型中目标函数及公式⑽存在非线性表达式，不利于模型求解，故接下来对模型进行线性化改写。

对于目标函数，引入中间变量T，并增加约束条件，可将其改写为

\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}T\\ \begin{array}{cc}T\ge T_{i,i+\mathrm{1}}& \forall i,i+\mathrm{1}\in M\end{array}\end{array}⒄

而对于公式⑽，其非线性项为(\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\cdot {\lambda }_i，令{\epsilon }_i=(\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\cdot {\lambda }_i，增加以下约束。

\begin{array}{c}{\epsilon }_i\le {\lambda }_i\begin{array}{cc}& i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ {\epsilon }_i\ge {\lambda }_i-[x_{i}t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-x_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}-(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_{\mathrm{e}\mathrm{n}})-{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}]\cdot \mathrm{2}{x}_i\begin{array}{cc}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ {\epsilon }_i\le [x_{i}t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-x_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}-(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_{\mathrm{e}\mathrm{n}})-{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}](\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\begin{array}{cc}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\\ {\epsilon }_i\ge [{\tau }_{\mathrm{不}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}](\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)\begin{array}{cc}& z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\end{array}\end{array}⒅

改写后约束条件式中出现新的非线性项x_i\cdot x_i，继续引入变量，令{\phi }_i=x_i\cdot x_i，增加以下约束。

\begin{array}{l}{\phi }_i\le x_i\\ {\phi }_i\ge \mathrm{2}{x}_i-\mathrm{1}\\ {\phi }_i\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\end{array}⒆

至此，模型中所有非线性项已改写完毕，即可得到虚拟编组下单线重载铁路计算的线性模型如下。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}T\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{公式}\mathrm{⑺},\mathrm{公式}\mathrm{⑼}—\mathrm{公式}\mathrm{⒀},\mathrm{公式}\mathrm{⒄}\\ {\tau }_i^{\mathrm{下}}=\left\{\begin{array}{l}{x}_i\cdot [{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}]+(\mathrm{1}-x_i)\cdot [{\tau }_{\mathrm{不}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}]\\ {\lambda }_i\\ t{z}_i^{\mathrm{下}}-\mathrm{2}(n-\mathrm{1})I-\lambda \\ t{z}_i^{\mathrm{下}}+{\epsilon }_i-x_i\cdot \mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}})\\ {\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}\end{array}\right.\begin{array}{cc}\begin{array}{l}i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{0},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i=\mathrm{1}\end{array}& \end{array}\\ {\tau }_i^{\mathrm{上}}=\left\{\begin{array}{l}(\mathrm{1}-x_i)\cdot [{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}]+x_i\cdot [{\tau }_{\mathrm{不}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}]\\ t{z}_i^{\mathrm{上}}-\mathrm{2}(n-\mathrm{1})I-I_{\mathrm{d}}-{\lambda }_i\\ {\lambda }_i\\ t{z}_i^{\mathrm{上}}-{\epsilon }_i-(\mathrm{1}-x_i)\cdot \mathrm{2}(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}})\\ {\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}\end{array}\right.\begin{array}{cc}\begin{array}{l}i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{0},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=\mathrm{1},z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{0}\\ i\ne m,z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ i=m\end{array}& \end{array}\\ {\epsilon }_i\le {\lambda }_{i}i\ne \mathrm{1},z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ {\epsilon }_i\ge [{\tau }_{\mathrm{不}}+(n-\mathrm{1})t_{\mathrm{e}\mathrm{n}}]\cdot (\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ {\epsilon }_i\ge {\lambda }_i-\mathrm{2}{\phi }_{i}t{z}_i^{\mathrm{下}}+\mathrm{2}({\phi }_i-x_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}+[(n-\mathrm{1})\cdot (I+I_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_{\mathrm{e}\mathrm{n}})+{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}]\cdot \mathrm{2}{x}_i{z}_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ {\epsilon }_i\le (x_i-\mathrm{2}{\phi }_i)t{z}_i^{\mathrm{下}}+(\mathrm{1}-\mathrm{3}{x}_i+\mathrm{2}{\phi }_i)t{z}_i^{\mathrm{上}}+[(\mathrm{1}-n)\cdot (I+I_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_{\mathrm{e}\mathrm{n}})-{\tau }_{\mathrm{会}}^{\mathrm{虚拟}}]\cdot (\mathrm{1}-\mathrm{2}{x}_i)z_i^{\mathrm{下}}=z_i^{\mathrm{上}}=\mathrm{1}\\ \begin{array}{cc}{x}_i\in \{\mathrm{0,1}\}& \forall i\in \end{array}M\\ z_i^{\mathrm{下}},z_i^{\mathrm{上}}\begin{array}{cc}\in \{\mathrm{0,1}\}& \forall i\in \end{array}M\end{array}⒇

可见，线性化的模型为混合整数线性规划模型，且其规模随单线重载铁路的区间数是有界多项式，对于实际例子，可直接采用商业优化软件（例如CPLEX、GUROBI、LINGO等）有效求解。

在获得模型最优解后，可利用N=n\cdot \frac{T_{\mathrm{运营}}^{}-T_{\mathrm{t}}}{T}计算得到虚拟编组下单线重载铁路通过能力。其中，N为虚拟编组下单线重载铁路通过能力，对/d；T_{\mathrm{运营}}^{}为总运营时间，s；T_{\mathrm{t}}为天窗时间，s。

3　案例分析

为验证模型有效性，选取某实际运营单线重载区段进行案例分析，案例运行图数据如表1所示。由于研究重点为虚拟编组技术下单线重载铁路能力计算的方法及模型框架，对于其具体的精准运行参数不做过多要求，故根据机车性能参数、线路参数，并结合相关文献，对此案例中虚拟编组技术下部分运行相关参数做出近似取值，案例虚拟编组相关参数如表2所示。

将各项数据代入模型，在1台CPU为 Inter Core i5-1135G7 2.4 GHz，内存为16 GB的个人电脑上，使用商业软件LINGO求解模型。求解时间为5 s，求得该区段各站会让方式及各区间运行图周期，计算结果如表3所示。

由表3可得，虚拟编组技术下，该线路可实现2列列车组队运行，限制区间为C—D区间，该区间运行图周期为85 min，在天窗时间为每日4 h前提下，全线能力为28对/d，较原闭塞方式下提升10对/d，能力提升效率达55%。

4　结论

针对单线重载铁路能力紧张问题，研究了虚拟编组技术对单线重载铁路能力的改善。介绍了虚拟编组的基本概念、对虚拟编组下列车区间运行及进、出站过程追踪状态进行分析，给出各状态下列车追踪间隔时间以及不同状态转换所需时间的具体表达式；进一步通过对列车在站会让方式的分析，给出区间运行图周期计算通式，从而构建了虚拟编组技术下单线重载铁路能力计算的混合整数线性规划模型。通过实际案例分析验证，模型简洁有效且计算结果真实可靠。

研究所建立模型适用性强，可为后续规划及运输组织工作提供参考，且模型计算结果理论上证明了虚拟编组技术的应用可较好地解决能力紧张问题，带来大幅度的经济效益提升，表明所做研究具有现实意义，可为我国重载铁路运输组织的革新发展提供一定的理论基础。

参考文献

[1] 赵丽珍，赵映莲，兰淑梅. 青藏铁路格拉段运输能力分析[J]. 中国铁道科学，2003，24(6)：118-123.

[2] ZHAO Lizhen， ZHAO Yinglian， LAN Shumei. Transportation Capacity Analysis of Golmud-Lhasa Section of Qinghai-Xizang Railway[J]. China Railway Science，2003，24(6)：118-123.

[3] 朱家荷，刘　新，梁　倩. 青藏铁路格拉段区间通过能力的研究[J]. 中国铁道科学，2007，28(5)：128-135.

[4] ZHU Jiahe， LIU Xin， LIANG Qian. Study on the Carrying Capacity of Golmud-Lhasa Section of Qinghai-Xizang Railway[J]. China Railway Science，2007，28(5)：128-135.

[5] 郑亚晶，张星臣，陈军华，等. 单线铁路成对非追踪平行运行图最小周期时间的混合整数非线性规划模型[J]. 中国铁道科学，2012，33(2)：100-106.

[6] ZHENG Yajing， ZHANG Xingchen， CHEN Junhua，et al. The Mixed Integer Nonlinear Programming Model for the Minimum Cycle Time of a Parallel Train Working Graph without Tracking Operation on Single-Track Railway[J]. China Railway Science，2012，33(2)：100-106.

[7] 杨肇夏，李　菊，胡锦云，等. 大秦线施工天窗及通过能力的研究[J]. 北方交通大学学报，1994，18(4)：484-491.

[8] 牛会想. 大秦铁路通过能力计算的特殊性分析[J]. 铁道工程学报，2009，26(8)：53-56.

[9] NIU Huixiang. Analysis of the Particularity of Calculating Carrying Capacity of Datong-Qinhuangdao Railway[J]. Journal of Railway Engineering Society，2009，26(8)：53-56.

[10] 高小媛. 重载铁路车站分布与线路输送能力的关系研究[J]. 兰州交通大学学报，2014，33(3)：217-222.

[11] GAO Xiaoyuan. The Relationship between Stations Distribution and Freight Capacity of Heavy Haul Railways[J]. Journal of Lanzhou Jiaotong University，2014，33(3)：217-222.

[12] 杨建兵，郭峤枫. 重载铁路天窗后期区段通过能力的影响因素研究[J]. 交通运输工程与信息学报，2020，18(1)：153-159.

[13] YANG Jianbing， GUO Qiaofeng. A Study on the Influencing Factors in Passing Capacity of Later Section of Maintenance Curfew in Heavy-Duty Railway[J]. Journal of Transportation Engineering and Information，2020，18(1)：153-159.

[14] 董世鑫，谭立刚，魏玉光. 移动闭塞条件下重载铁路列车流特性研究[J]. 铁道学报，2021，43(9)：9-17.

[15] DONG Shixin， TAN Ligang， WEI Yuguang. Characteristics of Heavy-Haul Railway Train Flow under Moving Block Condition[J]. Journal of the China Railway Society，2021，43(9)：9-17.

[16] QUAGLIETTA E. Analysis of Platooning Train Operations under V2V Communication-Based Signaling：Fundamental Modelling and Capacity Impacts of Virtual Coupling[C]. Proceedings of the 98th Transportation Research Board Annual Meeting：Washington DC，2019.

[17] QUAGLIETTA E， WANG M， GOVERDE R M P. A Multi-State Train-Following Model for the Analysis of Virtual Coupling Railway Operations[J]. Journal of Rail Transport Planning & Management，2020，15：100195.

[18] DI MEO C， DI VAIO M， FLAMMINI F，et al. ERTMS/ETCS Virtual Coupling：Proof of Concept and Numerical Analysis[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2020，21(6)：2545-2556.

[19] PAN J Y， PENG Q Y， ZHAN S G，et al. Multi-Scenario Based Train Headway Analysis under Virtual Coupling System[J]. Journal of Advanced Transportation，2021，2021：5642709.

[20] 宋志丹，徐效宁，李　辉，等. 面向虚拟编组的列控技术研究[J]. 铁道标准设计，2019，63(6)：155-159.

[21] SONG Zhidan， XU Xiaoning， LI Hui，et al. Study on Virtual-Coupling-Orientated Train Control Technique[J]. Railway Standard Design，2019，63(6)：155-159.

[22] 纪玉清，欧冬秀，常　鸣，等. 列车虚拟编组应用需求及关键技术研究[J]. 城市轨道交通研究，2022，25(11)：57-61.

[23] JI Yuqing， Dongxiu OU， CHANG Ming，et al. Research on Application Requirements and Key Technologies of Train Virtual Formation[J]. Urban Mass Transit，2022，25(11)：57-61.

[24] 张友兵，刘　岭. 基于虚拟编组的列车控制系统研究[J]. 铁道工程学报，2022，39(3)：94-100.

[25] ZHANG Youbing， LIU Ling. Research on the Train Control System Based on Virtual Coupling[J]. Journal of Railway Engineering Society，2022，39(3)：94-100.

[26] 陈永明，崔佳诺. 基于虚拟编组技术的重载铁路列控系统研究[J]. 铁道标准设计，2023，67(9)：176-181.

[27] CHEN Yongming， CUI Jianuo. Research on Train Control System of Heavy-Haul Railway Based on Virtual Grouping Technology[J]. Railway Standard Design，2023，67(9)：176-181.

[28] 赵　鹏，童有超，张进川，等. 单线铁路成对追踪平行运行图通过能力计算方法研究[J]. 铁道学报，2020，42(12)：1-9.

[29] ZHAO Peng， TONG Youchao， ZHANG Jinchuan，et al. Research on Method on Calculating Carrying Capacity of Parallel Train Working Graph with Tracking Operation on Single-Track Railway[J]. Journal of the China Railway Society，2020，42(12)：1-9.

[30] 严余松. 单线铁路平行运行图区间通过能力的整数规划法[J]. 西南交通大学学报，1994(1)：97-101.

基金资助

中国神华能源股份有限公司项目(GJNY-22-7/2300-K1220053)