地铁网络中断下韧性评估及修复策略

Resilience Evaluation and Restoration Strategy for Interrupted Metro Network

摘要

随着我国城市地铁发展，地铁系统在面对自然灾害、突发事件等扰动事件时所表现出的韧性是目前备受关注的问题。为评估和优化地铁网络韧性，首先，深入分析拓扑结构，提出一种综合考虑网络连通水平和冗余水平的网络性能函数，并构建网络韧性评价指标；然后，在中断场景下，研究以韧性最优为目标的车站修复调度问题，采用遗传算法求解模型，明确各施工队的施工方案；最后，以台北捷运为例进行实例研究，验证方法的有效性。结果表明：多车站失效后，网络连通水平和冗余水平均有所下降，网络性能随之降低；在工期等约束下，最佳修复策略模型能够合理地制定施工方案以最大限度地提高地铁网络韧性；条件允许情况下，适当延长工期有助于进一步地提升最佳网络韧性。案例研究为城市地铁线网规划及提高地铁网络韧性提供有益借鉴。

Abstract

With the development of China's urban metro, the resilience of the metro system facing natural disasters, emergencies and other disturbance events has been a matter of great concern. To evaluate and optimize the resilience of metro networks, this paper first analyzed the topology in-depth, proposed a network performance function that took the connectivity level and redundancy level into account comprehensively, and constructed a metric for network resilience. Then, in the interruption scenario, the station restoration scheduling problem aiming at resilience optimization was investigated, and a genetic algorithm was adopted to solve the model and specify the construction plan for construction teams. Finally, the Taipei Metro was used as a case study to test the effectiveness of the proposed method. The results show that after multiple station failures, the network performance decreases due to connectivity level and redundancy level. Under duration constraints, the optimal restoration strategy model can rationalize the construction plan to maximize metro network resilience. If the conditions are satisfied, extending the construction period will help further enhance the optimal network resilience. This case study provides a useful reference for urban metro network planning and improving the resilience of metro networks.

Graphical abstract

关键词

网络韧性 / 连通水平 / 冗余水平 / 韧性评估 / 修复策略 / 韧性优化

Key words

Network Resilience / Connectivity Level / Redundancy Level / Resilience Assessment / Restoration Strategy / Resilience Optimization

0　引言

经过多年发展，许多城市已建设庞大而复杂的地铁系统。然而，地铁系统需要面对更多的挑战，如突发事件、恶劣天气、系统故障等。这些扰动事件可能对地铁系统的正常运行和居民的出行造成严重影响，甚至危害生命财产安全。《交通强国建设纲要》强调要“增强系统韧性”作为建设高质量交通基础设施的一项重要目标^[1]。韧性综合反映了地铁系统应对各种扰动事件的能力，评估和优化地铁系统韧性具有重要的现实意义。

目前学界关于交通韧性的研究主要包括韧性评估与韧性优化。韧性评估通常涉及多种量化方法，且随着韧性定义的不同而不同，关于定义主要有Bruneau等^[2]的韧性定义和Pimm^[3]的韧性定义，两个定义区别在于，前者强调系统抵御扰动并从中恢复的能力，而后者侧重于系统的恢复能力；韧性优化通常将韧性过程细分诸如响应阶段和恢复阶段等多个阶段进行研究，针对不同阶段采取不同的优化方案。基于Bruneau等^[2]的韧性定义，马敏等^[4]以加权网络效率和OD客流损失率作为网络性能指标，在恢复阶段采用遗传算法优化车站修复顺序以提高网络韧性；张雯婕等^[5]考虑了列车运行交路，针对失效线路采用区间修复方式分段处理，以韧性最优和工期最短为目标，采用NSGA-Ⅱ算法求解；潘守政等^[6]以加权网络效率作为网络性能指标，在中断阶段利用耦合映像格子生成破坏场景，在恢复阶段分析环线和非环线车站的恢复顺序对韧性的影响；崔欣等^[7]以OD客流与旅行时间的比值作为网络性能指标，在恢复阶段考虑车站修复顺序和公交接驳来提高网络韧性；李明^[8]通过对所有车站的性能进行加权求和以量化网络性能，而某车站性能为该车站到其他车站的合理路径的距离倒数与可靠概率乘积的加权和。基于Pimm^[3]的韧性定义，D’Lima等^[9]采用改进的Ornstein-Uhlenbeck过程模拟线路客流一天的演变，其中布朗运动和泊松过程分别用来模拟弱扰动和强扰动时的客流波动，通过数据标定参数以确定客流韧性；Lu^[10]将OD间加权旅行时间作为网络性能指标，通过车站破坏后的性能损失与最大修复时长的比值来量化韧性；刘福华等^[11]将网络性能表示为OD客流损失与出行时间的比值，通过单位修复时间内的网络性能损失占比来量化韧性。基于综合指标方法，Xu等^[12]将网络韧性分为准备、鲁棒性、恢复性和适应性4个阶段以分别建立指标；程驰尧等^[13]提出韧性与网络连通度和全局网络效率成正比，而与网络密度和融合中心性成反比；马飞等^[14]在疫情背景下提出轨道交通网络的疫情阻抗韧性和运行效率韧性，分别采用确诊人数和加权网络效率作为韧性指标，讨论限流对网络韧性的影响。

地铁网络韧性研究对于提高城市交通系统的抵抗力、增强应急响应能力、优化资源配置以及推动交通系统可持续发展具有重要意义。因此，研究提出一种综合考虑网络拓扑结构的韧性评估指标，构建以网络韧性为优化目标的车站修复策略模型，采用多层编码遗传算法对模型求解，以中国台湾台北都会区大众捷运系统(以下简称“台北捷运”)为研究对象进行实例分析。

1　韧性评估

借鉴文献[15]，地铁网络韧性既包括网络通过其拓扑和运行属性应对扰动的固有能力，也包括在发生扰动或突发事件后可立即采取的应对策略。研究以地铁网络为对象，采用Space-L法构建地铁网络拓扑，考虑到上下行方向，地铁网络视为有向网络。在中断场景下，根据 Bruneau等^[2]提出的“韧性三角形”，研究网络性能随时间的演变以评估网络韧性。因此，合理构建网络性能函数是评估网络韧性的关键。

1.1　网络性能

地铁发生故障后，网络中断使得某些车站间的最短路径发生变化；同时，某些路径中断后需通过其他有效路径进行替代。因此，可以根据连通水平和冗余水平综合衡量网络性能。考虑到决策者的偏好，引入决策系数分别赋予连通水平和冗余水平不同的权重，其计算公式如下。

\psi =\alpha Rc+(\mathrm{1}-\alpha )Re⑴

式中：\psi为网络性能；Rc为网络连通水平；Re为网络冗余水平；\alpha为决策系数。

1.1.1　连通水平

连通水平主要考虑网络效率和连通度，两者是衡量连通水平的重要因素，且与之成正比^[13]。考虑到中断前后的变化，连通水平指标采用归一化处理，网络效率的相对值、连通度的取值范围均介于（\mathrm{0,1}]，其计算公式如下。

Rc=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\frac{E^{\mathrm{\text{'}}}}{E_{\mathrm{0}}})C^b⑵

式中：E_{\mathrm{0}}为初始的网络效率；E^{\mathrm{\text{'}}}为当前的网络效率；C为连通度；b为惩罚系数，b>\mathrm{1}。

（1）网络效率。网络效率通常是衡量网络连通性的指标^[15]，它与各个节点之间的最短路径长度有关，其计算公式如下。

E=\frac{\mathrm{1}}{N(N-\mathrm{1})}\sum _{r\ne s}\frac{\mathrm{1}}{d_{rs}}⑶

式中：E为网络效率；N为网络节点数；d_{rs}为节点r到节点s的最短路径长度。

（2）连通度。当节点失效导致网络中断，连通度是当前网络中最大连通子图的节点数与初始网络节点数的比值^[13]。连通度越大，网络中能够相互连通的节点数量也就越多，其计算公式如下。

C=\frac{N^{\mathrm{\text{'}}}}{N_{\mathrm{0}}}⑷

式中：N_{\mathrm{0}}为初始网络节点数；N^{\mathrm{\text{'}}}为当前网络中最大连通子图的节点数。

1.1.2　冗余水平

冗余水平主要体现网络中冗余路径的数量和不均衡性。当网络遭受破坏，某些节点间的最短路径失效，而冗余路径可以提供有效的替代选择。不均衡性是考虑到上下行方向冗余路径的条数不完全对称，良好的网络应尽可能使上下行方向的冗余路径数保持相近，其计算公式如下。

Re=\frac{N{r}^{\mathrm{\text{'}}}\times {{\kappa }^{\mathrm{\text{'}}}}^{-\mathrm{1}}}{N{r}_{\mathrm{0}}\times {{\kappa }_{\mathrm{0}}}^{-\mathrm{1}}}⑸

式中：N{r}_{\mathrm{0}}为初始网络的冗余路径条数；N{r}^{\mathrm{\text{'}}}为当前网络的冗余路径条数；{\kappa }_{\mathrm{0}}为初始网络的不均衡系数；{\kappa }^{\mathrm{\text{'}}}为当前网络的不均衡系数。

（1）冗余路径条数。研究将冗余路径条数定义为网络中所有节点间有效路径条数的平均值，通常情况下网络中OD间至少有一条有效路径，Nr\ge \mathrm{1}，其计算公式如下。

Nr=\frac{\mathrm{1}}{N（N-\mathrm{1}）}\sum _{r\ne s}{n}_{rs}⑹

式中：Nr为冗余路径条数；n_{rs}为节点r到节点s的有效路径条数。

Leurent^[16]针对有效路径给出了定义，即“每个路段相对于最短路径足够合理”。

(\mathrm{1}+{\tau }_r^a)(l_r(hea{d}_a)-l_r(tai{l}_a))\ge l_a⑺

式中：{\tau }_r^a为关于起点r的路段a的容忍系数，城市地铁网络中{\tau }_r^a取值范围为1.3~1.5^[16]；l_a为路段a的长度；l_r(hea{d}_a)为起点r到路段a头部的最短距离；l_r(tai{l}_a)为起点r到路段a尾部的最短距离。

Meng等^[17]给出了与起点有关的有效路径数的计算过程。计算分为以下2步。①将原始网络中起点无法到达的节点以及不满足式⑺的边删除，以构建与起点相关的子网络，在子网络中起点到其余节点的所有路径均为有效路径。②通过矩阵运算计算子网络中节点与节点之间的所有路径的数量。在矩阵中，起点所在的行是起点到其余节点的有效路径条数；其他节点所在的行是该点到其余节点的所有路径条数，但并非有效路径条数。

（2）不均衡系数。不均衡系数是为了校正网络冗余路径条数而提出的。当地铁网络上下行方向冗余路径数差异较大时，即使冗余路径条数大，但分布不均衡。因此，引入不均衡系数\kappa对其进行折算。借鉴客流不均衡系数^[18]，构建上下行方向冗余路径的不均衡系数如下。

\kappa =\frac{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\sum _{r\ne s}{n}_{rs}^u,\sum _{s\ne r}{n}_{sr}^x)}{\sum _{r\ne s}{n}_{rs}^u+\sum _{s\ne r}{n}_{sr}^x}⑻

式中：\kappa为不均衡系数；n_{rs}^u为上行方向(r,s)的有效路径数；n_{sr}^x为下行方向(s,r)的有效路径数。由公式⑻可知，\kappa \ge \mathrm{1}。\kappa愈接近1，说明上下行方向冗余路径数分布愈均衡；反之，愈不均衡。

1.2　网络韧性

根据Bruneau等^[2]的定义，给出韧性公式⑼，韧性R的范围介于\mathrm{0}~\mathrm{1}。韧性越大说明地铁网络抵御扰动并从扰动中恢复的能力越强。

R=\frac{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_e}\psi (t)dt}{{\psi }_{\mathrm{0}}(t_e-t_{\mathrm{0}})}⑼

式中：R为网络韧性；{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_e}\psi (t)dt为网络从受到扰动到恢复至初始状态的网络性能的总和；t_e-t_{\mathrm{0}}为网络从受到扰动到再次恢复所经历的时间；{\psi }_{\mathrm{0}}为初始的网络性能；{\psi }_t为t时刻的网络性能。

2　最佳修复策略模型及算法

2.1　最佳修复策略模型

以网络韧性最大为目标函数，最长允许工期等为约束条件建立如下最佳修复策略模型。通过求解该模型确定最佳修复方案以在恢复阶段提高网络韧性。

目标函数为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}R=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\frac{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_e}\psi (t)dt}{{\psi }_{\mathrm{0}}(t_e-t_{\mathrm{0}})}⑽

约束条件为

\underset{q\in Q,h\in H}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{\sum _{t\in T}t\cdot x_{tqh}+s_h\}=L\le L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑾

\sum _{t\in T}\sum _{q\in Q}{x}_{tqh}=\{\mathrm{0,1}\}\forall h\in H⑿

\sum _{h\in H}{x}_{tqh}\le \mathrm{1}\forall t\in T，q\in Q⒀

\sum _{q\in Q}\sum _{h\in H}{x}_{tqh}\le |Q|\forall t\in T⒁

x_{tqh}\in \{\mathrm{0,1}\}\forall t\in T，q\in Q，h\in H⒂

T=\{t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{0}}+\mathrm{\Delta }t,t_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }t,\cdots ,t_{\mathrm{0}}+L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\}⒃

式中：x_{tqh}为0-1决策变量，在t时施工队q修复车站h，则x_{tqh}=\mathrm{1}，否则，x_{tqh}=\mathrm{0}；s_h为车站h的修复时长；L为最后一个车站修复完成时的时间，即实际工期；L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为允许的最长工期；Q为施工队集合；T为时间集合；t_{\mathrm{0}}为开始修复的时间；\mathrm{\Delta }t为时间间隔；H为失效车站集合。

公式⑾为实际修复工期不能超过允许的最长工期；公式⑿为一个车站只能由一个施工队修复且只被修复一次；公式⒀为一个施工队同时最多只能修复一个车站；公式⒁为任意时刻修复中的车站数量不能超过施工队数量。

2.2　模型求解算法

遗传算法具有适应性强、并行性好、适用于复杂问题等优点，针对最佳修复策略模型，采用多层编码遗传算法对优化模型求解。遗传算法流程如图1所示。相较于传统的遗传算法，多层编码遗传算法将染色体划分为多个层次，可以更好地表达复杂的基因信息。研究采用数字\mathrm{1}~(N-N^{\mathrm{\text{'}}}+|Q|-\mathrm{1})组成染色体的基因集合，其中数字\mathrm{1}~(N-N^{\mathrm{\text{'}}})表示特定的失效车站，其余数字作为分层的标记。采用实数编码时，分层标记将染色体划分为|Q|个连续的区间，每个区间分别对应不同的基因信息，表示每一个施工队的修复方案。这些层共同组成染色体信息，构成了一种完整的施工方案。

3　案例研究

3.1　网络性能

台北捷运是台北市内最便捷的公共交通方式，早在2016年，台北捷运日均客运量已达到202.2万人次，乘客满意度达95.9%^[19]。台北捷运包括多条主干线和支线，线路之间相互连接，形成了一个密集的线网，既方便乘客在不同的线路之间换乘，也利于减轻线路负荷，提高地铁系统运行效率。因此，案例以台北捷运为对象进行研究，为城市地铁线网规划提供借鉴。

台北捷运目前有119座车站，6条主线路，台北捷运拓扑网络如图2所示，图中\mathrm{A}~\mathrm{F}代表6个失效车站以模拟扰动导致的网络中断场景。计算公式的参数中设惩罚系数b为1.2、容忍系数{\tau }_r^a=1.4、决策系数\alpha为0.5。

地铁车站失效往往是随机的，例如极端恶劣天气或是突发事件，而蓄意攻击发生较少。因此，研究主要讨论在随机攻击下地铁网络性能的变化。台北捷运特征指标如表1所示，中断前，车站间彼此连通，因此连通度为1；冗余路径条数为2.177，表明网络中OD间平均有2条有效路径可供选择；不均衡系数为1.008，表明网络中上下行方向的冗余路径数非常均衡，几乎相等。

3.1.1　连通水平

为模拟车站失效场景，不失一般性，通过1 000次模拟随机选择网络中6个车站进行攻击。当车站发生故障，一些邻接节点连接中断，一些节点间最短路径改变，中断导致网络效率和连通度下降。失效场景下的连通水平如图3所示。图3a所示，连通水平服从Weibull分布，且在0.714时具有最大的概率密度，揭示了该场景下最有可能发生的连通水平取值。图3b表明网络效率与连通度成正相关，当网络中一些重要车站失效时，网络效率最低时仅为0.065，下降48%，连通度为0.471，下降53%。节点度通常用于衡量车站重要性，当节点度大的换乘车站失效时，因为与其他节点的连接较多，所以失效时会导致更严重的后果。

连通水平演变如图4所示，图4讨论了网络连通水平的演变过程，随着节点移除比例增大，网络效率和连通度均逐渐减小，但连通度下降速度要更快一些。其可能的原因是节点失效会直接导致与邻近节点断开连接，使之成为网络中孤立的点，随着越多的失效节点从网络中移除，网络中剩余节点成为孤立节点的可能会越来越大，网络的连通度受到严重破坏。节点失效会间接导致网络效率下降，当某些节点失效，部分OD有绕行路径可供选择，因此网络效率下降速度较为缓慢。

3.1.2　冗余水平

失效场景下的冗余水平如图5所示。经多次模拟6个车站失效得到冗余水平分布且服从Weibull分布，见图5a。冗余水平在0.632时具有最大的概率密度，揭示了该场景下最有可能发生的取值。图5b展示了冗余水平与连通水平之间的联系，两者呈正相关。中断场景下，当冗余水平较高时，网络中有效路径数较多，意味着某些OD存在合理的短绕行路径，此时网络效率较高；反之，当冗余水平较低时，网络中有效路径数较少，意味着某些OD不存在可行路径或者存在不合理的长绕行路径，此时网络效率较低。

冗余水平演变如图6所示。图6展示了网络冗余水平的演变过程，随着节点移除比例增大，冗余路径条数逐渐减小，不均衡系数逐渐增大，整体上冗余水平在逐渐降低。当节点移除比例超过0.75，模拟中有些节点的移除会导致网络中节点均为孤立节点，导致网络连通度为0，不均衡系数不再适用。

冗余路径条数Nr除了与网络拓扑有直接关系，还与公式⑺中容忍系数{\tau }_r^a有关，容忍系数对有效路径数的影响如图7所示。图7讨论了容忍系数{\tau }_r^a对网络有效路径数n的影响。随着容忍系数增大，各OD可供选择的有效路径数n逐渐增加，网络的冗余路径条数Nr也随之增加；但当容忍系数增加至2.0时，有效路径数n的分布情况基本不变，可能的原因是受限于网络拓扑结构。

3.2　最佳修复策略

3.2.1　扰动场景设定

假设扰动场景如下。

假设1：扰动导致6座车站失效，失效车站分别用\mathrm{A}~\mathrm{F}在图2中标示。

假设2：失效车站\mathrm{A}~\mathrm{F}修复时长分别为：0.5 h，3 h，1 h，0.5 h，1.5 h和2 h。

假设3：参与修复车站的施工队共有2个。

3.2.2　模型计算结果

遗传算法中各参数设置为：种群数量为30、最大迭代次数为50、交叉概率为0.9、变异概率为0.1、代沟为0.9。通过对模型求解得到最佳修复方案如图8所示。图8a展示了各施工队的修复方案，施工队1需依次修复车站\mathrm{D}和车站\mathrm{F}，施工队2需依次修复车站\mathrm{A}、车站\mathrm{C}、车站\mathrm{B}和车站\mathrm{E}。图8b展示了每一阶段网络性能的变化情况，中断前网络性能保持在正常水平，随着6座车站失效，网络性能下降至0.413。恢复阶段，施工队1和施工队2同时修复车站\mathrm{D}和车站\mathrm{A}，并经过0.5 h同时修复完成，网络性能提升至0.511；然后，施工队2将车站\mathrm{C}经1 h修复完成，网络性能提升至0.685；施工队1将车站\mathrm{F}经2 h修复完成，网络性能提升至0.855。随后，施工队2将车站\mathrm{B}和车站\mathrm{E}依次修复完成，网络性能恢复到初始值，总历时6 h修复完所有车站。根据公式⑽最优韧性为0.767。

值得注意，在工期等约束条件下，车站的最佳修复顺序主要与车站的修复时长、车站对网络连通水平和冗余水平的贡献有关。首先，通过前面的分析，在6座车站中车站\mathrm{A}和车站\mathrm{D}最先修复完成，尽管它们对网络的连通水平和冗余水平贡献不是最关键的，但是两个车站的修复时长仅为0.5 h，修复后能够在短时间内快速提升网络性能。其次，车站\mathrm{B}先于车站\mathrm{E}修复，虽然车站\mathrm{B}修复时间较长，但是车站\mathrm{B}作为换乘站对网络的连通水平和冗余水平贡献更大，它的失效导致网络连通水平和冗余水平分别下降至0.945，0.783，影响较大；车站\mathrm{E}在失效后导致网络连通水平和冗余水平分别下降至0.986，0.998，影响较小。因此，综合情况下先修复车站\mathrm{B}能够更好地提升网络性能。另外，考虑无工期约束且其他条件不变的情况。通过模型求解得到最佳修复方案为施工队1依次修复车站\mathrm{D}、车站\mathrm{F}、车站\mathrm{B}和车站\mathrm{E}，施工队2依次修复车站\mathrm{C}和车站\mathrm{A}。按照时间，车站恢复顺序依次为车站\mathrm{D}、车站\mathrm{C}、车站\mathrm{A}、车站\mathrm{F}、车站\mathrm{B}、车站\mathrm{E}。从结果来看，当车站对网络连通水平和冗余水平贡献近似时，修复时间短的车站往往被优先修复；当车站修复时间近似时，通常对网络连通水平和冗余水平贡献较大的车站优先修复。综上分析，最佳修复顺序主要与车站修复时间、车站对网络连通水平和冗余水平的贡献有关。

3.2.3　约束条件讨论

工期对最佳修复方案的影响如表2所示。最长允许工期范围从4.5 h到8.0 h，最佳韧性相应地从0.702增加到0.783。最长允许工期在7.5 h和8.0 h时，实际工期、最佳施工方案以及最佳韧性都不再改变。工期对最佳韧性的影响如图9所示，随着实际工期增加，最佳韧性得到进一步提升，但提升速度逐渐减小。鉴于此，条件允许情况下可以考虑适当放宽工期，以保证最佳韧性值。

4　结论与建议

针对目前研究存在的不足，研究通过对网络拓扑结构的分析，改进了韧性评估体系，在切合实际的假设条件下，提出了考虑车站修复策略的韧性优化模型，以台北捷运为例进行验证和分析。主要结论如下。

（1）地铁网络的多个站点失效通常会导致网络效率、网络连通度及网络冗余路径数均下降，上下行方向冗余路径的不均衡系数增加，进而导致网络连通水平和冗余水平均有所下降。

（2）最佳修复策略模型能够合理地制定施工方案以最大限度地提高地铁网络韧性。从模型计算结果来看，失效车站的修复顺序主要与车站所需的修复时长、车站对网络连通水平和冗余水平的贡献有关，优先修复使网络性能下降严重且修复时长短的车站有助于减少网络韧性损失。

（3）条件允许情况下，施工工期的适当延长能够改善受工期约束影响的修复方案，从而进一步增大最佳网络韧性。

根据研究结果，给出如下建议：一是规划地铁网络时应同时考虑网络的连通水平和冗余水平，以提高网络的可靠性和鲁棒性。二是加强重要站点的抗灾能力和应急响应能力。重要站点的失效或者恢复对于网络性能的影响较大，诸如换乘站等度值高的站点应得到足够重视。三是针对扰动场景制定合理应对策略和应对预案。建立与相关部门和机构的合作机制，以便在扰动事件发生时能够及时调动资源和协同应对。

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基金资助

江西省社会科学规划项目(22YJ17)

江西省研究生创新专项资金项目(YC2022-s561)