高速综合检测列车交路计划优化方法研究

Optimization Method of Routing Scheme for High Speed Comprehensive Inspection Train

摘要

高速综合检测列车对于确保高速铁路系统安全、高效运营极为重要，研究提出了高速综合检测列车交路计划双层优化模型，上层优化分配高速综合检测列车巡检路径，下层优化高速综合检测列车巡检时间，通过添加中间变量解耦非线性约束，并基于Gurobi优化器设计配套求解算法，同步实现了月度综合检测列车巡检路径最优和车底运用最合理，以及按月执行的综合检测列车巡检计划变化最小、跟车班组人员适应性最优的目标；并以某月全国高速铁路网综合检测列车巡检计划为例，对优化方法的可行性和有效性进行了验证，结果表明该方法大大提高了高速综合检测列车检测效率和任务分配均衡度，可为综合检测列车实际巡检工作优化提供理论和方法支撑。

Abstract

High speed comprehensive inspection trains are crucial for ensuring the safety and efficient operation of the high speed railway system. This paper proposed a bi-level optimization model for the routing scheme of high speed comprehensive inspection trains. The upper level is to optimize the inspection routes, while the lower level is to optimize the inspection timings of high speed comprehensive inspection trains. By introducing intermediate variables to decouple the nonlinear constraints and designing the supporting solution algorithm based on the Gurobi optimizer, the model simultaneously achieved the objectives of optimal monthly inspection routes, the most reasonable allocation of rolling stock, minimal changes to the monthly inspection scheme of high speed comprehensive inspection trains, and optimal adaptability of crew members. Besides, taking the inspection scheme in a certain month of the high speed comprehensive inspection trains as an example, the paper verified the feasibility and effectiveness of the optimization method. The results demonstrate that this method significantly improves the efficiency and task allocation balance of the high speed comprehensive inspection trains, and can provide theoretical and methodological support for optimizing the actual inspection work of high speed comprehensive inspection trains.

Graphical abstract

关键词

高速综合检测列车 / 检测交路 / 指派问题 / 路径规划 / 列车巡检计划

Key words

High Speed Comprehensive Inspection Train / Inspection Routing / Assignment Problem / Path Planning / Train Inspection Scheme

0　引言

截至2023年底，我国高速铁路路网规模已达4.5万km，稳居世界第一。飞速发展的高速铁路路网在为我国广大民众提供更优质的交通服务的同时，也为高速铁路动态检测业务带来了更大的挑战。截至2022年底，高速综合检测列车年度运营检测里程已经突破200万km，现有的14列高速综合检测列车在运用时还要考虑联调联试、综合试验、高级修等情况的预留，以及车底和线路速度不匹配等各种影响因素，实际能够承担日常动态检测任务的综合检测列车仅有9列左右。加之目前巡检交路计划以人工编制为主，面对不断增长的检测任务，车底运用资源紧张、检测任务量不均衡、高速综合检测列车运用效率低下等问题日益凸显。因此，亟需针对现有交路计划编制开展优化方法研究。

高速综合检测列车交路计划优化问题涉及将一系列检测任务分配给一组高速综合检测列车，同时规划该组高速综合检测列车的巡检路径，基本可视为指派问题和路径规划问题的结合。指派问题研究主要围绕混合数学模型和启发式算法展开，魏阳^[1]以飞机数量限制、航班任务执行要求、机型数量分布要求等为约束条件，构建了针对机型指派问题的数学模型；李文玉^[2]以仓储机器人完成任务的总运行成本最小为目标，建立了非平衡指派问题模型，并利用贪婪思想设计了启发式算法；张涛等^[3]以航班衔接时间最优为目标函数，构建了带有时间约束的航班指派问题混合整数规划模型；田倩南等^[4]以任务完成产生的效益总和最大化为目标函数，构建了将具有特殊约束的任务指派给有限数量班次的机场任务指派模型；蒋沐弘等^[5]构建了考虑列车运行图缓冲时间的任务分配模型；吴洁等^[6]提出了多无人海洋运载器协同编队任务分配方法；程德通等^[7]构建了生产任务指派方案优化模型。目前路径规划问题的研究成果已较为丰富，多数集中在车辆路径规划问题研究。张家善^[8]编制了以配送路径长度最短为目标函数的多车协同路径寻优模型；庞燕等^[9]通过分析半开放式、多级式、多目标式等不同车辆路径优化问题的特征，系统介绍了车辆路径问题的相关求解算法；李国明等^[10]建立了以配送车辆行驶路径为研究对象，基于配送成本、时间惩罚成本、修正成本的配送车辆路径优化模型；代楚楚等^[11]构建了考虑时间窗约束和车容量约束等条件下的快递企业低碳配送车辆路径选择模型；张岩等^[12]以调车机车走行距离最短为目标函数，考虑车列长度限制和时间约束，建立了权重动态变化的车辆走行路径模型；赵益锋^[13]构建了针对铁路客站机器人的路径规划模型；傅恩圆^[14]构建了铁路危险品运输路径规划模型；胡碟等^[15]构建了船舶尾气排放检测无人机路径优化模型。

尽管指派问题和路径规划问题的研究已相当成熟，但将这些研究成果应用于高速综合检测列车交路计划优化上的研究仍然较少。虽然指派和路径规划的基本原理为高速综合检测列车交路计划优化问题提供了基本框架，但如何具体应用仍是具有挑战性的问题。此外，一方面需要提高高速综合检测列车运用效率，另一方面需要考虑交路任务的均衡分配、综合检测列车的路径闭环等因素，综合考虑多种因素的高速综合检测列车交路计划优化问题更为复杂，相关研究成果更为不足。因此构建综合考虑现有交路检测任务分配以及全国路网巡检路径规划的双重优化方法，为高速综合检测列车交路计划自动化编制及动态检测业务优化提供理论和方法支撑。

1　高速综合检测列车运用现状分析

根据《高速铁路无砟轨道维护规则(2012)》要求，高速综合检测列车针对每条高速铁路线路动态巡检的时间间隔不得超过15 d。同时，目前我国高速铁路路网在每月2遍的全覆盖基本检测基础上，部分炎热地区特殊线路在夏季高温季节(6—9月)，每月加密检测1遍；部分高海拔寒冷地区特殊线路在冬季高寒季节(11月—次年4月)，每月加密检测2遍；部分特殊需求或重点线路，根据情况动态调整检测频次。

此外，不同高速铁路线路里程差异较大，造成检测交路过多，其中最短日检测里程不足200 km，同时日检测里程少于800 km的检测交路共有29条，占比近29.6%。短小交路既占用大量高速综合检测车资源，增加了检测车运用紧张程度，同时过多的交路数量也加剧了综合检测列车交路计划编制的困难程度。

由于交路计划采用人工编制，缺乏模型、算法等技术手段协助，整体统筹程度低，人工干预调整工作强度大，编制效率较差，且针对突发情况下交路计划调整实时性较差，各检测列车检测里程不均衡、车底运用效率低。2022年5月份各检测车检测任务信息如表1所示，从不同车型检测车的检测里程来看，CRH2C-2150车检测里程30 951.8 km，CRH5J-0501车检测里程14 746.1 km，两车检测里程相差1万余km，直接导致不同车底间老化程度差异过大，检测任务较重车底频繁面临高级修，为日常检测任务分配带来不利影响。从检测天数来看，CRH380BJ-A-0504巡检24 d，CRH5J-0501巡检10 d。一般情况检测作业班组人员与车底固定搭配，由于各检测车巡检任务时长的差异性，直接导致作业人员工作强度不一致，强度较大班组人员疲劳作业存在一定隐患。

2　高速综合检测列车交路计划优化模型

高速综合检测列车交路计划优化问题需要解决的子问题包括：①单个交路由哪列综合检测列车执行检测，②多个交路运行线衔接安排，③全国路网条件下交路执行顺序规划以及巡检计划调整规划。因此，建立了双层优化模型来系统解决上述问题，其中上层模型针对交路巡检车数量、交路分配以及巡检路径规划进行优化，实现巡检路径最合理和综合检测列车运用最优的目的；下层模型以按月执行的巡检计划变化调整量最少为优化目标，旨在实现高速综合检测列车动态调整量最少与跟车班组人员适应性最优的目的。

2.1　变量及含义

本模型中用到的变量及含义如表2所示。

2.2　上层高速综合检测列车交路检测任务分配模型

假设检测车始发或终到站必须是同一动车运用所或所属同一城市的动车运用所。当检测车交路始发或终到站不是同一动车运用所，但同属一个城市时，可通过转场至所属城市的动车运用所，因而一条交路的起始站与另一条交路的终到站在一个城市即可接续，未必需要在同一个车站。

2.2.1　构建目标函数

在构建双层规划模型时，交路计划方案需要满足以下要求：①各检测车承担的交路数量大致相当，即工作天数相当；②各检测车巡检里程尽可能短，巡检路径尽可能合理；③尽可能少地使用检测车；④在实际执行过程中，按月顺延执行的计划调整量尽可能小，避免对检测车乘务人员、运行图规划人员产生较大的不利影响。

基于此，构建上层交路检测任务分配模型，构建目标函数如下。

（1）各检测车任务量差值公式如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{1}}=\sum _{s\in S}|\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s-R\times w_s|⑴

公式⑴表示各检测车承担的交路数量尽可能相当，有助于避免个别检测车检测任务过于繁忙，而个别检测车空闲的情况出现。

（2）检测车数量公式如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{2}}=\sum _{s\in S}{w}_s⑵

公式⑵表示最小化检测车运用数量，有助于提升检测车资源利用率。

（3）待测交路任务分配较原计划的调整量公式如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{3}}=\sum _{s\in S}\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}|x_{e_{ij}n}^s-{\rho }_{e_{ij}n}^s|⑶

公式⑶表示待测交路担当任务的检测车较上月发生变化的总数量最小，以实现更加稳健的计划。

2.2.2　约束条件

（1）交路检测需求公式如下。

\sum _{s\in S}{x}_{e_{ij}n}^s=\mathrm{1}\forall e_{ij}\in E，\forall n\in m_{e_{ij}}⑷

公式⑷要求每一交路必须被执行，应检交路必须按照频次要求进行检验。

（2）检测车选择公式如下。

\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s\le M\times w_s\forall s\in S⑸

公式⑸表示如果检测车s没有被使用，那么该检测车不能承担任何交路任务。

（3）特殊交路的要求如下。

x_{e_{ij}n}^s=\mathrm{1}\forall e_{ij}\in E_s，\forall s\in S，\forall n\in m_{e_{ij}}⑹

公式⑹表示对于特殊交路，必须由指定的检测车执行该任务。例如高寒地区必须使用CRH380BJ-A-0504组织检测。

（4）交路执行总次数M公式如下。

M=\sum _{e_{ij}\in E}{m}_{e_{ij}}⑺

（5）检测车检测能力约束如下。

\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s\le \mathrm{30}\forall s\in S⑻

公式⑻表示检测车承担的交路任务数量不应超过其运输能力。

（6）流平衡约束如下。

\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s=\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ji}n}^s\forall i\in I，\forall s\in S⑼

公式⑼表示对于每一检测车，在每一动车所出发交路数量等于到达交路数量。

（7）检测车数量公式如下。

\sum _{s\in S}{w}_s=b⑽

公式⑽规定了检测车数量的计算方法，也可用于求解指定检测车数量的交路划分方案。

（8）检测区域连通约束公式如下。

y_i^s\le \sum _{j\in I,j\ne i}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s\forall s\in S⑾

M\times y_i^s\ge \sum _{j\in I,j\ne i}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{x}_{e_{ij}n}^s\forall s\in S⑿

y_i^s\ge y_j^s\times x_{e_{ji}n}^s\forall i，j\in I；\forall s\in S；\forall n\in m_{e_{ij}}⒀

y_i^s\le \sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{ji}}}(y_j^s\times x_{e_{ji}n}^s)\forall i，j\in I；\forall s\in S；\forall n\in m_{e_{ij}}⒁

公式⑾表示如果检测车不执行交路任务e_{ij}，那么检测车不通过动车运用所i；公式⑿表示如果检测车不通过动车运用所i，那么该检测车不能执行任何以动车运用所i为始发站的交路；公式⒀表示如果检测车s通过动车运用所j和交路ji，那么该检测车必定通过动车所i；公式⒁表示如果检测车不能以任何路径到达动车运用所i，那么y_i^s为0。

公式⑾—⒁是为保证各检测车巡检区域的连通性，否则结果中会出现多个独立、互不连通的运行环路，检测区域连通约束条件示意图如图1所示。例如图1中的A—B—A、E—F—E。假设检测车归属动车运用所A，检测车通过动车运用所E的充分必要条件是检测车既通过动车运用所B，又通过交路B—E；或既通过动车运用所C，又通过交路C—E；或既通过动车运用所D，又通过交路D—E。如果检测车不通过动车运用所E，那么检测车不能执行交路任务E—F。

（9）检测车配属约束如下。

y_{i_s}^s=w_s\forall s\in S⒂

公式⒂表示如果使用检测车s，那么其必定通过所属动车运用所。

（10）相同起止站交路分配约束如下。

M\times y_i^s\ge x_{e_{ii}}^s\forall i\in I，\forall s\in S⒃

公式⒃表示如果检测车s不通过动车运用所i，那么该检测车不能执行既由动车运用所i始发又在动车运用所i终到的交路任务。

（11）平均检测交路数量计算方法如下。

R={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}(v_l\times M/l)\forall l\in N^{+}⒄

{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}{v}_l=\mathrm{1}\forall l\in N^{+}⒅

|b-l|\le \mathrm{8}\times |R-M/l|\forall l\in \{\mathrm{1,2},...,\mathrm{8}\}⒆

公式⒄—⒆表示平均检测交路数量R等于M/b。

2.3　下层高速综合检测列车巡检时间优化模型

2.3.1　目标函数

交路任务实际执行日期与期望日期差值公式如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}^{\text{'}}=\sum _{s\in S}\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}|t\times \alpha (e_{ij},n,s,t)-{\lambda }_{e_{ij}n}^s|⒇

公式⒇表示交路任务实际执行日期与期望日期总差值最小，目标函数的意义是使检测交路任务的实际执行日期是期望执行日期或接近期望执行日期。

2.3.2　约束条件

（1）交路任务需求约束如下。

\sum _{t\in T}\alpha (e_{ij},n,s,t)=\mathrm{1}\forall e_{ij}\in E，\forall s\in S

\sum _{q\in Q_s}\beta (e_{ij},n,s,q)=\mathrm{1}\forall e_{ij}\in E，\forall s\in S

公式 、公式 表示所有交路检测任务必须被执行，每个任务对应一个次序和一个日期。

（2）执行日期唯一约束如下。

\sum _{i\in I}\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}\alpha (e_{ij},n,s,t)\le \mathrm{1}\forall s\in S，\forall t\in T

公式 表示任意一个日期最多对应一个交路检测任务。

（3）执行次序唯一约束如下。

\sum _{i\in I}\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}\beta (e_{ij},n,s,q)=\mathrm{1}\forall s\in S，\forall q\in Q_s

公式 表示任意一种次序对应一个交路检测任务。

（4）交路任务衔接约束如下。

\sum _{i\in I}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}\beta (e_{ij},n,s,q)=\sum _{u\in I}\sum _{n\in m_{ju}}\beta (j,u,n,s,q+\mathrm{1})\forall j\in I，\forall s\in S，\forall q\in Q_s

公式 表示如果有交路e_{ij}的执行次序是q，那么应有一条由j始发的交路的执行次序是q+\mathrm{1}。

（5）任务次序与时间关联约束如下。

\sum _{q\in Q_s}q\times (\beta (e_{ij},n,s,q)-\beta (e_{i^{\text{'}}{j}^{\text{'}}},n,s,q))>=-M\times \psi (e_{ij},e_{i^{\text{'}}{j}^{\text{'}}})\forall i，j，i^{\text{'}}，j^{\text{'}}\in I；\forall s\in S

\forall i，j，i^{\text{'}}，j^{\text{'}}\in I；\forall s\in S

\sum _{t\in T_s}t\times (\alpha (e_{ij},n,s,t)-\alpha (e_{i^{\text{'}}{j}^{\text{'}}},n,s,t))>=-M\times \psi (e_{ij},e_{i^{\text{'}}{j}^{\text{'}}})\forall i，j，i^{\text{'}}，j^{\text{'}}\in I；\forall s\in S

\forall i，j，i^{\text{'}}，j^{\text{'}}\in I；\forall s\in S

公式 — 表示执行交路检测任务的次序和日期的关系。如果执行某个交路检测任务的次序较另一个靠后，那么它的日期也必定较另一个靠后。

（6）起止动车运用所约束如下。

\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{i_{s}j}}}\beta (e_{i_{s}j},n,s,\mathrm{1})=\mathrm{1}\forall s\in S

\sum _{j\in I}\sum _{n\in m_{e_{i_{s}j}}}\beta (e_{i_{s}j},n,s,q^{\text{'}})=\mathrm{1}\forall s\in S

公式 、公式 表示检测车走行路径的起止站点必须是其所属动车运用所，即检测车在周期初由所属动车运用所始发，在周期末回到所属动车运用所。

2.4　求解算法

（1）目标函数无量纲化处理。由于各目标函数的结果取值范围差异较大，不具有可比性，因此将各目标函数进行无量纲化处理。无量纲化处理后的目标函数为

Z=a_{\mathrm{1}}\times z_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}\times z_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{3}}\times z_{\mathrm{3}}

式中：a_{\mathrm{1}}、a_{\mathrm{2}}、a_{\mathrm{3}}分别指对目标函数z_{\mathrm{1}}、z_{\mathrm{2}}、z_{\mathrm{3}}进行无量纲化处理的参数，根据实际案例确定取值。

（2）线性化处理。非线性约束条件或目标函数可以通过巧妙地处理转化为线性化公式，如对目标函数⑴进行线性化处理，引入实数变量{\theta }_s，使{\theta }_s=w_s\times R。

{\theta }_s\le M\times w_s\forall s\in S，\forall {\theta }_s\in [\mathrm{0}，R]

M\times (\mathrm{1}-w_s)+{\theta }_s\ge w_s+R-\mathrm{1}\forall s\in S，\forall {\theta }_s\in [\mathrm{0}，R]

公式 表示如果w_s为0，那么{\theta }_s等于0；公式 表示如果w_s为1，那么{\theta }_s等于R。

（3）模型求解。求解已建立的双层规划模型要求输入交路计划、交路和动车运用所之间的互联互通关系等信息。将上层规划的待测交路任务分配方案作为模型的输入内容，设置矩阵变量，构造目标函数，建立约束条件系数矩阵等，利用Matlab平台调用Gurobi求解器求解交路任务分配模型和检测车巡检径路规划模型。

3　算例分析

3.1　研究对象

以2022年5月份的高速综合检测列车交路计划作为案例进行分析，运用双层优化模型对5月份交路任务分配方案、巡检径路方案进行优化。检测交路计划共有检测车8列，部分检测列车由所属铁路局集团公司代管，未统一安排，共有交路151条。

算法层面需要对各目标函数进行无量纲处理，避免某个目标所占权重过高。在实际应用中可根据各目标函数重要性调整参数取值。下层模型中目标函数交路任务期望执行日期定为5月份原计划的实际执行日期，目的是尽可能地减少对交路计划的调整，方便检测车的调度运营，同时保留了结合各单位的实际情况灵活确定期望执行日期的调整空间。

3.2　求解结果分析

通过Gurobi软件对模型进行直接求解，得到优化后的交路任务分配模型，共使用检测车6列，相比原交路计划减少检测车2列。各检测车执行交路任务量较为均衡，检测车执行交路任务量统计表如表3所示，待测交路任务分配较原计划的调整量z_{\mathrm{3}}为58，相比原计划变化较小，目标函数计算结果如表4所示。求解得到的交路计划，能够满足流平衡约束和检测区域连通要求，各检测车检测交路互相连通，检测车从所属动车运用所出发后能不重复地走完所有交路，并回到所属动车运用所。

同时针对由于检测任务变化、检测要求改变以及检测车归属地变化，来进行算法设计，假设高速综合检测列车管辖单位发生变化，检测车CRH380BJ-0301的代管单位由中国铁路北京局集团有限公司变为中国铁路沈阳局集团有限公司，每月起止动车运用所为沈阳北动车运用所。上层模型以检测里程分配最均衡和交路检测任务调整量最小为目标函数，下层模型不变。设z_{\mathrm{4}}为各检测列车的检测里程分配量差值；d_{ij}为交路任务e_{ij}的实际走行里程，km；D为待检测任务的总里程，km。z_{\mathrm{4}}的计算方法为

z_{\mathrm{4}}=\sum _{s\in S}|\sum _{e_{ij}\in E}\sum _{n\in m_{e_{ij}}}{d}_{e_{ij}}\times x_{e_{ij}n}^s-D/{\displaystyle \sum _{s\in S}^{}}{w}_s|

检测任务总里程计算方法为

D=\sum _{e_{ij}\in E}{d}_{e_{ij}}\times \sum _{n\in m_{e_{ij}}}\mathrm{1}

上层模型的目标函数计算方法为

z=a_{\mathrm{3}}\times z_{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{4}}\times z_{\mathrm{4}}

z_{\mathrm{4}}的值域范围远大于z_{\mathrm{3}}，求解结果一般也大于z_{\mathrm{3}}，为统一量纲，避免z_{\mathrm{4}}权重过高，将a_{\mathrm{3}}设为500，将a_{\mathrm{4}}设为1。

通过Gurobi求解器对模型进行求解，得到优化后的交路任务分配方案，共使用检测车8列。各检测车的检测里程分配较为均衡，计算得出各检测车在优化前后的检测里程，各检测车检测里程优化前后对比如图2所示，在原方案中各检测车检测里程数相差较多，经过优化，各检测车的检测里程分配得更加均匀。待测交路任务分配较原计划的调整量z_{\mathrm{3}}为30，相比原计划变化较小，模型运行结果如表5所示。

研究提出的双层规划模型和算法，应用于高速综合检测列车运用交路计划编制，实现了检测车列数缩减，以及检测任务变化以及检测车归属地变化2种场景下的高速综合检测列车运用交路计划优化。根据计算结果分析，优化后的综合检测列车运用交路计划中各检测车任务量更为均衡，同时保留了在综合检测列车运用交路原计划方案基础上的少调整原则。案例结果表明所提出的双层优化模型在针对高速综合检测列车运用以及交路计划编制方面切实起到减少车体运用数量需求、平衡车体运用均衡度、降低工作人员劳动成本、提升编制效率的作用。

4　结束语

在研究高速综合检测列车交路计划优化问题时，通过结合考虑交路检测任务分配的指派问题和交路检测走行路径规划问题，将检测列车数量最少、不同车体间检测任务量最均衡、运行总里程最少共同作为模型的目标函数，首次将算法模型优化针对高速综合检测列车领域的特殊性相结合，应用到综合检测业务体系中。经过多种算法尝试，综合考虑时间、准确性等因素，利用分支定界法求解模型，以实际执行的交路计划为对比进行算例分析，结果表明该模型应对综合检测列车交路计划编制业务具备明显的优化效果，可为高速综合检测列车交路计划自动化编制及动态检测业务优化提供算法借鉴和实践指导。

参考文献

[1] 魏阳. 航班计划中机型指派问题研究[D]. 西南交通大学，2014.

[2] 李文玉.智能仓库系统多机器人任务分配问题研究[D]. 北京物资学院，2016.

[3] 张涛，胡佳研，李福娟，等. 基于ASRank和MMAS的蚁群算法求解飞机指派问题[J]. 管理工程学报，2012，26(2)：148-155.

[4] ZHANG Tao， HU Jiayan， LI Fujian，et al. Ant Colony Algorithm based on the ASRank and MMAS for the Aircraft Assigning Problem[J]. Journal of Industrial Engineering Management， 2012，26(2)：148-155.

[5] 田倩南，李昆鹏，李文莉，徐东洋. 机场任务指派问题的优化方案研究[J].运筹与管理，2019，28(11)：1-8.

[6] TIAN Qiannan， LI Kunpeng， LI Wenli， XU Dongyang. Research on Optimization of Airport Task Assignment Problem[J]. Operations Research and Management Science，2019，28(11)：1-8.

[7] 蒋沐弘，郑屹桐，李帅，等.普速铁路列车运行图缓冲时间优化分配研究[J].铁道运输与经济，2021，43(6)：6-14.

[8] JIANG Muhong， ZHENG Yitong， LI Shuai，et al. Research on Optimal Allocation of Buffer Time for Train Timetable of Conventional Railway[J].Railway Transport and Economy，2021，43(6)：6-14.

[9] 吴　洁，郝子康，李明昊，等. 多无人海洋运载器协同编队任务分配方法[J]. 中国航海，2023，46(2)：144-151，160.

[10] WU Jie， HAO Zikang， LI Minghao，et al. Coordinated Task Allocation for UMV Formation Control[J]. Navigation of China，2023，46(2)：144-151，160.

[11] 程德通，李登峰，余高锋.大规模定制模式下基于三角直觉模糊信息的生产指派问题研究[J].运筹与管理，2016，25(1)：59-69.

[12] CHENG Detong， LI Dengfeng， YU Gaofeng. Research on the Production Assignment Based on the Trianguar Intuitionistic Fuzzy Numbers Under the Mass Customization Mode[J]. Operations Research and Management Science，2016，25(1)：59-69.

[13] 张家善. 基于改进蚁群算法的物流配送车辆路径优化研究[D].辽宁工程技术大学，2014.

[14] 庞燕，罗华丽，邢立宁，等.车辆路径优化问题及求解方法研究综述[J].控制理论与应用，2019，36(10)：1573-1584.

[15] PANG Yan， LUO Huali， XING Lining，et al. A survey of Vehicle Routing Optimization Problems and Solution Methods[J].Control Theory & Applications，2019，36(10)：1573-1584.

[16] 李国明，李军华.基于混合禁忌搜索算法的随机车辆路径问题[J].控制与决策，2021，36(9)：2161-2169.

[17] LI Guoming， LI Junhua. Stochastic Vehicle Routing Problem Based on Hybrid Tabu Search Algorithm[J]. Control and Decision，2021，36(9)：2161-2169.

[18] 代楚楚，徐菱.考虑碳排放的快递企业配送路径研究[J].铁道运输与经济，2014，36(7)：71-77，83.

[19] DAI Chuchu， XU Ling. Study on Express Enterprise' Delivery Routes with Considering Carbon Emission[J]. Railway Transport and Economy，2014，36(7)：71-77，83.

[20] 张岩，李想，孙文桥，等.铁路站场往返取车作业优化模型及算法[J].铁道运输与经济，2020，42(8)：25-32.

[21] ZHANG Yan， LI Xiang， SUN Wenjiao，et al. Optimization Model and Algorithm of Wagon Placing-in and Taking-out Operations in a Marshalling Yard[J].Railway Transport and Economy，2020，42(8)：25-32.

[22] 赵益锋. 基于铁路客站机器人自动巡航的路径规划关键技术研究[D].西南交通大学，2024.

[23] 傅恩圆. 结合风险价值的多危险品运输路径规划问题研究[D].天津大学，2021.

[24] 胡碟，胡志华，田曦丹.考虑船舶实时位置的船舶尾气排放检测无人机路径优化[J].大连海事大学学报，2024，50(1)：28-38.

[25] HU Die， HU Zhihua， TIAN Xidan. Routing Drones for Ship Exhaust Emission Detection Considering Real-Time Ship Location[J]. Journal of Dalian Maritime University，2024，50(1)：28-38.

基金资助

中国铁道科学研究院集团有限公司科研项目(2021YJ206)