基于有限时空域的铁路运行图货物列车运行线铺画方法研究

Method for Drawing Freight Train Running Lines in Railway Train Working Diagram Based on Finite Space-Time Domain

摘要

目前我国部分普速铁路干线仍然存在客货列车争能现象，为此铁路部门时常采用“调客增货”的方式以满足部分时段货物运输需求。但由于普速铁路列车运行图编制时，货物列车运行线的铺画优先级往往低于旅客列车，缺少旅客列车停开后的货物列车运行线自动分析和编制方法，导致货运市场与运行图编制无法适配。为此，将普速铁路旅客列车停开后的货物列车运行线铺画问题转化为动态规划问题，从运行线的函数特征、车站间隔时间和货物列车运行线铺画区域3个方面阐述模型原理，构建基于双计算周期的动态规划模型，并以京广铁路平南至邯郸南一场区段为例对模型进行了有效性验证。结果表明，该方法能有效求解有限时空域内的货物列车运行线连续铺画问题，对提高普速铁路通过能力利用率、优化普速铁路客货列车结构具有理论与实际意义。

Abstract

There is still a competition phenomenon between passenger trains and freight trains on some trunk lines of conventional railways in China. Therefore, the railway department often adopts the method of adjusting passengers and increasing goods to meet the demand for freight transportation during some periods. However, as freight train running lines are often drawn after passenger train running lines when the conventional railway train working diagram is prepared, and there is a lack of automatic analysis and preparation methods after the passenger trains stop running, the incompatibility between the freight market and working diagram preparation ensues. Therefore, the problem of drawing freight train running lines after the passenger trains stop running on conventional railways was transformed into a dynamic programming problem. The model principle was expounded from three aspects: functional characteristics of running lines, station interval time, and area for drawing freight train running lines. A dynamic programming model based on dual calculation cycles was constructed, and the model's effectiveness was verified by taking the section from Pingnan Station to Handannan Station on the Beijing-Guangzhou Railway as an example. The results show that the model can effectively solve the continuous drawing problem of freight train running lines in a limited space-time domain, which has theoretical and practical significance for improving the passing capacity of freight trains on conventional railways and optimizing the structure of passenger and freight trains on conventional railways.

Graphical abstract

关键词

普速铁路 / 列车运行图 / 货物列车 / 动态规划 / 多阶段决策

Key words

Conventional Railway / Train Working Diagram / Freight Trains / Dynamic Programming / Multistage Decision

0　引言

近年来，我国高速铁路网规模日益扩大，列车运行图编制技术及相关理论不断优化，编制质量大幅提升^[1]。但高速铁路成网后，对释放普速铁路通过能力的作用尚不显著，部分繁忙干线区段仍存在客货争能、运力调控矛盾突出等现象，运行图结构仍有优化空间^[2]。为满足特殊时期的货运需求，铁路部门时常采用“调客增货”的运行图优化方式，较多依赖编图人员经验，缺少自动分析和编制手段。因此，在市场与运力精准适配需求背景下，为进一步优化通道内高速、普速铁路分工，提升普速铁路货物列车通过能力，有必要开展旅客列车运力布局调整后的货物列车运行线自动铺画方法研究，以支撑铁路运营实现从生产导向型向市场导向型的转变。

国内外专家学者对铁路列车运行图自动铺画方面的研究主要集中在列车运行图调整和编制优化2个方面。列车运行图调整方面，赵乐等^[3]以神朔线(大柳塔—朔州西)某班计划自动调整结果为算例，设计了一种基于资源池的列车运行图实时自动调整算法，从而减轻人工调整的劳动强度。Binder等^[4]通过优化列车到发时刻、前后顺序、删减运行线等策略，以最小化旅客出行时间(不便程度)、成本、运行图偏离值为目标构建了运行图调整模型。王锴楷等^[5]提出了基于总延迟时间最小的运行线调整模型，以解决因货运班列延误所带来的运行线调整问题，确保货物及时送达。张春田^[6]基于时空网络建模技术，构建了列车运行调整问题的整数线性规划模型，解决铁路网络大规模中断条件下列车自动运行调整问题。列车运行图编制方面，Pouryousef 等^[7]在编制单线铁路运行图时主要考虑列车出发时间偏差和停站时间偏差，构建了双目标线性规划模型。江峰等^[8]构建了基于时空网络的整数规划模型，对原问题进行拉格朗日松弛，并设计启发式算法进行求解，以解决大规模货物列车运行图优化编制问题。Lamorgese等^[9]以连续变量形式描述列车到发时间，基于惩罚因子大M法将列车运行图编制问题转化为混合整数线性规划问题。Gao等^[10]为降低高速铁路增开列车的总旅行时间，并减少对既有运行线的调整工作量，建立了双目标混合整数线性规划模型，设计了三阶段优化方法进行求解。Chen等^[11]提出了基于“一日一图”的列车运行图动态编制原则、编制流程和编制组织，运用动态选线方法，构建了动态列车运行线选线模型。

既有研究主要基于全局优化思想和线性规划模型求解运行图调整与编制优化问题，较少关注运行图局部区段与要素，较少考虑普速铁路货物列车运行线辅画。为此，充分结合列车运行图编制需求，将普速铁路列车运行图编制问题转化为动态规划问题，以空间和时间维度分别作为决策阶段和下一阶段状态，构建基于2个计算周期的动态规划模型，并以京广铁路(北京西——广州)平南至邯郸南一场区段为例进行验证分析，为普速铁路列车运行图编制提供理论与技术支撑，以进一步提升货物列车通过能力，提高列车运行图铺画与客货运需求波动适应性。

1　货物列车运行线铺画动态规划问题分析

将普速铁路运行图中，旅客列车结构确定后的货物列车运行线铺画方法问题描述为：在给定基本图的旅客列车运行线间有限时空域内，以货物列车运行线铺画范围最大为目标，满足车站列车间隔时间标准等约束条件下，求解货物列车运行线最优铺画区域及铺画方案。

求解问题的基本思路是：从空间维度，将线路按区间划分为相互联系的多个决策阶段^[12]；从时间维度，将各阶段上下行方向列车运行线铺画的时间域作为下一阶段的状态；按时间顺序构建一组决策序列，从而求解有限时空域内货物列车运行线最优化的铺画方案。结合列车运行图的特征，各阶段的状态可以通过前一阶段的状态推导出来，该问题具备最优子结构和无后效性的特征，因此可以转化为动态规划问题进行求解^[13]。

根据问题描述，对该问题研究进行如下假设：①不考虑区段内车流分布、机列衔接、机车交路和车底运用情况；②模型构建及算例基于双线自动闭塞设备条件；③不考虑货物列车超重、超长等情况；④涉及待避作业的车站到发线数量有一定冗余。

2　计算模型及求解

普速铁路列车最高运行速度分为4个等级^[14]：160 km/h，140 km/h，120 km/h，80 km/h。其中160 km/h，120 km/h标尺的特快货物班列及快速货物班列，可比照相同速度等级的旅客列车铺画运行线(忽略由于列车重量和长度影响导致的技术速度偏差)，其他货物列车按普通货物列车标尺(80 km/h)铺画。由于基本图中的有限时间域已不足以铺画货物列车运行线，因此采用抽减某条旅客列车运行线后再铺画货物列车运行线的方式进行研究。

将列车按速度等级由高到低分为4类，即i=\left\{\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right\}。故，问题描述可以具体为在通过抽减第1类、2类、3类列车运行线所创造出的有限时空域内，求解第4类列车(80 km/h速度标尺的普通货物列车，以下称“货物列车”)的最优铺画区域及其方案。

2.1　模型原理

将列车运行线铺画的时间域向量T划分为步长为\alpha的离散时间段^[15]，\alpha =\mathrm{1}/\mathrm{60}(h)；空间域按区间划分阶段；S表示车站集合，S=\left\{s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}},\cdots ,s_n\right\}；第k阶段上下行方向的车站节点s_k^{}和s_{k+\mathrm{1}}^{}，分别用s_k^s，s_k^x表示，则有s_k^x=s_{k+\mathrm{1}}^s，k\in \left\{\mathrm{1,2},\cdots ，n-\mathrm{1}\right\}；定义状态T_{k,x}^i和T_{k,s}^i为第i类列车分别在s_k^s站下行方向和s_k^x站上行方向的出发时刻范围，即第k阶段的可行决策集合。模型参数定义如表1所示。

以下行方向为例，阐述模型原理。

（1）运行线的函数特征。正常情况下的列车运行线在区间范围内呈现为连续的斜线。可知，在k阶段的运行线表现为线性函数特征，多阶段的运行线可表现为分段线性函数特征(在通过车站不经过道岔侧向位置运行，且无区间慢行的情况下表现为线性函数特征)。由于第4类列车速度等级最低，因此随着阶段数量的增加，问题规模增大，显然在某一阶段的有限时空域内，第4类列车的运行线下行方向在t_{k,x,i}^{zf}处，上行方向在t_{k,s,i}^{zf}处表现为不连续的特征，即表示该列车需在该阶段开始站停车。

（2）车站间隔时间描述。下行方向货物列车在第k阶段的t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}和t_{k,x,\mathrm{4}}^{wd}，取决于t_{k,x,i}^{qf}和t_{k,x,i}^{hd}，以及该站的车站间隔时间。其中，由于模型求解有限时空域内的货物列车铺画范围，故货物列车与旅客列车追踪间隔时间的取值，按照后车具备发车条件的时刻掌握。那么，车站间隔时间情况如图1所示，存在12个0-1变量{\sigma }_c=\left\{\mathrm{0,1}\right\}，且有\sum {\sigma }_c=\mathrm{1}，c=\left\{\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{12}\right\}，车站间隔时间描述如表2所示。

（3）货物列车运行线铺画区域描述。第k阶段2列下行旅客列车之间的有限时空域内货物列车运行线的铺画区域，取决于4个时刻要素，即其在s_k^s站的最早出发时刻t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}以及按技术速度v_{k,x}^{\mathrm{4}}运行至s_k^x站的最早到达时刻t_{k,x,\mathrm{4}}^{zd}，s_k^x站的最晚到达时刻t_{k,x,\mathrm{4}}^{wd}以及按技术速度v_{k,x}^{\mathrm{4}}反推的s_k^s站最晚出发时刻t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}。以2列120 km/h速度等级的旅客列车之间的有限时空域为例，参考2023年第三季度京广铁路平南—邯郸南一场的运行图数据，{\tau }_{k,x,c}^f和{\tau }_{k,x,c}^d取值均为0.1，管内特快旅客列车的平均技术速度为90 km/h，普通货物列车平均技术速度为65 km/h，则在站间距为20 km的第k阶段，1个阶段货物列车运行线铺画区域如图2所示。

考虑列车运行线的连续性，将求解一个区间内货物列车运行线铺画区域的子问题拓展到一条线路或一个区段，那么可对通过求解该重叠子问题而得到的原问题的解，进行进一步优化，以适应列车的实际开行需求。仍以图2所示区间及相关参数为例，将问题拓展到2个区间，即第k-\mathrm{1}和第k阶段，求解该动态规划问题，2个阶段货物列车运行线铺画区域如图3所示。显然，2个阶段阴影部分均表示各阶段可行的货物列车运行线铺画区域，但根据列车运行图合理安排停站的编制原则，可通过减少非技术停站，以提高列车的旅行速度及缓解中间站到发线运用压力^[1]。因此，定义对原问题解的整体优化为：进一步调整货物列车运行线铺画区域，保留相邻阶段的货物列车运行线铺画区域相交部分(以下简称“连续铺画区域”)。即将s_k^{}站t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}的值更新为t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd}，t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{wd}的值更新为t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}，原问题“整体优化”示意图如图4所示，得到2个阶段内连续的有效铺画区域如蓝色阴影区域所示。为避免出现货物列车干扰相邻高等级旅客列车等情况，对于货物列车运行线铺画区域交集为空的2个阶段，则代表货物列车需在2阶段之间的站停车待避后行旅客列车，并在该旅客列车通过后的下一有限时空域内继续求解原问题并进行整体优化。

2.2　模型构建及算法描述

根据模型原理描述，基于有限时空域的铁路运行图货物列车运行线铺画问题求解，共分为2个计算周期：第一，计算出有限时空域内满足各区间(阶段)两端车站间隔时间约束的货物列车运行线的铺画范围；第二，根据需求，在第一计算周期输出结果的基础上，对原问题进行“整体优化”，以求解最多阶段连续的有效铺画区域。

（1）第一计算周期。第k阶段有限时空域内，货物列车的铺画范围取决于以下8个关键时刻节点，其中i=\left\{\mathrm{1,2},\mathrm{3}，\mathrm{4}\right\}，{\sigma }_c=\left\{\mathrm{0,1}\right\}，c=\left\{\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{12}\right\}。

t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}=t_{k,x,i}^{qf}+{\tau }_{k,x,c}^f{\sigma }_c⑴

t_{k,x,\mathrm{4}}^{zd}=t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}+\left(l_k/v_{k,x}^{\mathrm{4}}\right)⑵

t_{k,x,\mathrm{4}}^{wd}=t_{k,x,i}^{hd}-{\tau }_{k,x,c}^d{\sigma }_c⑶

t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}=t_{k,x,\mathrm{4}}^{wd}-\left(l_k/v_{k,x}^{\mathrm{4}}\right)⑷

t_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}=t_{k,s,i}^{qf}+{\tau }_{k,s,c}^f{\sigma }_c⑸

t_{k,s,\mathrm{4}}^{zd}=t_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}+\left(l_k/v_{k,s}^{\mathrm{4}}\right)⑹

t_{k,s,\mathrm{4}}^{wd}=t_{k,s,i}^{hd}-{\tau }_{k,s,c}^d{\sigma }_c⑺

t_{k,s,\mathrm{4}}^{wf}=t_{k,s,\mathrm{4}}^{wd}-\left(l_k/v_{k,s}^{\mathrm{4}}\right)⑻

只有当t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}\le t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}或t_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}\le t_{k,s,\mathrm{4}}^{wf}时，才能保证货物列车的铺画范围非负；当出现t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}>t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}或t_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}>t_{k,s,\mathrm{4}}^{wf}时，即货物列车的铺画范围为负，表示该阶段的有限时空域内不具备货物列车运行线的铺画条件。

（2）第二计算周期。对比相邻2阶段在同一车站的4个关键时刻节点，对其进行更新赋值，来达到优化连续有效铺画区域的效果，即

t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}=t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd}{t}_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd}\in \left[t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf},t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}\right]⑼

t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd}=t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}{t}_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd}\le t_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}⑽

t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{wd}=t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}{t}_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}\in \left[t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{zd},t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{wd}\right]⑾

t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}=t_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{wd}{t}_{k-\mathrm{1},x,\mathrm{4}}^{wd}\le t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}⑿

定义第k阶段的收益函数V_k^s和V_k^x分别表示第k阶段的上行和下行货物列车的铺画范围是否满足货物列车的开行需求，满足取1，反之取0，则有

V_k^s=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{t}_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}\le t_{k,s,\mathrm{4}}^{wf}\\ \mathrm{0}{t}_{k,s,\mathrm{4}}^{zf}>t_{k,s,\mathrm{4}}^{wf}\end{array}\right.⒀

V_k^x=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{t}_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}\le t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}\\ \mathrm{0}{t}_{k,x,\mathrm{4}}^{zf}>t_{k,x,\mathrm{4}}^{wf}\end{array}\right.⒁

目标函数为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{V}_k^x⒂

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{1}}}{V}_k^s⒃

该动态规划问题的上下行方向的状态转移方程可分别表示为

⒄

f(T_{k,x}^{\mathrm{4}})=\left\{\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{1}}^{x}k=\mathrm{1}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{V_k^x+f\left(T_{k-\mathrm{1},x}^{\mathrm{4}}\right)\right\}k>\mathrm{1}\end{array}\right.⒅

3　算例分析

3.1　算例

选取京广铁路平南至邯郸南一场区段K817、K21和T123这3列相邻的旅客列车作为算例，通过抽减K21次列车运行线，在其所创造出的有限时空域内进行普通货物列车运行线铺画，以验证模型的有效性。根据运行图资料，普通货物列车平均技术速度为64.9 km/h，将K817和T123的列车时刻表及各站的车站间隔时间代入计算模型，对该有限时空域内的货物列车铺画区域进行计算并绘制，算例第一计算周期结果如图5所示。对该结果进行整体优化后，算例第二计算周期结果如图6所示，具备一次性连续铺画条件的铺画范围如图6淡蓝色区域所示。

3.2　结果分析

（1）时间维度。算例中K817、K21和T123均在平南站通过，通过时刻分别为12：01、12：10和12：32，抽减K21次列车运行线后，在时间维度上，K817和T123间在平南站有31 min的时间空档，考虑平南站的图定车站间隔时间，在该时间空档内仍有约16.5 min的发车范围。且如图5所示，算例区段内的每个区间均能满足铺画货物列车运行线的要求。主要由于算例选取的3列旅客列车在平南站的通过间隔时间足够大，通过抽减K21次列车运行线后，能够创造出一定可供铺画货物列车运行线的时空域。当旅客列车按最小车站间隔时间紧追踪运行时，该问题的求解结果显示，货物列车运行线的铺画区域将十分有限。如仍以京广铁路平南至邯郸南一场区段为基础，选取Z49、Z295和Z161这3列追踪运行的旅客列车，在北京西站的出发追踪间隔时间和平南站的通过间隔时间均为6 min，通过抽减Z295次列车运行线，对问题进行求解，抽减Z295次列车运行线的求解结果如图7所示，在算例区段内，仅有5个区间具备铺画货物列车运行线的条件，且相邻区间均不具备连续铺画条件。

显然，通过抽减旅客列车运行线后所创造的时间域范围越大，则可用于铺画货物列车运行线的范围也就越大。因此，在进行旅客列车结构优化调整时，应尽量选择与相邻列车运行线追踪间隔较大的旅客列车运行线进行抽减，以降低铺画货物列车运行线的难度，同时，减少对原基本图的干扰。

（2）空间维度。货物列车运行线的铺画范围大小还受区间距离的影响。如图7所示，Z49和Z161在小康庄站和沙河市站的通过间隔时间分别为18 min和17 min，但由于在空间维度上，小康庄站至沙河站间区间长度(16.9 km)较沙河市站至临洺关站区间长度(9.6 km)大7.3 km，即使小康庄站时间空档更大，但其后空间域(指区间长度)内却不具备货物列车运行线的铺画条件。

由此可见，空间域越大，抽减原运行线与铺画货物列车运行线之间的速差影响越大，进而导致可行的铺画区域越小。根据京广铁路运行图资料，旅客列车平均技术速度为89.7 km/h，普通货物列车平均技术速度为64.9 km/h，在平均技术速度差为24.8 km/h的情况下，车站间隔时间取6 min，通过抽减普速旅客列车，分析在时间域为0~1 h，空间域为0~40 km范围内的时间域和空间域的大小对普通货物列车运行线铺画区域的影响，货物列车运行线铺画区域与时空域大小的关系如图8所示。

货物列车运行线铺画区域大小与抽减旅客列车运行线后的有限时空域的时间域范围呈正相关，与空间域范围呈负相关，如图8所示。当货物列车运行线铺画区域为负值，表示该区间不具备铺画货物列车运行线的条件。因此，在对基本图进行旅客列车结构优化时，应尽量选择抽减速度等级较低的旅客列车运行线，以减少速差带来的影响。

4　结束语

通过对基于有限时空域的铁路运行图货物列车运行线铺画问题分析，将其转化为动态规划问题进行求解。在分析运行线的函数特征、车站间隔时间约束和货物列车运行线铺画区域特征的基础上，提出了基于双计算周期的数学模型和求解思路。最后，以京广铁路平南至邯郸南一场区段为算例进行分析，验证了方法的有效性，并对算例结果进行了深入分析，提出了旅客列车结构优化的合理性建议。由于模型求解结果为有限时空域内的货物列车运行线连续铺画范围，未来研究工作将在此基础上，考虑对求解结果进一步精细化为具体运行线，以满足对运力精准适配的需求。

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基金资助

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