面向列车可变编组的地铁乘务排班计划优化研究

Optimization of Metro Crew Scheduling Plan Based on Variable Train Formation

摘要

列车可变编组运营组织模式对地铁乘务排班计划的编制产生影响，为探讨可变编组和固定编组条件下乘务排班的区别，在降低运营成本的同时尽量提高乘务员值乘效率，以传统乘务排班模型为基础，以班次数及乘务区段接续时间最小为目标建立可变编组乘务排班调整模型，设计基于广度优先搜索的两阶段法求解，并以某条地铁线路为例进行分析。结果表明：对比固定编组，可变编组乘务排班计划仅增加4个白班，乘务员平均工作强度减小，乘务区段接续时长减少25 min，区段连接更加紧密，乘务员等待时间变少；对比手工编制方法，两阶段法求解的可变编组和固定编组乘务排班计划分别减少了19个和18个班次，且值乘效率的变化不超过4%。案例结果验证了模型和算法的有效性，为探讨可变编组下排班问题的编制特征提供参考。

Abstract

The organization mode of train variable formation has impacts on the metro crew scheduling plan. To explore the differences between variable and fixed crew scheduling and to minimize operating costs while maximizing duty efficiency, this paper, based on the traditional scheduling model, established a variable formation crew scheduling adjustment model to minimize the number of shifts and the continuation time of crew sections. A two-stage method based on breadth-first search was designed and analyzed to solve the problems. Taking a metro line as a case study, the results show that: compared with the fixed formation, the variable formation crew scheduling only increases 4 day-shifts, and the average crew work intensity is reduced. The length of crew section succession is reduced by 25 min and the sections are more closely connected, which indicates less waiting time for crew. Compared to manual scheduling methods, the two-stage solution reduces 19 shifts for variable formation and 18 shifts for fixed formation duty scheduling plans. The change duty efficiency is no more than 4%. The results validate the effectiveness of the model and algorithm, providing a reference for exploring the characteristics of crew scheduling plan development under variable formation conditions.

Graphical abstract

关键词

地铁 / 乘务排班 / 固定编组 / 可变编组 / 两阶段法 / 广度优先搜索

Key words

Subway / Crew Scheduling / Fixed Formation / Variable Formation / Two-stage Method / Breadth-first Search

0　引言

可变编组是一种按客流需求对列车进行联挂或拆解作业的列车运行组织技术。例如，上海地铁16号线采用灵活编组的试点运营，在高峰时段采用6车编组运行，平峰时段拆解为3+3编组运行。可变编组模式虽然可缓解线路因客流差异化而出现的运力虚靡，却增加了运营计划的编制难度。随着列车在运行过程中编组长度的改变，乘务员的运用也随之变化。特别是可变编组作业地点的选取与乘务员工作的连续性和工作强度密切相关，导致乘务排班计划的制定难度大增。

针对可变编组对城市轨道交通运营计划的影响，付建军等^[1]应用改进的非支配排序遗传算法，求解可变编组条件下的动车组运用、检修一体化问题；Zhou等^[2]在灵活编组的前提下，构造并求解综合优化列车时刻表和车底运行计划的线性规划模型；Pan等^[3]考虑动态乘客需求，构造耦合、拆分条件下的扩展模型优化列车时刻表和车底运行计划；禹丹丹等^[4]考虑全天不均衡客流，以乘客广义出行成本和企业运营成本最小为目标，提出基于灵活编组的列车开行方案优化模型；卢特尔等^[5]以开行成本最小和拆解作业时间最短为目标，设计分支定界算法求解列车开行方案；方开莎等^[6]以列车运行时间、车辆走行公里、乘客等待时间最小化为目标，提出可变编组列车大小交路开行方案的优化模型。

可变编组运营组织的研究主要集中于列车开行方案和动车运用计划等优化问题，满足可变编组运营需要的乘务排班计划优化问题的研究较少见。乘务排班计划优化问题通常先构造为集合覆盖模型^[7-8]、集合划分模型^[9-10]或网络图模型^[11]，再设计算法求解不同场景下的排班计划。除了传统排班计划，既有文献对新场景下的乘务排班研究有２个主要方向：一是全自动驾驶方向。韩巍松^[12]提出了虚拟出退勤点的概念，将排班模型运用于全自动驾驶模式；Pan等^[13]研究了全自动操作系统下地铁车辆与乘务员的综合优化问题。二是乘务资源共享方向。马卓然^[14]考虑了单一班制乘务员共享模式下的排班问题；金华等^[15]设计了网络图模型求解基于地铁资源共享的排班问题。

由上可知，城市轨道交通的发展迅猛，城市客运出行需求总量不断增加且分布复杂^[16]，为适应不同时段、区段客流不均衡的现象，列车编组数量可调、增强运用灵活性成为当前城市轨道交通技术发展的主要趋势。当列车的运行过程中存在可变编组作业时，线路运营组织技术也相应调整，学者现已对该模式下列车开行计划及时刻表、车底周转计划等方面展开研究。乘务排班问题作为地铁运营组织中的关键环节，其编制过程在变编组模式下也受到影响，如需考虑加入联挂、拆解作业时间，调整值乘列车所需乘务员数量及便乘机会等。这些因素可能会延长乘务员的等待时间，增加便乘次数和人员支出成本。

发挥可变编组模式的优势需要依托于高质量的、与之匹配的运营组织计划，为探究可变编组作业给乘务排班带来的影响，降低运营成本、提高工作效率，研究建立固定编组及可变编组场景下的乘务排班计划优化模型，对不同编组形式下的案例结果进行分析。此外，将两阶段法求解的乘务排班计划与手工编制的排班计划进行对比，以验证模型和算法的有效性。

1　问题描述

乘务排班计划的编制过程分为乘务片段的划分、乘务作业段的生成、乘务班次的生成以及最终排班计划的获取。乘务排班计划基本组成如图1所示。首先，以轮乘站、车辆段为分割点，划分列车运行图后获取乘务区段，D1，D2等表示一个基础单元。其次，根据连续驾驶时长和相同车底约束将乘务片段组合生成乘务作业段，又根据间休、就餐、班次时长范围等约束将乘务作业段组合生成乘务班次。图1中从出勤到退勤所经过的路径即为一个乘务班次，D1-D2，D3，D4分别为乘务作业段。最后，根据编制目标及全覆盖约束生成排班结果。

基于可变编组的乘务排班计划是指由于列车编组的改变对排班产生影响，需对排班模型进行调整。可变编组乘务排班计划基本组成如图2所示。以图2为例说明以下影响因素。

（1）乘务排班人员配置变化。平峰时段，列车1在编组车站1进行拆解作业，变为2个小编组列车1和列车1'，对应得到Ｄ2和Ｄ2' 2个乘务区段，需增加一名乘务员执行多出的乘务任务。因此，当拆解作业增加时，平峰时段的乘务区段数量也增加，势必生成更多班次，配备更多乘务人员。

（2）增加可变编组的作业时间。乘务员通常在同一班次的2个乘务作业段(如Ｄ3和Ｄ4')之间进行休息或就餐，有一定的时长范围，应在这个范围中加入可变编组作业时间。

（3）便乘次数增多。列车在车站解编、联挂作业时，在传统排班的基础上缺少或余出一名乘务员。此时，乘务员可能便乘到列车编组车站执行小编组列车任务，使得乘务员的便乘的机会增大，降低工作效率，应对便乘次数进行约束。

2　模型构建

2.1　基本假设

（1）车站、线路数据已知，轮乘站及编组车站的位置已知。

（2）车站可变编组作业具有可操作性。编组时间为事先给定的固定值，且与休息、用餐时间不重叠。

（3）乘务区段皆被班次覆盖。

2.2　符号定义

为便于后续模型的理解，相关的参数定义如表１所示，决策变量定义如表2所示。

2.3　优化目标

乘务排班问题的优化目标主要为提高运营效益，减少班次数。考虑到可变编组作业过程可能使乘务员的便乘时间增多或工作时间空白，导致区段接续时间增长，因此调整模型以班次数和接续时间为共同优化目标。此处的区段只包括乘务员驾驶执行的乘务区段，不包括乘务员便乘经过的区段。因此，目标函数如下所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=w_{\mathrm{1}}\sum _{j\in J}{x}_j+w_{\mathrm{2}}\sum _{j\in J}\sum _{i\in j}{x}_j(t_{i+\mathrm{1}}^s-t_i^e)⑴

式中：Ｚ为目标函数；w_{\mathrm{1}}，w_{\mathrm{2}}为子目标系数。

将班次数以一定权重转化为时间维度的值，若单位班次数所等价的接续时间偏小，求解时会让班次数增多去平衡接续时间，为避免此情况，使w_{\mathrm{1}}=T_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，w_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，即一个班次等价于白班最大工作时间。

2.4　固定编组乘务排班模型约束

在排班问题中，乘务区段作为基础单元，可表示为(i,C_i,t_i^s,t_i^e,d_i^s,d_i^e)。乘务区段组合成乘务作业段时，应遵循乘务规则。s=\{i_{\mathrm{1}},i_{\mathrm{2}},...,i_n,...,i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\}表示连续值乘区段，s\in S。i_n表示连续值乘区段的第n个乘务区段，n=\mathrm{1}，\mathrm{2}，...，\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}。对于s内的两相邻乘务区段，需满足以下约束。

t_{i_n}^e\le t_{i_{n+\mathrm{1}}}^s⑵

d_{i_n}^e=d_{i_{n+\mathrm{1}}}^s⑶

C_{i_n}=C_{i_{n+\mathrm{1}}}⑷

公式⑵表示２个乘务区段的衔接时间应有先后；公式⑶、公式⑷表示2个乘务区段的衔接地点和车底相同。

乘务员在执行连续值乘区段任务时不换班，为避免疲劳驾驶，连续值乘区段的时长不可超过最大连续驾驶时间，即

t_{i_n}^e-t_{i_{\mathrm{1}}}^s\le T_d^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑸

将获取的连续值乘区段按约束生成班次。j=\{s_{\mathrm{1}},...,s_m,...,s_{\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\mathrm{\text{'}}}}\}表示乘务班次，s_m表示班次的第m个连续值乘区段，m=\mathrm{1,2}，...,\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}^{\text{'}}。对于j内的两相邻乘务作业段，需满足以下约束。

T_r^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\times z_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e⑹

(t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e)\times z_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le T_r^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑺

T_e^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\times e_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e⑻

(t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e)\times e_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le T_e^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑼

\sum _{s_m\in j}{e}_{s_m,s_{m+\mathrm{1}}}^j=lunc{h}_j+dinne{r}_j⑽

T_b^s\le t_{s_m}^e\le T_b^e⑾

公式⑹、公式⑺为间休接续约束，表示两连续值乘区段间应保证一定范围的休息时间；公式⑻、公式⑼为就餐接续约束，表示两连续值乘区段间应保证一定范围的就餐时间；公式⑽确保班次中的就餐时段数与任意两连续值乘区段间的就餐接续次数一致；公式⑾限制午餐、晚餐的就餐时间在规定时间范围内。

此外，对班次本身也有一定的约束条件如下。

T_k^s\le t_{s_m}^s\le T_k^e⑿

T_k^s\le t_{s_m}^e\le T_k^e⒀

t_{s_m}^e-t_{s_{\mathrm{1}}}^s\le T_k^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⒁

公式⑿、公式⒀限制班次j中所有连续值乘区段应在该类班次规定的时间范围内；公式⒁限制各类班次时长不得超过规定的最大工作时间。

最后，针对所有班次，确保乘务区段皆被至少一个班次覆盖。

\sum _{j\in J}{a}_{ij}{x}_j\ge \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}i\in I⒂

2.5　可变编组乘务排班调整模型约束

乘务区段的属性表示为(i,C_i,t_i^s,t_i^e,d_i^s,d_i^e，v_i^s,v_i^e)，考虑可变编组对乘务区段产生的影响，增加乘务区段开始、结束地点的作业性质v_i^s，v_i^e。对于约束，主要调整了车底约束和接续约束，增加了便乘次数约束，具体改变如下。

（1）车底调整约束。

C_{i_n}={C^{\mathrm{\text{'}}}}_{i_{n+\mathrm{1}}}\times v_{i_n}^e+(\mathrm{1}-v_{i_n}^e)\times C_{i_{n+\mathrm{1}}}⒃

(\mathrm{1}-v_{i_n}^e)\times C_{i_n}+{C^{\mathrm{\text{'}}}}_{i_n}\times v_{i_n}^e=C_{i_{n+\mathrm{1}}}⒄

公式⒃、公式⒄分别表示存在可变编组作业时，联挂列车的车底应与子列车的车底相同，以便乘务员执行乘务任务。

（2）可变编组间休接续约束。

T_r^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\times z_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e-T_g\times (v_{s_m}^e+v_{s_{m+\mathrm{1}}}^s)⒅

(t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e)\times z_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j-T_g\times (v_{s_m}^e+v_{s_{m+\mathrm{1}}}^s)\le T_r^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⒆

公式⒅、公式⒆表示在满足可变编组作业时间的基础上保证一定范围的休息时间。

（3）可变编组就餐接续约束。

T_e^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\times e_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j\le t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e-T_g\times (v_{s_m}^e+v_{s_{m+\mathrm{1}}}^s)⒇

(t_{s_{m+\mathrm{1}}}^s-t_{s_m}^e)\times e_{s_m{s}_{m+\mathrm{1}}}^j-T_g\times (v_{s_m}^e+v_{s_{m+\mathrm{1}}}^s)\le T_e^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}

公式⒇、公式 表示在满足可变编组作业时间的基础上保证一定范围的就餐时间。

（4）便乘次数约束。可变编组运营模式下，乘务员便乘情况可能增多。便乘乘务员不驾驶车辆，随值乘乘务员的乘务任务到达指定地点，生成约等于该乘务区段时长的无效时间。因此，应调整全覆盖约束，限制便乘次数不超过2次。

\mathrm{1}\le \sum _{j\in J}{a}_{ij}{x}_j\le \mathrm{2}\begin{array}{cc}& \end{array}i\in I

3　求解算法

研究采用求解乘务排班问题的经典方法——两阶段法，把乘务问题划分为“生成”和“选择”2个阶段。“生成”阶段根据相关约束、按广度优先搜索的思路得到所有可行班次，表示为树形结构；“选择”阶段在可行班次集合中选择满足全覆盖约束且目标函数最优的排班计划。算法流程图如图3所示。

步骤1：输入约束涉及的参数以及乘务区段集合I，将输入的乘务区段i作为树形结构的根节点，则I作为根节点集合N(i)。

步骤2：对于乘务区段i，遍历其他所有区段，结合连续值乘接续、间休接续和就餐接续约束，获取3种可行区段集合K(i)，获取可行接续区段示意图如图4所示。轮乘站将运行图切割为多个乘务区段，黑色线实线为当前区段i。若后续区段与当前区段的车底一致且接续时间小于最小间休时间，乘务员执行不下车的值乘任务；若乘务员在此换班，则其休息时间需满足约束公式⑹、公式⑺；若后续区段就餐时间范围内，则为乘务员安排就餐，就餐时间需满足约束公式⑻、公式⑼。综上，蓝色实线构成当前区段的后续区段集合。同理，可变编组场景下需按2.5节进行约束的调整，获取后续区段集合。

步骤3：取k\in K(i)，判断k的班次类型是否与根节点一致，若相同，则进入步骤4，不相同则重新获取剩余可行区段k。

步骤4：判断在根节点i后接续可行区段k是否超过最大工作时长，若超过，则重新获取剩余可行区段。不超过，则将k作为树形结构中根节点的下一层节点，并将其加入根节点集合N(i)中。

步骤5：判断K(i)中的所有可行区段均遍历完成，若没有，则对每个剩余可行区段k执行步骤3至步骤4。若遍历完成，则判断是否遍历了N(i)中的每个根节点i构建子节点，若没有，进入步骤2；若遍历完成，则树形结构生成，广度优先搜索结束。此时，由树形结构的根节点到下层每一个子节点的路径皆为可行班次，因此获得可行班次集合J。

步骤6：GUROBI求解，选择满足全覆盖约束或便乘次数约束、目标函数最优的可行班次组合，作为最终排班计划。

4　案例分析

4.1　案例数据

以一条地铁线路为案例，线路示意图如图5所示，该线路车站数为13，设有一个轮乘站1和一个车辆段，平日上线的列车数为20列。固定编组下共有乘务区段226个，平均时长58 min 8 s。根据该线路高峰时期的客流特征处理既有线路数据，设计符合可变编组条件的乘务区段作为输入，处理后，共有乘务区段236个，乘务片段总时长增加了11 h 19 min 40 s。

时间参数取值如表3所示。

4.2　结果与讨论

首先分别求解可变编组和固定编组场景下的乘务排班问题，再对本模型算法与手工编制方法的乘务排班结果进行分析。其中，手工编制方法基于贪心思路进行计算。

（1）不同编组场景下的编制结果对比。通过研究提出的模型和两阶段法，不同编组形式下的排班结果对比如表4所示。不同编组形式下的便乘结果对比如表5所示。

由上可知，可变编组条件较固定编组条件求解增加了4个班次，且皆为白班，即需另增加4名乘务员以保证多出的白班皆被执行。这是因为，可变编组在平峰时段进行拆解作业，又在高峰时段进行重联作业以适应客流需求。一般线路的高峰时段为7：00—9：00和17：00—19：00，设定的可变编组作业集中在9：00—17：00。这个时间段包含于白班时间范围内，仅与早、晚班的部分时间范围重叠，因可变编组作业而余出的乘务区段更易组合成白班。另外，白班工作时间上限为8 h，更容易满足时间约束条件。

相对于固定编组，可变编组各类班次平均时长减少，均衡性降低。这是因为虽然可变编组形式下需执行的任务时间只增加了5.2%，但由于可变编组作业集中在平峰时间内，导致部分区段不满足时间上的衔接顺序，只能通过增加班次数的方式覆盖所有区段，因此可变编组排班计划的班次数增加了7%，超出乘务区段时间增长的幅度。更多的乘务区段用来组合成新班次，使得整体上班次平均工作时长减少。与此同时，可变编组班次时长减小后，整体班次时长的波动性变大，乘务任务的不均衡性更加明显。不同编组形式下的各类班次时长对比如图6所示。

从表4、表5可知，因存在可变编组作业，可变编组排班的便乘区段及时长增加，但接续时间反而减少。说明班次中除便乘时间之外的乘务区段接续时间大幅度减少，区段之间连接得更加紧密。

总体上讲，可变编组排班计划的乘务员便乘机会增多，且更倾向于通过增加白班来调整班次方案。相对于固定编组，最终班次的工作强度和均衡性都小幅度降低。因班次中区段连接更加紧密，乘务员在执行班次任务时所需的等待时间也相应减小。

（2）不同求解方法的编制结果对比如表6所示。由表6可以看出，在2种编组形式下，与手工编制相比，两阶段法求解得到的班次数皆减少了24%，整体目标函数值减小。因执行任务的乘务员数量减少，班次时长平均值有所增加。另外，研究目标设定为班次数及接续时间最小化，且主要优化班次数，因此为了尽可能地达到此目标，在求解过程中，各类班次时长势必会逼近其班次类型工作时间的最大值，使得班次时长标准差减小。

分析工作效率，两阶段法求得可变编组排班结果的工作效率降低。一方面，两阶段法存在3个便乘区段，无效工作时长接近3.5 h，减少了乘务员在车时间占班次时长的比例；另一方面，手工编制方法遵循贪心原则，考虑将满足约束条件且间隔时间最短的乘务区段相连，组合为一个班次，因此接续时长较短。而由表6可知，班次所包含的乘务区段数量为2~6个，而手工编制方法中存在数个单独成班次的区段，减少了接续时间的生成，无形中提高了工作效率。但观察固定编组排班结果可知，两阶段法求解的工作效率反而升高，这是因为手工编制排班结果中的区段接续时间过大，增加了无效工作时长，同时也验证了上文所说的可变编组乘务排班中区段连接的紧密性。从求解时间来看，两阶段法求解时间大大减少，提高了乘务排班的计算效率。

5　结束语

研究车站可变编组形式对乘务排班的影响，以班次数及乘务区段接续时间最小化为目标构建模型，研究可变编组乘务排班的编制思路和特征。同时设计两阶段法与手工编制方法进行对比，验证了方法的有效性。因可变编组的运输组织模式分为车站改编和区间改编2种形式，其中区间改编不仅会加大乘务员便乘的概率，影响乘务区段之间的衔接，更进一步改变了乘务区段的生成方式。因此，未来可在研究以车站为可变编组作业地点的乘务排班问题的基础上，设置可变编组作业区间位置的选取标准，对区间改编场景下的乘务排班计划及其与车站改编下乘务结果的区别进行分析探讨和深入研究。

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基金资助

国家自然科学基金项目(71621001)