高速列车运行图节能优化研究现状及展望

Research Status and Prospects of Energy-Saving Optimization for High Speed Train Working Diagrams

摘要

为理清高速列车运行图节能优化的研究脉络，主要从高速列车节能运行方式、节能运行图模型构建、算法设计等方面对国内外相关研究进行综述。结果表明：高速列车节能运行具有多种节能方式并存、不同学科交叉等特点，其研究内容从单区间内列车操纵策略优化，发展到列车运行图优化；模型约束从简单的速度、时间上限，变为考虑列车安全时距、复杂线路条件、电分相区等多种因素；算法思想也从基础的庞特里亚金原理，逐渐扩展到运用各类启发式算法帮助快速求解，以及使用精确算法进行预处理，提高求解精度。未来可以针对高速列车在复杂运行区间的驾驶策略、开行方案对能耗的影响、高速列车再生制动能的储能装置等方向继续深入研究。

Abstract

To clarify the research context of energy-saving optimization for high speed train working diagrams, this paper primarily summarized relevant research in China and abroad focusing on energy-saving operation modes, construction of energy-saving working diagram models, and algorithm designs for high speed trains. The results indicate that the energy-saving operation of high speed trains is characterized by various coexisting energy-saving methods and the intersection of different disciplines. The research content extends from optimizing train control strategies in a single section to optimizing train working diagrams. Model constraints transition from considering simple speed limits and time limits to considering multiple factors such as train safety time intervals, complex line conditions, and electric phase division areas. The algorithm concept evolves from using the basic Pontryagin principle to employing various heuristic algorithms for facilitating rapid solutions, along with using accurate algorithms for preprocessing to enhance solution accuracy. Future studies can delve into the influence of driving strategies and operation plans of high speed trains on energy consumption under complex operation conditions, as well as energy storage devices for regenerative braking energy of high speed trains.

Graphical abstract

关键词

高速列车 / 节能运行 / 运行图优化 / 启发式算法 / 研究综述

Key words

High Speed Train / Energy-Saving Operation / Working Diagram Optimization / Heuristic Algorithm / Research Review

0　引言

高速铁路是国家重要的基础性、先导性、关键性和战略性基础设施，列车运行图则是高速铁路运营管理的一项核心内容，其编制的质量不仅会直接影响高速铁路运输组织的效率和效益，也会关系到高速铁路的节能减排^[1]。截至2023年底，我国高速铁路运营里程已达4.5万km，“八纵八横”高速铁路主通道建设完成约80%，高速铁路动车组旅客发送量占全国铁路旅客发送量的比例超过70%。由此带来的巨大能源消耗也日益受到关注，尤其是在国家提出“双碳”目标后，铁路系统加快推进绿色低碳发展，国家铁路局联合国家发展和改革委员会、生态环境部、交通运输部、中国国家铁路集团有限公司等2024年2月印发《推动铁路行业低碳发展实施方案》，明确提出铁路系统碳排放总量在2030年前达峰，铁路运输综合能耗和二氧化碳排放水平明显下降。2017—2019年，国家铁路单位运输工作量综合能耗与单位运输工作量主营综合能耗不断下降，2020年上述2项数据有所回升，2021年至今继续呈下降趋势，反映出我国在铁路节能运输领域的工作富有成效。

列车运行能耗是铁路系统能耗的重要组成部分，高速列车因其速度快、功率大使得其单位能耗明显大于普速列车，降低高速列车的运行能耗，不仅可以节约运营成本，还对促进高速铁路绿色发展、国家“双碳”目标达成有着积极的影响^[2]。列车运行图是铁路运输工作的综合计划和行车组织的基础，合理编制列车运行图有助于降低高速列车的运行能耗，这已成为学界的共识，通过优化列车运行图实现节能减排的目标也已成为近年来国内外学者研究的重要方向^[3]。既有研究主要聚焦于列车节能运行方式、列车节能运行图编制方法、列车节能运行控制策略、列车再生制动能利用等方面，但目前缺少对列车运行图节能优化相关领域的系统梳理。针对高速列车节能运行方式、节能运行图模型构建、节能运行图优化算法等领域的研究成果进行系统综述，理清高速列车运行图节能优化的研究脉络，能够为进一步研究高速列车在复杂运行区间的驾驶策略、开行方案与能耗的关系、高速列车再生制动能的储能装置、多目标协同优化等提供基础。

1　高速列车节能运行方式

通过对高速列车节能运行方式的研究成果进行整理，结合该领域在城轨列车和普速列车节能运行方面的成果，可以将高速列车节能运行优化的整体思路大致可分为3类：①安排合理列车操纵策略；②提高列车运行过程中再生制动能利用效率；③构建节能列车运行图。

1.1　基于列车操纵策略

这类研究主要是通过调整高速列车驾驶策略来降低高速列车在单一区段的运行能耗，并进一步寻找高速列车能耗与区间运行时分的最佳组合，达到列车总体运行能耗降低的效果。高速列车运行过程可分为牵引、巡航、惰行、制动4个阶段，可以通过调配4个阶段占用的距离或时间，使列车的运行能耗降低。

列车操作工况四阶段法示意图如图1所示，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表示牵引、巡航、惰行、制动阶段，横纵坐标分别表示列车运行距离和列车运行速度。基于以上列车操纵策略的基本原理，可按照限制条件的复杂程度，对相关研究进行划分。

1.1.1　不加限制条件的列车操纵策略

早期有关列车节能运行的研究主要集中在固定时分下单列车在单个区间的运行模式分析，较少考虑不同列车之间的相互影响，以及实际线路条件对列车运行的影响。但这类文献为该领域的研究提供了开创性思路，给之后的研究打下了坚实的基础。如Asnis等^[4]，Khmelnitsky等^[5]利用庞特里亚金(Pontryagin)原理，指出对于不限速的列车运行区间，列车采用最大牵引、惰性、最大制动工况时消耗的能量最小。在此基础上可以加入列车恒速运行的工况，分析不同工况节点的设置方法^[6]。

1.1.2　考虑限制条件的列车操纵策略

学界逐渐将研究对象从高速列车在单区间运行扩展到在多区间运行时的操纵策略，并加入一些限制条件，使得研究成果更加贴近实际。

（1）列车运行时间限制。列车运行时间限制，包括列车区间运行时分限制、安全间隔限制等。前者用来控制列车运行时间上限，后者则表示不同列车间的相互影响。例如革新等^[7]主要考虑列车追踪间隔、到发/发到间隔等约束，满足安全运行条件，并考虑列车越行的情况；盛昭等^[8]将列车运行全过程划分为若干个区间，并给定每一区间运行时分上下界，在建立关于能耗与时间的Pareto解集的基础上，实现列车能耗与运行时间的双重优化。

（2）列车运行速度限制。高速列车在不同区间运行时，往往会受到不同的速度限制，而列车速度限制又会对列车工况选择产生影响，需要列车进行必要的惰行和制动，从而影响列车能耗，列车限速对于列车操纵策略的影响示意图如图2所示。高速列车运行区间复杂，速度限制变化频繁，因而需要针对不同区间限速选择相应的列车驾驶策略，可以通过4类基础工况组合来控制车速^[9]，也可考虑设置不同的惰行点与惰行次数控制车速^[10]。在如何确定工况转换点方面，李文新等^[11]给定不同速度作为切换标志；高豪等^[12]以不同位置点的离散速度为输入条件，决定列车下一阶段的状态。

（3）分相区限制。分相区是电气化铁路的无电区段，通常设于不同相位供电区交界处，以防止短路事故的发生。高速铁路列车通过分相区时需要选择惰行工况，而现有的研究较少考虑这一特殊条件。标准四阶段节能策略为理论最优驾驶策略，若在此基础上添加分相区惰行条件，则可能无法满足列车能耗最低的要求，因此应当在模型约束中直接加入分相区惰行约束^[13]。分相区限制对于列车操纵策略的影响示意图如图3所示。麻存瑞等^[14-15]根据当前子区间与下一子区间限速的大小关系，对子区间(包含电分相区间)进行分类，并对其运用四阶段节能策略。

（4）坡道限制。坡道对高速列车操纵工况同样会产生影响，高速列车在长大上坡运行时往往需要牵引力额外做功，而在下坡区段则可以通过惰行来节省能耗。曹佳峰^[16]提出现有研究较少考虑列车运行的线路条件，为了更贴合实际，在已有的四阶段操纵策略基础上，增加惰行操纵策略模型，同时针对各类坡道进行验证。同时马阳阳等^[9]，高豪等^[12]，樊葱等^[13]，麻存瑞等^[14-15]也考虑了坡道限制对高速列车操纵工况的影响，这些研究将坡道影响因素纳入列车运动学方程，即表现为列车附加阻力。

总体而言，高速列车运行速度限制和运行时间限制，是高速列车操纵策略的主要影响因素。已有研究已经证明，对于给定的列车速度限制和时间限制条件，其最优驾驶工况组合应为“最大牵引、巡航、惰行、最大制动”，因此高速列车最优驾驶策略问题便可转化为不同最优工况的组合^[4]。找到最优工况组合的关键在于寻找出列车区间运行的最优工况转换点，一旦区间最优工况确定，那么列车最优节能驾驶策略也将确定^[11]。对于高速列车而言，其运行区间更长、速度更快，且多采用交错停站方案，使得其运行特性与城轨列车和普速列车有着明显区别，其节能运行方式也有着一定区别。同时高速铁路往往采用多种速度等级混合运行的组织模式，这会使得高速铁路列车运行图涉及到越行及多种时间间隔问题，从而使得其编制更为复杂^[7]。

1.2　基于再生制动能利用

列车在制动时，往往会产生大量可利用的制动能，Yang等^[17]指出传统的制动过程中，列车的动能往往在刹车片的摩擦中转化为热能耗散掉，而再生制动系统可将能量重复利用，即将列车动能转化为电能来供其他列车使用，从而达到节能运行的效果。目前在城市轨道交通领域，应用再生制动能来节约能耗的研究较为成熟，而高速列车有着更长的制动距离和更高的制动初速度，其利用再生制动能的原理与城轨列车相似，因此能够产生的再生制动能也更多，若能将其合理利用，可以进一步降低列车运营能耗、节约电力资源^[18]。

1.2.1　运动学角度

根据运动学方程，可以得出列车运行过程中速度、距离、时间、能量之间的关系，进而得到相应的运动学曲线，为调整列车驾驶策略和后续优化运行图提供了基础。

再生制动能表达方式具体可分为以下几类。

（1）直接计算再生制动能。这部分研究使用运动学公式直接计算再生制动能，如革新等^[18]给出了一种利用时空网格的计算方法，即先计算单个网格内列车牵引能和制动能，再进行加合得到总再生制动能利用量；邓连波等^[19]选取相邻列车制动、牵引重合时段，以重合时段内列车牵引能与再生制动能的较小者为再生制动能利用量。

主要用到的运动学基本公式包括

F_{\mathrm{合}}=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{牵}}-W_{\mathrm{0}}& \mathrm{牵引}\mathrm{工况}\\ \mathrm{0}& \mathrm{巡航}\mathrm{工况}\\ -W_{\mathrm{0}}& \mathrm{惰行}\mathrm{工况}\\ -F_{\mathrm{制}}-W_{\mathrm{0}}& \mathrm{制动}\mathrm{工况}\end{array}\right.⑴

式中：F_{\mathrm{合}}为列车在不同工况下所受合外力，N；F_{\mathrm{牵}}为列车牵引力，N；W_{\mathrm{0}}为列车所受阻力，N；F_{\mathrm{制}}为列车制动力，N。

a=\frac{F_{\mathrm{合}}}{(\mathrm{1}+\gamma )M}⑵

式中：a为列车加速度，m/s²；M为列车质量，kg；\gamma为列车回转质量系数。

v_n^{\mathrm{2}}-v_{n-\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{a}_n\mathrm{\Delta }s⑶

式中：v_n，v_{n-\mathrm{1}}分别表示第n段和第n-1段列车运行区段的末速度，m/s；a_n为第n段列车运行区段的加速度，m/s²；\mathrm{\Delta }s为每一列车运行区段距离，m。

E=\sum F_{\mathrm{牵}}\mathrm{\Delta }s⑷

式中：E为列车牵引能耗，kW·h。

（2）以相邻列车牵引制动重合区间表示。再生制动能的利用原理为，当位于同一供电分区或同一供电臂的两列车分别处于制动和牵引工况下，则制动列车产生的再生能可被牵引列车利用，将前后两列车牵引、制动工况的重合时间称为再生制动能的有效利用时间^[20]。因此，对于再生制动能的利用，可从单纯的再生能最大化问题，转为再生制动能有效利用时间最大化问题。彭其渊等^[21]，冯瑜等^[22]使用再生制动能的有效利用时间与列车制动时间的比值，作为有效再生制动能的利用效率。

⑸

式中：{\tau }_{e,q}^n为运行线e在车站n的用能阶段的持续时间，s；{\tau }_{e,s}^n为运行线e在车站n的产能阶段的持续时间，s；{\left[j_e^n-{\tau }_{e,s}^n,j_e^n\right]}^{\phi }为供电臂\phi内运行线e进入车站n时的产能时间区间，s；{\left[c_e^n,c_e^n+{\tau }_{e,q}^n\right]}^{\phi }为供电臂\phi内运行线e离开车站n时的用能时间区间，s；\psi表示在有效用能时间的单位时间内平均可吸收的再生制动电能的大小，kW·h/s。

在将牵引制动重合时间转化为再生制动能的表示方法上，彭其渊等^[21]给出了再生制动能量的利用效率，将其定义为前车牵引时间、后车制动时间的重叠部分，与后车制动时间的比值。冯瑜等^[22]则把重合时间作为系数加入目标函数中，计算出可被利用的再生制动能。

（3）以列车净牵引能耗表示。净牵引能耗可以表示为牵引能耗与再生能量的差值^[23]。柏赟等^[24]以净牵引能耗为目标函数，规定列车在区间运行时可进行二次牵引，同时也采用了延长牵引制动重合时间的方式提高再生制动能的利用效果。柴杨等^[25]，Liao等^[26]对列车运行时刻表和列车单区间操纵进行协同优化，建立列车净牵引能耗的动态规划模型；Li等^[27]，Yin等^[28]，He等^[29]均考虑了旅客等待时间和列车净牵引能协同优化的问题。

以柴杨等^[25]采用的公式为例，列车净牵引能耗的表示方法如公式⑹所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}J={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \underset{S_i}{\overset{S_{i+\mathrm{1}}}{\int }}}\frac{F_t（v）}{{\eta }_t}-\alpha {\eta }_e{F}_{e}v）ds⑹

式中：K为运行区间个数；S_i为第i个车站的位置，m；F_t，F_e分别为列车牵引力和制动力，N；{\eta }_t，{\eta }_e分别为列车机电效率等效值；\alpha为再生制动能利用率。

上述3种方式各有特点，直接计算再生制动能的方法较为直观，无需复杂公式，易于读者理解，但在如何划分最小计算单元上需要多加设计，以便简化计算；以相邻列车牵引制动重合区间代替计算的方法，避开了多列车多区间计算总能耗较为复杂的困境，思路较为巧妙，但需要选定合适的能耗转化参数，将重合时间与能耗相对应；列车净牵引能耗法从整个问题的最终目标出发，只是在具体方法设计上各有不同。

1.2.2　电学角度

从电学角度的主要思路为将牵引网络等效为电路模型，通过电网功率与运行时间的乘积来计算列车耗能。Sun等^[30]指出以往的时刻表优化研究只关注机械能的传递和利用，没有考虑牵引网的能量交换和线路损耗，并结合实际牵引供电系统的特点，构建了跨变电站电能传输与利用模型。张驰等^[31]针对逆变回馈式再生制动系统展开了研究，从牵引变电所设置优化和列车运行图优化2个方向进行调整，使前后列车的牵引、制动时间尽可能靠近，以提高再生能量的利用率。李灿等^[32]以列车停站时间和发车间隔为决策变量，构建了以相邻列车牵引制动重合时间最大化为目标的混合整数规划模型。

这部分文献主要从制动原理出发，以微观视角解释了再生制动能的产生和利用，但在目标函数的设置上，仍体现了尽量使位于同一供电区间列车的牵引、制动工况重合的思想。

1.3　基于列车运行图优化

针对单个列车在全区间运行的节能优化研究往往是从驾驶策略的角度出发，同时兼顾列车运行速度、运行时间等约束，而为了更加贴合实际运营情况，还有一些研究考虑结合列车运行图进行多列车总运行能耗综合优化，通过调整各列车开行方案、停站方案、区间运行时间、安全运行间隔等，实现列车节能运行。高速列车运行图优化与1.1和1.2所述其他2种节能方式并不冲突，革新等^[7]通过求解最优驾驶策略集里牵引能耗与区间运行时分的线性关系，将高速列车操纵策略优化与运行图优化结合；邓连波等^[19]，郑亚晶等^[20]，彭其渊等^[21]基于再生制动能原理，通过调整列车运行图，实现再生制动能的利用最大化。

1.3.1　单一能耗目标优化

（1）区间运行时间分配策略。高速列车运行过程中，在各类运行约束条件的范围内，会形成由多条速度-时间曲线共同构成的集合，集合中的不同曲线会对应不同的区间运行时分和运行能耗；在横纵坐标分别为运行时分与运行能耗的坐标系中，对所有可行点进行拟合，得到牵引能耗-区间运行时分曲线拟合示意图如图4所示。由于不同区间对应的拟合曲线不同，因此存在最优的区间运行时间分配策略，使得总运行能耗最小^[7-8]。已有研究表明，在2个连续站点之间的路段中，最优的节能列车速度分布由该段的到达和离开速度以及列车在该段的运行时间决定^[33]，同时区间运行时间确定后，高速列车在各区间任意时刻的速度、位置、工况也随之确定。按照速度-时间曲线、速度-位置曲线就可以逐列车逐区间求得总牵引能耗^[20，24]。也有部分文献通过调整列车在各区间的到发时刻和运行时空位置关系实现列车运行图节能优化。

（2）结合再生制动能利用。根据列车再生制动能的利用原理，再生制动能的利用需要考虑前后列车牵引、制动重合区间，因此列车运行图的安排设计也与之息息相关。这方面研究的主要思路是将列车再生制动能用公式进行表述，然后设置列车运行时间、列车停站方案等约束，使再生制动能的利用与列车运行图结合。1.2中文献均考虑了列车时刻表中的再生制动能利用情况。

（3）结合驾驶策略。高速列车驾驶策略优化研究的最终目的和应用场景，仍然是列车运行图优化，目前已有一些文献将两者结合考虑。如革新等^[7]以驾驶区间内的牵引能耗与总运行时分为目标，构建最优驾驶策略集，并给出两者关系表达式，随后通过寻找每列车区间运行时分以及驾驶策略的最优组合，最大化降低时刻表的牵引能耗；Zhan等^[33]，Xu等^[34]给出了在判定不同操纵工况下的高速列车最优运行轨迹，以及消解列车运行冲突，保证列车安全运行间隔等方面的思路。Wang等^[35]，Yang等^[36]将到达和出发时间转换为时间窗口约束，以放松给定的时刻表。然后开发列车轨迹优化方法，在放宽的时间窗口内找到最佳到达/出发时间和最佳能效速度曲线。Zhou等^[37]建立了列车速度、时间、位置的三维网络来描述高速列车时刻表，并利用动态规划方法求解。Su等^[38]综合考虑高速列车时刻表优化和驾驶策略优化，建立了一个分别由驾驶策略、循环时间分布、车头时距控制组成的，由低到高的优化模型。

1.3.2　考虑其他目标的运行图协同优化

部分文献除了进行列车能耗优化外，还考虑了运行图紧凑性、旅客满意度等其他方面。Zhan等^[33]，Xu等^[34]通过构建时间-空间-速度三维网络(STS)，并构造所需的各类弧线，通过将各类弧线对应的列车能耗进行加合，得到列车总牵引能耗。其中Zhan等^[33]提出了两级节能重调度方法，分别从微观和宏观层面，优化列车能耗和列车到发站时间；Xu等^[34]利用预求解的列车分段级轨迹模板，在满足车头时距约束和流量平衡约束的情况下，通过快速算法在列车时刻表优化过程中找到最优解；Yang等^[39]以列车运行总能耗和列车运行总时间为目标函数，考虑列车总运行时分、最小追踪间隔、发车间隔等约束，使多列车总能耗、总运行时间最低；Xie等^[40]，Chen等^[41]，Gao等^[42]综合考虑了旅客等待时间以及列车能耗双重优化，以列车停站方案、时刻表和缓冲时间为约束建立模型。

通过对于高速列车节能运行优化方式的梳理，可以总结出高速列车节能运行的特点为2条主线并存，多种方式综合运用。2条主线分别指列车区间操纵策略优化、列车再生制动能利用，这2个方面是高速列车节能优化的基础，而高速列车运行图节能优化则是在充分考虑现实需要的情况下，采用其中的一类或是综合考虑两类优化方式，将其同列车运行图结合，同时可以辅以其他目标，进行协同优化。

2　高速列车运行图节能优化模型

高速列车节能运行图优化模型种类较多，可按照以下2种方式分类：按照优化对象分为单列车操纵策略优化模型、多列车综合优化模型；按照用到的数学规划性质可分为整数规划模型、混合整数规划模型、0-1规划模型、动态规划模型等。

2.1　按照优化对象划分

2.1.1　单列车操纵策略优化模型

这类模型主要考虑单一列车在一条线路上运行时的节能优化，由于是单列车，故主要的优化方式是改进操纵策略，调整工况转换点。在方法上，这类模型从最初的利用庞特里亚金原理求解单列车单区间最优能耗，得出了由“最大牵引-巡航-惰行-最大制动”构成的工况对应最佳速度曲线的结论；逐步发展到加入多种算法求解列车在完整区间内工况转换点与对应的能耗。在约束条件上，从只有简单的速度上限、总运行时间约束^[4-6]，到考虑旅客舒适度、各区间运行时间约束以及复杂线路条件对列车速度、加速度的影响^[8-11]。

2.1.2　多列车综合优化模型

此类模型体现了多列车在区间运行过程中的相互影响，而高速列车再生制动能利用的研究与之相关性较强，因而多使用此类模型。同时，部分研究兼顾了列车操纵策略优化，利用上述给定区间运行时分下的最优工况结论，通过不同区间最优工况的组合，实现了列车区间操纵策略及列车运行图的协同优化^[7]。柏赟等^[24]提出多列车滚动优化思想，根据相同或相邻供电分区的其他列车操纵方案、列车本身参数及运行状态信息确定当前列车的操纵方案。

2.2　按照数学规划性质划分

这一领域的研究方向大多为优化类的非线性规划，因此在具体方法上具有较强的指向性，各参考文献按照数学规划性质可分为整数规划模型、混合整数规划模型、0-1规划模型、动态规划模型等。

2.2.1　整数规划

对决策变量有整数要求的数学规划问题称为整数规划问题，整数规划有线性整数规划与非线性整数规划之分。这里所说的整数规划仅指所有决策变量均为整数的一般整数规划。整数规划模型具有精确性、灵活性等特点，可以为使用者提供精确解，并被广泛运用于多个领域，如生产调度、物流优化、资源分配等。采用整数规划模型的文献较多，其中出现的整数决策变量主要有以下2种类型。

（1）时间类。时间类决策变量主要包括区间运行时分^[7]、发车时刻^[18]、停站时间^[21]、发车间隔^[22]、工况持续时间^[23]等，起到控制列车运动状态、改变列车驾驶策略的作用。

（2）速度类。速度类决策变量主要包括列车巡航速度^[8]、制动初速度^[14]等。列车速度与能量消耗的计算紧密相关，并且不同时刻的列车速度可用于判定列车运行状态，方便选取合适的列车速度-运行时分曲线，为多列车多区间总能耗最小计算打下基础。

2.2.2　混合整数规划

混合整数规划模型是指部分决策变量为整数的数学规划模型，适用于涉及复杂决策变量和约束条件的问题，但同时也可能因为模型规模庞大而导致求解困难，因此需要配合相应的算法和求解器帮助计算。高速列车运行图节能优化问题，常伴随着各类较为复杂的时间、速度约束，因而可选用此类模型。Yin等^[28]通过划分时空网络的方式，得到列车牵引能耗以及再生制动能，对两者进行线性关系加合，得到新的线性目标函数，构建混合整数规划模型。Yang等^[36]以列车到达时刻、离开时刻、单位长度牵引力输出率、单位长度制动力输出率、单位长度运行速度、单位长度运行时间作为决策变量，确定各站点的速度分布，以及站间运行能耗。

2.2.3　0-1规划模型

0-1规划是一种特殊的整数规划，其变量取值仅为0或1，常用于表示相互排斥的约束条件，可用穷举法或隐枚举法进行计算，也可用商业求解器的内置算法进行计算。在高速列车运行图节能优化问题中，可用来表示列车的时空状态，例如判断列车在某一时刻是否位于某一区间^[28，41]；Yin等^[28]还构建了基于旅客动态需求的0-1整数规划模型；闫海峰等^[43]采用基于0-1规划的非线性离散数学模型，设计停站0-1变量和越行0-1变量来描述列车运动状态，并用Lingo内置的全局优化算法求解。

2.2.4　动态规划模型

动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，被广泛运用于生产管理、工程技术等方面，其主要思想依据是最优化原理，流程为以末状态为起点，逐段递推最优情况。但其缺点是面对复杂的约束条件，动态规划算法的计算过程会变得较为繁琐。高豪等^[12]利用动态规划无后效性的特点，将列车运行过程分为多个子阶段，求解最优操纵策略集合，随后根据求得的帕累托最优曲线，合理分配不同站间的运行时分；柴杨等^[25]以每一阶段下可选择的操纵工况为决策变量，确定状态空间，建立动态规划递推函数；Su等^[38]依据最大值原理，以驾驶策略为每一阶段的决策变量，建立驾驶策略和列车运行图的双重优化。

3　高速列车运行图节能优化算法

高速列车运行图节能优化模型是一类规模较为庞大、求解较为复杂的模型，在建立模型时需要设计各类决策变量及其他变量，同时设置相应的约束，主要包括运行时分约束、运行速度约束、安全运行间隔约束等；加之列车运行图节能优化研究多采用优化类的非线性模型，少部分线性规划模型也是由多种优化目标进行线性组合构成，仍需对其非线性组成部分进行预处理。因此在求解时，研究人员往往使用启发式算法，并配合商业求解软件进行分析验证，或是采用精确算法进行预处理后再求解。目前这一领域使用的算法主要包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法、拉格朗日松弛算法等。

3.1　遗传算法

遗传算法因其较强的全局搜索能力，被广泛运用于函数优化、数据挖掘、生产调度、组合优化、图像处理、机器学习等问题^[44]，但也存在编码复杂、后期局部搜索能力差的缺陷。列车节能优化多为非确定性多项式困难问题(NP-hard问题)，其中区间运行时间变量具有离散特征，多列车环境下的再生制动能利用需要逐时间片段计算^[19]，而遗传算法具有通用性强、鲁棒性强、效率高、实用性强等特点，对于求解这类问题有较好的效果^[36]。麻存瑞等^[14]设计了一种三层编码的遗传算法，分别用于确定运行图冗余时间、列车运行时间、列车巡航速度，随后进行交叉与变异，并获得列车速度轨迹和能耗。冯瑜等^[22]，步兵等^[23]，柏赟等^[24]同样采用遗传算法求解，主要将列车始发时间、区间运行时间、发车间隔等决策变量作为基因，以目标函数为基础设计适应度函数，并利用轮盘赌等方式进行交叉变异，随后进行条件判断、更新种群等步骤。

3.2　模拟退火算法

模拟退火算法模拟了实际固体退火过程，其将优化问题类比为退火过程中能量的最低状态，具有参数较少、鲁棒性强、适用于求解复杂非线性优化问题的特点^[45]。相比于其他局部搜索算法，模拟退火算法应用简单、易于实现，同时引入了随机因素，具有跳出局部最优解的能力，而高速列车运行图节能优化问题是典型的包含复杂约束的非线性优化问题，因此应用模拟退火算法往往可以得到较好的结果。但模拟退火算法也存在一些缺点，如对初始温度的选择要求较高，收敛速度与全局搜索能力不能兼得等。盛昭等^[8]将模拟退火算法与粒子群算法结合，使得算法在保留粒子群算法简单、易实现的基础上，提高全局搜索能力；革新等^[18]使用模拟退火算法和Gurobi求解器同时求解，两者所求结果差距较少，验证了所设计算法的合理性；Su等^[38]按照模拟退火算法流程，建立初始模型、进行扰动分析得到新模型、比较差值、降低温度、循环判定等。

3.3　粒子群算法

粒子群算法模拟了鸟群运动，利用群体中个体与最优个体以及个体之间的信息交互，引导整个群体中个体在保留自身多样性信息的同时，朝向群体最优个体收敛^[46]。粒子群算法易于实现、收敛速度快，但在面对离散的优化问题时容易处理不佳，陷入局部最优解。盛昭等^[8]将每个可能的解都表示为种群的一个粒子，每个粒子都有自己的位置(决策变量)和速度(搜索方向)，通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优值。具体步骤为初始化粒子种群，按照设定的运动学方程计算粒子的能耗与时间，以及更新粒子状态，随后使用模拟退火算法继续计算。曹佳峰^[16]使用粒子群算法，对列车不同阶段速度以及巡航时间进行编码，并初始化种群及计算适应度，分别与局部、全体最优解进行比较。

3.4　拉格朗日松弛算法

对于一些包含较为复杂约束和变量的模型，学界往往会先采取松弛算法进行预处理，将复杂的原问题分解为相对容易求解的子问题，进而获得原问题的较优解^[44]。因此部分研究针对高速列车运行图节能优化问题，使用拉格朗日算法进行求解。值得注意的是，拉格朗日松弛算法得到的解为原问题的下界，有可能无法满足原问题的约束，因而需要在此基础上重新构造可行解。革新等^[7]通过添加拉格朗日乘子，将复杂约束多列车总运行时分吸收进目标函数，生成松弛问题的最优解；所得最优解即为原问题的下界，再使用压缩运行区间、平均分配剩余能耗的方法，构造原问题可行解。Zhan等^[33]指出，基于时空网络的大规模整数规划可能存在较多变量，因此使用拉格朗日松弛算法对原问题进行分解，同时为解决拉格朗日松弛算法可能带来的可行域变宽的问题，可使用交替方向乘子法(ADMM)进行优化。Yin等^[28]为松弛各时间间隔内的车站上车人数约束，选用拉格朗日乘子将其吸收，并将松弛后目标函数按照连续变量和0-1变量划分，以便求解。

除了上述算法外，高速列车运行图节能优化还用到了以下算法。郑亚晶等^[20]使用时空局域滚动优化算法分解可行域，对子区域内的运行线进行设置，并将其作为进行下一条运行线布置的依据，以此类推整个运行图的优化。彭其渊等^[21]使用外点惩罚数法，将目标函数和约束函数组合成新的线性函数，设置递增的罚因子和允许误差，不断迭代计算，直至得到最优解。Li等^[27]选用模糊算法，计算各目标值的隶属度函数，并利用最大最小算子法求解多目标问题。Xu等^[34]针对时间-空间-速度网络设计了最短广义路径成本算法，来寻找最优成本路径和最优出行时间路径，并设计了列车冲突消解算法，以保证列车安全运行。

综合上述文献来看，随着模型的精细程度的提高，高速列车运行图节能优化的算法也得到了长足的发展。起初为解决单列车单区间最优工况问题，研究人员利用庞特里亚金原理进行求解；后来研究中需要考虑的因素不断增多，模型复杂度不断上升，启发式算法、精确算法也被大量使用。启发式算法能够快速得出较优解，适用于复杂问题，但无法保证所求解最优，也可能因为参数选取不当而陷入局部最优解的情况。相比之下，精确算法可以保证找到最优解，所求结果精确，但面对规模庞大的问题会暴露求解速度过慢的缺陷。对于高速列车运行图节能优化问题，可以将两者结合使用，如利用精确算法进行预处理，或先使用启发式算法获取可能的最优解，这样就能充分利用其长处，同时根据问题的规模、时间要求和结果要求，也可以对原有算法做相应的改动。

4　研究现状评述和展望

4.1　研究现状评述

高速列车运行图节能优化是目前热门的研究方向，其研究内容涉及行车组织调度、能源回收利用、运行图编制优化等多领域的知识，随着我国高速铁路网络的不断完善，高速列车运行节能问题也逐步受到学界关注。

4.1.1　研究内容不断丰富

近年来针对高速列车运行图节能优化的研究不断增多，主要研究内容从一开始的针对理想线路条件下单一列车在固定区间的操纵工况优化研究，到考虑多列车相互影响的运行图节能优化问题；从高速列车驾驶策略优化，到考虑再生制动能的有效利用。部分文献也考虑了旅客乘降对列车总体质量乃至列车能耗的影响，以及列车运行图的紧凑性优化等方面。目前这一领域内的研究正逐渐朝着多目标综合优化的方向发展，整体呈现出学科交叉联合、内容不断丰富的趋势。

4.1.2　影响因素逐渐增多

早期研究多针对单列车单区间的操纵策略进行分析，主要考虑列车最高速度和总运行时间，对外界因素考虑较少；随着这一领域研究的不断深入，尤其针对高速列车的研究逐渐成为热点，影响因素逐渐扩展到以下类别：第一类为时间因素，如列车区间运行时分、列车到发间隔、最小追踪间隔等；第二类为速度因素，如列车各工况开始时的速度，制动初速度等、区间距离步长等；第三类为其他因素，如乘坐舒适度、驾驶策略选择、线路条件限制等。

4.1.3　模型构建更加复杂

研究初期针对单列车单区间最优工况问题所设立的模型，目标函数简单，约束也较少。如今大多数高速列车节能优化模型均为规模较大的非线性优化模型，以数学规划性质划分，整数规划模型和混合整数规划模型的使用频次较高，这也与研究内容的性质有关；0-1规划和动态规划使用量较少，主要是因为前者适用场景较少，而后者多用于模型规模不大、约束简单的情况。在目标函数方面，除了常规的利用运动学方程给出牵引力与牵引能耗之间关系的模型外，还有设立时间-空间网格统计能量消耗和利用情况的模型，以及利用电学方程给出列车能耗的模型。在优化对象上，主要包括单列车操纵策略优化和多列车总能耗优化。为了更加贴合实际，会设立多个目标进行协同优化。

4.1.4　算法设计持续完善

考虑到高速列车节能优化模型变量与约束的复杂性，多数研究采用启发式算法，包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等，也有部分文献将各类算法结合，以弥补部分算法的缺陷，如盛昭等^[8]为增强全局搜索能力，将模拟退火算法引入粒子群算法。为简化模型，还可用松弛算法或分解算法等对模型进行预处理，或是用线性组合的方式将非线性模型转化为线性模型再计算。同时，商业求解软件的发展也极大提高了求解的效率，使研究人员有更大空间去验证结论的正确性。预计未来各类算法的改进形态及其组合运用也会逐渐成为主流。

4.2　研究展望

4.2.1　高速列车节能驾驶策略与运行图设计

目前在列车节能驾驶策略与运行图优化这一研究领域内，已经有大量学者形成了丰富的研究及实践成果，但从研究对象的角度来看，现有研究中地铁列车节能运行占比较大。针对地铁列车的研究成果已较为成熟，主要集中于“四阶段法”操纵策略和惰行控制策略下的节能优化，其节能原理同样可被用于高速列车运行图节能优化。但从线路条件来看，高速列车的运行区间更长、速度更快，且常需经过复杂艰险路段，因此列车需要设计更加精巧的驾驶策略来应对不同的路况，例如充分利用惰行工况来减少上坡时的牵引消耗和下坡时的制动消耗等。从开行方案来看，高速列车往往采用多种速度等级混合运行的组织模式，这会使得高速列车运行图涉及到越行及多种时间间隔问题，从而使得其编制更为复杂。同时高速列车的停站时间占运行总时间的比例显著低于地铁列车。在未来研究时，要充分考虑高速列车线路条件、开行方案带来的影响。

4.2.2　高速列车再生制动能的利用方式

高速列车制动距离更长，所损耗的能量以及可利用的再生制动能也更多，因此再生制动能的利用对于高速列车是重要的节能手段。现有的再生制动能主要是通过列车制动时产生，并分配给位于同一供电分区或供电臂的列车使用，使用时需要尽量让相邻列车的牵引、制动区间重合，以提高再生制动能利用效率，这对列车运行图安排提出了较高的要求，因此也有学者提出利用储能技术，将产生的再生制动能储存起来，反馈回电网以供其他列车使用。目前已有一些地区的列车对蓄电池储能和超级电容储能进行试点，提出了超级电容在高速列车上使用的构想，未来关于储能利用的方向，可能会成为新的研究切入点。

4.2.3　高速列车节能运行图与其他目标的协同优化

现阶段针对高速列车运行图节能优化的研究，大多以能耗降低为单一目标，对运行图的其他特性未作过多考虑。同时为聚焦列车节能优化，部分研究会对问题做一些简化处理，这可能会对研究成果的实用性造成影响。为了能够更加贴合实际情况，使研究成果更好地服务于铁路行业，在研究高速列车运行图节能优化时，也可以加入其他目标进行协同优化。在运行时间方面，可以考虑列车总旅行时间等目标；在旅客服务质量方面，可以考虑旅客等待时间、列车延误情况等。此外，可能出现的突发状况所造成的列车运行中断，不同线路客流分布和变化，这些因素对运行图铺画的影响都是未来继续研究的方向。

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基金资助

国家自然科学基金项目(71761025)

甘肃省教育厅双一流重大科研项目(GSSYLXM-04)