考虑碳排放及时间满意度的高铁快运“站到门”配送优化模型及算法研究

Optimization Model and Algorithm for Station to Door Distribution of High Speed Railway Express Considering Carbon Emissions and Time Satisfaction

摘要

在双碳背景下，针对高铁快运“站到门”配送阶段存在配送成本高、服务能力低、末端配送难的问题，结合高铁快运业务的特点，引入Sigmoid降指数，通过函数变换得到“站到门”配送时间满意度函数，以高铁快运不同产品类型的首重运价确定客户重要度，以服务满意度、运输经济成本、碳排放量为目标，构建高铁快运站到门配送多目标优化模型。针对鲸鱼优化算法(WOA)容易陷入局部最优解的缺陷，提出并设计快速非支配排序多目标鲸鱼优化算法(FNSMWOA)，采用该算法对问题进行求解，并通过算例验证所提模型和算法的有效性。结果表明：快速非支配排序多目标鲸鱼优化算法在全局搜索能力和局部搜索能力上均取得较好的效果，实验得出帕累托解前沿解，并得到考虑不同优化目的的帕累托最优解方案，为高铁快运“站到门”配送优化提供一种新思路。

Abstract

Under the background of carbon peaking and carbon neutrality goals, there are high distribution costs, low service capability and difficulty in solving the terminal distribution in the "station-to-door" distribution stage of high speed railway (HSR) express. To solve these problems, combining with the characteristics of HSR express business, the Sigmoid drop index was introduced. The "station-to-door" distribution time satisfaction function was obtained through function transformation. The customer importance was determined by the first freight rate of different product types of HSR express. The multi-objective optimization model of the "station-to-door" distribution of HSR express was constructed with the goal of service satisfaction, transportation economic cost, and carbon emission. A fast non-dominated sorting multi-objective whale optimization algorithm (FNSMWOA) was proposed and designed to address the shortcomings of the whale optimization algorithm (WOA) that easily falls into local optimization solution. The algorithm was utilized to solve the problem. The effectiveness of the proposed model and algorithm was verified by an example. The results show that the FNSMWOA has performed better in both global search ability and local search ability. The Pareto solution frontier solution was obtained by experiments, with the Pareto optimal solution scheme considering different optimization purposes, which provides a new idea for the optimization of the "station-to-door" distribution of HSR express.

Graphical abstract

关键词

高铁快运 / 碳排放 / 时间满意度 / “站到门” / 多目标优化 / 鲸鱼优化算法

Key words

High Speed Railway Express / Carbon Emission / Time Satisfaction / "Station to Door" / Multi-objective Optimization / Whale Optimization Algorithm

0　引言

高铁快运产品于2014年正式推出，并逐步在全国进行推广。目前高铁快运“门到站”及“站到门”运输环节在自建配送团队和第三方企业配送上还有待完善^[1]，传统物流模式不能满足经济社会发展^[2]。因此，在“碳达峰、碳中和”政策和背景下，亟需对高铁快运“站到门”配送问题开展研究，从降低企业经营成本、碳排放量、高铁快运货物配送时间，以及提高客户满意度等方面提升高铁快运服务的整体水平。

高铁快运“站到门”配送问题属于车辆路径规划问题，对于该问题国内外学者展开了广泛研究。AL-DAL'AIN等^[3]分析了燃油车与电动车组成的混合配送车队的运行特点和限制条件，提出构建集成模型，求解出混合车队的最佳组合方式。Nguyen等^[4]考虑配送车辆容量约束，构建混合整数线性规划模型，提出自适应大邻域搜索算法求解问题。Hashemi-Amiri等^[5]以疫情下易腐食品供应链供需不稳定为背景，提出构建多商品的三级易腐食品供应链网络，提出考虑调度及车辆路径的双目标优化模型。Pimentel等^[6]提出构建基于城市客运网络的城市配送服务体系，构建了城市物流配送服务运营规划数学模型，以最大限度减少总服务时间。Liu等^[7]为提高物流配送路径优化设计效果，结合改进蚁群算法对物流配送路径设计与优化进行研究。袁涛等^[8]针对应急物资运输选址-配送联合优化问题，构建了多式联运应急物流网络，建立以最小化救援成本为目标的优化模型。程亮等^[9]针对快时尚产品配送频率高的特点，充分考虑碳排放的因素，构建多目标绿色车辆路径规划模型，采用改进蚁群算法对模型进行求解。鲍惠芳等^[10]研究生鲜配送的特点和冷链配送路径优化中综合成本不全的问题，提出建立以运输成本、碳排放、制冷要求、货损、服务时间窗为约束的冷链配送路径优化模型，并引入Metropolis准则、遗传算法来改进蚁群算法求解该问题。宾松等^[11]考虑高铁列车装载和城市配送运输的需求特点和要求，构建了高铁快运服务路径混合整数规划模型，基于邻域搜索策略改进遗传算法求解问题。李玉民等^[12]提出了一种越库配送模式达到“去配送中心化”的目的，高铁货运专列采用多站停靠配合城市配送的路径优化模型，采用模拟退火算法求解，该模式能降低配送成本，提高准时性。

从路径优化的角度实现交通运输领域的节能减碳目标，也是目前重点的研究方向。Zhang等^[13]研究了冷链物流燃油车与电动车混合车队的城市配送问题，构建了考虑成本、碳排放、最短路径的混合车队配送模型。Chen等^[14]从低碳经济的角度提出时间依赖型新能源车辆路径问题，考虑交通拥堵和碳税影响，建立冷链物流前置仓路径规划模型，提出混合模拟退火回火算法求解。Fang等^[15]考虑运输振动引起的货物变质成本和制冷剂产生的碳排放成本等因素，建立货物变质成本和碳排放成本的长距离冷链物流路线规划模型，采用改进蚁群算法求解模型的最优解。张旭等^[16-18]在考虑强制碳排放、碳税、碳交易等政策影响下，结合碳排放成本，构建多任务多式联运路径选择模型；针对货运需求、碳交易价格等多重不确定因素的模糊路径优化问题，建立混合鲁棒随机优化模型，并比较不同模式下运输方案的效益。刘学之等^[19]通过碳价函数将二氧化碳排放量折算成二氧化碳排放成本，引入碳税机制，构建货物运输的低碳多式联运路径优化模型。针对模糊需求下低碳快捷货运运输方式选择路径规划问题，张振江等^[20]建立多目标模糊机会约束规划模型，采用逼近理想解排序法，得出不同置信水平下的快捷货物运输方案。在减碳目标下，程兴群等^[21-22]针对碳交易多式联运路径选择问题及交通状况对多式联运路径选择的影响，考虑运输时间和单位运输费率概率分布未知的情况，引入鲁棒性优化建模方法，构建了在不同碳排放政策下考虑道路拥堵的多式联运路径选择模型。

高铁快运“站到门”运输路径优化问题需要充分考虑高铁快运产品的特点及市场需求。高铁快运产品的客户对其服务的时效性有极高的要求，服务时间窗更精确，客户满意程度受派送时间影响变化明显。因高铁快运产品对派送时间要求高，低碳目标与运输经济目标、客户满意度目标相冲突，很难通过单目标模型解决。现阶段高铁快运业务主要面向物流企业，末端配送依赖物流企业配送网络。随着物流转型自营业务的增加，对碳排放的考虑就会变得更加重要。一旦考虑碳排放，就可能会影响到整个配送网络的优化和设计。这不仅涉及到配送效率的问题，还直接关系到企业的社会责任和环保形象。因此，提出综合考虑客户满意度、运输经济成本、碳排放量多个目标的高铁快运“站到门”配送优化模型，解决配送车辆路径问题，针对该数学模型多目标、非线性的特点，提出改进智能算法求解问题。

1　高铁快运“站到门”配送优化模型

1.1　问题描述

高铁快运“站到门”配送过程是指高铁列车到达客运车站完成卸货后，从车站货运服务部直接通过地面运输向终端客户交付的过程。由于选择高铁快运的客户通常对全过程配送时效性较为敏感，因此“站到门”配送服务的质量，直接影响高铁快运产品全局的服务质量，配送到目标客户时间过晚或过早，都会降低客户对高铁快运业务评价。高铁快运业务目前的发展仍处在起步阶段，快递物流公司往往将高铁快运作为公路、航空运输的补充，在“站到门”配送阶段仍会使用传统快递业务的多级配送体系，不利于发挥高铁快运及时、高效的优势。与传统铁路运输货物相比，高铁快运货物运输规模小，但业务频次高、全程服务品质要求高，随之而来造成高铁快运业务总体成本，尤其是“站到门”配送成本较高，不利于高铁快运业务推广。在“双碳”背景下，高铁快运具有碳排放更少、更加环保的特点，也将促进该业务的发展。因此，在构建高铁快运“站到门”配送优化模型、生成配送路径方案时，一方面要顾及客户和企业的利益，另一方面也要考虑在“站到门”配送阶段减少碳排放对环境的影响。

本研究的高铁快运“站到门”配送优化问题定义如下：将需要派运、收运的客户视为一个需求点，以高铁车站货运服务部为中心，由多台配送车辆直接服务于货运服务部辐射范围内的一定需求点的形式构建高铁快运“站到门”配送网络。单台配送车辆从货运服务部出发，按一定路线不重复地服务一组客户，并返回货运服务部；由多台配送车辆完成对范围内所有需求点提供服务，配送车辆按照客户要求的送达时间范围到达需求点。待收派运工作完成后返回货运服务部完成发件。

考虑到高铁快运“站到门”配送问题的特点及简化模型的需要，提出以下假设：①不考虑配送车辆车型之间碳排放量的差异，在配送环节所有车辆均能按照规定的速度行驶；②配送车辆的配送速度与该时间下城市平均车速一致；③货物利用高铁列车运输阶段造成的时间影响(早点、晚点)独立于“站到门”配送阶段，到达货运服务部的货物均视为准点到达；④所有货物必须在客户约定的时间内送达，晚于客户约定时间送达时，客户不满意度最大，早于客户约定时间送达时，客户不满意度与提前时间正相关。

1.2　模型参数设置

设高铁快运“站到门”配送网络G=(N,A)由点集N=\left\{n_i|i\in \mathit{\mathbb{N}}\right\}，弧集组成。其中n_{\mathrm{0}}表示货运服务部，模型符号如表1所示。

1.3　模型构建

现阶段，高铁快运针对时效性快递按照送达承诺时间划分为当日达、次晨达、次日达、隔日达共4种产品，其承诺最晚送达时间对应当日22：00、次日11：00、次日18：00、隔日18：00。高铁快运组织形式包括检测车捎带运输、货运动车组(CRH 2A型动车组改造)运输、客运动车组捎带运输，因高铁快运货物与普通快递包裹属性有所不同，货物需要第一时间当面交付于客户。在实际业务处理过程中，派件人员在承诺最晚到达需求点n_i的时刻t_i^w前会与客户约定一个预计到达时刻t_i^d，构成一个服务时间窗\left[t_i^d,t_i^w\right]，车辆到达需求点n_i的时刻t_i^a往往会存在一定偏离，不能保证t_i^a总落在时间窗\left[t_i^d,t_i^w\right]区间内，则会出现以下几种情况：①当时，即派送车辆到达需求点n_i的时刻早于预定时刻，会造成客户时间冲突使得满意度下降。通常情况下提前到达的时间与不满意程度不是线性的，t_i^a与t_i^d偏移越大，不满意程度越大。②当t_i^a\in \left[t_i^d,t_i^w\right]时，即车辆到达时刻既不超出产品承诺最晚时刻也满足客户的时间需求，在该时间窗内提供的配送服务可认为完全符合客户要求，不满意度为0。③当t_i^a>t_i^w时，表示派送车辆到达需求点n_i时已经超过了承诺时间，客户的不满意程度最大。

在上述分析的基础上引入时间满意度函数S\left(t_i^a\right)分段进行表示，并规定不满意时S\equiv -\mathrm{1}，满意时S\equiv \mathrm{0}，当时，在降指数Sigmoid函数的基础上构建时间满意函数，其中Sigmoid降指数函数是通过对Tangent Sigmoid函数截取翻转平移变换得到。时间满意度函数如式⑴所示。

S(t_i^a)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\mathrm{2}\cdot \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-\beta (t_i^d-t_i)]}{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-\beta (t_i^d-t_i]} t_i^a\in (\mathrm{0},t_i^d]\\ \\ \mathrm{0} t_i^a\in (t_i^d,t_i^w]\\ -\mathrm{1} t_i^a\in (t_i^w,+\mathrm{\infty })\end{array}\right.⑴

式中：\beta为正时间敏感系数，\beta的数值越大，函数的敏感性越高。

客户满意度与配送时间关系如图1所示。

考虑到高铁快运产品设计时已根据客户时间需求，划分设计出4种服务时效的产品，并制定了不同的产品服务价格。在对这4种产品的客户进行服务的过程中，会优先对时效要求高的客户提供服务。因此，为直观反映出不同产品对应客户的重要程度，引入客户重要度{\theta }_i，{\theta }_i定义为需求点n_i选择的高铁快运服务类型的首重单价z_i与当日该货运服务部所有货物的首重价格之和的比值，如式⑵所示。

{\theta }_i=\frac{z_i}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{z}_i}⑵

针对配送车辆碳排放计算的问题，引用欧盟委员会在MEET报告^[23]中建立的公路运输速度-碳排放关系计算函数模型，在道路坡度为0，车辆以速度v行驶所造成的单位碳排放量E(v)(g/km)表示为

E(v)=e_{\mathrm{0}}+e_{\mathrm{1}}v+e_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{3}}+e_{\mathrm{4}}{v}^{-\mathrm{1}}+e_{\mathrm{5}}{v}^{-\mathrm{2}}+e_{\mathrm{6}}{v}^{-\mathrm{3}}⑶

其中\left\{e_{\mathrm{0}},e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{3}},e_{\mathrm{4}},e_{\mathrm{5}},e_{\mathrm{6}}\right\}为碳排放车型修正系数，其取值与车辆类型、使用方式、载重情况等有关。

对式⑶求一阶导数、二阶导数可得

\frac{\mathrm{d}E(v)}{\mathrm{d}v}=e_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}}v+\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{4}}{v}^{-\mathrm{2}}-\mathrm{2}{e}_{\mathrm{5}}{v}^{-\mathrm{3}}-\mathrm{3}{e}_{\mathrm{6}}{v}^{-\mathrm{4}}⑷

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}E(v)}{\mathrm{d}{v}^{\mathrm{2}}}=\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{e}_{\mathrm{3}}v+\mathrm{2}{e}_{\mathrm{4}}{v}^{-\mathrm{3}}+\mathrm{6}{e}_{\mathrm{5}}{v}^{-\mathrm{4}}+\mathrm{12}{e}_{\mathrm{6}}{v}^{-\mathrm{5}}⑸

将碳排放车辆修正系数视为正数，则可知\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}E\left(v\right)}{\mathrm{d}{v}^{\mathrm{2}}}\ge \mathrm{0}，速度-碳排放函数为凸函数，当\frac{\mathrm{d}E\left(v\right)}{\mathrm{d}v}=\mathrm{0}时可取得极值点(v_e,E\left(v_e\right))，即当速度达到v_e时，碳排放量最小。

考虑到配送环节通常使用的车型，研究拟选用微型载货汽车作为货运服务部配送车辆，按照文献［24］给出载重量小于3.5 t的汽油车碳排放修正系数｛e₀，e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆｝=｛601.2，-9.838 1，0.062 1，0，0，0，0｝，可得到该类型货车在速度区间5~110 km/h的速度-碳排放关系曲线。微型载货汽车速度-碳排放量关系曲线图如图2所示，并可得到该车型速度在v_e=\mathrm{79.21}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}时碳排放量最小。

运输环节碳排放量可由路径长度与运输排放量的乘积表示为

E_{\mathrm{1}}=\sum _{i,j\in N,i\ne j}\sum _{k=\mathrm{1}}E(V_{ij})\cdot d_{ij}\cdot x_{ijk}⑹

式中：E\left(V_{ij}\right)为速度-碳排放关系函数；V_{ij}为需求点n_i到n_j的平均车速。

车辆从冷车启动到发动机达到适宜的工况这一过程，将会额外产生启动碳排放量E_{\mathrm{2}}(g)。其与汽车所处的环境温度、行驶速度、行驶距离有关，其关系表示为

E_{\mathrm{2}}=\omega \cdot [g(v)+h(T)-\mathrm{1}]\cdot l(d)⑺

式中：\omega为在20 ℃下以20 km/h行驶的碳排放量参考量，g；g(v)为冷车状态下以速度v行驶的速度校正系数；h(T)为冷车状态下环境温度T的温度校正系数；l(d)为冷车行驶距离d对应的距离校正系数。

微型载货汽车取值\omega =\mathrm{144.16}，g\left(v\right)=\mathrm{0.003}\mathrm{4}v+\mathrm{0.932}\mathrm{1}，h(T)=\mathrm{1}，l\left(d\right)=\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\alpha \delta }}{\mathrm{1}-e^{-\alpha }}，其中\alpha为排放物修正系数，计算二氧化碳排放取\alpha =\mathrm{3.01}，\delta为行驶距离d与冷车行驶距离d_c的比值，即\delta =\frac{d}{d_c}，d_c按d_c=\mathrm{0.29}v-\mathrm{0.05}计算。

基于此，多目标高铁快运“站到门”配送优化模型考虑客户满意度、配送经济成本、碳排放量3个目标构建，其目标函数表示为

Z=(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{f}_{\mathrm{1}},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{f}_{\mathrm{2}},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{f}_{\mathrm{3}})⑻

f_{\mathrm{1}}=-\sum _{i,j\in N;i\ne j}\sum _{k=\mathrm{1}}{\theta }_{ij}\cdot s(t_j)\cdot x_{ijk}⑼

f_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}\cdot \sum _{i,j\in N;i\ne j}\sum _{k=\mathrm{1}}{d}_{ij}\cdot x_{ijk}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{3}}⑽

f_{\mathrm{3}}=E_{\mathrm{1}}+E_{\mathrm{2}}⑾

约束条件如下。

（1）货运服务部的配送车辆每日出车趟数不超过1次，可表示为

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{x}_{\mathrm{0}jk}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{x}_{j\mathrm{0}k}\le \mathrm{1}i,j\in N⑿

（2）每个需求点仅有一辆车服务一次，每台配送车辆只有一条配送路径，可表示为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0},i\ne j}^N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{x}_{ijk}=\mathrm{1}j\in N⒀

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0},j\ne i}^N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{x}_{ijk}=\mathrm{1}i\in N⒁

（3）每台配送车辆所搭载待配送货物的容量不超过车辆的容量，可表示为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{q}_i\cdot x_{ijk}\le Qk\in K⒂

特别地，对于取件需求点配送货物容量规定为0。

（4）每台配送车辆单日行驶距离限制，可表示为

\sum _{i,j\in N;i\ne j}{x}_{ijk}\cdot d_{ij}\le Dk\in K⒃

2　算法设计

高铁快运“站到门”配送优化模型是以客户满意度、配送成本、碳排放量为目标的多目标优化模型，本质上仍是车辆路径问题的求解模型，车辆路径问题是典型的NP-Hard问题，该类问题的求解难度和求解时间会随着该问题的规模增加而呈现指数级增加。

本研究建立的模型涉及到多客户、多车辆，模型求解过程中具有更高的复杂度，加之模型是多目标非线性规划模型，涉及的多个目标优化之间存在冲突和矛盾，无法实现多个目标的最优化，最终优化结果不再是求解单一的最优解，而是通过构建帕累托最优解集合，即帕累托前沿解集，以供针对不同优化目标倾向的结果选择。

本研究基于鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)和快速非支配排序方法，综合鲸鱼优化算法局部搜索能力强的特点，同时引入快速非支配排序方法改进了算法在全局的搜索能力，提出快速非支配排序多目标鲸鱼优化算法。

2.1　鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法^[25]是根据座头鲸的特殊猎捕行为启发并提出的。算法的基本思想是通过模拟鲸鱼的行为来搜索最优解。鲸鱼优化算法的数学模型包括以下3种算子^[26]：搜索猎物、包围猎物、气泡网攻击。标准WOA算法原理及模型见参考文献［25］。座头鲸的选择行为主要依靠系数向量 A 选择搜索猎物的路径，并利用概率p决定最终捕食机制。WOA算法基本流程图如图3所示。

2.2　快速非支配排序方法

快速非支配排序(Fast Non-dominated Sorting，FNS)是用于多目标优化算法中的一种排序方法，用于将种群中的个体划分为不同的层级，以区分支配关系。

在求解多目标优化问题过程中，往往多个目标之间是存在一定冲突性的，得到的最优解集在一个目标达到最优的情况下，另外的目标往往情况不佳，这些解集即为非支配解，即帕累托最优解。如果采用任意2个解集S_{\mathrm{1}}和S_{\mathrm{2}}，在所有目标上，S_{\mathrm{1}}都优于S_{\mathrm{2}}，则表示为S_{\mathrm{1}}支配S_{\mathrm{2}}。如S_{\mathrm{1}}不被任何其他解集支配，则S_{\mathrm{1}}可视为非支配解集，即帕累托最优解集。每组帕累托最优解集都有其帕累托最前沿。

快速非支配排序算法的基本思想是根据个体之间的支配关系，将种群划分为多个层级，其中第一层包含那些不被其他个体所支配的个体，第二层包含那些只被第一层个体支配的个体，依此类推。

FNS方法的步骤如下。

步骤 1：初始化。将种群中的个体随机分配到一个层级中。

步骤 2：非支配排序。对于种群中的每个个体，计算其支配关系。对每个层级进行迭代处理，直到所有个体都被处理完毕。

步骤 3：非支配层级划分。根据支配次数和非支配关系，将种群中的个体划分为不同的非支配层级。通常，第一层级包含不被任何其他个体支配的个体，然后逐级增加，每个层级上的个体都至少被上一层级的一个个体支配。

步骤 4：拥挤度计算。在每个非支配层级中，计算每个个体的拥挤度。

步骤 5：精英选择。选择精英个体，较高层级和较高拥挤度的个体更有可能被选择为精英，以保持多样性和覆盖帕累托前沿。

步骤 6：种群更新。将精英个体与其他个体合并形成下一代种群。

步骤 7：重复步骤。算法达到预定的迭代次数或其他终止条件为止。

通过快速非支配排序，可以将种群中的个体按照不同的层级进行划分，并识别出非支配解集。这些非支配解集中的个体代表了多目标优化问题的最优解集合，即帕累托前沿。这些步骤结合了非支配排序和拥挤度信息，以确保算法能够有效地处理多目标优化问题，维护帕累托前沿的多样性和覆盖性，并选择高质量的精英解。

2.3　快速非支配排序鲸鱼优化算法

快速非支配排序多目标鲸鱼优化算法(Fast Non-dominated Sorting Multi-objective Whale Optimization Algorithm，FNSMWOA)是一种用于解决多目标优化问题的算法。WOA收敛速度较慢和开发能力较差^[27]，结合FNS特点，提高算法的搜索性能和解的多样性。

FNSMWOA算法能处理多个目标函数，有效维护非支配解集，并保持解的多样性。采用快速非支配排序对解集进行划分和排序，能够将解集划分为多个非支配层级，使得每个层级上的解都不会被其他层级上的解所支配，能有效保留较优解，提供一种快速准确的多目标求解排序方法，在解的搜索性能上，提高了算法的搜索效率。通过合理的算法参数设置和优化过程控制，该算法生成一组近似真实的帕累托前沿解，为决策提供多个方案选择。综上，FNSMWOA算法较WOA算法具有更强的多目标优化能力、改进搜索性能、生成近似帕累托前沿的能力，在解决多目标问题上具有较好性能和应用前景。

FNSMWOA算法的基本流程如下。

步骤 1：初始化参数和种群。设置种群大小、迭代次数，生成初始种群。

步骤 2：对种群进行快速非支配排序，将种群划分为不同的非支配层级。

步骤 3：通过循环迭代的方式进行优化。使用WOA算法对种群个体进行优化，将父代种群和子代种群合并，计算合并种群的适应度，精英选择策略保留优秀个体作为下一代种群，再次进行快速非支配排序，更新迭代非支配层级，记录优化过程中的最优解。

步骤 4：记录第一前沿并删除重复解。将第一非支配层级中的个体记录为第一前沿解，删除第一前沿中的重复解。

步骤 5：记录前沿解。将第一前沿中满足特定条件的个体记录为前沿解。

步骤 6：终止条件判断。达到预设的最大迭代次数或达到停止准则。

步骤 7：输出结果。输出优化过程中的历史记录、最优前沿解集合。

FNSMWOA流程图如图4所示。

3　实验仿真及结果分析

3.1　实验算例

以某城市的高铁快运“站到门”配送其中一日的服务为例，构建一个有21个节点的配送服务网络，包含货运服务部1个，需求点20个。考虑城市道路网相对密集，各需求点之间的路径选择多，将上述节点放在平面坐标系内，以各节点之间的几何距离代表实际距离进行计算。需求点坐标及相关信息如表2所示。

不同服务类型的时间窗如图5所示。参考客户对快件派送服务时间的需求，算例设置派送时间段为8：00—16：00。为简化计算，约定8：00开始配送时记为0，以min为单位，配送时间窗共计480 min。该时间段内主要涉及多种快运产品组织形式，8：00开始的配送环节包括前一日未处理的快件及通过确认车等形式在早晨到达的快件。之后则以动车组捎带快件为主，到达一批货物即处理一批货物。

3.2　参数设置

货运服务部n_{\mathrm{0}}坐标为(\mathrm{110,100})，各需求点在坐标系中的位置如图6所示，基本参数取值如表3所示。

高铁快运城市配送环节受多种因素影响，城市交通环境对配送的影响最为显著。某城市一天内平均车速变化关系图如图7所示，配送车辆的车速v变化与城市车辆平均速度变化保持一致。

3.3　算法对比

设置种群规模N=100，最大迭代次数t_max=200，变异率0.1，使用MATLAB R2021a求解。

本算法是基于鲸鱼优化算法、快速非支配排序方法进行改进，选取带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II)与改进后的算法进行比较。将FNSMWOA算法、WOA算法、NSGA-II算法各运行50次，帕累托解集对比如表4所示。

3种算法去除重复解的帕累托最优解数均值对比，FNSMWOA算法较WOA算法帕累托解集数量均值增加7.90个，解集数最大值和最小值均明显提升。FNSMWOA算法对WOA算法在全局搜索中陷入局部最优解的改进效果明显。FNSMWOA算法较NSGA-II算法在解集数量上有一定程度的提升。

运行程序历时10.870 845 s得到目标函数f₁迭代次数如图8所示，目标函数f₂迭代次数如图9所示，目标函数f₃迭代次数如图10所示。从结果可以看出，采用FNSMWOA算法求解该算例，目标函数f₁在迭代8次后目标函数值稳定在0.68，在迭代13次后接近最优值并趋于稳定。目标函数f₂在迭代8次后目标函数值数量级从10⁵降低到10³，在迭代22次后达到3 000元左右的稳定值。目标函数f₃在迭代8次后目标函数值数量级从10⁷降低到10⁵，在迭代22次时取得4.6×10⁵ g左右的稳定值，在迭代42次后稳定在4.0×10⁵ g左右的稳定值，该数值已接近最优解3.8346×10⁵ g。结果表明，FNSMWOA算法求解高铁快运“站到门”配送优化问题这类多目标路径规划问题能在较少迭代次数和迭代时间内寻找到接近最优的结果，并随着迭代次数的增多，找到更精确的最优值。该算法在收敛性和寻优能力上表现较为突出。

3.4　结果分析

算例求得帕累托最优前沿如图11所示，图中各点均为帕累托最优解，均可作为高铁快运“站到门”配送优化方案的最优解，帕累托前沿解如表5所示。考虑到货运服务部在不同运营条件下，在进行多目标优化方案选择过程中存在不同倾向，在求得的帕累托解集中，分别选取不同目标的最优解作为方案最优解。

表5中“*”标识出该项指标最优对应的目标函数值，即解1，9，15分别对应服务质量最优、碳排放量最小、经济成本最小的帕累托最优解。3种方案情况对比如表6所示。

方案1配送车辆路径轨迹图如图12所示，方案9配送车辆路径轨迹图如图13所示，方案15配送车辆路径轨迹图如图14所示。配送车辆数量均为5辆，由货运服务部出发经过多个需求点提供配送服务后返回货运服务部。

方案1中，为取得最优质的服务质量，该方案20个需求点中的16个需求点完全满足客户要求，不满意值为0，但同时该方案经济成本是3个方案中最高的。方案9取得了碳排放最优的结果，较另外2个方案碳排放量明显降低，同时需求点时间满意度和经济性均较好。方案15在经济性指标上最优，但因配送线路绕行、需求点数量分配不合理，导致客户的满意度较差，20个需求点中有6个不满意，8个较不满意。

4　结束语

高铁快运业务仍处在发展的重要时期，研究考虑高铁快运不同客户的时效性需求，构建Sigmoid时间满意度函数、客户重要度，考虑客户满意程度、企业经济性、环境友好性等3个方面，构建了以客户满意度、运输经济成本、碳排放量为目标的多目标路径优化数学模型。针对鲸鱼优化算法迭代速度慢、在全局搜索过程中容易陷入局部最优解的缺陷，设计快速非支配排序多目标鲸鱼优化算法，通过实验仿真，验证模型与改进算法的有效性，证明该算法在收敛性和寻优能力上表现突出。使用该算法对算例进行求解，得到该问题帕累托解前沿及帕累托最优解集，构建形成不同优化目标下的配送方案。高铁快运现阶段“站到门”配送环节货运量较小，配送结构较为简单，随着这项业务的推广，未来的“站到门”配送环节将随着货运量的增长发展出多仓储层级、多配送节点、接续配送、多次配送等情况。随着城市环保政策收紧，部分配送区域或对燃油配送车辆采取限制通行的管理措施，新能源配送车辆与燃油配送车辆结合的配送模式仍需进一步研究。

参考文献

[1] 李　宏，刘　津，刘李蓬. 基于区块链技术的铁路众包快运物流体系设计与实现[J]. 铁道货运，2021，39(1)：8-14.

[2] LI Hong， LIU Jin， LIU Lipeng. Design and Implementation of Railway Crowdsourcing Express Logistics System Based on Blockchain Technology[J]. Railway Freight Transport，2021，39(1)：8-14.

[3] 郭玉华. 我国铁路电子商务物流供应链协同发展的研究[J]. 铁道运输与经济，2014，36(10)：1-10.

[4] GUO Yuhua. Study on Coordinative Development of Railway E-Business Logistic Supply Chain in China[J]. Railway Transport and Economy，2014，36(10)：1-10.

[5] AL-DAL'AIN R， CELEBI D. Planning a Mixed Fleet of Electric and Conventional Vehicles for Urban Freight with Routing and Replacement Considerations[J]. Sustainable Cities and Society，2021，73：103105.

[6] NGUYEN V S， PHAM Q D， NGUYEN T H，et al. Modeling and Solving a Multi-Trip Multi-Distribution Center Vehicle Routing Problem with Lower-Bound Capacity Constraints[J]. Computers & Industrial Engineering，2022，172：108597.

[7] HASHEMI-AMIRI O， GHORBANI F， JI R. Integrated Supplier Selection，Scheduling，and Routing Problem for Perishable Product Supply Chain：A Distributionally Robust Approach[J]. Computers & Industrial Engineering，2023，175：108845.

[8] PIMENTEL C， ALVELOS F. Integrated Urban Freight Logistics Combining Passenger and Freight Flows - Mathematical Model Proposal[J]. Transportation Research Procedia，2018，30：80-89.

[9] LIU D， HU X L， JIANG Q. Design and Optimization of Logistics Distribution Route Based on Improved Ant Colony Algorithm[J]. Optik，2023，273：170405.

[10] 袁　涛，蔡　佳，郑　磊，等. 考虑道路损毁情况的应急物流LRP研究[J]. 铁道运输与经济，2021，43(9)：30-37.

[11] YUAN Tao， CAI Jia， ZHENG Lei，et al. LRP Study of Emergency Logistics Considering Road Damage[J]. Railway Transport and Economy，2021，43(9)：30-37.

[12] 程　亮，干宏程，李尚卿，等. 碳排放影响下快时尚产品的配送路径优化[J]. 上海海事大学学报，2023，44(1)：30-37.

[13] CHENG Liang， GAN Hongcheng， LI Shangqing，et al. Distribution Path Optimization of Fast Fashion Products under Impact of Carbon Emission[J]. Journal of Shanghai Maritime University，2023，44(1)：30-37.

[14] 鲍惠芳，方 杰，张进思，等. 基于改进蚁群算法的低碳冷链配送路径优化[J].系统仿真学报，2024，36(1)：183-194.

[15] BAO Huifang， FANG Jie， ZHANG Jinsi，et al. Optimization on Cold Chain Distribution Routes Considering Carbon Emissions Based on Improved Ant Colony Algorithm[J]. Journal of System Simulation，2024，36(1)：183-194.

[16] 宾　松，周赛琦，张得志，等. 考虑城市末端配送与二维装载的高铁快运服务路径优化研究[J]. 铁道运输与经济，2023，45(3)：53-61.

[17] Song BIN， ZHOU Saiqi， ZHANG Dezhi，et al. Research on Optimization Problem of the Service Path of High Speed Railway Express with the Consideration of the Last-Mile Distribution in Cities and Two-Dimensional Loading[J]. Railway Transport and Economy，2023，45(3)：53-61.

[18] 李玉民，刘志勇，代冬霞，等. 高铁货运专列与城市车辆多站点协同的配送模式及路径优化[J]. 铁道科学与工程学报，2021，18(11)：2816-2823.

[19] LI Yumin， LIU Zhiyong， DAI Dongxia，et al. Distribution Mode and Route Optimization of High Speed Rail Freight Trains and Urban Vehicles in Multi-Site Coordination[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2021，18(11)：2816-2823.

[20] ZHANG S Y， GUAN C L， QIU Y G，et al. Multi-Objective Route Optimization of Urban Cold Chain Distribution Using Electric and Diesel Powered Vehicles[J]. Research in Transportation Business & Management，2023，49：100969.

[21] CHEN J X， LIAO W Z， YU C W. Route Optimization for Cold Chain Logistics of Front Warehouses Based on Traffic Congestion and Carbon Emission[J]. Computers & Industrial Engineering，2021，161：107663.

[22] FANG C M， GU X Y， CHENG S S，et al. Research on Long-Distance Cold Chain Logistics Route Optimization Considering Transport Vibration and Refrigerant Carbon Emission[J]. Procedia Computer Science，2022，214：1262-1269.

[23] 张　旭，柳佳瑶，袁旭梅，等. 不同碳减排政策下考虑规模经济的多式联运路径选择研究[J]. 工业工程与管理，2022，27(4)：22-31.

[24] ZHANG Xu， LIU Jiayao， YUAN Xumei，et al. Selection of Multimodal Transportation Route Considering Scale Economy under Different Carbon Emission Policies[J]. Industrial Engineering and Management，2022，27(4)：22-31.

[25] 张　旭，袁旭梅，降亚迪. 需求与碳交易价格不确定下多式联运路径优化[J]. 系统工程理论与实践，2021，41(10)：2609-2620.

[26] ZHANG Xu， YUAN Xumei， JIANG Yadi. Optimization of Multimodal Transportation under Uncertain Demand and Stochastic Carbon Trading Price[J]. Systems Engineering-Theory & Practice，2021，41(10)：2609-2620.

[27] 张　旭，降亚迪，袁旭梅. 需求不确定下低碳多式联运路径优化[J]. 模糊系统与数学，2020，34(5)：163-174.

[28] ZHANG Xu， JIANG Yadi， YUAN Xumei. Optimization of Low-Carbon Multimodal Transportation in Uncertain Demand[J]. Fuzzy Systems and Mathematics，2020，34(5)：163-174.

[29] 刘学之，上官强强，张博淳，等. 交通运输行业低碳多式联运模式的路径优化[J]. 科技管理研究，2021，41(12)：192-200.

[30] LIU Xuezhi， SHANGGUAN Qiangqiang， ZHANG Bochun，et al. Path Optimization of Low-Carbon Multimodal Transport Mode in Transportation Industry[J]. Science and Technology Management Research，2021，41(12)：192-200.

[31] 张振江，张玉召，王小荣. 模糊需求下快捷货物低碳运输方式及路径选择[J]. 铁道科学与工程学报，2021，18(3)：777-785.

[32] ZHANG Zhenjiang， ZHANG Yuzhao， WANG Xiaorong. Low-Carbon Transportation Mode and Path Selection of Express Freight under Fuzzy Demand Condition[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2021，18(3)：777-785.

[33] 程兴群，金　淳，姚庆国，等. 碳交易政策下多式联运路径选择问题的鲁棒优化研究[J]. 中国管理科学，2021，29(6)：82-90.

[34] CHENG Xingqun， JIN Chun， YAO Qingguo，et al. Research on Robust Optimization for Route Selection Problem in Multimodal Transportation under the Cap and Trade Policy[J]. Chinese Journal of Management Science，2021，29(6)：82-90.

[35] 程兴群，金　淳. 低碳政策下考虑道路拥堵的多式联运路径选择问题[J]. 运筹与管理，2019，28(4)：67-77.

[36] CHENG Xingqun， JIN Chun. Route Selection Problem in Multimodal Transportation with Traffic Congestion Considered under Low-Carbon Policies[J]. Operations Research and Management Science，2019，28(4)：67-77.

[37] Commission European. Methodology For Calculating Transport Emissions and Energy Consumption[R]. Luxemburg：European Commission，1999.

[38] 刘长石，陈慧璇，吴　张. 城市物流配送的混合车辆路径规划模型与优化算法[J]. 控制与决策，2023，38(3)：759-768.

[39] LIU Changshi， CHEN Huixuan， WU Zhang. Programming Model and Optimization Algorithm for the Mixed Fleet Vehicle Routing Problem in Urban Logistics Distribution[J]. Control and Decision，2023，38(3)：759-768.

[40] MIRJALILI S， LEWIS A. The Whale Optimization Algorithm[J]. Advances in Engineering Software，2016，95：51-67.

[41] 许德刚，王再庆，郭奕欣，等. 鲸鱼优化算法研究综述[J]. 计算机应用研究，2023，40(2)：328-336.

[42] XU Degang， WANG Zaiqing， GUO Yixin，et al. Review of Whale Optimization Algorithm[J]. Application Research of Computers，2023，40(2)：328-336.

[43] REDDY K， SAHA A K. A Modified Whale Optimization Algorithm for Exploitation Capability and Stability Enhancement[J]. Heliyon，2022，8(10)：e11027.

基金资助

国家自然科学基金项目(72061021)