高普平行通道列车开行结构调整优化模型研究

Optimization Model for Adjusting Train Operation Structure in Parallel Corridor of High Speed and Conventional Railway

摘要

铁路通道作为连接区域中心和枢纽的重要运输纽带，对旅客出行、货物运输以及区域经济的发展具有重要意义。在高速铁路和普速铁路双网融合的背景下，如何优化高普平行通道内列车开行结构，实现客运提质、货运增能，已成为关键问题之一。针对区域内平行通道列车开行状况，为满足路网能力提升及运行图优化需求，研究基于客货分线和列车运行图优化模型理论，在列车运行图基本约束的基础上综合考虑列车跨天运行以及V形天窗的情况，以高速铁路和普速铁路列车始发终到调整时间最小和高速铁路列车数量增加最多为双目标函数，构建了高普平行通道列车开行结构调整优化模型。通过案例分析验证了模型的有效性，优化了现有列车开行结构，实现了既有运行图新增列车运行线，研究结果为通道内列车开行方案调整提供理论依据。

Abstract

As an important transportation link connecting regional centers and hubs, railway corridors are of great significance for passenger travel, cargo transportation, and regional economy. In the context of the integration of high speed railway and conventional railway, it has been a crucial problem to optimize the train operation structure in the parallel corridor of high speed and conventional railway, therefore benefiting passenger transport and freight capacity. In response to the train operation status in the regional parallel corridor, to meet the needs of improving railway network capacity and optimizing train working diagrams, this study was based on the theory of passenger and freight separation and optimization models for train working diagrams. Based on the basic constraints of train working diagrams, the study comprehensively considered the day-span operation of trains and V-shaped skylights. A dual objective function was constructed to optimize the train operation structure in the parallel corridor of high speed and conventional railway, with the minimum adjustment for train departure and arrival time on high speed railway and conventional railway and the maximum increase in the number of trains on high speed railway. The effectiveness of the model was verified through case analysis, and the existing train operation structure was optimized. New train operation lines were added to the existing train working diagram. The research results provide a theoretical basis for adjusting the train operation plan in the corridor.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 列车运行图优化 / 平行通道 / 双目标函数 / 整数规划

Key words

Railway Transportation / Train Working Diagram Optimization / Parallel Corridor / Dual Objective Function / Integer Programming

0　引言

近年来，我国铁路客货运量大幅增加，主要干线列车运行图能力利用已趋于饱和状态，因此大部分铁路采用客货共线的模式组织运输，以最大化利用运力资源。但是，由于客货列车速差较大，客货共线运输必然降低通过能力，严重影响铁路运输效率和质量。随着路网规模的不断发展，我国高速铁路已进入网络化运营时代^[1]。高速铁路在“四纵四横”的基础上已实现“八纵八横”的网络骨架，主要铁路通道内新建高速铁路吸引既有线客流，释放既有线货运能力，满足不断增长的运输需求。通过优化高普平行通道内列车开行结构，有利于提升铁路通道以及全路网能力运用效能。

目前，国内外关于高普分工和运行图优化问题有许多研究，并取得了一定的理论成果。陈修全^[2]建立了基于能力利用的高速铁路列车停站和运行图协同优化模型，设计了改进的滚动时域求解算法求解，最后以京沪高速铁路实际案例验证分析。简星^[3]以运行图占用时间来表示运行图的能力利用情况，通过定性和定量分析，确定列车运行图纵向结构和横向结构要素与能力之间的关系，最后通过铺画列车运行图验证二者之间的关系。李海军^[4]针对平行径路下的铁路通道分工问题设计了基于粗糙集属性重要度的K-means聚类算法，以铁路企业运营成本最小和旅客群体满意度最大为目标建立了多目标优化模型，最后以宝兰铁路通道为背景进行案例分析。蒋洁滢^[5]采用调整列车开行方案的方法，以提高高速铁路网络通过能力利用均衡性，减少列车整体运行距离为目标建立优化模型，采用模拟退火算法进行求解，最后以实际数据进行案例分析。王宇强等^[6]考虑不同速度等级列车及跨线列车对运行图铺画的影响，设计了ADMM分解算法将列车组合优化问题分解为寻找单个列车的最短路问题。吕红霞等^[7]根据车站服务频率，以高速列车旅行时间最小与车站服务频率总和最大为目标建立优化模型。Burdett等^[8]构建三阶段策略解决运行图加线问题，采用模拟退火元启发式算法验证运行图加线相关问题的有效性。Tan等^[9]将列车运行图加线问题分为最优时刻加线和运行线重新排序2个子问题，并提出了改进式分支定界算法和迭代重排序策略来解决这一问题。陈亚茹^[10]研究了基于抽、加线同步优化技术的“周期+非周期”列车运行图编制方法，并针对所建立的模型，使用C#编程语言开发了基于周期性列车运行图抽线与加线系统。江峰等^[11]给定新增列车理想始发时刻及初始利润，构建以全图运行线总利润最大为目标的整数规划模型，进行拉格朗日松弛，根据松弛解对偶信息设计启发式算法求解各运行线可行解。王锴楷等^[12]以调整后的总延迟时间最小为优化目标，考虑列车运行时间、停站作业时间、运到期限等约束条件，构建针对发车延迟的列车运行图加线模型。徐涵等^[13]基于周期图的加线模型，构建基于灵活接续的周期性列车运行图加线的混合整数规划模型，实现列车接续方案设计与“周期+非周期”运行图编制的综合优化。马寓^[14]提出了基于压缩时刻表的通过能力计算模型，采用理论分析和SPSS软件分析结合的方式分析了不同等级列车混行下B类列车比例、B类列车停站比例以及列车速差对通过能力的影响，提出不同等级列车混行下通过能力加强措施。黄麒儒^[15]通过将综合协同编制优化问题转换成寻找动车组运行路径的问题，以所有车次停站时间、动车组间接续时间和空车总行驶时间之和最小为多重目标建立综合协同编制优化模型，并采用改进遗传算法设计求解。

综上所述，在运行图优化研究方面，多数研究提供的理论算法只针对高速铁路通道进行优化，缺少对高普平行通道内列车合理分工及运行图协同优化的研究；在客货分线研究方面缺少相应的理论算法支撑，难以满足路网能力提升及运行图优化需求。研究在客货分线和列车运行图基本约束的基础上，综合考虑列车跨天运行以及V形天窗等影响因素，以高速铁路和普速铁路列车始发终到调整时间最小和高速铁路列车数量增加最多为双目标函数，构建高普平行通道列车开行结构调整的运行图优化模型，为提高铁路网运输能力提供理论依据。

1　平行通道内列车调整需求分析

铁路通道是指连接区域中心或大城市间的能力强大的铁路线路，是由一条或多条功能相近的主要铁路干线构成的有机集合，是铁路运输网乃至整个综合运输网的主骨架。本研究的平行通道是指高速铁路和既有普速铁路并行，起讫城市和途经城市相同的通道。随着高速铁路网的不断建设与发展，路网中形成了大量高速铁路与普速铁路并行的平行通道，其中最具代表性的有京沪通道、京广通道、京哈通道等。铁路通道充分利用高速铁路和普速铁路，汇聚了大量客货运输流，为推进高速、普速铁路网互联互通提供了条件。

在平行通道条件下，通道内高速铁路或客运专线与既有线平行布置，没有共用车站或联络线，二者间相互独立。为适应铁路运输形势变化及发展，满足客货运输需求，缓解平行通道运输能力紧张的情况，研究提出了高普通道内列车开行结构调整优化模型，具有重要研究意义。

（1）有利于提高铁路客货运输量。既有线上客货混跑的列车一般速差较大，占用运行图能力较多，在铁路平行通道内进行列车调整，将既有线上客货混跑的旅客列车调整到高速铁路或客运专线上，高速铁路或客运专线上仅运行旅客列车，既有线上主要运行货物列车，有利于充分利用运行图能力，提高旅客和货物运输量。

（2）有利于提高铁路部门运营管理效率。既有线采用客货共线的模式行车，列车种类、运行标尺、速度等级都不同，运输组织较复杂。在客货分线条件下，客运专线运行高等级旅客列车，既有线运行货物列车和部分普速旅客列车，便于铁路企业运营管理。

（3）有利于提升客货运输产品质量。铁路运输作为我国国民经济的大动脉，具有运量大、速度快、成本低、安全性高等优点。通过优化调整列车开行结构，有利于提高客货运输产品质量，提供更加优质的运输服务，充分发挥铁路运输优势，提高铁路运输竞争力。

2　高普平行通道列车开行结构优化调整模型

2.1　问题描述

研究主要围绕平行通道内高速铁路或客运专线与既有普速铁路旅客列车间的调整，综合考虑现有图上列车开行方案，在设计优化模型时，以高速铁路和普速铁路列车始发终到调整时间最小和高速铁路列车数量增加最多为双目标函数，以区间运行时间、停站时间、安全间隔、天窗等运行图约束作为约束条件，建立高普平行通道列车开行结构优化调整模型。

铁路通道内列车开行结构调整优化问题规模庞大，需要考虑的因素较多，涉及的变量也很多，问题复杂。为保证模型的合理性，在优化前需要对模型提出假设：①原始列车开行方案已知。研究主要针对高速铁路或客运专线进行开行结构调整和新增运行线，在调整过程中不改变原有列车的开行结构。②办客站到发线数量充足。③高速铁路或客运专线为双线铁路，上下行列车运行互不干扰。④模型输入的参数已知，包括不同等级列车的区间运行时间、起停附加时分、车站安全间隔时间、停站时间、列车起讫点、车站数量、天窗时间等。

2.2　参数定义

模型构建过程中涉及到的模型参数及决策变量定义如表1所示。

2.3　模型构建

ob{j}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _i\left|s_{o_{i}i}-o{s}_{o_{i}i}\right|+\left|r_{d_{i}i}-o{r}_{d_{i}i}\right|\forall i\in T_{ori}⑴

ob{j}_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _i{z}_i\forall i\in T_{add}⑵

z_i\cdot (t_{ci}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+x_{ci}\cdot a_{ci}+x_{(c+\mathrm{1}),i}\cdot b_{(c+\mathrm{1}),i})\le r_{(c+\mathrm{1}),i}-s_{ci}\le z_i\cdot (t_{ci}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+x_{ci}\cdot a_{ci}+x_{(c+\mathrm{1}),i}\cdot b_{(c+\mathrm{1}),i})\forall i\in T,c\in C_i⑶

z_i\cdot x_{ci}\cdot g_{ci}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le s_{ci}-r_{ci}\le z_i\cdot x_{ci}\cdot g_{ci}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall i\in T,c\in C_i⑷

r_{(c+\mathrm{1}),j}-r_{(c+\mathrm{1}),i}-M\cdot (\mathrm{1}-y_{cij})\ge w_{ij}\cdot h_d\forall i,j\in T,i\ne j,c\in C_{ij}⑸

r_{(c+\mathrm{1}),i}-r_{(c+\mathrm{1}),j}-M\cdot y_{cij}\ge w_{ij}\cdot h_d\forall i,j\in T,i\ne j,c\in C_{ij} ⑹

s_{cj}-s_{ci}-M\cdot (\mathrm{1}-y_{cij})\ge w_{ij}\cdot h_f\forall i,j\in T,i\ne j,c\in C_{ij}⑺

s_{ci}-s_{cj}-M\cdot y_{cij}\ge w_{ij}\cdot h_f\forall i,j\in T,i\ne j,c\in C_{ij}⑻

w_{ij}=z_i\cdot z_j\forall i,j\in T,i\ne j⑼

z_i+z_j-\mathrm{1}\le w_{ij}\le \mathrm{0.5}\cdot (z_i+z_j)\forall i,j\in T,i\ne j⑽

y_{cij}+y_{cji}=\mathrm{1}\forall i,j\in T,i\ne j,c\in C_{ij}⑾

s_{o_{j}j}-r_{d_{i}i}\ge \theta \forall i,j\in T_{ij}⑿

t{w}_c^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le r_{ci}\le s_{ci}\le t{w}_c^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall i\in T,c\in C_i⒀

x_{ci},y_{cij},z_i\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}⒁

公式⑴至⑵为模型的目标函数，其中公式⑴表示高速铁路和普速铁路原始列车始发终到时间调整最小，公式⑵表示高速铁路列车数量增加最多；公式⑶为列车区间运行时间约束，当列车停站时，列车区间运行时分还包括起停车附加时分。x_{ci}为0-1变量，表示列车i在车站c的停站情况，若停站则需要加上对应的起停附加时分；公式⑷为列车停站时间约束，为保证列车完成旅客乘降任务以及必要的技术作业，对每列车设置最小停站时间，同时为了不影响其他列车运行，减小列车占用运行图能力，需设置最大停站时间；公式⑸至⑻为车站安全间隔时间约束，为保证相邻两列车之间安全运行，需要两列车之间满足一定的安全间隔时间。列车安全间隔时间按照不同情况可分为以下7类：最小连到间隔时间h_{dd}、最小到通间隔时间h_{dt}、最小通到间隔时间h_{td}、最小通通间隔时间h_{tt}、最小连发间隔时间h_{ff}、最小发通间隔时间h_{ft}、最小通发间隔时间h_{tf}。按照列车运行状态分为到达间隔时间和发车间隔时间，分别以h_d和h_f表示；公式⑼至⑽为约束线性化处理，z_i为0-1变量，其中w_{ij}=z_i\cdot z_j，当z_i=z_j=\mathrm{1}时，w_{ij}=\mathrm{1}，否则w_{ij}=\mathrm{0}。公式⑾为列车区间越行约束，y_{cij}为0-1变量，y_{cij}表示列车i与列车j在车站c和车站c+1之间的先后顺序，若i在j之前，则y_{cij}=\mathrm{1}，反之y_{cij}=\mathrm{0}；公式⑿为车底运用时间约束，表示车底在终到站回送所需要的最小间隔时间；公式⒀为列车调整时间范围约束，保证所有列车运行不在天窗时间内。

3　案例分析

3.1　数据选取

基于“高普平行通道列车开行结构优化模型”，应用商业求解器实现模型计算，设备选用i7-10875H CPU 2.30 GHz处理器的计算机。

研究以某平行通道为例验证方法的有效性，客运专线与既有普速铁路构成该平行通道。客运专线沿途设40个车站，运行列车有动车组旅客列车、直达特快旅客列车、特快旅客列车和快速旅客列车，速度等级分别为250 km/h，200 km/h，160 km/h，140 km/h，120 km/h；既有普速铁路运行旅客列车有直达特快旅客列车、特快旅客列车和快速旅客列车。

本次案例分析主要研究将普速铁路上本线车和部分跨线车转移至客运专线上，客运专线上列车属于原始列车，发车时间不早于6：00，共包含52对列车。加线列车选择普速铁路上的旅客列车作为备选集，共计8对，并将其始发终到站和中间停站作为条件输入，下行加线列车开行方案信息如表2所示。

考虑到客运专线与普速铁路上的列车速差较大，在选取加线列车时若为长途列车，则选取速度等级为160 km/h的列车，若为短途列车，则选取速度等级在140 km/h及以上的列车，一方面为减少列车间的速差防止列车相互挤占运输能力，保证运行图能力得到充分利用，另一方面能够缓解普速铁路运输负担，为进一步增开货物列车提供条件。

参数设置中，起车附加时分2 min，停车附加时分3 min；最小停站时间在S6，S17，S28站为6 min，其他站为2 min；车底运用最小时间\theta取20 min；列车开行方案、运行标尺、各区间纯运行时间与原图一致。

由于客运专线上部分普速列车需要跨天运行，为满足区间运行时间约束、停站约束和安全间隔时间约束，采用复制列车运行图的方法，将原有运行图从24 h运行图改为48 h运行图，并将非跨天车复制，跨天车保持不变，运行图复制前后对比如图1所示。在天窗时间约束中，由于客运专线采用V形天窗模式，因此需要改进约束⒀，天窗约束参数设置如表3所示。

计算公式如下。

（1）\mathrm{0}：\mathrm{00}\le t{w}_c^{\mathrm{1}}\le t{w}_c^{\mathrm{2}}\le \mathrm{24}：\mathrm{00}

z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{2}}\cdot (\mathrm{1}-t{r}_{ci})\le r_{(c+\mathrm{1}),i}\le z_i\cdot [t{w}_c^{\mathrm{1}}\cdot t{r}_{ci}+\mathrm{1440}\cdot (\mathrm{1}-t{r}_{ci})]\forall i\in T,c\in C_i ⒂

z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{2}}\cdot (\mathrm{1}-t{s}_{ci})\le s_{ci}\le z_i\cdot [t{w}_c^{\mathrm{1}}\cdot t{s}_{ci}+\mathrm{1440}\cdot (\mathrm{1}-t{s}_{ci})]\forall i\in T,c\in C_i⒃

（2）\mathrm{0}：\mathrm{00}\le t{w}_c^{\mathrm{2}}\le t{w}_c^{\mathrm{1}}\le \mathrm{24}：\mathrm{00}

z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{2}}\le r_{(c+\mathrm{1}),i}\le z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{1}}\forall i\in T,c\in C_i⒄

z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{2}}\le s_{ci}\le z_i\cdot t{w}_c^{\mathrm{1}}\forall i\in T,c\in C_i⒅

公式⒂至⒃中，当t{r}_{ci}=\mathrm{1}或t{s}_{ci}=\mathrm{1}时，表示列车到达或出发时刻位于区间［0：00，t{w}_c^{\mathrm{1}}］，t{r}_{ci}=\mathrm{0}或t{s}_{ci}=\mathrm{0}时，表示列车到达或出发时刻位于区间［t{w}_c^{\mathrm{2}}，24：00］。线性化处理得到公式⒆至 。

t{w}_c^{\mathrm{2}}\cdot (z_i-w{r}_{ci})\le r_{(c+\mathrm{1}),i}\le t{w}_c^{\mathrm{1}}\cdot w{r}_{ci}+\mathrm{1}\mathrm{440}\cdot (z_i-w{r}_{ci})\forall i\in T,c\in C_i⒆

t{w}_c^{\mathrm{2}}\cdot (z_i-w{s}_{ci})\le s_{ci}\le t{w}_c^{\mathrm{1}}\cdot w{s}_{ci}+\mathrm{1}\mathrm{440}\cdot (z_i-w{s}_{ci})\forall i\in T,c\in C_i⒇

w{r}_{ci}=z_i\cdot t{r}_{ci}\forall i,j\in T,i\ne j

w{s}_{ci}=z_i\cdot t{s}_{ci}\forall i,j\in T,i\ne j

z_i+t{r}_{ci}-\mathrm{1}\le w{r}_{ci}\le \mathrm{0.5}\cdot (z_i+t{r}_{ci})\forall i,j\in T,i\ne j

z_i+t{s}_{ci}-\mathrm{1}\le w{s}_{ci}\le \mathrm{0.5}\cdot (z_i+t{s}_{ci})\forall i,j\in T,i\ne j

3.2　计算结果

根据3.1节参数取值，对平行通道内高普列车开行结构进行优化调整，模型求解得到计算结果。列车加线结果如表4所示，客运专线列车运行图技术指标变化如表5所示，客运专线原始列车运行图如图2所示，客运专线加线后列车运行图如图3所示。

在加线结果中，105次、107次、115次列车未加线成功，主要是由于该列车始发时间位于发车密集区段，模型以始发调整时间最小为目标，客运专线上开行该列车对原始运行图发车时间调整较大，因此未加线成功。客运专线原始动车组列车和普速列车始发终到调整时间为23.8 min，停站调整时间为737 min，在S9站和S6站停站调整时间最大，分别为85 min和80 min。

从表5中的指标数据可以得出，加线后列车运行图的旅行速度有所下降，平均停时有所增加，主要是由于新增运行线为普速旅客列车，运行速度较低。模型在优化过程中未改变原运行图的停站方案，为尽可能减小对原运行图的破坏程度，加线列车在图中运行线较为密集的地方选择长时间停站待避，影响了运行图的整体指标。

4　结束语

铁路通道对整个铁路网起着支撑作用，其本身规模庞大，集成度高，已成为铁路运输系统的重要部分。铁路通道内列车种类较多，速差较大，开展平行通道内列车开行结构调整优化研究具有十分重要的意义。研究基于客货分线和列车运行图优化理论，在运行图基本约束的基础上，综合考虑列车跨天运行以及V形天窗的情况，以高速铁路和普速铁路列车始发终到调整时间最小和高速铁路列车数量增加最多为目标构建优化模型，以某平行通道作为案例研究，分析加线前后列车运行图指标，给出合理优化建议，使得到的结果更加符合实际调整需求。研究以原始列车开行方案作为输入条件，缺少对动车组股道运用的考虑。研究主要对平行通道内高速铁路或客运专线与既有普速铁路间的旅客列车进行调整，提升高速铁路或客运专线的能力利用率，可进一步根据客流情况设置通道内列车开行方案约束，实现高普平行通道综合能力提升。

参考文献

[1] 聂 磊，祝建平，张艳芳，等. 高速铁路运输组织[M]. 北京：中国铁道出版社，2021.

[2] 陈修全. 基于能力利用的高速铁路列车停站与运行图协同优化研究[D]. 北京：北京交通大学，2022.

[3] 简　星. 高速铁路列车运行图结构对通过能力的影响研究[D]. 成都：西南交通大学，2019.

[4] 李海军. 铁路通道内高速铁路与既有普速铁路合理分工优化研究[D]. 兰州：兰州交通大学，2018.

[5] 蒋洁滢. 基于列车开行方案调整的高速铁路网络能力优化[D]. 成都：西南交通大学，2020.

[6] 王宇强，魏玉光，林　枫. 成网条件下基于运行图铺画的高速铁路通过能力计算研究[J]. 铁道学报，2022，44(10)：1-8.

[7] WANG Yuqiang， WEI Yuguang， LIN Feng. Research on Capacity Calculation Based on Train Timetable Generating in High Speed Railway Network[J]. Journal of the China Railway Society，2022，44(10)：1-8.

[8] 吕红霞，涂玉渊，孙守平，等. 基于车站服务频率的高速列车停站设置研究[J]. 铁道运输与经济，2014，36(8)：32-37.

[9] Hongxia LYU， TU Yuyuan， SUN Shouping，et al. Study on Setting-up of High Speed Train Stops Based on Station Service Frequency[J]. Railway Transport and Economy，2014，36(8)：32-37.

[10] BURDETT R L， KOZAN E. Techniques for Inserting Additional Trains into Existing Timetables[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2009，43(8-9)：821-836.

[11] TAN Y Y， JIANG Z B. A Branch and Bound Algorithm and Iterative Reordering Strategies for Inserting Additional Trains in Real Time：A Case Study in Germany[J]. Mathematical Problems in Engineering，2015，2015：289072.

[12] 陈亚茹. 高速铁路周期性列车运行图抽线与加线理论与方法[D]. 北京：北京交通大学，2021.

[13] 江　峰，倪少权，吕红霞. 基于拉格朗日松弛的高速铁路列车运行图新增运行线局部调整模型[J]. 交通运输系统工程与信息，2018，18(4)：163-170.

[14] JIANG Feng， NI Shaoquan， Hongxia LYU. A High Speed Railway New-Added Train Timetable Partial Adjustment Model Based on Lagrangian Relaxation[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2018，18(4)：163-170.

[15] 王锴楷，何世伟，兰泽康，等. 针对发车延迟的列车运行图加线模型构建及实证[J]. 铁道运输与经济，2021，43(1)：45-50.

[16] WANG Kaikai， HE Shiwei， LAN Zekang，et al. Model Building and Verification for Adding Train Path in the Train Operation Diagram in Case of Train Departure Delays[J]. Railway Transport and Economy，2021，43(1)：45-50.

[17] 徐　涵，聂　磊，谭宇燕. 基于灵活接续的周期性列车运行图加线模型[J]. 铁道科学与工程学报，2018，15(9)：2439-2447.

[18] XU Han， NIE Lei， TAN Yuyan. The Adding Train Paths Model on Cyclic Timetable Based on Flexible Connection[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2018，15(9)：2439-2447.

[19] 马　寓. 基于压缩运行图方法的高速铁路通过能力及其影响因素分析[D]. 成都：西南交通大学，2017.

[20] 黄麒儒. 高速铁路列车运行图与动车组交路计划综合协同编制优化研究[D]. 北京：北京交通大学，2021.

基金资助

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(P2022X012)

中国铁道科学研究院集团有限公司科研项目(2023YJ316)