单线铁路区段开行一对摘挂列车运行图优化研究

Train Working Diagram Optimization of Pick-up and Drop Trains in Single-track Railway Section

摘要

单线铁路摘挂列车运行图优化，有助于加速车辆周转和货物送达。由于顺向车流在车站等待时间确定，故列车开行时只考虑上行和下行的逆向车流。当每日开行一对摘挂列车时可采用上开口、下开口和交叉方案等3种运行图形式，使用0-1变量将其转换成1种。考虑摘挂列车交叉车站选择逻辑约束，列车在车站到达和出发时刻、停站时间、区间运行时间等运行过程约束，逆向车流在中间站停留总时间、所需货物作业时间等约束，建立以逆向车流在中间站停留车分钟之和最小为目标的非线性整数规划模型。引入大M将其非线性约束转换成线性，得到线性整数规划模型。设计6个车站算例，使用数学软件求得最优解，根据求解结果从不同角度对摘挂列车运行图优化提出建议，为运行图编制和调整提供参考。

Abstract

The optimization of the train working diagram of pick-up and drop trains in single-track railway sections is conducive to vehicle turnover and freight delivery. As the dwelling time of forward wagon flows is fixed, only reverse flows in up and down directions are taken into consideration when discussing the train operation. Three train working diagrams of upper opening, lower opening, and crossing can be applied when running a couple of pick-up and drop trains every day, and 0-1 variables were proposed to convert these 3 plans into a single scheme. Considering the selection logic constraints of pick-up and drop train crossing stations, train operation process constraints such as arrival and departure time, dwelling time at the station and running time between the adjacent stations, and other constraints including the total staying time of reverse wagon flow in the stations and the required cargo operation time, a nonlinear integer programming model was established with minimizing the staying minutes at the stations of the reverse wagon flow as the goal. Large M was introduced to convert its nonlinear constraints into linear ones to produce a linear integer programming model. Optimal solutions to certain examples were obtained by using mathematical software, and these solutions can help put forward suggestions for the optimization of train working diagrams of pick-up and drop trains from different perspectives and provide a reference for the determination of adjustment of the diagrams.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 摘挂列车 / 列车运行图 / 单线铁路 / 整数规划模型

Key words

Railway Transportation / Pick-up and Drop Train / Train Working Diagram / Single-Track Railway / Integer Programming Model

0　引言

截至2022年底，我国铁路营业里程已达到15.5万km，但复线率仅有59.6%，将近40%为单线铁路^[1]。目前单线铁路主要分布在老少边穷地区，对当地的经济社会发展极为重要，为服务沿途中间站所覆盖的居民生活需要，摘挂列车的开行必不可少。摘挂列车作为列车组织的重要形式，其理论研究也能丰富运输组织内涵，故单线铁路摘挂列车运行图优化研究具有理论和现实意义。

在早期铁路运输中，单线铁路占据很大比例，因此国内外学者对其进行了大量的研究，而随着后期国家经济收入增加与实力增强，大部分新修建的线路为复线铁路，故对单线铁路的研究相对较少，但近些年随着科技的迅速发展，一些学者将摘挂列车与计算机应用紧密结合起来进行研究。吴汉林^[2]早在1985年就提出一对摘挂列车运行图铺画方案的优选方法，使用摘挂列车在各中间站总节省时间最大的方法论证最优方案的范围，但该文献是通过移动列车运行线求解最优方案，并非直接求解。在之后的研究过程中，梁万荣^[3]分析枢纽编组站至货运站的车流组织方案，给出摘挂小运转列车车小时消耗的计算方法，并提出减少小运转列车运行时间和停留时间的方案。林柏梁^[4]分析摘挂列车送至技术站的集结时间、管内车流组织的特点、摘挂车流的费用构成，给出摘挂列车集结车小时消耗最优的非线性0-1整数规划模型。徐行方等^[5]对摘挂车流进行分析，提出将直通摘挂车流编入其中，并计算优化方案中的最小集结车小时消耗，以便加速车辆周转。史峰等^[6]分析车辆集结费用、由摘车和挂车作业产生的停留费用和区段通过能力占用费用。刘爱江等^[7]认为单线区段列车运行图初始布点是列车运行图优化的一个关键问题，并基于遗传算法建立列车运行图初始布点模型。熊琴等^[8]提出区段车流与摘挂车流及小运转车流与摘挂车流组织的优化方法，并验证方法的可行性。Lulli等^[9]考虑摘挂列车在中间站的最少等待时间，并用禁忌搜索算法求解。张晶晶等^[10]以摘挂列车车小时消耗最少为目标函数，建立摘挂列车集结、运行、停留车小时和停站次数最小化优化模型，并结合算例，利用软件求解模型，得出最优车流组织方案。张博健等^[11]考虑调移车辆数对调车作业计划的影响，优化调车作业计划中的调移车辆数。谢顺丰等^[12]通过评价调移车辆数、调车作业方式的能耗，得到最优调车作业计划。施俊庆等^[13]提出一种调车作业计划优化方法，可以在更短时间内求解质量近似的调车作业计划。

上述研究从不同的角度将摘挂列车与区段或直通等其他种类列车进行研究，给出最后优化的结果，但对于摘挂列车本身运行图编制理论探讨不够深入。基于此，重点研究每日开行一对摘挂列车运行图编制问题，首先根据单线铁路摘挂列车运行图特点详细分析各种车流的情况，其次以摘挂车流在各中间站的总停留车分钟消耗最少为目标，建立每日开行一对摘挂列车运行图优化模型，最后通过算例求解验证模型的可行性和有效性。

1　问题描述

当每日开行一对摘挂列车时，运行图可能存在的方案只有3种，即上开口方案、下开口方案和交叉方案，摘挂列车运行图铺画方式如图1所示。其中，上开口方案是先铺画下行列车后铺画上行列车，且上下行列车在区段内不产生会让作业；下开口方案是先铺画上行列车后铺画下行列车；交叉方案是先铺画下行列车后铺画上行列车，但二者在某一个中间站产生会让作业。研究认为产生会让作业的车站是上开口和下开口方案的转换车站。

由图1可知，40001次下行列车将会在区段内中间站停靠，通过摘车作业将装有该站所需货物的重车或该站需要装货的空车送到该站，通过挂车作业将该站卸后的空车或装满的重车挂走继续往下行方向运送。同理，40002次上行列车也要完成同样的作业。此时上下行摘挂列车在每个车站将会产生4种车流，即下行顺向车流、下行逆向车流、上行顺向车流、上行逆向车流，所谓逆向车流是被挂走的方向与摘下该车辆列车的运行方向相反，若相同则为顺向车流。在编制运行图时，其目的是使车流停站时间最短，4种车流在站停留时间示意图如图2所示。

根据图2，顺向车流在中间站的停留时间为列车在该站的停站时间与1 440之和，是定值，而逆向车流在中间站的停留时间与摘挂列车运行图的编制方案有关，铁路运营时追求车流在中间站的停站车分钟之和越小越好，可见开行一对摘挂列车时只需优化逆向车流停站时间即可。

2　模型构建

2.1　符号说明

某区段由I个车站组成，一对摘挂列车运行图部分参数示意图如图3所示。各个车站的序号为i或j。其中，i=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdot \cdot \cdot ，I；j=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdot \cdot \cdot ，I。t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}和t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}分别为上行列车在第j站的到达和出发时刻，精确到分钟，下文所有时刻均精确到分钟；t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}和t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}分别为下行列车在第j站的到达和出发时刻；T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}和T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}分别为上行和下行摘挂列车在j站的停站时间，min，下文所有时间单位均为min；T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}和T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}分别为由下行和上行摘挂列车挂来的逆向车流在j站的货物作业时间；N_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}和N_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}分别为由下行和上行摘挂列车挂来的逆向车流数量，车；T_{j，j+\mathrm{1}}^{\mathrm{u}\mathrm{p}}和T_{j，j+\mathrm{1}}^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}分别为上行和下行摘挂列车在区间[j，j+\mathrm{1}]的运行时间，考虑到摘挂列车需要停车，则该运行时间为区间纯运行时分与起停车附加时分之和。

2.2　约束条件

2.2.1　交叉车站约束

设x_i为0-1变量，当取值为1时，代表该站为上开口和下开口方案发生转换的车站，否则取值为0，根据分析可知一定存在1个且只有1个车站为2种方案的转换车站。当x_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}时，代表在第1个车站发生转换，即运行图为下开口方案；当x_I=\mathrm{1}时，代表在第I个车站发生转换，即运行图为上开口方案；当i的取值为\mathrm{2}，\mathrm{3}，\cdot \cdot \cdot ，I-\mathrm{1}时，代表在第i个车站发生转换，即在第i个车站之前为上开口方案，之后为下开口方案，为同时具有上开口和下开口特征的混合方案，该变量满足约束如下。

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^I}{x}_i=\mathrm{1}⑴

2.2.2　停站时刻及区间运行约束

在上下行摘挂列车中，下行列车在第1个车站无到达时刻，在第I个车站无出发时刻；上行列车在第1个车站无出发时刻，在第I个车站无到达时刻。且根据铁路运输的运营需要和建模要求，将一昼夜转化成1 min，2 min，…，1 440 min等共计1 440个时刻。上下行摘挂列车的到达和出发时刻满足约束如下。

t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}，t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}\in [\mathrm{1}，\mathrm{1}\mathrm{440}]\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I⑵

t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}，t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}\in [\mathrm{1}，\mathrm{1}\mathrm{440}]\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，I-\mathrm{1}⑶

摘挂列车在车站的停站时间与出发和到达时刻关系满足约束如下。

t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}+T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}=t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}⑷

t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}+T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}=t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}⑸

摘挂列车在区间的运行时分与区间开始车站的出发时刻和区间终止车站的到达时刻满足约束如下。

t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}=t_{j+\mathrm{1}}^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}+T_{j，j+\mathrm{1}}^{\mathrm{u}\mathrm{p}}\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，I-\mathrm{1}⑹

t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}=t_{j-\mathrm{1}}^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}+T_{j-\mathrm{1}，j}^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I⑺

2.2.3　车分钟消耗计算

逆向车流在中间站的停留时间消耗可以分为2类情况，分别为由相对方向的第一列摘挂列车全部挂走，或由相对方向的第二列摘挂列车全部挂走。理论上可能由第三列摘挂列车挂走，但考虑实际作业时间已经超出1 440 min，在现实中很难发生，不予考虑。停站车分钟消耗示意图如图4所示。

在图4a中，O_j^k为在第j站第k种形式的消耗车分钟，k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6}，分别对应采用上开口方案(含交叉方案中该站为上开口方案)时下行摘挂列车和上行摘挂列车带来的逆向车流车分钟消耗，采用交叉方案且该站为转换站时下行摘挂列车和上行摘挂列车带来的逆向车流车分钟消耗，采用下开口方案(含交叉方案中该站为下开口方案)时下行摘挂列车和上行摘挂列车带来的逆向车流车分钟消耗。具体每种形式下车分钟消耗计算公式如下。

O_j^{\mathrm{1}}=N_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}\times (t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，i-\mathrm{1}⑻

O_j^{\mathrm{2}}=N_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\times (\mathrm{1}\mathrm{440}+t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，i-\mathrm{1}⑼

O_j^{\mathrm{3}}=N_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}\times (t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=i⑽

O_j^{\mathrm{4}}=N_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\times (t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=i⑾

O_j^{\mathrm{5}}=N_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}\times (\mathrm{1}\mathrm{440}+t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=i+\mathrm{1}，i+\mathrm{2}，\dots ，I-\mathrm{1}⑿

O_j^{\mathrm{6}}=N_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\times (t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}})\begin{array}{cc}& \end{array}j=i+\mathrm{1}，i+\mathrm{2}，\dots ，I-\mathrm{1}⒀

公式⑻和公式⑼分别对应第1和第2种形式，其车站序号取值范围应小于转换站的序号；公式⑿和公式⒀分别对应第5和第6种形式，车站序号取值范围应大于转换站序号；公式⑽和公式⑾分别对应第3和第4种形式，此时车站就是转换站，其车站序号取值范围等于转换站的序号。为了与下文逆向车流货物作业时间T_j^k中的k值对应，因此并未将公式⑽和公式⑾分别与公式⑻和公式⒀合并。对于转换站而言，张天伟等^[14]分析同一时段上下行列车均停站的列车会让方案共存在4种图形，每种图形对通过能力影响并不相同，但该文献以单线铁路区段运行图周期最小为目标，使两区间运行图周期尽可能相等，并未考虑车流。而本研究以车分钟消耗最小为目标，所得到的具体情形以计算结果为准。

图4b中体现的是逆向车流由对向第二列列车挂走的情形，此时车分钟消耗在原来时间基础上增加1个1 440 min，此时k=\mathrm{7}，\mathrm{8}，\dots ，\mathrm{12}，与k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6}具有严格的对应关系。此时车分钟消耗计算公式如下。

O_j^{k+\mathrm{6}}=O_j^k+\mathrm{1}\mathrm{440}\times {\phi }_{k}jk=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6}⒁

式中：{\phi }_k为参数，代表与O_j^{\mathrm{1}}—O_j^{\mathrm{6}}相对应的逆向车流。当k=\mathrm{1,3},\mathrm{5}时，{\phi }_{\mathrm{1}}={\phi }_{\mathrm{3}}={\phi }_{\mathrm{5}}=N_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}；当k=\mathrm{2,4},\mathrm{6}时，{\phi }_{\mathrm{2}}={\phi }_{\mathrm{4}}={\phi }_{\mathrm{6}}=N_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}。

2.2.4　货物作业时间约束

与停站车分钟消耗相似，当逆向车流由对向第一列列车挂走时，车站提供的货物作业时间有6种情况，货物作业时间示意图如图5所示。

用T_j^k表示第j个车站采用第k种形式时提供给逆向车流办理货物作业的时间。6种形式下提供的货物作业时间计算公式如下。

T_j^{\mathrm{1}}=t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}jj=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，i-\mathrm{1}⒂

T_j^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\mathrm{440}+t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，i-\mathrm{1}⒃

T_j^{\mathrm{3}}=t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}jj=i⒄

T_j^{\mathrm{4}}=t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}jj=i⒅

T_j^{\mathrm{5}}=\mathrm{1}\mathrm{440}+t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}jj=i+\mathrm{1}，i+\mathrm{2}，\cdot \cdot \cdot ，I-\mathrm{1}⒆

T_j^{\mathrm{6}}=t_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}，\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}}-t_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}}jj=i+\mathrm{1}，i+\mathrm{2}，\dots ，I-\mathrm{1}⒇

若逆向车流由对向第二列列车挂走，也同样有6种情况，与图4b相似，不再给出示意图。逆向车流是由对向第一列还是第二列列车挂走，取决于运行图提供的作业时间是否可以完成车流在该站的货物作业。若可完成，则由第一列挂走，否则由第二列挂走。为此对车分钟消耗变量引入0-1变量z_j^k，(j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}；k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6})，即z_j^k\times O_j^k，具体挂走判定约束如下。

z_j^k+z_j^{k+\mathrm{6}}=\mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}；k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6}

z_j^k\times (T_j^k-T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}})+z_j^{k+\mathrm{6}}\times (T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}-T_j^k)\ge \mathrm{0}\begin{array}{cc}& \end{array}k=\mathrm{1}，\mathrm{3}，\mathrm{5}

z_j^k\times (T_j^k-T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}})+z_j^{k+\mathrm{6}}\times (T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}-T_j^k)\ge \mathrm{0}\begin{array}{cc}& \end{array}k=\mathrm{2}，\mathrm{4}，\mathrm{6}

k=\mathrm{1}，\mathrm{3}，\mathrm{5}和k=\mathrm{2}，\mathrm{4}，\mathrm{6}分别对应不同的形式。当T_j^k>T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}时，表示提供的货物作业时间大于所需时间，则z_j^k=1，对应z_j^{k+\mathrm{6}}=0，车分钟消耗z_j^k\times O_j^k=O_j^k，即被对向第一列摘挂列车挂走；当时，表明提供的货物作业时间不满足所需时间，则z_j^k=0，对应z_j^{k+\mathrm{6}}=1，车分钟消耗z_j^{k+\mathrm{6}}\times O_j^{k+\mathrm{6}}=O_j^{k+\mathrm{6}}，即被对向第二列列车挂走；当T_j^k=T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}时，z_j^k与z_j^{k+\mathrm{6}}应有一个为1，但模型追求的为车分钟消耗最小，也会选择被对向第一列列车挂走。

2.3　目标函数

模型以逆向车流在各个中间站停留的总时间最小为目标，即车分钟消耗之和最小。综合以上分析，目标函数\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{F}_{\mathrm{1}}如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{F}_{\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^I}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{12}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{I-\mathrm{1}}}(x_i\times z_j^k\times O_j^k)

式中：x_i为0-1变量。

2.4　求解思路

所建模型为非线性整数规划模型，为提高求解效率，利用大M法^[15]将其转化成线性整数规划模型，使用数学软件求解，对求解结果绘制成摘挂列车运行图进行可视化展示。

首先，引入1个0-1变量n_j^k，j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}；k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{6}。其次，再引入大M。最后，将公式 和公式 转换成如下约束条件。

-n_j^k\times M\le T_j^k-T_j^{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\to \mathrm{u}\mathrm{p}}\le (\mathrm{1}-n_j^k)\times Mk=\mathrm{1}，\mathrm{3}，\mathrm{5}

-n_j^k\times M\le T_j^k-T_j^{\mathrm{u}\mathrm{p}\to \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}}\le (\mathrm{1}-n_j^k)\times Mk=\mathrm{2}，\mathrm{4}，\mathrm{6}

目标函数转化成线性形式如公式 所示，代表转变后的逆向车流在区段内各个中间站的停站车分钟消耗最小的目标函数值\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{F}_{}。

W_j^k\ge O_j^k+M\times (z_j^k-\mathrm{1})j=\mathrm{2}，\mathrm{3}，\dots ，I-\mathrm{1}；k=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，\mathrm{12}

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{F}_{}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^I}{x}_i\times {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{12}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{I-\mathrm{1}}}{W}_j^k

式中：W_j^k为整数变量，代表转变后的逆向车流在中间站停站车分钟消耗的时间，车分钟。当z_j^k=1时，W_j^k\ge O_j^k，其最小值为O_j^k；当z_j^k=0时，W_j^k\ge O_j^k-M，其最小值为0。

3　算例应用

为验证优化模型的可行性，通过不断改变上下行摘挂列车在区间的运行时间、中间站的停站时间、逆向车流的数量及逆向车流在中间站的货物作业时间等参数，将模型目标函数及优化后的约束条件利用数学软件求解，并对结果进行分析。

假设单线铁路A—B区段包含a，b，c，d 4个中间站，该区段每天开行一对摘挂列车，A—B区段摘挂列车区间运行时分资料表如表1所示，A—B区段摘挂列车各项参数如表2所示。

根据上述数据，利用数学软件进行求解，并绘制摘挂列车运行图。摘挂列车运行图如图6所示，结果显示运行图为交叉方案，且转换车站为第2个车站，目标函数值为65 406车分钟。根据图6可知，下行列车在第2个车站停站7 h，目的是为在第一时间挂走该站的22辆由上行列车送来被下行列车挂走的逆向车流，在所有逆向车流中22辆是最大数值，如果可以减少该车流的停站时间就能有效降低目标函数值。该22辆逆向车流需要作业时间为168 min，即该站下行列车出发时刻17：58减去上行列车出发时刻15：10。而在其他车站为逆向车流创造的作业时间都大于所需要的作业时间。

若将第2站2种逆向车流数量分别由18，22减小至8，4，利用本模型再次求解，得到改变逆向车流数值后的摘挂列车运行图如图7所示。可见，还是使用交叉方案，但转换站变成第3个车站，与改变车流后该站逆向车流数值最大有关，验证了本模型具有有效性。

4　结束语

分析开行一对摘挂列车运行图优化问题，认为逆向车流对运行图的铺画会产生影响，引入转换站将运行图铺画的3种方案简化为1种。考虑相关约束后，以逆向车流在各个中间站停留的总时间最小为目标，建立开行一对摘挂列车运行图整数规划模型。使用6个车站5个区间的算例验证模型，对求得最优解进行分析，并改变相关参数后继续验证，验证所建模型具有可行性和有效性。但是，本研究仅考虑了单线铁路区段开行一对摘挂列车时运行图优化，未考虑每日开行2对摘挂列车运行图的情形，且当每日开行2对摘挂列车时，顺向车流也会影响运行图的铺画，这将是后续的研究重点。

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基金资助

国家自然科学基金青年基金项目(72001021)