基于SARIMA-SVR模型的铁路货运量预测方法

Railway Freight Volume Prediction Based on SARIMA-SVR Model

摘要

鉴于铁路货运量受多种外部因素影响呈现显著的随机波动特征而难以准确预测，提出了SARIMA-SVR预测模型。首先，对全国铁路月度货运量序列进行季节时间序列(SARIMA)建模，得到模型的初始预测值及预测残差。其次，构建支持向量机(SVR)回归预测模型，将影响铁路货运量的外部因素作为模型输入项，SARIMA模型预测残差序列、月度货运量序列分别作为模型输出项，由此分别获得SARIMA模型预测残差的优化值以及SVR模型的货运量预测值。三是将优化后的SARIMA模型预测残差与其初始预测值相加，得到优化后的SARIMA模型预测值。四是再对优化后的SARIMA模型预测值和SVR模型预测值进行加权求和，得到SARIMA-SVR模型的预测结果。最后，对SARIMA-SVR模型进行消融实验验证模型有效性，并将该模型与经典预测模型进行测算精度对比。结果表明，SARIMA-SVR模型的预测精度优于单一模型和经典预测模型，在货运量预测方面具有良好的适用性。

Abstract

As the railway freight volume is hard to predict due to its significantly random fluctuation caused by a variety of external factors, the SARIMA-SVR prediction model was proposed. First of all, seasonal time series (SARIMA) modeling was carried out on the monthly freight volume series of national railways to obtain the initial predicted value and prediction residuals. Then, the support vector regression machine model was constructed. After taking the external factors affecting railway freight volume as model inputs and prediction residuals series of the SARIMA model as well as monthly freight volume series as model outputs, optimized values of prediction residuals of the SARIMA model and freight volume predicted values of the SVR model were obtained, respectively. Next, the optimized SARIMA model prediction residuals were added with the initial prediction values to obtain the optimized SARIMA model predicted values. After that, the optimized SARIMA model predicted values and SVR model predicted values were weighted and summed to obtain the SARIMA-SVR model predicted results. Finally, ablation experiments were conducted on the SARIMA-SVR model to verify the model's validity, and the model was also compared with the classical model in terms of measured accuracy. The results show that the prediction accuracy of the SARIMA-SVR model is better than that of the single model and the classical prediction model, and can be well applied to predict freight volume.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 货运量预测 / SARIMA-SVR模型 / 季节性时间序列 / 支持向量机

Key words

Railway Transportation / Freight Volume Prediction / SARIMA-SVR Model / Seasonal Time Series / Support Vector Machine

0　引言

铁路货运系统是一个庞大的复杂系统，其运量的增减变化，除了有其自身的趋势特征和变化规律，同时也受国民经济发展大环境的影响。因而，表现出一定的趋势性、季节性和随机波动性。对全国铁路货运量进行准确预测，能及时响应货物运输的市场需求，助力货运部门高效配车、制定运输计划，还能优化完善铁路企业的投资结构、运营组织方案等。同时，对国民经济的宏观发展趋势预判和资源的合理有效配置具有重要参考价值。

目前，对于铁路货运量的预测方法主要有神经网络^[1-3]、ARIMA模型^[3-5]、支持向量机算法^[6-7]、灰色模型^[8-10]等。谭雪等^[2]针对铁路短期货运量的非线性和不确定性，提出利用GRU门控循环单元深度网络对月度货运量和日货运量进行预测。徐玉萍等^[3]针对铁路货运量时间序列的间隔和延迟较长问题，提出一种将乘积季节模型与引入注意力机制的LSTM模型相结合的模型，将乘积季节模型预测得到的预测残差输入带注意力机制的LSTM模型进行训练获得训练后残差，以此修正和输出最终预测结果。张仙等^[4]针对铁路货运量线性和非线性特征，提出SARIMA-PSO-ELM组合模型，先利用PSO粒子群优化算法优化ELM极限学习机，再对SARIMA模型的预测残差进行优化，获得最终预测结果。梁宁等^[6]针对影响铁路货运量的各因素之间的复杂关系，提出了融合灰色关联度分析的GRA多项式核函数与径向基核函数线性组合的SVM-mixed预测模型，优化了SVM模型核函数和核参数的选取，提高了预测精度。崔乃丹等^[9]针对实验数据的噪音消除，提出在灰色GM(1，1)模型的基础上使用小波降噪，提高了传统灰色模型预测精度和拟合效果。

实际上，铁路货运过程中会与外界进行频繁的信息、物质交换，这些外部影响因素使得货运量序列呈现复杂的非线性特征^[11]；同时，内部的运营组织、季节环境等影响因素的综合作用，也使铁路货运量呈现一定的趋势性和季节性，蕴含着明显的线性特征。从上述文献来看，现有铁路货运量的预测研究多侧重于货运量时间序列的线性特征或非线性特征刻画，但较少同时考虑到内外部影响因素对铁路货运量预测的影响，缺少将货运量预测放在多因素相互影响的复杂环境中进行综合研究。这可能会导致预测模型无法完全捕捉实际环境中如国民经济、运输方式等变化导致的货运量变化。因此，在考虑铁路货运量序列的线性特征和非线性特征的同时，将其内外部影响因素结合起来进行货运量准确预测，具有重要意义。

基于此，采用SARIMA-SVR混合模型对全国铁路月度货运量进行预测和研究。SARIMA-SVR混合模型利用SARIMA模型能较好拟合时间序列线性特征的优势，结合SVR模型适用于解决非线性、对异常值具有鲁棒性及高维识别性能等特点，能够有效捕捉样本序列的线性特征和非线性特征。此外，SVR模型具备多输入、单输出映射的特性，可以有效实现多种内外部因素对货运量的影响研究。首先，分别构建SARIMA货运量预测基础模型和SVR预测模型。先后进行了基于外部影响因素的铁路货运量预测和SARIMA模型预测残差优化，分别得到铁路货运量的SVR模型预测值和优化后的SARIMA模型预测残差。然后，将优化后的SARIMA模型残差与其初始预测值相加，得到优化后的SARIMA模型预测值。最后，运用全等平均法将铁路货运量的SVR模型预测值与优化后的SARIMA模型预测值进行加权求和，即得到SARIMA-SVR混合模型预测结果。

1　SARIMA-SVR混合模型原理

1.1　季节时间序列模型

在某些时间序列中，观测值存在明显的周期性变化，即经过S个观测时间间隔后，观测值会有规律地呈现出波谷或波峰。这种周期性是由季节性变化或其他固有因素引起的，描述这类序列的模型通常用季节时间序列模型(Seasonal ARIMA Model，SARIMA)。SARIMA模型通过对非平稳时间序列进行差分处理得到平稳时间序列^[12-13]，从而找出序列的变化趋势、周期特征等规律，并基于序列的历史趋势和发展规律对其未来变化展开预测。

令{y_t }是周期为S的非平稳时间序列，引入延迟算子L，可得一次差分表达式

\left(\mathrm{1}-L\right)y_t=y_t-y_{t-\mathrm{1}}⑴

则d次差分为

y_t-y_{t-d}={\left(\mathrm{1}-L\right)}^d{y}_t⑵

式中：t为时间序列样本长度。

对以上非平稳时间序列{y_t }做d阶非季节性差分、p阶自回归、q阶移动平均，可得到ARIMA(p，d，q)模型表达式如下。

\left(\mathrm{1}-{\varphi }_{\mathrm{1}}L-\dots -{\varphi }_p{L}^p\right){\left(\mathrm{1}-L\right)}^d{y}_t=\left(\mathrm{1}+{\theta }_{\mathrm{1}}L+\dots +{\theta }_q{L}^q\right){\epsilon }_t⑶

式中：p为自回归阶数；{\varphi }_{\mathrm{1}}，{\varphi }_{\mathrm{2}}，\dots ，{\varphi }_p为自回归系数；q为移动平均阶数；{\theta }_{\mathrm{1}}，{\theta }_{\mathrm{2}}，\dots ，{\theta }_q为移动平均系数；{\epsilon }_t为随机扰动项，白噪声序列。

式⑶可简写为

\varphi \left(L\right){\left(\mathrm{1}-L\right)}^d{y}_t=\theta \left(L\right){\epsilon }_t⑷

同时，为消除非平稳时间序列{y_t }中的季节因素影响，需要先对其进行D阶季节性差分、P阶自回归和Q阶移动平均。由此，在未考虑季节因素的ARIMA (p，d，q)模型基础上得到含有季节性因素的混合效应模型SARIMA(p，d，q)×(P，D，Q) _s^[14]。

{\mathrm{\Phi }}_p\left(L\right)A_p\left(L^s\right)\left({\mathrm{\Delta }}^d{\mathrm{\Delta }}_s^D{y}_t\right)={\mathrm{\Theta }}_q\left(L\right)B_Q\left(L^s\right){\epsilon }_t⑸

式中：{\mathrm{\Phi }}_p\left(L\right)和A_p\left(L^s\right)分别表示非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式；{\mathrm{\Theta }}_q\left(L\right)和B_Q\left(L^s\right)分别表示季节移动平均算子或移动平均特征多项式；\mathrm{\Delta }，{\mathrm{\Delta }}_s^{}分别表示非季节和S期季节性差分；d和D分别表示非季节和季节性差分次数，从而保证把{y_t }转换为一个平稳的时间序列。

当P=D=Q=0时，SARIMA (p，d，q)×(P，D，Q) _s 模型退化为ARIMA (p，d，q)模型；当p=d=q=P=D=Q=0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。

1.2　支持向量机回归模型

支持向量机回归模型(Support Vector Regression，SVR)，是通过构建预测值与训练样本的损失函数，最小化不敏感损失函数并找到拟合点数最多的超平面来进行预测。相较于SARIMA模型，SVR模型对于异常值具有较强鲁棒性，它能弥补SARIMA模型无法考虑外部因素和非线性因素影响的不足。SVR模型本质上是一个最优化模型，它通过非线性高斯核函数，实现将输入数据映射到高维空间，构造出拟合数据的最优线性平面^[15-16]，表达式如下。

f\left(x\right)=w^{\mathrm{T}}\left(x\right)+b⑹

式中：b为偏差；w为权重。

设预测值与训练样本的误差为ε，ε扩大了点到拟合平面的损失范围，利用损失函数对预测误差大于ε的数据进行惩罚。于是，得到最小化不敏感损失函数的优化问题表达式。

\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{w,b}f\left(w,b\right)=\frac{{‖w‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+C{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{l}_{\epsilon }\left(f\left(x_i\right)-y_i\right)⑺

式中：C为惩罚因子；l_ε 为不敏感损失函数；f\left(x_i\right)-y_i为预测值与训练数据的差值。

为容纳更多的点，引入松弛因子以扩大允许的损失范围，可得

\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{w,b,{\xi }_i,\widehat{{\xi }_i}}f\left(w,b,{\xi }_i,\widehat{{\xi }_i}\right)=\frac{{‖w‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+C{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left({\xi }_i+\widehat{{\xi }_i}\right)⑻

f(x_i)-y_i\le \epsilon +{\xi }_i

y_i-f(x_i)\ge \epsilon +\widehat{{\xi }_i}

\widehat{{\xi }_i}\ge \mathrm{0}，{\xi }_i\ge \mathrm{0}

为方便上述最优化问题求解，对式⑻引入拉格朗日乘子λ，将求解目标函数最小化问题转化为相应的拉格朗日函数。同时，运用对偶原理将求解目标函数最小化问题转化为最大化问题，即式⑻转化为对偶问题。然后，求偏导将式中w与b转化为与拉格朗日乘数λ有关的表达式，并代入对偶问题表达式，得到如下表达式。

\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{{\lambda }_i.\widehat{{\lambda }_i}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{y}_i\left(\widehat{{\lambda }_i}-{\lambda }_i\right)-\epsilon \left(\widehat{{\lambda }_i}+{\lambda }_i\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(\widehat{{\lambda }_i}-{\lambda }_i\right)\left(\widehat{{\lambda }_j}+{\lambda }_j\right)x_i^{\mathrm{T}}{x}_j⑼

式中：{\lambda }_i，\widehat{{\lambda }_i}为拉格朗日乘数。

由此，得到SVR模型表达式如下。

f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(\widehat{{\lambda }_i}-{\lambda }_i\right)x_i^{\mathrm{T}}x+b⑽

再利用核变换将模型数据映射到高维空间，即对x做\varphi (x)变换，将式⑽转化为式⑾。

f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(\widehat{{\lambda }_i}-{\lambda }_i\right)\varphi {\left(x_i\right)}^{\mathrm{T}}\varphi \left(x\right)+b⑾

1.3　SARIMA-SVR混合模型及预测流程

由于铁路货运系统是一个开放、动态、非线性的复杂巨系统^[12]，铁路月度货运量时间序列既包含了线性成分也包含了非线性成分。使用单一SARIMA模型对货运量序列进行研究和预测，货运量序列中的非线性成分会限制SARIMA模型，使得模型的预测精度较差；此外，由于铁路货运量序列为复杂的非平稳时间序列，SARIMA模型的预测残差为非白噪声序列，这表示SARIMA模型预测残差中还含有重要的信息需进一步提取和优化。因此，为充分考虑货运量序列中的非线性因素、外部影响因素以及残差中蕴含的其他信息，提出SARIMA-SVR混合模型。即在SARIMA模型的基础上结合SVR模型，将SARIMA模型预测残差序列作为输入项输入SVR残差预测模型中，对残差序列所包含的非线性因素进行进一步的提取和优化，输出优化后的残差序列；将优化后的残差序列与SARIMA模型初始预测值相加，得到优化后的SARIMA模型预测结果。同时，再构建基于外部影响因素的SVR货运量预测模型对货运量序列进行预测，将SVR模型预测结果与优化后的SARIMA模型预测结果进行加权求和，由此得到更加精确的货运量预测结果。如此，既确保了货运量序列中的线性因素能被SARIMA模型充分提取，又全面考虑了非线性因素和外部因素的影响。SARIMA-SVR混合预测模型^[17]如下。

\widehat{Y_t}=Y_t+\widehat{R_t}⑿

\widehat{F_t}=k_{\mathrm{1}}\widehat{Y_t}+k_{\mathrm{2}}\widehat{Z_t}⒀

式中：Y_t 为SARIMA模型初始预测结果；\widehat{R_t}为经过SVR模型优化后的SARIMA模型预测残差；\widehat{F_t}为SARIMA-SVR混合模型最终预测结果；\widehat{Y_t}为优化后的SARIMA模型预测结果；\widehat{Z_t}为SVR模型预测结果；k₁，k₂分别为2个预测结果的权值。

SARIMA-SVR混合模型预测流程如图1所示。

2　货运量数据处理与分析

2.1　货运量数据来源及处理

从国家统计局官网提取到2009—2021年全国铁路月度货运量数据，整理后构成原始时间序列样本进行研究。铁路货运量原始数据如表1所示。

上述铁路货运量原始序列Y的时序图如图2所示。

2.2　货运量数据特征分析

从图2可见，铁路月度货运量时间序列存在显著的非平稳性和非线性特征。为一定程度上抑制异方差效应的影响，需先对货运量原始序列Y取自然对数，得到对数序列L_Y。再对序列L_Y 进行ADF平稳性检验以判断是否平稳^[18]，为下一步的建模提供依据。货运量对数序列L_Y 的ADF检验结果如表2所示。

由表2可以看出，L_Y 序列的ADF检验统计量为0.742 2，均大于1%，5%和10%显著水平的临界值，接受原单位根假设的概率为0.873 6。因此，L_Y 序列是非平稳序列。

而L_Y 序列的一阶差分序列\mathrm{\Delta }{L}_Y的ADF检验结果如表3所示。由表3可以看出，\mathrm{\Delta }{L}_Y序列的ADF检验统计量为-2.839 5，均小于1%、5%和10%显著水平的临界值，接受原单位根假设的概率为0.004 7。因此，\mathrm{\Delta }L_Y 序列是平稳序列，满足构建SARIMA模型的条件。

3　基于SARIMA-SVR混合模型的铁路货运量预测

3.1　SARIMA(p，d，q)(P，D，Q)s模型构建及预测

3.1.1　确定周期s、非季节差分d、季节差分D

由于研究样本为月度货运量数据，因此周期s取值为12。货运量对数序列L_Y 的自相关和偏自相关图如图3所示，一阶差分序列\mathrm{\Delta }L_Y 的自相关和偏自相关图如图4所示。从图3可以看出，L_Y 序列自相关系数呈线性缓慢衰减，且自相关系数的绝对值在12的整数倍滞后期出现峰值，同时在峰值附近呈现震荡式衰减。图4中表现得更为明显，对数序列呈现以12为周期的季节性波动。由此确定，月度货运量数据序列的周期值s取12是合适的。

对一阶差分序列\mathrm{\Delta }L_Y 做一次季节差分，即D值取1得到\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 自相关图和偏自相关图如图5所示。由图5可见，存在相伴概率P值大于5%的滞后期点，即季节差分序列\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 仍不平稳，需要进一步处理。

再对\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 序列进行一次非季节性差分，即d取值为2，可得\mathrm{\Delta }²\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 自相关图和偏自相关图如图6所示，\mathrm{\Delta }²\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 时序图如图7所示。从图6的P值近乎为零，以及12整数倍滞后期点处相关系数落在2倍标准差范围内都可看出，此时\mathrm{\Delta }²\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 序列已平稳。同时，由图7也可看出，\mathrm{\Delta }²\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 序列围绕0轴上下小幅波动，呈现出平稳状态。由此确定，非季节性差分次数d值取2，季节性差分次数D值取1，可满足平稳性要求。

3.1.2　模型定阶

根据\mathrm{\Delta }²\mathrm{\Delta }₁₂L_Y 序列自相关图和偏自相关图确定模型阶数判别的依据，模型定阶判别表如表4所示。

结合表4和图6可知，非季节自相关系数可看作滞后1阶截尾，非季节偏自相关系数拖尾衰减，即非季节项MA的q值取1，非季节项AR的p值取0。

然后确定季节项阶数，以12阶为一个周期来看，若将自相关系数看作在12的整数倍滞后期处有绝对值较大的峰值，之后呈截尾特征，则季节项MA的Q值可取1；偏自相关系数看作拖尾衰减，季节项AR的P值可取0；由此可得SARIMA模型为(0，2，1) (0，1，1)₁₂。而若将自相关系数在12的整数倍滞后期之后的值看作拖尾衰减，则季节项MA的Q值可取0；偏自相关系数看作截尾特征，季节项AR的P值可取1；由此可得SARIMA模型为(0，2，1) (1，1，0)₁₂。

3.1.3　SARIMA模型筛选

对上述2个模型进行检验和拟合优度比较，由检验结果可知，2个模型参数均具有显著性，拟合模型通过检验。模型拟合优度比较如表5所示。

其中，R²表示可决系数，取值在[0，1]之间，可决系数越大，方程拟合度越好。DW是对模型残差自相关性检验，其取值越接近于2，表示自相关性越低，模型效果越好。AIC值和SC值分别为赤池信息量准则和施瓦茨信息量准则，2个指标值越小表示模型拟合度越高，模型效果越好。综上可知，最佳的SARIMA模型为(0，2，1) (0，1，1)₁₂。

3.1.4　模型预测及残差检验

利用模型SARIMA (0，2，1) (0，1，1)₁₂对2021年铁路月度货运量进行预测，得到SARIMA模型预测结果Y_t。

对SARIMA (0，2，1) (0，1，1)₁₂模型预测的残差序列R_t 进行Q检验，得到SARIMA (0，2，1)(0，1，1)₁₂模型残差Q检验自相关、偏自相关图如图8所示。由图8可以看出，存在P值小于5%，即P值不显著的滞后期，即SARIMA (0，2，1) (0，1，1)₁₂模型残差序列为非白噪声，仍需进一步提取信息。

3.2　SVR模型构建及预测

构建SVR模型时，将建模数据集按一定比例划分为训练集和测试集，即2009年1月—2019年12月的铁路月度货运量作为训练集，2020年1—12月的铁路月度货运量作为模型调参的验证集，2021年1—12月的铁路月度货运量作为测试集。

3.2.1　模型训练的外部因素

结合现有文献研究成果^[19]，综合筛选出以下7个影响全国铁路月度货运量预测的因素如表6所示。

从国家统计局官网分别提取出各影响因素2009—2021年的数据，对全国铁路月度货运量SVR预测模型进行训练。按照2.1节所述方法分别对各影响因素的原始数据进行处理，将每个影响因素的原始数据都处理为一列含有156个元素的时间序列数据，即最后得到7列影响因素序列面板数据，作为SVR模型的输入项。其中，为保证各数据序列输入模型时维度一致，将铁路营业里程的年度数据序列看作同一年中月度数据都相同的数据序列。例如，2009年铁路营业里程年度数据为8.55万km，在处理数据时将其处理为2009年1—12月的月度数据都为8.55万km。

在运用历史数据对模型进行训练得到最优参数后，利用三次指数平滑法预测未来月份各影响因素的数据^[20]，再将此数据作为SVR预测模型的输入项，利用SVR模型实现多影响因素输入、单货运量预测结果输出的多步预测效果，预测步长与输入的影响因素的长度相同。

3.2.2　SVR货运量预测模型构建及参数设定

选取合适的核函数Φ(x)建立SVR模型。常用的核函数中，线性核函数用于支持回归向量机时仅能处理线性可分数据；多项式核函数参数较多，会极大增加模型复杂度和计算量；Sigmoid核函数通常适用于多层神经网络映射，其部分参数功能与RBF核函数类似；RBF核函数能将样本映射到一个更高维的空间，可适应各种复杂的数据分布，相比于多项式核函数所需的参数更少，用于SVR模型更简单实用。因此，本SVR模型选用径向基核函数RBF。

使用交叉验证法确定SVR模型的最佳参数C和gamma。交叉验证法原理：在一定取值范围内，将参数C和gamma按一定步长进行取值组合，同时将样本数据均分为k组，将不同的(C，gamma)组合应用于这k个子集。令其中1个子集为验证集，其余k-1个子集为训练集来训练SVR模型。其中，参数C为惩罚因子，取值过大将导致过拟合，取值过小则模型容错率过高；参数gamma是被模型选作支持向量的辐射范围的倒数。当C和gamma的取值使模型预测精度最优时，即为C和gamma的最佳值。若预测结果精度相同，为避免过拟合，选择数值较小的C值；若预测结果精度与C值都相同，选择靠前一组的gamma值。

为比较模型的预测精度，选取平均绝对误差百分比(MAPE)、均方根误差(RMSE)作为评价标准，对模型预测结果进行评价。

MAPE=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left|\frac{y_i-\widehat{y_i}}{y_i}\right|\times \mathrm{100}\mathrm{\%}⒁

RMSE=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(y_i{-\widehat{y_i})}^{\mathrm{2}}}⒂

式中：y_i 表示第i个数据的实际值；\widehat{y_i}表示第i个数据模型的输出预测值；n表示样本个数。

MAPE值与RMSE值越小，表示模型的预测精度越高。由此，当模型预测结果的MAPE与RMSE最小时，参数C和gamma为最佳值。

运用模型对验证集2020年全国铁路月度货运量进行超参数调节，最终预测模型达到最优时参数为：C=100，gamma=0.001，此时模型R²值最大为0.967 8，即得最优SVR模型。由此，再运用该模型对测试集2021年全国铁路月度货运量进行预测，得到月度货运量预测结果\widehat{Z_t}，MAPE为0.020 8，RMSE为1 064.795 5。

3.2.3　SVR残差优化模型构建及参数设定

同时，由于SARIMA (0，2，1) (0，1，1)₁₂模型的残差序列不为白噪声，因此将其预测残差作为输出项，表6所示的各外部影响因素作为输入项，构建基于SVR的残差预测模型，对残差序列隐含的信息进行进一步提取优化，进而得到优化后的残差序列\widehat{R_t}。再将\widehat{R_t}与SARIMA模型初始预测结果Y_t 相加，从而得到优化后的SARIMA模型预测结果\widehat{Y_t}。

SVR残差预测模型中，核函数选用径向基核函数RBF，使用交叉验证法确定模型的最佳参数C和gamma。应用模型对SARIMA (0，2，1) ( 0，1，1)₁₂模型的残差序列进行优化，最终模型达到最优时参数为：C=150，gamma=0.01。此时模型的R²为0.253 4。由该残差预测模型得到优化后的预测结果MAPE为0.030 1，RMSE为1 476.399 5，均达到最小。

SARIMA模型初始预测结果Y_t 与优化后预测结果Y_t 的精度对比如表7所示。结果表明，优化后的SARIMA模型预测结果优于模型初始预测结果。

3.3　SARIMA-SVR模型预测结果

为进一步获得铁路月度货运量的准确预测值，将上述优化后的SARIMA (0，2，1) (0，1，1)₁₂模型预测结果\widehat{Y_t}与SVR模型预测结果\widehat{Z_t}进行等权平均求和，即式⒀中k₁=k₂=0.5。即得到SARIMA-SVR混合模型预测值\widehat{F_t}如表8所示。

4　模型预测结果分析

4.1　测算精度指标

为验证SARIMA-SVR混合模型的预测精度，选取MAPE，RMSE作为评价标准，对模型预测结果进行评价。

4.2　消融实验验证模型有效性

将SARIMA模型、SVR模型、优化后的SARIMA模型、SARIMA-SVR混合模型4个模型预测结果的MAPE，RMSE进行对比，4种模型预测精度对比如表9所示，4种模型预测效果对比如图9所示。由表9可以看出，SARIMA-SVR混合模型的MAPE和RMSE在4个模型中都最小，SARIMA-SVR混合模型的MAPE值相较于SARIMA模型、SVR模型、优化后的SARIMA模型分别降低了1.54%，0.38%，1.36%，RMSE值相较于其他3个模型分别降低了734.143 6，325.282 7，683.981 6。通过模型预测结果与预测精度的比较，表明运用SVR模型对SARIMA模型预测值进行优化以及将2个模型进行组合来预测月度货运量值具有明显的优势，SARIMA-SVR模型在全国铁路月度货运量预测方面具有更高的预测精度和预测效果。

4.3　多模型测算精度对比

为比较SARIMA-SVR模型与其他预测方法的测算精度，采用另外2种经典的预测方法，长短时记忆神经网络(LSTM)模型与基于遗传算法优化的BP神经网络(GA-BP)模型，分别从单模型一维输入预测(不考虑外部影响因素)、单模型多维输入预测(考虑外部影响因素)、混合模型多维预测3个角度来进行精度对比。

基于2009年1月—2021年12月全国铁路月度货运量数据分别构建LSTM模型和GA-BP模型，2个模型优化算法均采用Adam算法，激活函数采用tanh函数，数据集前80%为训练集，后20%为测试集，LSTM模型与GA-BP模型参数设定如表10所示。

LSTM模型、GA-BP模型测算结果与SARIMA模型、SVR模型、SVR-SARIMA模型多模型测算精度对比如表11所示，多模型MAPE对比如图10所示，多模型RMSE对比如图11所示。

从表11与图10、图11可知，在对货运量进行预测时，考虑外部影响因素的多维输入模型预测精度明显优于只考虑时间序列数据的一维输入模型；同时，混合模型预测精度均优于单一模型。这表明预测时充分考虑影响时间序列数据的外部因素、通过组合模型综合考虑数据的周期性和线性、非线性特征，能够大幅度提升预测精度。

通过图10与图11可以明显看出，SARIMA-SVR模型的预测精度最高，LSTM模型与GA-BP模型在处理具有较强周期性且相邻数据间关联性不强的时间序列数据上优势较弱。

4.4　模型短期、中长期预测精度对比

为研究SARIMA-SVR模型的适用预测周期，对模型的预测结果进行分析。以2021年1—12月的货运量数据作为短期货运量预测测试样本，运用SARIMA-SVR模型对2021年1—12月进行短期货运量预测，将预测结果与测试样本真实值进行精度计算，得到货运量短期预测精度。以2009年1月—2010年12月为基期，运用SARIMA-SVR模型对2011年1月—2020年12月铁路月度货运量进行中长期预测，对预测结果与真实值进行精度计算，通过分析中长期预测结果与真实值的拟合程度，来分析模型中长期预测的性能。

分别计算2个周期的平均相对误差(MRE)值，计算公式为式⒃，短期、中长期预测精度对比如表12所示。

MRE=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=T+\mathrm{1}}^{T+n}}\left|\frac{\widehat{y_i}-y_i}{y_i}\right|⒃

由表12可知，SARIMA-SVR模型的短期预测平均相对误差值MRE比中长期预测低0.88%，相较而言模型更适合用作短期预测。

4.5　模型性能分析

综合以上实验验证和分析来看，SARIMA-SVR模型在全国铁路月度货运量的短期预测中具有良好表现，但模型仍存在一定的局限性。由于SARIMA模型与SVR模型的建立都存在超参数的确定，使用手动调参效率较低，在之后的研究中可以在调参部分做进一步优化。除此以外，对于SVR模型来说，输入SVR模型的多个影响因素对于货运量的影响程度可能存在不同，接下来的研究可以考虑不同影响因素在输入时具有不同的权值。

5　结论

研究基于全国铁路月度货运量复杂的外部影响因素和序列本身的波动变化特征，提出了货运量预测的SARIMA-SVR混合模型。利用样本期铁路月度货运量数据，构建SARIMA-SVR混合模型，并对比验证了SARIMA-SVR混合模型与单一SARIMA模型、SVR模型、LSTM模型等的预测精度和效果。研究结果如下。

（1）样本期的铁路月度货运量序列为非平稳、非线性序列，对其进行SARIMA模型建模时，其残差序列不为白噪声，即未能充分提取有效信息，仍需进一步提取非线性信息。

（2）SARIMA-SVR混合模型较好地结合了2种单一模型的优点，使单一模型的局限性得到改善，实现了优势互补。混合模型运用SARIMA模型充分提取了货运量序列中包含的线性特征，同时又运用SVR模型弥补了SARIMA模型的局限和不足，使得货运量原始序列以及SARIMA模型预测残差序列中的非线性信息和外部因素影响都得到了充分的考虑和体现。

（3）与单一模型相比，SARIMA-SVR混合模型MAPE、RMSE都大幅降低，预测精度得到大幅提高。

综上，SARIMA-SVR混合模型能够更全面、更准确地刻画货运量序列中包含的线性、非线性因素和外部影响因素，在全国铁路月度货运量的短期预测方面具有良好的适用性。

参考文献

[1] 程肇兰，张小强，梁 越. 基于LSTM网络的铁路货运量预测[J]. 铁道学报，2020，42(11)：15-21.

[2] CHENG Zhaolan， ZHANG Xiaoqiang， LIANG Yue. Railway Freight Volume Prediction Based on LSTM Network[J]. Journal of the China Railway Society，2020，42(11)：15-21.

[3] 谭 雪，张小强. 基于GRU深度网络的铁路短期货运量预测[J]. 铁道学报，2020，42(12)：28-35.

[4] TAN Xue， ZHANG Xiaoqiang. GRU Deep Neural Network Based Short-Term Railway Freight Demand Forecasting[J]. Journal of the China Railway Society，2020，42(12)：28-35.

[5] 徐玉萍，邓俊翔，蒋泽华. 基于组合预测模型的铁路货运量预测研究[J]. 铁道科学与工程学报，2021，18(1)：243-249.

[6] XU Yuping， DENG Junxiang， JIANG Zehua. Railway Freight Volume Forecasting Based on a Combined Model[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2021，18(1)：243-249.

[7] 张 仙，戴家佳，余奇迪. 基于SARIMA-PSO-ELM组合模型的我国铁路货运量预测[J]. 数理统计与管理，2022，41(3)：394-401.

[8] ZHANG Xian， DAI Jiajia， YU Qidi. Railway Freight Volume Forecasting Based on SARIMA-PSO-ELM Combination Model[J]. Journal of Applied Statistics and Management，2022，41(3)：394-401.

[9] FENG Fenlin， LI Wan， JIANG Qiwei. Railway Freight Volume Forecast Using an Ensemble Model with Optimised Deep Belief Network[J/OL]. IET Intelligent Transport Systems， 2018，12(8)：851-859.

[10] 梁 宁，耿立艳，张占福，等. 基于GRA与SVM-mixed的货运量预测方法[J]. 交通运输系统工程与信息，2016，16(6)：94-99.

[11] LIANG Ning， GENG Liyan， ZHANG Zhanfu，et al. A Prediction Method of Railway Freight Volumes Using GRA and SVM-Mixed[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2016，16(6)：94-99.

[12] 陈鹏芳，孟建军，李德仓，等. 基于改进LSSVM模型的区域铁路货运量预测[J]. 铁道运输与经济，2022，44(2)：59-65.

[13] CHEN Pengfang， MENG Jianjun， LI Decang，et al. Forecast of Regional Railway Freight Volume Based on Improved LSSVM Model[J]. Railway Transport and Economy，2022，44(2)：59-65.

[14] 贾鼎元，柴乃杰，王恩茂. 基于Markov链修正的铁路运量灰色组合预测模型研究[J]. 铁道标准设计，2019，63(2)：25-30.

[15] JIA Dingyuan， CHAI Naijie， WANG Enmao. Research on Modified Grey Combination Forecasting Model of Railway Transportation Volume Based on Markov Chain[J]. Railway Standard Design，2019，63(2)：25-30.

[16] 崔乃丹，向万里，孟学雷，等. 基于小波灰色GM(1，1)模型的货运量预测研究[J]. 铁道科学与工程学报，2017，14(11)：2480-2486.

[17] CUI Naidan， XIANG Wanli， MENG Xuelei，et al. Railway Freight Volume Forecasting Based on Grey GM(1，1) Model and Wavelet De-Noising[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2017，14(11)：2480-2486.

[18] 吕燕梅，王苏林. 基于离散灰色模型的铁路货运量预测仿真[J]. 计算机仿真，2022，39(5)：150-153，190.

[19] LV Yanmei， WANG Sulin. Prediction and Simulation of Railway Freight Volume Based on Discrete Grey Model[J]. Computer Simulation，2022，39(5)：150-153，190.

[20] 李红娟，卢天哲，祝汉灿. 全国货运量预测与货运结构分析[J]. 统计与决策，2022，38(18)：179-183.

[21] LI Hongjuan， LU Tianzhe， ZHU Hanchan. National Freight Volume Forecast and Freight Structure Analysis[J/OL]. Statistics and Decision Making， 2022，38(18)：179-183.

[22] 钱名军，李引珍，阿茹娜. 基于季节分解和SARIMA-GARCH模型的铁路月度客运量预测方法[J]. 铁道学报，2020，42(6)：25-34.

[23] QIAN Mingjun， LI Yinzhen， Runa E. Method on Monthly Railway Passenger Traffic Forecast Based on Seasonal Decomposition and SARIMA-GARCH Model[J]. Journal of the China Railway Society，2020，42(6)：25-34.

[24] 强添纲，刘 涛，裴玉龙. 地铁进站客流量SARIMA与GA-BP神经网络组合预测模型[J]. 铁道运输与经济，2021，43(12)：134-142.

[25] QIANG Tiangang， LIU Tao， PEI Yulong. Combined Prediction Model of SARIMA and GA-BP Neural Network for Subway Passenger Flow[J]. Railway Transport and Economy，2021，43(12)：134-142.

[26] 周 扬， 梁士杰. ARIMA乘积季节模型在郑州市肺结核月发病趋势预测中的应用[J]. 中国卫生统计， 2021， 38(4)：554-555.

[27] ZHOU Yang， LIANG Shijie. Application of ARIMA Multiplicative Seasonal Model in Predicting Monthly Incidence Trend of Tuberculosis in Zhengzhou City [J]. Chinese Journal of Health Statistics， 2021， 38(4)：554-555.

[28] KRAMAR V A， ALCHAKOV V V， DUSHKO V R，et al. Application of Support Vector Machine for Prediction and Classification[J]. Journal of Physics：Conference Series，2018，1015：032070.

[29] ABEDI M， NOROUZI G H， BAHROUDI A. Support Vector Machine for Multi-Classification of Mineral Prospectivity Areas[J]. Computers & Geosciences，2012，46：272-283.

[30] LEE N U， SHIM J S， JU Y W，et al. Design and Implementation of the SARIMA-SVM Time Series Analysis Algorithm for the Improvement of Atmospheric Environment Forecast Accuracy[J]. Soft Computing，2018，22(13)：4275-4281.

[31] WANG L L， LIANG C， WU W，et al. Epidemic Situation of Brucellosis in Jinzhou City of China and Prediction Using the ARIMA Model[J]. The Canadian Journal of Infectious Diseases & Medical Microbiology，2019：1429462.

[32] 颜保凡，郭垂江，李夏苗. 铁路货运量的内部影响因素及其敏感度分析[J]. 铁道科学与工程学报，2018，15(5)：1341-1346.

[33] YAN Baofan， GUO Chuijiang， LI Xiamiao. Internal Influence Factors of Railway Freight Volume and Its Sensitivity Analysis[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2018，15(5)：1341-1346.

[34] 陈 旭，李 典，张利华，等. 基于改进支持向量机(SVM)模型的荆州港吞吐量预测[J]. 水运工程，2020(3)：38-42.

[35] CHEN Xu， LI Dian， ZHANG Lihua，et al. Port Throughput Forecast of Jingzhou Port Based on Improved SVM Model[J]. Port & Waterway Engineering，2020(3)：38-42.

基金资助

兰州交通大学青年基金项目(2014029)

甘肃省教育厅高等学校创新基金项目(2020A-038)

甘肃省教育厅双一流重大科研项目(GSSYLXM-04)