基于收益管理的空铁联运动态定价研究

Dynamic Pricing of Air-Rail Intermodal Transport Based on Revenue Management

摘要

空铁联运作为提供“一票式出行”的联程运输模式，仍由民航公司给予铁路一定补贴价格形成合作，简单的定价策略不利于空铁联运在与高速铁路、民航的竞争中长久发展。将空铁联运视为拥有独立定价权的第三方运输方式，提出一种适应旅客弹性需求的动态递归定价方法。将旅客保留价格作为时变随机变量，根据旅客需求时变特征描述旅客保留价格分布，结合旅客到达率描述旅客出行选择购票过程，构建空铁联运一体化动态定价模型，提出售罄概率代替机会成本的Pred-M算法以解决模型计算周期长的问题。实例以天津—广州客运通道为对象，设置高中低3种需求场景，给出不同需求下的空铁联运预售期定价方案，使空铁联运组织模式适应中长途旅客运输市场竞争环境。

Abstract

Air-rail intermodal transport, as an intermodal transport mode that provides "one-ticket travel", is still subsidized by civil aviation companies to form cooperation with railroads at a certain price. The simple pricing strategy is not conducive to the long-term development of air-rail intermodal transport in competition with high speed railways and civil aviation. This paper proposed a dynamic and recursive pricing method that adapted to the elastic demand of passengers by considering air-rail intermodal transport as a third-party transport mode with independent pricing rights. The passenger reservation price was taken as a time-varying random variable, and the distribution of passenger reservation price was described according to the time-varying characteristics of passenger demand. According to the passenger arrival rate, the passenger travel selection and ticket purchase process were described, and the dynamic pricing model for air-rail intermodal transport was established. The Pred-M algorithm with the probability of sold-out instead of opportunity cost was proposed to solve the problem of the long computation period of the model. The paper studied the Tianjin-Guangzhou passenger corridor, set up three scenarios involving high, medium, and low demands, and provided a pricing scheme of air-rail intermodal transport during the pre-sale period under different demands so that the organization mode of air-rail intermodal transport can adapt to the market-oriented competitive environment of medium- and long-distance passenger transport.

Graphical abstract

关键词

空铁联运 / 收益管理 / 动态定价 / 微观映射 / 动态递归

Key words

Air-Rail Intermodal Transport / Revenue Management / Dynamic Pricing / Micro Mapping / Dynamic Recursion

0　引言

空铁联运一站式购票出行已经成为旅客联程运输发展新趋势。在青岛、上海等地，火车站已接入机场，形成旅客运输综合交通枢纽，大幅缩减旅客在高速铁路与民航不同运输方式间的换乘中转时间。空铁联运的发展需要借鉴“出行即服务”(Mobility as a Service，MaaS)的理念，旅客通过一次支付即可购买空铁中转的联程运输产品，打造综合交通运输体系下完善的一站式运输联程服务模式。樊桦等^[1]指出应从国家层面重视督促高速铁路与民航的合理分工与合作问题，推动互补共赢的发展格局。张发才^[2]将我国的空铁联运模式与国外联运模式进行对比，指出运营管理需要创新，主动从旅客需求的角度提供产品和服务。

然而，目前的空铁联运产品尚未实现真正意义上的一票式支付，联运产品只是航空产品和铁路产品的简单组合，旅客完成的“一次支付”是2个独立产品价格的加和，并没有获得全程一票式出行服务的体验。华夏^[3]建立基于时间价值的定价模型，首次分析了空铁联运的定价问题；李晓津等^[4]根据时间价值理论将2项独立的运输方式结合起来构建定价模型；邢伟永^[5]通过离散选择的Logit系列模型，对旅客时间价值模型的推导过程和适用条件进行阐述；李晓津等^[6]基于混合Logit模型测算不同出行目的的旅客时间价值。也有学者采用博弈论^[7-8]或双层规划模型^[9]求解空铁联运票价。

自20世纪70年代以来，酒店、民航和其他行业已将收益管理理论广泛应用于定价问题中。近年来，许多论文都涉及到民航定价的主题。目的地类型和旅行时间^[10]、在线预订策略^[11]、相邻航班的票价^[12]、乘客需求的收入价格弹性^[13]、出发时间、提前购买天数^[14]都是用于考虑定价的部分因素。拟基于收益管理理论，将空铁联运产品视为具有独立运营定价权的第三方运输方式，提出一种预售期内反映旅客弹性需求的空铁联运动态定价方法。借鉴Selcuk等^[15]提出的基于收益管理的民航定价动态递归公式，于展^[16]也应用该方法于高速铁路的动态定价。融合旅客出行选择行为理论，拟合空铁联运产品的旅客弹性需求，构建空铁联运动态定价递归模型，求解预售期基于弹性需求的空铁联运产品定价曲线。

1　空铁联运产品定价特征

空铁联运作为一种旅客联程运输方式，将其视为一种独立的第三方运输方式定价时，需要考虑其组成部分，即高速铁路和民航2种运输方式自身的定价特性，以及二者合作的综合定价特性。

（1）民航定价特性。民航定价充分应用了收益管理的思想，设置经济舱、公务舱、头等舱等不同席位对旅客市场做精确细分，预测旅客出行需求变动，将价格折扣作为调节市场需求的手段使得收益最大化。

（2）高速铁路定价特性。高速铁路依照票价率，按照列车运营里程数定价。高速铁路票价按规定分为公布票价和执行票价。公布票价即不进行折扣的全额票价，执行票价即实际发售时可能存在折扣的票价。铁路企业基于旅客出行需求与客流预测实行公布票价无折扣预售或执行票价有折扣预售。

（3）空铁联运定价特性。空铁联运由短途的高速铁路运输和长途的民航运输组成，民航占据运输主导地位，因此空铁联运可参考民航的定价方式，并考虑高速铁路的定价特性应用收益管理的思想，以控制价格的方式调整空铁联运的旅客市场需求，使其收益最大化。同时，空铁联运也需要在一定程度上满足铁路的公益性，对票价的浮动界定上下界限，使其在旅客可接受范围内调整。

2　空铁联运产品动态定价递归公式

围绕单线路问题建立空铁联运定价递归公式，旨在找出预售期内每个时段的最优价格，使得空铁联运运营商收益最大化。建模过程基于单用户视角，即考虑每个订单的完成过程，不考虑批量预订和超售、退票等营销手段。

2.1　描述个体视角下的购票需求

（1）单旅客到达率。空铁联运产品预售期时长为T，对于一个完整的预售期t\in [\mathrm{0},T]，t=T表示预售期开始的时刻，t=\mathrm{0}表示预售期结束的时刻。将一个完整的预售期划分为许多微小的时段，每个微小时段时长为\epsilon，一个时段内至多只能有一个旅客到达。假设旅客到达率在预售期开始时已经确定，与运营商决定的价格无关，{\gamma }_t为时间为t时刻下的旅客到达率，一个微小时段[t,t-\mathrm{1}]内有单一旅客到达的概率{\sigma }_t=\epsilon {\gamma }_t。

（2）旅客保留价格。旅客保留价格是指旅客愿意为商品支付的最高心理预期价格。令销售激励函数F(p)表示旅客具有支付意愿的分布函数，其概率密度函数为f(p)。那么，在一个微小时段内产生购票订单的概率为{\sigma }_{t}F(p)。

2.2　构建动态递归公式

存在2个状态变量，预售期时刻t和剩余座席数量s，假设单位时段[t,t-\mathrm{1}]内至多存在单一旅客到达，当预售期时刻为t时，剩余s座席可以产生的最大预期收入为{\pi }_t(s)，如公式⑴所示。

{\pi }_t(s)=\underset{p}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{{\sigma }_{t}F(p)({\pi }_{t-\mathrm{1}}(s-\mathrm{1})+p)+((\mathrm{1}-{\sigma }_t)+{\sigma }_t(\mathrm{1}-F(p))){\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)\right\}⑴

式中：{\sigma }_{t}F(p)({\pi }_{t-\mathrm{1}}(s-\mathrm{1})+p)表示在[t,t-\mathrm{1}]时段内有一个座席售出情况下的未来预期收入；{\sigma }_t(\mathrm{1}-F(p)){\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)表示时段内没有座席售出情况下的未来预期收入。

对公式⑴进行数学变换得到公式⑵的形式^[15]。

{\pi }_t(s)=\underset{p}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{{\sigma }_{t}F(p)(p-[{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)-{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s-\mathrm{1})])\right\}+{\pi }_{t-\epsilon }(s)⑵

令\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)={\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)-{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s-\mathrm{1})，\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)指每个剩余座席的机会成本，票价取值存在下限，即p>\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)。假设空铁联运运营商设定某个运输产品初始座席数量为S，预售期时长为T，构建空铁联运动态定价递归模型(Dynamic Pricing Recursive Model，DPR)，如公式⑶所示。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\pi }_T(S)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\pi }_t(s)=\underset{p}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{{\sigma }_{t}F(p)(p-\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s))\}+{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)\begin{array}{ccc}& \forall s\in [\mathrm{1},S]& \forall t\in (\mathrm{0},T]\end{array}\\ {\pi }_{\mathrm{0}}(s)=\mathrm{0}\\ {\pi }_t(\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}⑶

DPR模型存在2个边界条件^[15]：当预售期结束时，剩余座席立刻失去其商品价值，不再对运营商提供收益；当座席全部售出时，剩余预售期不产生任何收益，因为不考虑超售、退票等情况。

2.3　建立微观需求映射

选取旅客长距离出行最关注的出行费用p_i、运行时间t_i^{op}、中转时间t_i^{tr} 3项因素作为构建长距离出行可能的高速铁路转高速铁路、民航直飞、空铁联运出行费用的指标。旅客选择运输方式i的总出行费用c_i如公式⑷所示。

c_i={\alpha }_{\mathrm{1}}{p}_i+{\alpha }_{\mathrm{2}}{t}_i^{op}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{t}_i^{tr}⑷

式中：{\alpha }_j为不同指标的权重；i代表空铁联运A-R、高速铁路R和民航A这3种运输方式。

考虑弹性需求的空铁联运运输需求-价格互馈函数D_{A-R}(p)构建如公式⑸所示。

\begin{array}{cc}{D}_{A-R}(p)=D_{A-R}^{av}\cdot e^{-\gamma (c_{A-R}-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{c_i\})}& c_{A-R}\ge \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{c_i\}-\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\eta }{\gamma }\end{array}⑸

式中：D_{A-R}^{av}为空铁联运运输产品需求基准值；\gamma为需求波动系数；\eta为空铁联运需求量占基准值的最大比值；c_{A-R}为以空铁联运运输产品票价p为自变量的出行费用函数。

每次递归过程中，需要基于当日高速铁路与民航的预售价格更新p_R和p_A，并将上一次递归计算得出的空铁联运最优票价更新为新的p_{A-R}，重新计算各出行方式的总出行费用c_i，以确定\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{c_i\}的取值。为了保证空铁联运产品具有足够的市场竞争力，且不会破坏市场结构，c_{A-R}不能无限降低，因此\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{c_i\}只能在i\in \left\{A,R\right\}中取值。需求函数到旅客保留价格分布的转换可以构造为在可行价格范围内从需求量[\mathrm{0},D_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]到销售概率[\mathrm{0,1}]之间的映射：F(p)=D(p)/D_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}。

销售激励函数与票价的变化关系如图1所示。与以往DPR模型应用不同的是，F(p)在整个预售期过程中并非一成不变的。对DPR模型的改进在于每一次递归过程中更新各出行方式的出行费用p_i，使得销售激励函数F(p)随着旅客对产品竞争力感知的变化而实时更新，反映出更加真实的旅客支付意愿，简化形式后的F(p)如公式⑹所示。

\begin{array}{cc}F(p)=e^{ap+b}& p_{low}\le p\le p_{up}\end{array}⑹

式中：a和b为每次递归时通过带入数据后计算得到的系数；p_{up}为票价浮动上限，一般由运营商制定。

3　售罄概率近似代替机会成本的Pred-M算法

3.1　售罄概率近似代替机会成本

本研究提出使用售罄概率表示机会成本，使得每一个(s,t)状态的最优票价和预期收益都可以单独计算。公式⑺给出了售罄概率代替机会成本的计算方法。

\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)=\overline{p}\cdot \phi (s,t-\mathrm{1})+\mathrm{0}\cdot (\mathrm{1}-\phi (s,t-\mathrm{1}))⑺

式中：\overline{p}是整个预售期运营商制定的最高票价，需要根据经验确定；\phi (s,t-\mathrm{1})是当剩余t-\mathrm{1}时段时，剩余s个座席被全部卖出的概率，即售罄概率。

对应的，每个(s,t)下最优票价计算公式如公式⑻所示。

p=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\sigma }_{t}F(p)(p-\overline{p}\cdot \phi (s,t-\mathrm{1}))\}⑻

假设在(s,t)状态下F(p)会一直不变保持到预售期结束。N_{t-\mathrm{1}}为表示[\mathrm{0},t-\mathrm{1}]时段内旅客到达总数的随机变量，令A_{t-\mathrm{1}}表示[\mathrm{0},t-\mathrm{1}]时段内到达且接受购票的旅客数量，R_{t-\mathrm{1}}=N_{t-\mathrm{1}}-A_{t-\mathrm{1}}为[\mathrm{0},t-\mathrm{1}]时段内到达且拒绝购票的旅客数量。遵循假设某一状态下的F(p)是常数，在这种条件下概率分布A_{t-\mathrm{1}}\left|N_{t-\mathrm{1}}\right.是遵循参数N_{t-\mathrm{1}}和F(p)的二项分布Bin(N_{t-\mathrm{1}},F(p))。假设当给定旅客到达率时，N_{t-\mathrm{1}}符合非齐次泊松分布，那么售罄概率\phi (s,t-\mathrm{1})可以由剩余t-\mathrm{1}时段内旅客到达且接受购票的数量达到s时累积的概率得到，如公式⑼所示。

\begin{array}{l}\phi (s,t-\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{n=s}^{\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{a=s}^n}\mathrm{P}\mathrm{r}(A_{t-\mathrm{1}}=a\left|N_{t-\mathrm{1}}=n\right.)\right)\mathrm{P}\mathrm{r}(N_{t-\mathrm{1}}=n)\\ ={\displaystyle \sum _{n=s}^{\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{a=s}^n}\left(\begin{array}{l}n\\ a\end{array}\right)F{(p)}^a(\mathrm{1}-F{(p))}^{n-a}\right)\mathrm{P}\mathrm{r}(N_{t-\mathrm{1}}=n)\end{array}⑼

售罄概率也可以有一种替换表达：由剩余t-\mathrm{1}时段内旅客到达且拒绝购票的概率数量达到n-s时累积的概率得到，R_s遵循参数s和F(p)的负二项分布NegBin(s,F(p))，可见，R_s遵循的负二项分布参数均为状态已知量，这使得售罄概率变得可求，如公式⑽所示。

\begin{array}{l}\phi (s,t-\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{n=s}^{\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^{n-s}}\mathrm{P}\mathrm{r}(R_{t-\mathrm{1}}=r)\right)\mathrm{P}\mathrm{r}(N_{t-\mathrm{1}}=n)\\ ={\displaystyle \sum _{n=s}^{\mathrm{\infty }}}\left({\displaystyle \sum _{r=\mathrm{0}}^{n-s}}\left(\begin{array}{l}n-\mathrm{1}+r\\ n-\mathrm{1}\end{array}\right)F{(p)}^n(\mathrm{1}-F{(p))}^r\right)\mathrm{P}\mathrm{r}(N_{t-\mathrm{1}}=n)\end{array}⑽

然而，当n非常大时，{\displaystyle \sum _{n=s}^{\infty }}Pr(R_s\le n-s)Pr(N_{t-\mathrm{1}}=n)将会非常难以计算，为了简化运算，使用\mathrm{P}\mathrm{r}(R_s\le E(N_{t-\mathrm{1}})-s)来近似代替，对于较大的E(N_{t-\mathrm{1}})，对负二项分布采用连续分布近似。

3.2　Pred-M算法

已知售罄概率\phi和销售激励函数F都是分布在［0，1］的概率值。定义{\mathrm{\Phi }}^{NB}为一个\mathrm{2}\times \mathrm{100}的矩阵，第一行为包含了\{\mathrm{0.01,0.02},\dots ,\mathrm{1}\}的所有F的可能值，第二行为应用第一行F取值代入负二项分布计算出的\phi值；定义F^{DP}为一个\mathrm{2}\times \mathrm{100}的矩阵，第二行为包含了\{\mathrm{0.01,0.02},\dots ,\mathrm{1}\}的所有\phi的可能值，第一行为应用第二行\phi取值代入公式⑻计算出该状态下最优票价时F(p)的值。找出2个数组{\mathrm{\Phi }}^{NB}和F^{DP}所描述曲线的交点，该交点处的售罄概率即为该状态下售罄概率的值。完整的Pred-M算法流程图如图2所示。算法具体流程如下。

步骤1：初始化，令s=\mathrm{1}，t=\mathrm{1}。

步骤2：代入p_i，t_i^{op}和t_i^{tr}计算a和b，计算F(p)=e^{ap+b}。

步骤3：若E(N_{t-\mathrm{1}})\ge s，则转步骤3；否则，\phi (s,t-\mathrm{1})=\mathrm{0}。

步骤4：令{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}i}^{NB}=F_i，{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}i}^{NB}=\mathrm{P}\mathrm{r}(R_s\le E(N_{t-\mathrm{1}})-s)，其中，R_s遵循NegBin(s,F(p))，F_i=i\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{2}},i=\mathrm{1}，\mathrm{2},\dots ,\mathrm{100}。

步骤5：令F_{\mathrm{2}j}^{DP}={\mathrm{\Phi }}_j，p_j=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\sigma }_{t}F(p)(p-\overline{p}\cdot {\mathrm{\Phi }}_j)\}，F_{\mathrm{1}j}^{DP}=F(p_j)，其中{\mathrm{\Phi }}_j=j\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{2}}，j=1，2，…，100。

步骤6：令{\delta }_{ij}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\left|{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}i}^{NB}-F_{\mathrm{1}j}^{DP}\right|,\left|{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{2}i}^{NB}-F_{\mathrm{2}j}^{DP}\right|\}，找到令{\delta }_{ij}最小的(i,j)，销售激励值\phi (s,t-\mathrm{1})=({\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}i}^{NB}+F_{\mathrm{1}j}^{DP})/\mathrm{2}。

步骤7：将上述确定的\phi (s,t-\mathrm{1})代入公式⑼，求解出该状态下的最优票价p_{}^{\mathrm{*}}，将p_{}^{\mathrm{*}}代入{\pi }_t(s)=\underset{p}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{{\sigma }_{t}F(p_{}^{\mathrm{*}})(p_{}^{\mathrm{*}}-\mathrm{\Delta }{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s))\}+{\pi }_{t-\mathrm{1}}(s)，计算出该状态下的收益。

步骤8：令s=s+\mathrm{1}，p=p_{}^{\mathrm{*}}，返回步骤2；若s=S，则令s=\mathrm{1}，t=t+\mathrm{1}，p=p_{}^{\mathrm{*}}，返回步骤2。

步骤9：若s=S且t=T，则结束循环，输出最优收益值和最优票价。

4　实例分析

4.1　实例参数与需求确定

以天津—广州客运通道为例，始发地为天津，中转地为北京，终到地为广州，不同的运输方式组合成民航直飞、空铁联运和高速铁路3种形式，实例分析运输产品组合如图3所示。

定员受客舱限制，设置为S=150人，预售期受铁路公司限制，设置为15天，设\epsilon=30 s，则T=43 200。设\gamma =\mathrm{0.05}，\eta =\mathrm{1.5}，票价、运行时间和中转时间的占比分别为0.4，0.4和0.2，统计2023年12月12日—27日10：00—22：00合适的航班、车次信息，统计日内，高速铁路执行票价始终为973元，未出现调整，民航票价每日浮动，统计期内某航班票价浮动如表1所示，得到运行区段出行因素统计如表2所示。

实例模拟3种不同等级需求下预售期价格的浮动结果，旅客到达率用{\gamma }_t=m^{\mathrm{1}-\frac{t}{\mathrm{15}}}{n}^{\frac{t}{\mathrm{15}}}来表示，高、中、低需求参数设定如表3所示。

4.2　预售期定价结果分析

DPR模型使用MATLAB R2021a实现，运行环境为CPU八核十六线程，主频2.3 GHz，运行内存16 G，3种不同需求场景下运行DPR模型平均时长为1 365 s，以低需求下的预测结果为例，设置\overline{p}为1 500元，在相同的运行环境下，Pred-M算法预测某一(s,t)的票价结果运算时间为0.583 s，预测所有状态的票价共运算7 384 s。

不同场景下的最优票价热力图如图4所示，观察图4可知，不论在何种需求场景下，随着座席接近售罄，票价都有明显升高的趋势；当预售期接近结束时，若还有座席剩余，票价会明显受到竞争对手航班的价格影响，大幅下降至票价下限，低需求价格浮动曲线展示了这种情形下价格实际的浮动情况。对比3幅热力图可知，随着需求量增加，同一(s,t)下票价呈现小幅增加的趋势；高需求下预售期在座席接近售罄时存在更多状态使票价达到上限，低需求下预售期在座席售出数量较少时存在更多状态使票价达到下限。

预售期价格浮动曲线如图5所示，高需求场景下模型预测在预售期第13天实现售罄；最优收益结果与上座率如表4所示。可以看出，在不同需求场景下，DPR模型给出了不同的票价浮动方案。在高需求场景中，DPR给出了最高的初始票价，且在整个浮动过程中保持最高的价格水平；在中需求场景中，票价呈现稳定增长的趋势，最终票价为1 308元；低需求场景中，DPR模型给出了最低的初始票价，前8天呈现小幅增长的趋势，后7天由于座席售出不足，票价受到民航票价的影响在每日做出实时调整。

下面进一步说明Pred-M算法的实际应用效果，Pred-M算法实际应用如图6所示。在低需求场景下应用Pred-M算法找出各状态下的售罄概率，计算近似最优票价。图6a演示了算法在s=128，t=31 200通过模拟数组{\mathrm{\Phi }}^{NB}和F^{DP}刻画曲线找出售罄概率过程，图6b演示了算法在所有状态下给出的售罄概率预测值。由图6可见，在低需求场景下，当剩余预售期时段相同时，剩余座席数量越多，无法售罄的概率越大；相应的，当剩余座席数量不变时，剩余预售期时段越多，越容易出现售罄的可能性。

Pred-M算法预测结果对比如图7所示，展示了在低需求场景下Pred-M算法近似估计的最优结果与DPR模型直接求解结果的对比。预售期开始的前8天，由于信息不确定性，Pred-M算法对售罄概率给出了悲观估计，得到的计算结果远低于DPR模型；从第9天开始，Pred-M算法给出了非常贴近DPR模型的预测最优票价，计算结果具有可应用性。基于以上分析，建议将DPR模型的计算结果作为全预售期的指导性价格，进入预售期中后期时，应用Pred-M算法根据实际销售情况灵活调整空铁联运产品价格。即，预售期前8天可以采用DPR模型直接求解票价结果，预售期后7天，可以根据实际的销售数据，应用Pred-M算法快速预测某一(s,t)的票价，以避免每次重复计算DPR模型带来冗余的计算时间。

5　结论

将空铁联运视作具有独立定价权的第三方运输方式，提出一种根据旅客弹性需求特征实时调整的动态递归定价方法。通过建立宏观需求到微观销售激励函数的映射，描述旅客保留价格分布，结合旅客到达率描述个体视角下的购票需求，构建动态递归公式。考虑高、中、低3种运输需求，以天津—广州客运通道为例，展示了DPR模型计算的预售期动态票价曲线，并给出了预测的最优利润值。

实际运行过程中，每次运行DPR模型花费的时间较多，不便于实际工作的应用。DPR模型直接求解的精确预测，依靠预售期开始时已知每个旅客对售票价格的感知。基于以上2点考量，提出了售罄概率近似代替机会成本的Pred-M算法，其优势在于通过将旅客保留价格分布的估计转化为预售期开始对历史经验的参数估计，快速地预测特定销售环境下的票价，但对预售期前期的预测效果较差。可以在预售期开始时使用DPR模型，将直接求解的结果作为预售期前期的票价，预售期后期使用Pred-M算法实时调整票价以适应旅客的时变需求。

然而，研究只简单考虑了3种影响旅客出行选择行为的因素，若引入更多因素可以得到更加精确的需求-价格互馈函数；旅客到达率的设定也有待精进，如何从实际售票数据中反向拟合空铁联运产品旅客到达率的参数估计，是未来值得深入研究的方向之一。

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基金资助

北京交通大学智慧高铁系统前沿科学中心项目(2020JBZD007)

中央高校基本科研业务费项目(2019JBM030)